/2025屆中考復習專題：反比例函數常考二級結論與選填壓軸總覽總覽題型解讀【題型1】|k|模型 13【題型2】面積模型 16【題型3】垂直模型 21【題型4】反比例函數圖像性質與代數運算綜合 25【題型5】反比例函數中的平移問題 28【題型6】比例端點模型 30【題型7】反比例函數中的設而不求法 35【題型8】反比例函數與相似相似三角形結合 39【題型9】反比例函數的找規律問題 46【題型10】矩形模型（平行，比例性質） 50【題型11】等線段模型 53【題型12】等角模型 58【題型13】反比例函數與與幾何綜合 60【模型1】|k|模型結論1：S矩形＝|k|：結論2：S三角形＝|k|【模型2】四類面積模型類型一結論：證明：,,類型二結論：①AO＝BO，AB關于原點對稱，②S△ABC＝4|k|類型三結論：①ABCD為平行四邊形，②S四邊形ABCD＝4S△AOB類型四結論：S四邊形ABOC＝k2－k1【模型3】垂直模型結論：證明：作BC⊥x軸，AD⊥x軸，則△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端點模型出現比例端點時可以考慮作垂線構造相似或設點坐標來轉化結論：證明：過點D作DE⊥x軸，，【模型5】矩形模型（平行性質和比例性質）一、比例性質如圖，A，B是反比例函數圖象上任意兩點，過A、B作x軸、y軸垂線段線段比（共線的線段之比為定值）證明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴證明二：∵結論：二、平行性質如圖1、圖2、圖3，點A、B是反比例函數圖象上的任意兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為點C，過點B作x軸的垂線，垂足為點D，連接AB、CD，則AB∥CD．yyODBxAC圖1yODAxBC圖2圖3OxABDCy下面以圖1為例來證明（圖2、圖3證法類似）：法一：面積法（等積變形）如圖，易知S△ACE＝S△ADE，因為兩個三角形同底等高，故ED∥CA由平行關系還可以得出其它性質：，(平行線分線段成比例)補充簡證證明一：由比例性質可知，，根據相似可知AB∥CD∥GF證明二：∴∴，同理可證CD∥GF方法二：連接OA、OB，延長CA、DB交于點EyyODBxEAC則OC＝DE，OD＝CE由k的幾何意義可知S△AOC＝S△BOD，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延長CA、DB交于點EyyODBxEAC設則又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD補充拓展：矩形模型中的翻折如圖，矩形OABC頂點A，C分別位于x軸，y軸正半軸，反比例函數在第一象限圖象交矩形OABC兩邊于D，E點，將△BED沿ED翻折，若B點剛好落在x軸上的點F處，則EO＝EF【模型6】等線段模型如圖1、圖2，點A、B是反比例函數圖象上的任意兩點，直線AB交y軸于點C，交x軸于點D，則AC＝BD．xxyBACDO圖1xyBACDO圖2證明：作AE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F由平行性質可知AB∥EF∴四邊形CEFB和四邊形AEFD均為平行四邊形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型7】等角模型模型一：如圖，點A、B是反比例函數圖象上的任意兩點，直線OB交反比例函數的圖象于另一點C，直線AC交x軸于點D，交y軸于點E，直線AB交x軸于點F，交y軸于點G，則∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG證明：作CN∥x軸，AN∥y軸，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG則∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM設A（a，），B（b，），則C（－b，－）∴CN＝a＋b，AN＝＋，BM＝b－a，AM＝－，∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如圖，平行四邊形ABCD頂點A，B位于反比例函數在第一象限的圖象上，C，D分別位于x軸正半軸和y軸正半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F.取AB中點G，連GO交DC于H.由反比例函數圖象基本結論知，G也是EF中點。∴∠6＝∠5＝∠2，∴H為DC中點，∴GO∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進而可知∠3＝∠7＝∠4證明2：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F。過C點作y軸平行線，交AB于I，構平行四邊形EDCI∴EI＝DC＝AB，即EA＝IB，又由基本結論知EA＝BF∴IB＝BF，∴∠2＝∠5＝∠1，同理可證∠3＝∠4模型三：如圖，平行四邊形ABCD頂點A，B位于反比例函數在第一象限的圖象上，C，D分別位于y軸負半軸和x軸負半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F。取AB中點G，連GO并延長交DC于H。由反比例函數圖象基本結論知，G也是EF中點。∴∠1＝∠5＝∠7＝∠6，∴H為DC中點，∴GH∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進而可推∠3＝∠4證明2：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F。過C作x軸垂線，交直線AB于I，構平行四邊形DCIF∴FI＝DC＝AB，又由基本結論知AE＝BF，∴BE＝BI∴∠1＝∠5＝∠2，進而可推∠3＝∠4【反比例函數中的其它八類模型】反比例函數圖象其他幾何結論一:如圖,A、B反比例函數y=k1x第一象限圖象上任意兩點.射線OA、OB分別交反比例函數y=k2x圖象于C反比例函數圖象其他幾何結論二:如圖,A為反比例函數y=k1x第一象限圖象上任意一點過A做x軸垂線和y軸垂線,兩線交反比例函數y=k2x圖象于B、C反比例函數圖象其他幾何結論三:如圖,A、B是反比例函數y=kx第一象限圖象上兩點,并滿足OA 反比例函數圖象其他幾何結論四:如圖,A是反比例函數y=kx第一象限圖象上任意一點,連OA,過A作x軸(或y軸)垂線段垂足B,過B作OA平行線交第一象限雙曲線于C,則反比例函數圖象其他幾何結論五:如圖,A是反比例函數y=kx第一象限圖象上任意一點,連OA,以A為圓心,AO為半徑畫圓交x軸(或y軸)于B則直線AB 反比例函數圖象其他幾何結論六:等腰△OAB中AO=AB,B在x軸正半軸上.反比例函數y=kx圖象分別交AO、AB于 反比例函數圖象其他幾何結論七:條件同結論七,延長CO至E使OE=OC,則反比例函數圖象其他幾何結論八:A為反比例函數y=k1x第一象限圖象上任意一點,連OA以A為圓心,AO為半徑畫圓,交x軸(或y軸)于D線段AD交反比例函數y=k2xk2<k1題型題型匯編知識梳理與常考題型【題型1】|k|模型【例題1】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，點A在反比例函數上，過點A作軸，交y軸于點C，交反比例函數于點B．若，則k的值為（

