第八講真題再現

1.（2024?新課標川）兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（）

A.工B.A.C.D.

6432

【答案】I）

【解析】用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個人排列，有4%2=12種排法，

再全部的4個人全排列有：4"=24種排法，利用古典概型求概率原理得：夕=衛=!，故選：D.

242

2.（2024?新課標III）（l+2f）（Hx）4的綻開式中f的系數為（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】（1+2/）（1+幻4的綻開式中父的系數為：

?

331故選

X2X力

CX1XC▲X1CX

4X?X4

■

3.(2024?新課標HD(V+Z)s的綻開式中系的系數為()

x

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

r1（｝_3r

【解析】由二項式定理得（V+2：s的綻開式的通項為：^-cr（/）5-/（2）=2c'x-

Y3V3

由l0-3r=4,解得r=2,(v+2）5的綻開式中V的系數為22（：W=40.故選：C.

x0

4.（2024?新課標II）從2名男同學和3名女同學中任選2人參與社區服務，則選中的2人都是女同學的概

率為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】D

【解析】（適合理科生）從2名男同學和3名女同學中任選2人參與社區服務，共有優=10種，其中全是

女生的有竊=3種，故選中的2人都是女同學的概率Q3=0.3,

10

（適合文科生），設2名男生為ab,3名女生為力，B,C,

則任選2人的種數為數，朗aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,ZT共10種，其中全是女生為45,AC,BC共

3和，故選中的2人都是女同學的概率片3=0.3,故選：D.

10

5.（2024?新課標III）若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45,既用現金支付也用非現金支付的概率

為0.15,則不用現金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.6【）.0.7

【答案】B

【解析】某群體中的成員只用現金支付，既用現金支付也用非現金支付，不用現金支付，是互斥事務，

所以不用現金支付的概率為：1-3.45-0.15=0.4.故選：B.

6.（2024?新課標IH）某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X

為該群體的10位成員中運用移動支付的人數，〃X=2.4,P（x=4）VP（1=6）,則2=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】B

【解析】某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為夕，看做是獨立重復事務，滿意h6（10,p）,

〃（x=4）V〃（＞=6）,可得可得1?20V0.即“器.

因為。1=2.4,可得10夕（1-夕）=2.4,解得夕=0.6或夕=0.4（舍去）.故選：B.

7.（2024?新課標I］）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是

“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和“，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不

同的數，其和等于30的概率是（)

1B?吉口?表

A.C

12-T5

【答案】

【解析】在不超過30的素數中有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共1()個,

從中選2個不同的數有哈=仍種，和等于30的有（7,23）,（11,19）,（13,17）,共3種，則對應的

概率々3故選：c.

4515

8.（2024?新課標I）（1+今）（1+%）"綻開式中V的系數為（

)

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】（卜今）（1+X）6綻開式中:

X

若（1+今）=（1+X2）供應常數項1,則（1+X）6供應含有V的項，可得綻開式中V的系數:

x

若（1+4）供應項，則（1+才）6供應含有，的項，可得綻開式中V的系數:

X

由（1+x）6通項公式可得

可知r=2時，可得綻開式中V的系數為皤二15.

4

可知？.=4時，可得綻開式中V6

（1十方_）（1+幻6綻開式中■的系數為：15+15=30.故選：C.

9.（2024?新課標HD（戶y）（2x-y）'的綻開式中的爐爐系數為（）

A.-80B.-40C.40I).80

【答案】C

【解析】（2…）s的綻開式的通項公式:Tz=[r（2%）-（.y）'=2…（?1）z[r/-y.

55

令5-r=2,r=3,解得r=3.

令5-廣=3,r=2,解得r=2.

333

???（x+y）（2*-y）5的綻開式中的4/系數=2，X（-1）[+2X1X[2=40.故選：C.

u5u5

10.（2024?新課標II）支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同

的支配方式共有（）

A.12種B.18ftC.24種D.36種

【答案】D

【解析】4項工作分成3組，可得：c/=6,

支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，

可得：6義人,=36種.故選：D.

