第33頁（共33頁）2025年高考數學復習新題速遞之相等關系與不等關系（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?潮陽區校級模擬）設集合P＝{x|log2x＜2}，Q＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，那么P∩Q＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．（2025?臨汾二模）若3≤a≤5，﹣2≤b≤1，則2a﹣b的范圍是（）A．[8，9] B．[4，8] C．[5，8] D．[5，12]3．（2025?昌黎縣校級模擬）若集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N={x|xxA．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}4．（2025?金鳳區校級一模）已知x＞1，則y＝x+4x-A．3 B．2 C．4 D．55．（2025?洮北區校級一模）若a＞1，則4aA．4 B．6 C．8 D．無最小值6．（2025?玉溪二模）已知x＞0，x2﹣2xy+z2＝0，x＞0，x2﹣2xy+z2＝0，x2＜yz，則（）A．y＞z＞x B．x＞y＞z C．y＞x＞z D．z＞x＞y7．（2025春?西安校級月考）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|3x﹣1＞0}，則A∪B＝（）A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，2）8．（2025?開封二模）設a，b∈R，則a＜b的一個充分不必要條件是（）A．1a＞1b B．a2+b2＞2ab C．eb﹣a＞1 D．ln（b二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?山西模擬）設a＞b，c＜d，則（）A．a﹣c＞b﹣d B．ad＞bc C．ad+bc＞ac+bd D．a2+d2＞b2+c2（多選）10．（2025?重慶校級模擬）已知x，y均為正數，且x+4y＝xy，則下列選項正確的有（）A．xy≥16 B．4x+y≥25 C．1x-4+1y-1（多選）11．（2024秋?海南校級期末）下列說法錯誤的是（）A．函數f（x+1）的定義域為[﹣2，2），則函數f（x）的定義域為[﹣1，3） B．函數y=x2C．f(x)=x2x和gD．y=cos(3（多選）12．（2024秋?駐馬店期末）已知曲線y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）過定點Q，且Q的坐標滿足方程mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0），則（）A．mn的最大值為18B．m2+4n2的最小值為14C．1m+mD．12m三．填空題（共4小題）13．（2025?臨潼區二模）若點A（2，1）在直線l：mx+ny＝1上，且mn＞0，則1m+2n的最小值為14．（2025?浦東新區模擬）已知x∈R，不等式x-2x＜0的解為15．（2025春?海淀區校級月考）能說明“若a+b＞2，則lga+lgb＞0”是假命題的一組正實數a，b的值是．16．（2025?吳忠模擬）不等式log2（﹣x）＜x+1的解集為．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?南寧期末）（1）比較3x2﹣x+1與2x2+x﹣1的大小；（2）已知x＞3，求y=x+18．（2025?崆峒區校級開學）已知集合A={x|4x-1≤-1}，B＝{x|（x﹣a）[（a+1））]（1）當a＝0時，求A∩B；（2）若x∈A成立的一個充分不必要的條件是x∈B，求實數m的取值范圍．19．（2024秋?保定期末）已知集合A={x|x+2x-6≤0}，B＝（1）求A∩B和?R（A∪B）；（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x≤3﹣a}，且A∩C＝C，求實數a的取值范圍．20．（2024秋?朝陽校級期末）已知x＞2，y＞0，xy＝y+4．（1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值；（2）求x+

2025年高考數學復習新題速遞之相等關系與不等關系（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDBACACD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACABCCDACD一．選擇題（共8小題）1．（2025?潮陽區校級模擬）設集合P＝{x|log2x＜2}，Q＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，那么P∩Q＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考點】指、對數不等式的解法；求集合的交集．