）A．6 B． C． D．3【例題2】如圖是反比例函數和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條曲線于兩點，若，則的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【例題3】（2024·安徽安慶·三模）已知反比例與的圖像如圖所示，為x軸正半軸上一動點，過點作軸，分別交反比例函數與的圖像于點，，點，（點在點的上方）在軸上，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】如圖，過軸正半軸上的任意一點，作軸的平行線，分別與反比例函數和的圖象交于點和點，點是軸上的任意一點，連接、，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【鞏固練習2】（2023年遼寧省丹東市中考）如圖，點A是反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則．【鞏固練習3】（2022年湖南省郴州市中考）如圖，在函數的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【鞏固練習4】如圖，直線與反比例函數、的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上任意一點，的面積為3，則k的值為．【鞏固練習5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考）如圖，點A在反比例函數圖像的一支上，點B在反比例函數圖像的一支上，點C，D在x軸上，若四邊形是面積為9的正方形，則實數k的值為．

【題型2】面積模型【例題1】（2024·山東聊城·二模）如圖，點A，B在雙曲線第一象限的分支上，若A，B的縱坐標分別是4和2，連接OA，OB，的面積是6，則k的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【例題2】（2025·廣西·模擬預測）如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形的頂點在軸上，若點，則實數的值為（）A． B． C． D．【例題3】（山東省日照市中考）如圖，矩形OABC與反比例函數（k1是非零常數，x>0）的圖象交于點M，N，與反比例函數（k2是非零常數，x>0）的圖象交于點B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．【鞏固練習1】如圖，反比例函數在第一象限的圖象上有兩點A，B，它們的橫坐標分別是2，6，則△AOB的面積是．【鞏固練習2】（2024·江蘇南京·三模）如圖，點是反比例函數的圖象上任意一點，過點作軸，垂足為，線段交反比例函數的圖象于點，若的面積等于1，則的值等于．【鞏固練習3】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，兩個反比例函數和(其中)在第一象限內的圖象依次是和，設點P在上，軸于點C，交于點A，軸于點D，交于點B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【鞏固練習4】（廣西·統考中考）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【鞏固練習5】（2023湖北黃石市中考）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為；若的面積為，則．

【鞏固練習6】兩個反比例函數和在第一象限內的圖象如圖所示，點P在的圖象上，軸于點C，交的圖象于點A，軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會發生變化；③與始終相等；④當點是的中點時，點一定是的中點．其中，正確的結論有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習7】（2023年湖南省湘西中考）如圖，點A在函數的圖象上，點B在函數的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習8】（江蘇省南京市中考）如圖，正比例函數與函數的圖像交于A，B兩點，軸，軸，則．【題型3】垂直模型 【例題1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（

）A． B． C． D．【例題2】（2024·福建莆田·一模）如圖，在矩形中，點是坐標原點，點A在反比例的圖象上，點在反比例函數，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】已知點A，B分別在反比例函數（x＞0），（x＞0）的圖象上且OA⊥OB，則tanB為（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A，B的坐標分別是0,3，．，，則函數的圖像經過點C，則k的值為．【鞏固練習3】如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉．若∠BOA的兩邊分別與函數、的圖象交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為（

）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時大時小 D．保持不變【鞏固練習4】如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y＝的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【鞏固練習5】如圖，已知A是雙曲線上一點，過點A作軸，交雙曲線于點B，若，則的值為（）A． B． C． D．【鞏固練習6】（2023·福建·統考中考）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（）

A． B． C． D．3【鞏固練習7】（2023·四川達州·中考）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，以為邊作等邊三角形，若反比例函數的圖象過點，則的值為．

【鞏固練習8】如圖，點A是雙曲線y＝上的動點，連結AO并延長交雙曲線于點B，將線段AB繞B順時針旋轉60°得到線段BC，點C在雙曲線y＝上的運動，則k＝．

【鞏固練習9】如圖，點A是雙曲線在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一個分支于點B，以AB為底作等腰且，點C在第一象限，隨著點A的運動，點C始終在雙曲線上運動，則．【鞏固練習10】如圖，的頂點與坐標原點重合，，，當點在反比例函數的圖象上移動時，點坐標滿足的函數解析式為．【題型4】反比例函數圖像性質與代數運算綜合【例題1】（2024·湖南郴州·模擬預測）已知一次函數與反比例函在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，當時，x的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【例題2】（2024·新疆·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點，軸于點，連接交軸于點，結合圖象判斷下列結論：點與點關于原點對稱；點是的中點；在的圖象上任取點Px1,y1和點Qx2,y2，如果，那么；．其中正確結論的個數是（

）A． B． C． D．【例題3】（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，過點且垂直于x軸的直線l與反比例函數的圖像交于點，將直線l繞點逆時針旋轉45°，所得的直線經過第一、二、四象限，則的取值范圍是（

）A．或 B．且C．或 D．或【鞏固練習1】（2024·貴州遵義·二模）已知函數的圖象與二次函數的圖象交于點，，．若點在軸下方且時，則下列正確的是（）A． B．C． D．【鞏固練習2】（2024·河北唐山·三模）已知反比例函數．（1）若點在反比例函數的圖象上，則的值為；（2）若反比例函數與一次函數的圖象交于點，且，請寫出一個滿足條件的值為．【鞏固練習3】已知P、Q兩點分別在反比例函數和的圖象上，若點與點關于y軸對稱，則m的值為．【鞏固練習4】（2024·浙江杭州·二模）借助描點法可以幫助我們探索函數的性質，某小組在研究了函數與性質的基礎上，進一步探究函數的性質，以下結論：①當時，存在最小值；②當時，隨的增大而增大；③當時，自變量的取值范圍是；④若點在的圖像上，則點也必定在的圖像上．其中正確結論的序號有．【鞏固練習5】（2024·湖北·模擬預測）反比例函數與一次函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的有（