11.（2024?新課標II）如圖，小明從街道的E處動身，先到尸處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公

寓參與志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（）

IH

III!「口

__II____________o口

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【解析】從E到凡每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段,

從￡到尸最短的走法，無論怎樣走，肯定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有穿以=6種走法.

同理從尸到G,最短的走法，有小竊=3種走法.

???小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為6X3=18種走法.故選：B.

12.（2015?新課標【）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中

的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

【答案】A

【解析】由題意可知：同學3次測試滿意了（3,0.6）,

該同學通過測試的概率為C乳0.6）2乂（1-0.6）+cg（0.6）3=0?648.故選：4

13.（2015?新課標I）（Y+廣/5的綻開式中，￡/的系數為（）

A.10B.20C.30D.60

【答案】C

【解析】（J+x+y）55的綻開式的通項為^.=cUx2+x）5-ry^

令不=2,則（V+x）,的通項為,k（X2）3Txk=ckx&K

33

令6■4=5,則4=1,，（/+廣7）」的綻開式中，下7的系數為cgc!=30.故選：C.

0J

14.（2024?浙江）設OVaVl.隨機變量1的分布列是

X0a1

P1_1_1_

~3~3~3

則當a在(0,1)內增大時，()

A.D(X)增大B.D(X)減小

C.〃(8先增大后減小D.D(X)先減小后增大

【答案】

【解析】E(/)=0X_L+aX_L+]X_L=J±l,

3333

P(T)=(空支)2X-1+(a-空工)2X-L+(1-J±L)2xl

333333

=—L(KI)2+(2a-1)2+(a-2)2J=~(a2-a+1)=—Ca--)2+—

279926

二,OVaVl,???〃(8先減小后增大故選：D.

15.(2024?全國)甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在兩端的概率()

A.AB.0C.2D.

5555

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本領件總數〃=A?=12(),

甲不在兩端包含的基本領件個數勿=3A；=72，

...甲不在兩端的概率〃=四J-=W.故選：B.

n1205

16.(2024?新課標I)甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行七場四勝制(當一隊贏得四場成功時，該隊獲勝，

決賽結束).依據前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率

為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場競賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是.

【答案】0.18

【解析】甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”.

設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場競賽結果相互獨立，

甲隊以4：1獲勝包含的狀況有：

①前5場競賽中，第一場負，另外4場全勝，其概率為：0=0.4X0.6X0.5X0.5X0.6=0.036,

②前5場競賽中，其次場負，另外4場全勝，其概率為：^=0.6X0.4X0.5X0.5X0.6=0.036,

③前5場競賽中，第三場負，另外4場全勝，其概率為：A=0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,

④前5場競賽中，第四場負，另外4場全勝，其概率為：^=0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,

則甲隊以4：1獲勝的概率為：

P=PI+MA+P?=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.故答案為：0.18.

17.（2024?新課標I）從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選

法共有一種.（用數字填寫答案）

【答案】16

【解析】方法一：干脆法，1女2男，有C%2=12,2女1男，有熱播=4

依據分類計數原理可得，共有12+4=16種，

方法二，間接法：以-鎮=20-4=16種，故答案為：16

18.（2024?新課標I）（2廣垢）&的綻開式中，V的系數是（用數字填寫答案）

【答案】10

【解析】（2戶垢）5的綻開式中，通項公式為：小尸《（2x）5=（?）r=2?cg-x5"萬

令5?5=3,解得T=4??.M的系數2第=。故答案為：10.

19.（2015?新課標U）（以外（1+x）4的綻開式中x的奇數次事項的系數之和為32,則片—.

【答案】3

【解析】設f（x）=Ca+x）（1+J）'二加+團戶段/+…+爾巴

令x=l,則徐+的+/+??,+徐=f（1）=16（cHl）,①

令x=~1,則氏-國+會?a3=f（-1）=0.②

①-②得，2（&+&+&）=16（a+1）,所以2X32=16（濟1）,

所以a=3.故答案為：3.