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】B【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用交集的定義求解．【解答】解：Q＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，P＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，所以P∩Q＝{x|0＜x＜3}．故選：B．【點評】本題主要考查交集的運算，屬于基礎題．2．（2025?臨汾二模）若3≤a≤5，﹣2≤b≤1，則2a﹣b的范圍是（）A．[8，9] B．[4，8] C．[5，8] D．[5，12]【考點】等式與不等式的性質．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據不等式的性質即可求解．【解答】解：由題意可知，6≤2a≤10，﹣1≤﹣b≤2，故由不等式可加性可知，5≤2a﹣b≤12．故選：D．【點評】本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題．3．（2025?昌黎縣校級模擬）若集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N={x|xxA．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}【考點】分式不等式；求集合的交集．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】B【分析】求得集合N，利用交集的意義可得M∩N．【解答】解：因為M＝{x|﹣1＜x＜1}，N={所以M∩N＝{x|0≤x＜1}．故選：B．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．4．（2025?金鳳區校級一模）已知x＞1，則y＝x+4x-A．3 B．2 C．4 D．5【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】A【分析】由已知結合基本不等式的應用條件即可求解．【解答】解：因為x＞1，則y＝x+4x-1=x﹣1當且僅當x﹣1=4x-1，即故選：A．【點評】本題主要考查了基本不等式應用條件的檢驗，屬于基礎題．5．（2025?洮北區校級一模）若a＞1，則4aA．4 B．6 C．8 D．無最小值【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】由a＞1可得a﹣1＞0，所以4a+1a-1=4（a﹣【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0，∴4a+1a-1=4（a﹣1）+1當且僅當4（a﹣1）=1a-1即4a+1故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．6．（2025?玉溪二模）已知x＞0，x2﹣2xy+z2＝0，x＞0，x2﹣2xy+z2＝0，x2＜yz，則（）A．y＞z＞x B．x＞y＞z C．y＞x＞z D．z＞x＞y【考點】等式與不等式的性質．【專題】轉化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】A【分析】易得x2+z2≥2xz，再結合已知可得y＞z，由x2﹣2xy+z2＝0，得x2﹣2xy+y2＝y2﹣z2，即可比較x，y，利用作差法即可比較x，z，即可得解．【解答】解：由x2﹣2xy+z2＝0，得x2+z2＝2xy，∵x2+z2≥2xz，當且僅當x＝z時取等號，∴2xy≥2xz，且x＞0，∴y≥z，當y＝z時，y＝x＝z，此時x2＝yz，與x2＜yz矛盾，∴y＞z，由x2﹣2xy+z2＝0，得x2﹣2xy+y2＝y2﹣z2，∴（y+z）（y﹣z）＝（x﹣y）2≥0，當且僅當x＝y＝z時取等號，由Ay＞z知，等號取不到，∴（y+z）（y﹣z）＝（x﹣y）2＞0，由y＞z，可得y+z＞0，∵yz＞x2＞0，所以y＞z＞0，∴y2＞yz，∵x＞0，x2﹣2xy+z2＝0，x2＜yz，∴y2＞x2，∴y＞x，由x2﹣2xy+z2＝0，得z2＝2xy﹣x2，則x2﹣z2＝2x2﹣2xy＝2x（x﹣y），∵x＞0，y＞x，∴x2﹣z2＝（x+z）（x﹣z）＝2x（x﹣y）＜0，又x＞0，z＞0，∴x﹣z＜0，∴x＜z，綜上所述，y＞z＞x．故選：A．【點評】本題考查了不等式a2+b2≥2ab，不等式的性質，是難題．7．（2025春?西安校級月考）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|3x﹣1＞0}，則A∪B＝（）A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，2）【考點】指、對數不等式的解法；求集合的并集．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】C【分析】由一元二次不等式解出集合A，由指數函數的運算解出集合B，再求并集．【解答】解：B＝{x|3x﹣1＞0}＝{x|x＞0}，A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝（﹣1，+∞）．