）①；②；③；④若均在反比例函數上且，則且

A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④【鞏固練習6】（2024·湖北·二模）平移是初中學習過的重要初等變換，如：拋物線向右平移兩個單位可以得到拋物線．依據這個規律，則方程的根的個數共有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【題型5】反比例函數中的平移問題【例題1】（2024·江蘇無錫·中考真題）在探究“反比例函數的圖象與性質”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發現兩點恰好都落在函數的圖象上，則的值為．【例題2】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，點，均落在坐標軸上且，點的坐標為，將向上平移得到，若點、恰好都在反比例函數的圖象上，則的值是．【鞏固練習1】（2024·廣東廣州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數的圖象上，點的坐標為，將菱形向右平移個單位，使點剛好落在反比例函數的圖象上，則的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】（2024·福建廈門·二模）如圖，將一塊等腰直角三角板放在平面直角坐標系中，點，直角頂點C?2,0，點在第二象限．將沿軸正方向平移后得到，點的對應點恰好落在雙曲線上，則平移的距離等于（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【鞏固練習3】（2024·四川達州·二模）如圖，已知，以線段為邊，在第一象限內作正方形，點C落在反比例函數的圖象上，將正方形沿x軸負方向平移d個單位長度，使點D恰好落在函數的圖象上的點處，d的值為．【題型6】比例端點模型【例題1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經過A、B兩點，連接、，過點B作軸，垂足為D，交于點E，且E為的中點，則的面積是（

）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【例題2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數的圖象與邊交于點D，與邊交于點F，與交于點E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（

）A． B． C． D．【例題3】（浙江衢州·統考中考真題）如圖，在中，邊AB在軸上，邊AC交軸于點E．反比例函數的圖象恰好經過點C，與邊BC交于點D．若，，，則$$=．【例題4】（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點A，B分別在x軸、y軸上，E為正方形對角線的交點，反比例函數的圖象經過點C，E．若正方形的面積為10，則k的值是．

【鞏固練習1】（2024·廣東珠海·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點分別在軸、軸上，對角線軸，反比例函數的圖象經過矩形對角線的交點．若點、，則反比例函數的解析式為．【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B均在函數的圖象上，軸于點D，交線段于點C．若點C為線段的中點，的面積為，則k的值為（

）A．2 B． C． D．4【鞏固練習3】如圖，在平面直角坐標系中，的邊在y軸上，邊與x軸交于點C，且，反比例函數（）的圖象經過點A，若，則．【鞏固練習3】如圖，點A在反比例函數的圖象上，點C在x軸正半軸上，直線交y軸于點B，若，的面積為3，則k的值為．【鞏固練習4】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象在第一象限內交于點、，與軸交于點．若的面積為7，則的值為．【鞏固練習5】如圖，在平面直角坐標系中，梯形OACB的頂點O是坐標原點，OA邊在y軸正半軸上，OB邊在x軸正半軸上，且OA∥BC，雙曲線y=（x＞0）經過AC邊的中點，若S梯形OACB=4，則雙曲線y=的k值為（）A．5 B．4 C．3 D．2【鞏固練習6】（廣東深圳·統考中考真題）如圖，雙曲線經過Rt△BOC斜邊上的點A，且滿足，與BC交于點D，S△BOD=21，求k=．【鞏固練習7】如圖，Rt△BOC的一條直角邊在x軸正半軸上，雙曲線過的斜邊的中點，與另一直角邊相交于點，若的面積是6，則k的值是．【鞏固練習8】如圖，雙曲線經過斜邊上的點，且滿足，與交于點，的面積為，則．【鞏固練習9】如圖，已知三角形的頂點在反比例函數位于第一象限的圖象上，頂點在軸的負半軸上，頂點在反比例函數位于第四象限的圖象上，邊與軸交于點，，邊與軸交于點，，若面積為，則．

【鞏固練習10】如圖，矩形的頂點，分別在軸、軸的正半軸上，它的對角線與函數的圖象相交于點，且，若矩形的面積為，則的值是．【鞏固練習11】如圖，Rt△BOC的一條直角邊在x軸正半軸上，雙曲線過的斜邊的中點，與另一直角邊相交于點，若的面積是6，則k的值是．【鞏固練習12】（2023·遼寧錦州·統考一模）如圖，矩形的頂點A，C分別在軸，軸的正半軸上，點在第一象限，反比例函數的圖象交矩形的對角線于點，分別交，于點E，F，連接，．若，，則．

【鞏固練習13】如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線交OB于點D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面積等于6，則k的值為．【題型7】反比例函數中的設而不求法【例題1】如圖，點A，B是函數圖象上兩點，過點A作軸，垂足為點C，交于點D．若的面積為3，點D為的中點，則k的值為．【例題2】（深圳市一模）如圖，A、B是函數y＝上兩點，P為一動點，作軸，軸．若，則S△ABP＝（）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6【例題3】（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形中，，反比例函數的圖象經過點A、B及的中點M，軸，AB與y軸交于點N．則的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】（湖北武漢·中考真題）如圖，點A在雙曲線y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸與點B，點C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點E在線段AC上，且AE＝3EC，點D為OB的中點，若△ADE的面積為3，則k的值為．【鞏固練習2】如圖，過原點的直線與反比例函數的圖象交于、兩點，點在第一象限，點在軸正半軸上，連接交反比例函數圖象于點，為的平分線，過點作的垂線，垂足為，連接，若，的面積為8，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【鞏固練習3】如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數的圖象經過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F，連接EF，AF．若點E為AC的中點，的面積為1，則k的值為（

）A． B． C．2 D．3【鞏固練習4】（2022·遼寧鞍山·真題）如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點．在中，，邊在軸上，點是邊上一點，且，反比例函數的圖象經過點交于點，連接．若，則的值為．【鞏固練習5】（2022·浙江溫州·統考一模）如圖，位于平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，點A及的中點D在反比例函數的圖象上，點C在反比例函數的圖象上，則k的值為．【鞏固練習6】（四川成都·九年級統考）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在函數的圖象上，頂點B在x軸正半軸上，邊，分別交的數，的圖象于點M，N．連接，若軸，則的面積為．【題型8】反比例函數與相似相似三角形結合【例題1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例題2】（2024·廣東深圳·二模）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，過點A的直線分別與x軸、y軸交于C，D兩點．當，時，則．【例題3】（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，，，點P在反比例函數圖象上，，且y軸平分，則．【例題4】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【鞏固練習1】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，過點作軸交軸于點，點為線段上的一點，且．反比例函數的圖象經過點交線段于點，則四邊形的面積是．【鞏固練習2】（江蘇宿遷·統考中考真題）如圖，點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸負半軸上，直線AB交y軸于點C，若＝，△AOB的面積為6，則k的值為．【鞏固練習3】（2024·廣東深圳·三模）如圖，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，的兩條外角平分線交于點P，點P在反比例函數的圖象上，延長交x軸于點C，延長交y軸于點D，連結，則點P坐標為，．【鞏固練習4】(深圳統考真題)如圖，已知點A在反比例函數上，作Rt△ABC，點D是斜邊AC的中點，連接DB并延長交y軸于點E，若△BCE的面積為7，則k的值為．【鞏固練習5】（徐州·統考真題）如圖，平面直角坐標系中，為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上．△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數的圖像上．PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD．若，則k的值為．【鞏固練習6】（2024·廣東深圳·三模）如圖，在中，，在軸上，平分，平分，與相交于點，且，，反比例函數的圖象經過點，則的值為．【鞏固練習7】如圖，已知雙曲線y＝（x＜0）和y＝（x＞0），與直線交于點A，將直線OA向下平移與雙曲線y＝，與y軸分別交于點，與雙曲線y＝交于點，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，則k的值為．【鞏固練習8】（2023·江蘇鹽城·統考中考）如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數的圖象上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接.若，的面積是，則的值為.