20.（2024?浙江）在二項式（&+x）9綻開式中，常數項是—，系數為有理數的項的個數是

【答案】見解析

9-r

【解析】二項式（加+x/的綻開式的通項為與刊二年（加產丁味二

由廠=0,得常數項是T1二1&^；當r=1，3,5,7,9時，系數為有理數，.??系數為有理數的項的個數

是5個.故答案為：1&匹，5.

三.解答題（共16小題）

21.（2024?新課標I）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作

檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再依據檢驗結

果確定是否對余下的全部產品年檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為夕（0V夕VI）,且各件產品是

否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為￡（0），求f（夕）的最大值點外.

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的R作為夕的值.已知每件

產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(;)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X求以；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的全部產品作檢驗?

【答案】見解析

【解析】(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(〃)，

2218

/I/-C/1\A

X2OP\1X-P/1

[2p(l-p)18-18p2(l-p)1勺=SConpCl-p)17(l-10p)f

令F(0)=0,得夕=0.1,

當夕￡(0,0.1)時，f(p)>0,

當pQ(0.1,1)時，「(夕)<0,

???f(夕)的最大值點。=0.1.

(2)(7)由(1)知p=0.1,

令V表示余下的180件產品中的不合格品數，依題意知-8(180,0.1),

X=2()X2+25K即4=40+25匕

：.E(/)=E(40+25K)=40+25A'(D=40+25X180X0.1=490.

(iD假如對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所須要的檢驗費為400元,

'：E(X)=490>400,

???應當對余下的產品進行檢驗.

22.(2024?新課標I)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16

個零件，并測量其尺寸(單位：cm).依據長期生產閱歷，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的

尺寸聽從正態分布AYu,a2）.

（1）假設生產狀態正常，記才表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（H-3。，4+3。）之外的零件

數，求夕321）及I的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，假如出現了尺寸在（U-3。，口+3。）之外的零件，就認為這條生產線在這

一天的生產過程可能出現了異樣狀況，需對當天的生產過程進行檢查.

（i）試說明上述監控生產過程方法的合理性；

（ii）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

-116I16r16~

經計算得產表?產=9.97,5=怯巳區*）2=怯（￡戶2一167產。.2⑵其中尤為抽

取的第了個零件的尺寸，＞=1,2,…，16.

用樣本平均數G作為u的估計值從，用樣本標準差s作為。的估計值Q，利用估計值推斷是否需對當天

AAAA

的生產過程進行檢查？剔除（四.30,N+30）之外的數據，用剩下的數據估計u和。（精確到

0.01）.

附：若隨機變量Z聽從正態分布川（口,。與，則尸（U?3。VZVu+3。）=0.9974,0.9974%0.9592,

VO.008%0.09.

【答案】見解析

【解析】（1）由題可知尺寸落在（U-3。，u+3o）之內的概率為0.9974,

則落在（P-3o,u+3o）之外的概率為1-0.9974=0.0026,

因為〃（1=0）X（1-0.9974）°X0.9974,6^0.9592,

所以。(冷1)=1-P(zf=O)=0.0408,

又因為(16,0.0026),

所以￡(冷=16X0.0026=0.0416；

AAAA

(2)(i)假如生產狀態正常，一個零件尺寸在(n.3o,11+30-)之外的概率只有0.0026,一天

AAAA

內抽取的16個零件中，出現尺寸在(W.3o，W+3o)之外的零件的概率只有0.0408,發生的概率

很小.因此一旦發生這種狀況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異樣狀況，需

對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的.

AA

(ii)由7=9.97,5^0.212,得U的估計值為從=9.97,。的估計值為0=0.212,由樣本數據可以

看出一個

AAAA

零件的尺寸在(-3O，11+30-)之外，因此需對當天的生產過程進行檢查.