【鞏固練習9】（2023·江蘇泰州·一模）如圖，在中，，在軸上，平分，平分，與相交于點，且，，反比例函數的圖象經過點，則的值為．【鞏固練習10】諾貝爾物理學獎是有關于“復雜系統的理解”，我們可以用動力系統的方法來研究復雜系統．已知直線，雙曲線，點A1（1，－1），我們從A1點出發構造無窮點列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…構造規則為：若點An（xn，yn）在直線上，那么下一個點An＋1（xn＋1，yn＋1）就在雙曲線上，且xn＋1＝xn；若點An（xn，yn）在雙曲線上，那么下一個點An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直線上，且yn＋1＝yn，根據規則，點A3的坐標為．無限進行下去，無限接近的點的坐標．【鞏固練習11】（江蘇鎮江·中考）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點，與軸交于點．(1)_________，_________；(2)連接并延長，與反比例函數的圖像交于點，點在軸上，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標．【鞏固練習12】（2023·江蘇鎮江·中考）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．

(1)______，______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．【鞏固練習13】（2023·山東泰安·中考）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象分別交于點，點，與軸，軸分別交于點，點，作軸，垂足為點，．

（1）求反比例函數的表達式；（2）在第二象限內，當時，直接寫出的取值范圍；（3）點在軸負半軸上，連接，且，求點坐標．【鞏固練習14】（2023·四川成都·中考）如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點A，與反比例函數的圖象的一個交點為，過點B作AB的垂線l．

（1）求點A的坐標及反比例函數的表達式；（2）若點C在直線l上，且的面積為5，求點C的坐標；（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值．【題型9】反比例函數的找規律問題【例題1】（2024·四川達州·模擬預測）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點A，過點A作交x軸于點B，作交反比例函數圖象于點，過點作交x軸于點，再作交反比例函數圖象于點，依次進行下去，……，則點的縱坐標為【例題2】（2024·山東青島·中考真題）如圖，點為反比例函數圖象上的點，其橫坐標依次為．過點作x軸的垂線，垂足分別為點；過點作于點，過點作于點，…，過點作于點．記的面積為的面積為的面積為．(1)當時，點的坐標為______，______，______，______（用含n的代數式表示）；(2)當時，______（用含n的代數式表示）．【鞏固練習1】（2023·山東棗莊·統考中考真題）如圖，在反比例函數的圖象上有等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為，則．

【鞏固練習2】如圖，點加在x軸上，且，分別過點作y軸的平行線與反比例函數的圖象分別交于點，分別過點作x軸的平行線，分別于y軸交于點，連接，那么圖中從左到右第2022個陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【鞏固練習3】如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點，，，…均在反比例函數的圖象上，則的值為（

）A． B．900 C． D．【鞏固練習4】滑草是同學們喜歡的一項運動，滑道兩邊形如兩條雙曲線．如圖，點、、……在反比例函數的圖象上，點、、，一反比例函數的圖象上，……軸，已知點、……的橫坐標分別為1、2……，令四邊形、…的面積分別為、……，若，則k的值為．【鞏固練習5】如圖，已知等邊的頂點在雙曲線上，點的坐標為；在的右側作等邊，頂點在雙曲線上，點在軸上；在的右側作等邊，頂點在雙曲線上，點在軸上；…以此類推，點的橫坐標為．【鞏固練習6】如圖，線段端點、端點，曲線是雙曲線的一部分，點的橫坐標是．由點開始，不斷重復曲線“”，形成一組波浪線．已知點，均在該組波浪線上，分別過點、向軸作垂線段，垂足分別為和，則四邊形的面積為．【鞏固練習7】如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點A，過點A作交x軸于點B，作交反比例函數圖象于點，過點作交x軸于點，再作交反比例函數圖象于點，依次進行下去，……，則點的縱坐標為．

【題型10】矩形模型（平行，比例性質）【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊、分別在軸、軸的正半軸上，反比例函數與相交于點，與相交于點，若，且的面積是12，則的值為．

【例題2】如圖，已知雙曲線經過矩形邊的中點F，交于點E，且四邊形的面積為3，則．【鞏固練習1】（2023年黑龍江省綏化市中考）在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，平行于x軸，點B，C的橫坐標都是3，，點D在上，且其橫坐標為1，若反比例函數（）的圖像經過點B，D，則k的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【鞏固練習2】（2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考）如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數的圖象經過點，對角線的延長線經過原點，且，若矩形的面積是8，則的值為．

【鞏固練習3】（2023年浙江省紹興市中考）如圖，在平面直角坐標系中，函數（為大于0的常數，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是．【鞏固練習4】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸正半軸上，OA＝6，OC＝4，點P是BC邊上一個動點，過點P的反比例函數y＝EQ\F(k,x)圖象與AB邊交于點Q，若將△BPQ沿PQ折疊，點B的對應點D恰好落在對角線AC上，則k的值是___________．OOACxyBDPQ【答案】12【鞏固練習5】如圖，直線y＝－3x＋4與雙曲線y＝EQ\F(k,x)交于A、B兩點，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥y軸于D，連接CD，若四邊形ACDB的面積為10，則k的值為___________．xxyOABCD【鞏固練習6】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（8，4），反比例函數y＝EQ\F(k,x)的圖象分別與邊AB、BC交于點E、F，將△BEF沿EF翻折，點B恰好落在x軸上點D處，則△BEF的面積為___________．xxODABCEFy【鞏固練習7】如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，是邊上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點，將沿對折后，點恰好落在上的點處，則的值為．【鞏固練習8】如圖，矩形的頂點，分別在軸，軸正半軸上，反比例函數的圖象分別與矩形兩邊，交于點，，沿直線將翻折得到，且點恰好落在直線上．下列四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的有．（僅填代號即可）【題型11】等線段模型【例題1】（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，直線與軸交于點，與雙曲線在第一象限交于、兩點，且，則（

）

A． B． C． D．【例題2】（2024·浙江寧波·一模）如圖，直線與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點D是x軸負半軸上的一點，連結和，交y軸于點E，且，若，的面積為6，則k的值為．【鞏固練習1】如圖，已知函數的圖象與軸、軸分別交于點、，與雙曲線交于點、，若，則的值為．【鞏固練習2】（2023年遼寧省錦州市中考）如圖，在平面直角坐標系中，的邊在y軸上，點C在第一象限內，點B為的中點，反比例函數的圖象經過B，C兩點．若的面積是6，則k的值為．

【鞏固練習3】如圖，直線y＝2x與雙曲線y＝EQ\F(k,x)交于A、B兩點，AC⊥AB交雙曲線于點C，連接BC，則sin∠ABC的值是___________．OOxyABC【鞏固練習4】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝EQ\F(3,2)x與雙曲線y＝EQ\F(6,x)相交于A，B兩點，C是第一象限內雙曲線上一點，連接CA并延長交y軸于點P，連接BP，BC．若△PBC的面積是20，則點C的坐標為___________．OOxACPyB【鞏固練習5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝mx與雙曲線y＝EQ\F(k,x)（k＞0）相交于A、B兩點，直線y＝EQ\F(1,2)mx＋n經過點B，與雙曲線交于另一點C，若△ABC的面積為6，則k的值為___________．yyxOABC【鞏固練習6】如圖，直線l與反比例函數y＝EQ\F(k,x)的圖象在第二象限交于B，C兩點，與x軸交于點A，連接OC，∠ACO的角平分線交x軸于點D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面積為6，則k的值為_________．yylxODABC【鞏固練習7】如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝EQ\F(m,x)的圖象相交于A、B兩點，與x軸交于點C（－eq\r(,3)，0），連接BO并延長交反比例函數y＝EQ\F(m,x)的圖象于點D，若∠BAD＝120°，△ABD的面積為2eq\r(,3)，則點A的坐標為___________．xxOyDACB【鞏固練習8】（湖北隨州·中考）如圖，直線與雙曲線在第一象限內交于、兩點，與軸交于點，點為線段的中點，連接，若的面積為3，則的值為．【鞏固練習9】（貴州畢節·中考）如圖，直線與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，且，連接OA．已知的面積為12，則k的值為．【鞏固練習10】如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與雙曲線y＝（x＞0）交于C、D兩點，且∠AOC＝∠ADO，則k的值為．【鞏固練習11】（宿遷市中考數學真題）如圖，點A、B在反比例函數的圖像上，延長AB交軸于C點，若△AOC的面積是12，且點B是AC的中點，則=．【鞏固練習12】如圖，A，B是反比例函數(k≠0)圖象上的兩點，延長線段AB交y軸于點C，且B為線段AC的中點，過點A作AD⊥x軸于點D，E為線段OD的三等分點，且OE＜DE．連接AE，BE．若S△ABE＝7，則k的值為．【題型12】等角模型【例題1】如圖，直線y＝kx與反比例函數y＝EQ\F(m,x)的圖象交于A、B兩點，過點A作AD∥x軸，交y軸于點D，直線BD交反比例函數y＝EQ\F(m,x)的圖象于另一點C，則EQ\F(CA,CB)的值為___________．xxyOBCAD【例題2】如圖，直線y＝2x與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于A、B兩點，過點A作AC⊥AB交y軸于點C，連接BC并延長交雙曲線于點D，連接AD，則EQ\F(AD,BD)的值為__________．xxyOBACD【例題3】如圖，在平面直角坐標系中，□ABCD的頂點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上，頂點C、D在反比例函數y＝EQ\F(k,x)的圖象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面積為8，則點D的坐標為___________．xxOByACD【鞏固練習1】（湖北武漢·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB，A，B兩點的坐標分別是(-1，0)，(0，2)，C，D兩點在反比例函數的圖象上，則k的值等于．【鞏固練習2】如圖，在直角坐標系中，平行四邊形的頂點、在y軸、x軸上，另兩個頂點C、D在第一象限內，且；若反比例函數的圖象經過C，D兩點，則k的值是．【鞏固練習3】如圖，平行四邊形的頂點，的坐標分別是，，頂點，在雙曲線上，邊交軸于點，且四邊形的面積是面積的5倍，則．【題型13】反比例函數與與幾何綜合【例題1】（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，是矩形的頂點，點分別為邊上的點，將矩形沿直線折疊，使點B的對應點在邊的中點處，點C的對應點在反比例函數的圖象上，則【例題2】（2024·四川廣元·三模）在平面直角坐標系中，對于點，，若則稱點A和點B互為“等距點”.已知點M是以O為圓心，為半徑的圓上一點，若反比例函數圖象上存在點M的等距點N，則k的取值范圍是．【例題3】（2024·四川達州·一模）如圖，正方形與反比例函數在第一象限內的圖象交于P，Q兩點，上的點滿足．若的面積為，則實數的值為．【鞏固練習1】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結論有．（填寫所有正確結論的序號）【鞏固練習2】（2024·山東日照·模擬預測）如圖，點、是反比例函數圖象上的兩點，延長線段交軸于點，且點為線段的中點，過點作軸于點，點為線段的三等分點，且．連接、，若，則的值為；【鞏固練習3】（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點A、點B，將直線向下平移b個單位后雙曲線交于點C、點D，M是第二象限內一點，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

【鞏固練習4】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點A、C恰好落在雙曲線上，且點O在上，交x軸于點E．當平分時，正方形的面積為．【鞏固練習5】如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸負半軸上，邊與軸交于點，連接，軸，反比例函數的圖象經過點，及邊上一點，，若，則的值為．

【鞏固練習6】（2024·廣東深圳·三模）如圖，雙曲線與直線相交于兩點，C為y軸上一點，與雙曲線相交于點D，

若的面積為30，，則k的值為

【鞏固練習7】（浙江湖州·統考中考真題）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖像經過點C的反比例函數的解析式是，則圖像經過點D的反比例函數的解析式是．【鞏固練習8】（2023·山東·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數的圖象上．點的坐標為．連接．若，則的值為．

【鞏固練習9】（2023·四川內江·統考中考）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，垂直于x軸，以為對稱軸作的軸對稱圖形，對稱軸與線段相交于點F，點D的對應點B恰好落在反比例函數的圖象上，點O、E的對應點分別是點C、A．若點A為的中點，且，則k的值為．