AAAA

剔除(pi.3o,W+3O)之外的數據9.22,剩下的數據的平均數為

-L(16X9.97-9.22)=1().02,

15

因此U的估計值為10.02.

16

222

￡x.=16X0.212+16X9.97^1591.134,

i=l1

AAAA

剔除(W-3O,.+3O)之外的數據9.22,剩下的數據的樣本方差為

(1591.134-9.222-15X10.022)=0.008,

15

因此。的估計值為“0.008-0.09.

23.(2024?新課標III)某超市支汜按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6

元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.依據往年銷售閱歷，每天需求量與當

天最高氣溫（單位：C）有關.假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間［20,

25）,需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20,需求量為20。瓶.為了確定六月份的訂購支配，統計了

前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量1（單位：瓶）的分布列；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為V（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量0（單位：瓶）

為多少時，J'的數學期望達到最大值？

【答案】見解析

【解析】（1）由題意知X的可能取值為200,300,500,

P（1=200）=2+16=02>

90

P（1=300）=-5^04，

90

P（J=500）=25+7+4=。4,

90

???/的分布列為:

X200300500

P0.20.40.4

（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶,

???只需考慮200^/?<500,

當300W〃W500時,

若最高氣溫不低于25,則Y=6〃-4〃=2〃：

若最高氣溫位于區間［20,25),則Q6X300+2(〃-300)-4/7=1200-2/?；

若最高氣溫低于20,則Q6X200+2(〃-200)-4/2=800-2/?,

.??￡y=2〃X0.4+(1200-2/?)X0.4+(800-2/7)X0.2=640-0.4/?,

當200W〃W300時，

若最高氣溫不低于20,則7=6/7-4??=2/?,

若最高氣溫低于20,則J'=6X200+2(〃-200)-4/7=800-2/7,

：.EY=2nX(0.4+0.4)+(800-2/?)X0.2=160+1.2/?.

工〃=300時，V的數學期望達到最大值，最大值為520元.

24.(2024?新課標III)某超市支酌按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6

元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.依據往年銷售閱歷，每天需求量與當

天最高氣溫(單位：℃)有關.假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間［20,

25),需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20,需求量為2。)瓶.為了確定六月份的訂購支配，統計了

前二年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表；

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一大的需求量不超過300瓶的概率：

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為J，(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨屋為450瓶時,

寫出V的全部可能值，并估計V大于零的概率.

【答案】見解析

【解析】(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數據，

得到最高氣溫位于區間［20,25)和最高氣溫低于20的天數為2+16+36=54,

依據往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：°C)有關.

假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶，

假如最高氣溫位于區間［20,25),需求量為300瓶，

假如最高氣溫低于20,需求量為200瓶，

???六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率夕=至&=2

905

(2)當溫度大于等于25℃時，需求量為500,

Q450X2=90()元，

當溫度在［20,25)℃時，需求量為300,

K=300X2-(450-300)X2=300元，

當溫度低于20℃時，需求量為200,

K=400-(450-200)X2=-100元，

當溫度大于等于20時，E>0,

由前三年六月份各天的最高氣溫數據，得當溫度大于等于20c的天數有：

90-(2+16)=72,

???估計Y大于零的概率片衛

905

25.(2024?新課標I)某公司支配購買2臺機器，該種機器運用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在

購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器運用期間，假如備件不足再購買，

則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在

三年運用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖:

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記丫表示2臺機

買2臺機器的同時購買的易損零件

(I)求X的分布歹|J;

(II)若要求尸（收〃）20.5,確定〃的最小值;

(III)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在〃=19與〃=20之中選其一，應選用哪個？

【答案】見解析

【解析】（I）由已知得才的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,

P(J=16)=喘）.會

P(1=17)儡■><心

P(/=18)=(40-)2+2(,20)2=旦

10013025

=JL義（嗇產=

P(￥=19)2?X100X￡

=幽)2型X也=二=工

P(Z=20)(100)2100100255

P(1=21)=2X（哥V卷

P(Z=22)=J

'100，25

???l的分布列為：

16171819202122

P1466121

2525252552525

(II)由(I)知:

P(朕18)=P(Z=16)+〃(/=17)+P(1=18)

25252525

P(慮19)=P(Z=16)+P(/=17)+P(T=18)+P(Z=19)

=1_.4.646=17

2525^52525

:?P(XWn)20.5中,〃的最小值為19.