【鞏固練習10】（2023·浙江寧波·統考中考）如圖，點A，B分別在函數圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C．點D，E在函數圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為，a的值為．

【鞏固練習11】（2023·陜西·統考中考）如圖，在矩形和正方形中，點A在y軸正半軸上，點C，F均在x軸正半軸上，點D在邊上，，．若點B，E在同一個反比例函數的圖象上，則這個反比例函數的表達式是．【鞏固練習12】（2023·遼寧鞍山·統考中考）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負半軸上，點A在第一象限，經過點A的反比例函數的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

2025屆中考復習專題：反比例函數常考二級結論與選填壓軸總覽總覽題型解讀【題型1】|k|模型 13【題型2】面積模型 20【題型3】垂直模型 30【題型4】反比例函數圖像性質與代數運算綜合 43【題型5】反比例函數中的平移問題 52【題型6】比例端點模型 58【題型7】反比例函數中的設而不求法 76【題型8】反比例函數與相似相似三角形結合 86【題型9】反比例函數的找規律問題 112【題型10】矩形模型（平行，比例性質） 124【題型11】等線段模型 134【題型12】等角模型 149【題型13】反比例函數與與幾何綜合 155【模型1】|k|模型結論1：S矩形＝|k|：結論2：S三角形＝|k|【模型2】四類面積模型類型一結論：證明：,,．類型二結論：①AO＝BO，AB關于原點對稱，②S△ABC＝4|k|類型三結論：①ABCD為平行四邊形，②S四邊形ABCD＝4S△AOB類型四結論：S四邊形ABOC＝k2－k1【模型3】垂直模型結論：證明：作BC⊥x軸，AD⊥x軸，則△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端點模型出現比例端點時可以考慮作垂線構造相似或設點坐標來轉化結論：證明：過點D作DE⊥x軸，，【模型5】矩形模型（平行性質和比例性質）一、比例性質如圖，A，B是反比例函數圖象上任意兩點，過A、B作x軸、y軸垂線段線段比（共線的線段之比為定值）證明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴證明二：∵結論：二、平行性質如圖1、圖2、圖3，點A、B是反比例函數圖象上的任意兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為點C，過點B作x軸的垂線，垂足為點D，連接AB、CD，則AB∥CD．yyODBxAC圖1yODAxBC圖2圖3OxABDCy下面以圖1為例來證明（圖2、圖3證法類似）：法一：面積法（等積變形）如圖，易知S△ACE＝S△ADE，因為兩個三角形同底等高，故ED∥CA由平行關系還可以得出其它性質：，(平行線分線段成比例)補充簡證證明一：由比例性質可知，，根據相似可知AB∥CD∥GF證明二：∴∴，同理可證CD∥GF方法二：連接OA、OB，延長CA、DB交于點EyyODBxEAC則OC＝DE，OD＝CE由k的幾何意義可知S△AOC＝S△BOD，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延長CA、DB交于點EyyODBxEAC設則又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD補充拓展：矩形模型中的翻折如圖，矩形OABC頂點A，C分別位于x軸，y軸正半軸，反比例函數在第一象限圖象交矩形OABC兩邊于D，E點，將△BED沿ED翻折，若B點剛好落在x軸上的點F處，則EO＝EF【模型6】等線段模型如圖1、圖2，點A、B是反比例函數圖象上的任意兩點，直線AB交y軸于點C，交x軸于點D，則AC＝BD．xxyBACDO圖1xyBACDO圖2證明：作AE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F由平行性質可知AB∥EF∴四邊形CEFB和四邊形AEFD均為平行四邊形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型7】等角模型模型一：如圖，點A、B是反比例函數圖象上的任意兩點，直線OB交反比例函數的圖象于另一點C，直線AC交x軸于點D，交y軸于點E，直線AB交x軸于點F，交y軸于點G，則∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG證明：作CN∥x軸，AN∥y軸，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG則∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM設A（a，），B（b，），則C（－b，－）∴CN＝a＋b，AN＝＋，BM＝b－a，AM＝－，∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如圖，平行四邊形ABCD頂點A，B位于反比例函數在第一象限的圖象上，C，D分別位于x軸正半軸和y軸正半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F.取AB中點G，連GO交DC于H.由反比例函數圖象基本結論知，G也是EF中點。∴∠6＝∠5＝∠2，∴H為DC中點，∴GO∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進而可知∠3＝∠7＝∠4證明2：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F。過C點作y軸平行線，交AB于I，構平行四邊形EDCI∴EI＝DC＝AB，即EA＝IB，又由基本結論知EA＝BF∴IB＝BF，∴∠2＝∠5＝∠1，同理可證∠3＝∠4模型三：如圖，平行四邊形ABCD頂點A，B位于反比例函數在第一象限的圖象上，C，D分別位于y軸負半軸和x軸負半軸上，則必然有∠1＝∠2，∠3＝∠4證明1：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F。取AB中點G，連GO并延長交DC于H。由反比例函數圖象基本結論知，G也是EF中點。∴∠1＝∠5＝∠7＝∠6，∴H為DC中點，∴GH∥BC∴∠1＝∠6＝∠2，進而可推∠3＝∠4證明2：延長直線AB，分別交y軸、x軸于E，F。過C作x軸垂線，交直線AB于I，構平行四邊形DCIF∴FI＝DC＝AB，又由基本結論知AE＝BF，∴BE＝BI∴∠1＝∠5＝∠2，進而可推∠3＝∠4【反比例函數中的其它八類模型】反比例函數圖象其他幾何結論一:如圖,A、B反比例函數y=k1x第一象限圖象上任意兩點.射線OA、OB分別交反比例函數y=k2x圖象于C反比例函數圖象其他幾何結論二:如圖,A為反比例函數y=k1x第一象限圖象上任意一點過A做x軸垂線和y軸垂線,兩線交反比例函數y=k2x圖象于B、C反比例函數圖象其他幾何結論三:如圖,A、B是反比例函數y=kx第一象限圖象上兩點,并滿足OA 反比例函數圖象其他幾何結論四:如圖,A是反比例函數y=kx第一象限圖象上任意一點,連OA,過A作x軸(或y軸)垂線段垂足B,過B作OA平行線交第一象限雙曲線于C,則反比例函數圖象其他幾何結論五:如圖,A是反比例函數y=kx第一象限圖象上任意一點,連OA,以A為圓心,AO為半徑畫圓交x軸(或y軸)于B則直線AB 反比例函數圖象其他幾何結論六:等腰△OAB中AO=AB,B在x軸正半軸上.反比例函數y=kx圖象分別交AO、AB 反比例函數圖象其他幾何結論七:條件同結論七,延長CO至E使OE=OC,則反比例函數圖象其他幾何結論八:A為反比例函數y=k1x第一象限圖象上任意一點,連OA以A為圓心,AO為半徑畫圓,交x軸(或y軸)于D線段AD交反比例函數y=k2xk2<k1題型題型匯編知識梳理與常考題型【題型1】|k|模型【例題1】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，點A在反比例函數上，過點A作軸，交y軸于點C，交反比例函數于點B．若，則k的值為（

）A．6 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查反比例函數值的幾何意義，連接，易得，根據同高三角形的面積比等底邊比，求出的面積，即可得出k的值．【詳解】解：連接，∵軸，∴軸，∵點A在反比例函數上，點B在反比例函數上，∴，∵，∴，∴，∴【例題2】如圖是反比例函數和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條曲線于兩點，若，則的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【詳解】解：如圖是反比例函數和在第一象限的圖象，∵直線軸，設點B（a，b），點A為（m，n），∴，，∵，∴，∴【例題3】（2024·安徽安慶·三模）已知反比例與的圖像如圖所示，為x軸正半軸上一動點，過點作軸，分別交反比例函數與的圖像于點，，點，（點在點的上方）在軸上，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數系數的幾何意義，理解反比例函數系數的幾何意義是解題的關鍵．利用反比例函數系數k的幾何意義可得，，再根據同底等高的三角形面積相等，得到，由平行四邊形的面積公式進而求出答案【詳解】解：連接、、，軸，，四邊形為平行四邊形，，軸，，由反比例函數系數的幾何意義得，，，，【鞏固練習1】如圖，過軸正半軸上的任意一點，作軸的平行線，分別與反比例函數和的圖象交于點和點，點是軸上的任意一點，連接、，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵△AOB與△ACB同底等高，∴S△AOB=S△ACB，∵AB∥x軸，∴AB⊥y軸，∵A、B分別在反比例函數y=-（x＜0）和y=（x＞0）的圖象上，∴S△AOP=3，S△BOP=1，∴S△ABC=S△AOB=S△AOP+S△BOP=3+1=4【鞏固練習2】（2023年遼寧省丹東市中考）如圖，點A是反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則．【答案】【詳解】解：如圖，連結、，

∵軸，∴．∴．∵，∵，∴，∵圖象位于第一象限，則，∴．【鞏固練習3】（2022年湖南省郴州市中考）如圖，在函數的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【詳解】解：如圖，作AD⊥x軸，BC⊥x軸，∵，∴∵∴【鞏固練習4】如圖，直線與反比例函數、的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上任意一點，的面積為3，則k的值為．【答案】5【詳解】解：由題意得，點C的坐標（t，），點B的坐標（t，），∴，∵的面積為3，∴，解得【鞏固練習5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考）如圖，點A在反比例函數圖像的一支上，點B在反比例函數圖像的一支上，點C，D在x軸上，若四邊形是面積為9的正方形，則實數k的值為．

【答案】【詳解】解：如圖：

∵點A在反比例函數圖像的一支上，點B在反比例函數圖像的一支上，∴∵四邊形是面積為9的正方形，∴，即，解得：【題型2】面積模型【例題1】（2024·山東聊城·二模）如圖，點A，B在雙曲線第一象限的分支上，若A，B的縱坐標分別是4和2，連接OA，OB，的面積是6，則k的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，設與的交點為F，根據反比例函數性質，得到，用k表示梯形的面積計算即可．本題考查了反比例函數的性質，梯形的面積公式，等積變形，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】解：過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，設與的交點為F，根據題意，得，∴，∴，∴，∴，∵A，B的縱坐標分別是4和2，∴，，∵的面積是6，則k的值是∴，解得，故選B．【例題2】（2025·廣西·模擬預測）如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形的頂點在軸上，若點，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數k值的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質，延長交y軸于點，根據平行四邊形面積可求出，繼而可得點A坐標，根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出k值即可．【詳解】解：如圖，延長交y軸于點，∵，∴，∵是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點A在反比例函數圖象上，∴．【例題3】（山東省日照市中考）如圖，矩形OABC與反比例函數（k1是非零常數，x>0）的圖象交于點M，N，與反比例函數（k2是非零常數，x>0）的圖象交于點B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．【答案】B【詳解】解：∵點M、N均是反比例函數（k1是非零常數，x>0）的圖象上，∴，∵矩形OABC的頂點B在反比例函數（k2是非零常數，x>0）的圖象上，∴S矩形OABC=k2，∴S四邊形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3【鞏固練習1】如圖，反比例函數在第一象限的圖象上有兩點A，B，它們的橫坐標分別是2，6，則△AOB的面積是．【答案】8【詳解】解：根據題意可得A(2，3)，B(6，1)，過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥x軸，則AC=3，BD=1，OC=2，OD=6，DC=4∴=2×3÷2+(3+1)×4÷2－6×1÷2=3+8－3=8【鞏固練習2】（2024·江蘇南京·三模）如圖，點是反比例函數的圖象上任意一點，過點作軸，垂足為，線段交反比例函數的圖象于點，若的面積等于1，則的值等于．【答案】【分析】本題考查了反比例函數k的幾何意義，反比例函數的圖象，熟練知識點是解題的關鍵．可求，根據反比例函數k的幾何意義得到，則．【詳解】解：∵，∴∵，∴，根據反比例函數k的幾何意義得到，而反比例函數的圖象經過第二象限，∴【鞏固練習3】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，兩個反比例函數和(其中)在第一象限內的圖象依次是和，設點P在上，軸于點C，交于點A，軸于點D，交于點B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】主要考查了反比例函數主要考查了反比例函數中的幾何意義，四邊形的面積為矩形的面積減去三角形與三角形的面積，根據反比例函數中的幾何意義，其面積為．【詳解】解：根據題意可得四邊形的面積，由反比例函數中的幾何意義，可知其面積為．【鞏固練習4】（廣西·統考中考）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】設，則，，∵點A在的圖象上則，同理∵B，D兩點在的圖象上，則故，又∵，即，故，∴【鞏固練習5】（2023湖北黃石市中考）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為；若的面積為，則．