(Ill)解法一：由(I)得尸(辰19)=尸(4=16)+P(J=17)+P(/=18)+P(/=19)

=6=17

2525252525

買19個所需費用期望：

費=200Xigx—H200X19+500)義二+(200X19+500X2)乂2卜(200X19+500X3)X-L=4040,

25252525

買20個所需費用期望：

.^=200X20X-^|+(200X20+500)xA.+(200X20+2X500)X圭=4080,

?：EXVEXz,

.?.買19個更合適.

解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，

另一部分為備件不足時額外購買的費用，

當〃=19時，費用的期望為：19X200+500X0.2+1000X0.08+1500X0.04=4040,

當〃=20時，費用的期望為：20X200+500X0.08+100()X0.04=4080,

???買19個更合適.

26.(2024?新課標I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動

物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲

藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再支配下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種

藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了便利描述問題，約定：對于

每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥

的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0

分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為Q和B,一輪試驗中甲藥的得分記為X

(1)求才的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗起先時都給予4分，。(/=0,1,…，8)表示‘'甲藥的累計得分為了時，最

終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則R=0,外=】，pi=api-^bp^cpi-\(/=1,2,…，7),其中a=b

(T=-1),b=P(1=0),c=P(/=1).假設a=0.5,3=0.8.

(/)證明：{0"-"}(/=(),1,2,7)為等比數列；

(力，)求⑶，并依據。的值說明這種試驗方案的合理性.

【答案】見解析

【解析】(1)解：1的全部可能取值為-1,0,1.

P(j=-1)=(1-a)B,P(/=0)=a3+(1-a)(1-p),/>(/=1)=a(1-6),

???/的分布列為:

才-101

P(1-a)BaP+(1-a)(1-a(1-P)

B)

(2)(7)證明：Va=0.5,B=0.8,

???由(1)得，a=0.4,6=0.5,c=0.1.

因此R=0.4R-I+0.5〃,+0.IR.J(/=1,2,???,7),

故0.1-A)=0.4(R-R-I),即(。+1?")=4(p,-p/-i),

又二。?R=R#0，；?{以1?0}(7=0,1,2,???,7)為公比為4,首項為。的等比數列;

(方)解：由(i)可得，

p<（1-4）48

k（自一口）+5-2+,,,+5-訪）+外=--------=-———p..

1-43口

?6—191_----3----?

48-1

44—11

Pi=（R-R）+（R-R）+（R”）+（P）-P））+n=二———pi=—=—?

3257

馬表示最終認為甲藥更有效的概率.

由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為

0.0039,此時得出錯誤結論的概率特別小，說明這種試驗方案合理.

4257

27.（2024?北京）改革升放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變.近年米，移動支付已成為主要支付方

式之一.為了解某校學生上個月力，8兩種移動支付方式的運用狀況，從全校學生中隨機抽取了100人，

發覺樣本中兒8兩種支付方式都不運用的有5人，樣本中僅運用力和僅運用8的學生的支付金額分布狀

況如下：

一^^頁（元）(0,1000](1000,2000]大于2000

支付蔡

僅運用力18人9人3人

僅運用B10人14人1人

（I）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,8兩種支付方式都運用的概率；

（II）從樣本僅運用力和僅運用8的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000

元的人數，求X的分布列和數學期望；

（III）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有改變.現從樣本僅運用力的學生中，隨機抽查3人，

發覺他們本月的支付金額都大于2000元.依據抽查結果，能否認為樣本僅運用力的學生中本月支付金額

大于2000元的人數有改變？說明理由.

【答案】見解析

【解析】（I）由題意得：

從全校全部的1000名學生中隨機抽取的100人中，

.4,兩種支付方式都不運用的有5人，

僅運用的有30人，僅運用6的有25人，

???力，8兩種支付方式都運用的人數有：100?5?30?25=40,

???從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月力，8兩種支付方式都運用的概率夕=也=0.4.

100

（II）從樣本僅運用A和僅運用8的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000

元的人數，

則X的可能取值為0,1,2,

樣本僅運用力的學生有30人,其中支付金額在（0,1000］的有18人,超過10（）0元的有12人,

樣本僅運用6的學生有25人,其中支付金額在（0,1000］的有10人,超過1000元的有15人,

P(Z=0)=11X10_180_6

302575025

P(J=l)=絲乂1512=390=13,

3025302575025

15_180.,6

p(r=9)=12v

302575025

???>的分布列為:

012

P6136

252525

數學期望￡（丫）=0乂4+1乂圣+2*《

（III）不能認為樣本僅運用力口勺學生中本月支付金額大于2000元的人數有改變,

理由如下:

從樣本僅運用力的學生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額大于2000元,

「3

C3_1

殖機抽查3人,發覺他們本月的支付金額都大于2000元的概率為p=

C34060

^30

雖然概率較小，但發生的可能性為

4060

故不能認為認為樣本僅運用A（I勺學生中本月支付金額大于2000元的人數有改變.

28.（2014?新課標I）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量

結果得如下頻率分布直方圖:

0.033

0.024

0.022

0.009

0.008

0.002

（【）求這500件產品質量指標值的樣本平均數G和樣本方差d（同一組中數據用該組區間的中點值作

代表）；

（H）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z聽從正態分布4（",。2）,其中□近似為樣本平均

數G，。2近似為樣本方差/

（7）利用該正態分布，求夕（187.8VZV212.2）；

3）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間（187.8,

212.2）的產品件數，利用3的結果，求康：

附：V150^12-2-

若人N（口，。之）則尸（u-。<Z<u+0）=0.6826,P（u-2。VZVu+2。）=0.9544.

【答案】見解析

【解析】（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均數彳和樣本方差#分別為：

X=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0.02=200,

s=(-30)2X0.02+(-20)2義0.09+(-10)2X0.22+0X0.33+102X0.24+202X0.08+302X0.02=150.

(II)(i)由(I)知人川(200,150),從而/?(187.8VZV212.2)=P(200-12.2<^<200+12.2)

=0.6826；

3）由（/）知一件產品的質量指標值位于區間（187.8,212.2）的概率為0.6826,

依題意知了?6(100,0.6826),所以瓦『=100X0.6826=68.26.

29.（2014?安徽）甲乙兩人進行圍棋競賽，約定先連勝兩局者干脆贏得競賽，若賽完5局仍未出現連勝，

則判定獲勝局數多者贏得競賽.假設每局甲獲勝的概率為2,乙獲勝的概率為工，各局競賽結果相互獨

33

立.

<I）求甲在4局以內（含4局）贏得競賽的概率；

（II）記才為競賽決勝出輸贏時的總局數，求J的分布列和均值（數學期望）.

【答案】見解析

【解析】用4表示甲在4局以內（含4局）贏得競賽的是事務，也表示第衣局甲獲勝，凡表示第A局乙獲勝，

則尸（4）-2,p（^）-XZ—1,2,3,4,5

33

（I）/（力）=P（AM+〃（劣力必3）+〃（4氏44）=（2）:+lx（2）212xlx（2）?=旦.

33333381

（IDX的可能取值為2,3,4,5.

P（Z=2）="（44）氏）=區，

9

P（/=3）=〃（右及4）=2,

9

P（T=4）=P+P=世，

81

P（/=5）=/（4反444）+/（笈4氏4層）+尸（笈42氏44）+P（小R/hBB）=_2￡=_8_,

24381

或者尸（1=5）=1-P（Z=2）■產（1=3）-P（Z=4）=A,

81

故分布列為：

234