【答案】2【思路點撥】根據，得出，根據三角形面積公式，即可求出的面積；過點B作軸于點D，交于點E，根據，，得出，進而得出，根據梯形面積公式，列出方程，化簡得，令，則，求出x的值，根據，得出，即，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，過點B作軸于點D，交于點E，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，則，解得：（舍），，∵，∴，即，∴，故答案為：，2．

【鞏固練習6】兩個反比例函數和在第一象限內的圖象如圖所示，點P在的圖象上，軸于點C，交的圖象于點A，軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會發生變化；③與始終相等；④當點是的中點時，點一定是的中點．其中，正確的結論有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：∵點均在反比例函數的圖象上，且軸，軸，∴，，∴，結論①正確；∵點在反比例函數的圖象上，且軸，軸，∴，∴，即四邊形的面積不會發生變化，結論②正確；設點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，，，與的關系無法確定，結論③錯誤；如圖，連接，點是的中點，，，，，即，，∴點一定是的中點，結論④正確；綜上，正確的結論有3個【鞏固練習7】（2023年湖南省湘西中考）如圖，點A在函數的圖象上，點B在函數的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：延長交軸于點，

∵軸，∴軸，∵點A在函數的圖象上，∴，∵軸于點C，軸，點B在函數的圖象上，∴，∴四邊形的面積等于【鞏固練習8】（江蘇省南京市中考）如圖，正比例函數與函數的圖像交于A，B兩點，軸，軸，則．【答案】12【詳解】解：設A（t，）,∵正比例函數與函數的圖像交于A，B兩點，∴B（-t，-）,∵軸，軸，∴C（t，-）,∴【題型3】垂直模型 【例題1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，三角形相似的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負值舍去）【例題2】（2024·福建莆田·一模）如圖，在矩形中，點是坐標原點，點A在反比例的圖象上，點在反比例函數，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查矩形的性質、銳角三角函數、勾股定理、相似三角形的判定和性質、反比例函數k的幾何意義等知識點，熟練掌握反比例函數k的幾何意義是解題的關鍵．過A、B作軸于E，軸于F，利用三角函數、勾股定理解可得，結合矩形的性質可得，再證，推出，根據反比例函數k的幾何意義可得即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，如圖：過A、B作軸于E，軸于F，∵且，∴，∴，∴，,解得：，∵反比例函數在第二象限，∴，∴．【鞏固練習1】已知點A，B分別在反比例函數（x＞0），（x＞0）的圖象上且OA⊥OB，則tanB為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設點的坐標為，，點的坐標為，，設線段所在的直線的解析式為：，線段所在的直線的解析式為：，則，，，整理得：，【鞏固練習2】如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A，B的坐標分別是0,3，．，，則函數的圖像經過點C，則k的值為．【答案】4【分析】本題考查了反比例函數的性質和等腰直角三角形，解題關鍵是恰當構建直角三角形，利用等腰直角三角形求出點C坐標；作于點D，利用等腰直角三角形求出點C坐標，再求出k的值即可．【詳解】解：作于點D，∵點A，B的坐標分別是0,3，∴，∵，∴，∴設，則點C坐標為，∴，∵，∴，解得，或（舍去），點C坐標為，∴k的值為4，故答案為：4．【鞏固練習3】如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉．若∠BOA的兩邊分別與函數、的圖象交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為（

）A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時大時小 D．保持不變【答案】D【詳解】解：分別過B和A作BE⊥x軸于點E，AF⊥x軸于點F，則△BEO∽△OFA，∴，設點B為（a，），A為（b，），則OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根據勾股定理可得：OB=，OA=，∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一個定值，因此∠OAB的大小保持不變．故選：D【鞏固練習4】如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y＝的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數y＝的圖象上，且OA⊥OB，cosA＝，則k的值為（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18【答案】D【詳解】解：過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M，∵cosA＝，∴，設，，，∴，∵OA⊥OB，∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，∴∠MBO＝∠AON，∴△MBO∽△NOA，∴，設A（x，），ON＝x，AN＝，∴OM＝，BM＝3x，即B的坐標是（﹣，3x），把B的坐標代入反比例函數y＝得，，解得，k＝﹣18，故選：D．【鞏固練習5】如圖，已知A是雙曲線上一點，過點A作軸，交雙曲線于點B，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：點在雙曲線上一點，設，，軸，在雙曲線上，設，，，，，，，，，【鞏固練習6】（2023·福建·統考中考）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（）

A． B． C． D．3【答案】A【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對角線，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，點在上，

∵，，∴．∴．∴．∵點在第二象限，∴【鞏固練習7】（2023·四川達州·中考）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，以為邊作等邊三角形，若反比例函數的圖象過點，則的值為．

【答案】【詳解】如圖所示，過點A作軸交x軸于點D，過點C作軸于點E，連接，

∵一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，∴聯立，即，∴解得，∴，，∴，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得，，∴點C的坐標為【鞏固練習8】如圖，點A是雙曲線y＝上的動點，連結AO并延長交雙曲線于點B，將線段AB繞B順時針旋轉60°得到線段BC，點C在雙曲線y＝上的運動，則k＝．

【答案】﹣9．【詳解】解：∵雙曲線y＝關于原點對稱，∴點A與點B關于原點對稱．∴OA＝OB．連接OC，AC，如圖所示．∵將線段AB繞B順時針旋轉60°得到線段BC，∴△ABC是等邊三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，∴tan∠OAC＝＝，∴OC＝OA．過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，∴△AEO∽△OFC．∴．∵OC＝OA，∴OF＝AE，FC＝EO．設點A坐標為（a，b），∵點A在第一象限，∴AE＝a，OE＝b．∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．∵點A在雙曲線y＝上，∴ab＝3．∴FC?OF＝b?a＝3ab＝9，設點C坐標為（x，y），∵點C在第四象限，∴FC＝x，OF＝﹣y．∴FC?OF＝x?（﹣y）＝﹣xy＝9．∴xy＝﹣9．∵點C在雙曲線y＝上，∴k＝xy＝﹣9【鞏固練習9】如圖，點A是雙曲線在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一個分支于點B，以AB為底作等腰且，點C在第一象限，隨著點A的運動，點C始終在雙曲線上運動，則．【答案】【詳解】解：如圖所示，連接，過點作軸于點，過點作軸于點，點C在第一象限，隨著點A的運動，點C始終在雙曲線上運動，連接并延長交另一分支于點，以為底作等腰，且，，，則，，，又，，，，點是雙曲線在第二象限分支上的一個動點，，，即，【鞏固練習10】如圖，的頂點與坐標原點重合，，，當點在反比例函數的圖象上移動時，點坐標