故選：C．【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．8．（2025?開封二模）設a，b∈R，則a＜b的一個充分不必要條件是（）A．1a＞1b B．a2+b2＞2ab C．eb﹣a＞1 D．ln（b【考點】等式與不等式的性質；充分不必要條件的判斷．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；不等式；運算求解．【答案】D【分析】利用充分性和必要性的定義逐項判斷即可．【解答】解：對于A，當a＝1，b＝﹣1時，滿足1a＞1b，但是不符合a＜對于B，a2+b2＞2ab，即（a﹣b）2＞0，即a≠b，所以a2+b2＞2ab是a＜b的必要不充分條件，故B錯誤；對于C，eb﹣a＞1＝e0，即b＞a，故eb﹣a＞1是a＜b的充要條件，故C錯誤；對于D，ln（b﹣a）＞0，即b﹣a＞1，b＞a+1，故ln（b﹣a）＞0是a＜b的一個充分不必要條件，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?山西模擬）設a＞b，c＜d，則（）A．a﹣c＞b﹣d B．ad＞bc C．ad+bc＞ac+bd D．a2+d2＞b2+c2【考點】不等式的綜合；等式與不等式的性質．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】AC【分析】根據題意，由作差法分析A、C，舉出反例可得B、D錯誤，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，由于a＞b，c＜d，則a﹣b＞0，d﹣c＞0，依次分析選項：對于A，（a﹣c）﹣（b﹣d）＝（a﹣b）+（d﹣c）＞0，則有a﹣c＞b﹣d，A正確；對于B，當a＝0，b＝﹣1，d＝﹣1，c＝﹣2時，ad＜bc，B錯誤；對于C，（ad+bc）﹣（ac+bd）＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）＝（a﹣b）（d﹣c）＞0，則ad+bc＞ac+bd，C正確；對于D，當a＝1，b＝﹣2，d＝1，c＝﹣2時，a2+d2＜b2+c2，D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查不等式性質的應用，涉及作差法的應用，屬于基礎題．（多選）10．（2025?重慶校級模擬）已知x，y均為正數，且x+4y＝xy，則下列選項正確的有（）A．xy≥16 B．4x+y≥25 C．1x-4+1y-1【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】ABC【分析】利用基本不等式逐項判斷可得答案．【解答】解：對于A，因為x，y均為正數，且x+4y＝xy，可得xy≥2x?4y，解得xy當且僅當x＝4y即x＝8，y＝2時等號成立，故A正確；對于B，由x+4y＝xy可得y=xx-4＞0所以4x+y＝4x+4x-4+1＝4（x﹣4）+4x-4+當且僅當4(x-4)=4x-4對于C，由x+4y＝xy得xy﹣x﹣4y+4＝4，即（x﹣4）（y﹣1）＝4，可得14（x﹣4）（y﹣1）＝1由于x＞4，所以x﹣4＞0，y﹣1＞0，所以1x-4+1y-1=（1x-=14（2+y-1x-4當且僅當y-1x-4=x-4y-對于D，x+y＝x+4x-4+1＝（x﹣4）+4x-當且僅當x-4=4x-4即故選：ABC．【點評】本題考查基本不等式的性質的應用及基本不等式形式的化簡，屬于基礎題．（多選）11．（2024秋?海南校級期末）下列說法錯誤的是（）A．函數f（x+1）的定義域為[﹣2，2），則函數f（x）的定義域為[﹣1，3） B．函數y=x2C．f(x)=x2x和gD．y=cos(3【考點】運用基本不等式求最值；判斷兩個函數是否為同一函數；抽象函數的定義域．【專題】整體思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】CD【分析】根據抽象函數定義域計算判定A，換元應用基本不等式判斷B，根據函數定義域判定同一函數判斷C，應用誘導公式計算化簡得出奇函數及周期判斷D．【解答】解：A、由f（x+1）的定義域為[﹣2，2），得x+1∈[﹣1，3），則f（x）的定義域為[﹣1，3），故A正確；B、因為x＞﹣1，則y=當且僅當x+1=1x+1，即x＝C、f（x）的定義域為{x|x≠0}，g（x）的定義域為R，不是同一個函數，故C錯誤；D、y=cos(3π2-x)=-sinx故選：CD．【點評】本題主要考查了函數定義域的求解，函數最值的求解，同一函數的判斷，屬于基礎題．（多選）12．（2024秋?駐馬店期末）已知曲線y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）過定點Q，且Q的坐標滿足方程mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0），則（）A．mn的最大值為18B．m2+4n2的最小值為14C．1m+mD．12m【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；函數的性質及應用；不等式；運算求解．【答案】ACD【分析】A選項，先由指數函數特征求出Q（1，2），故m+2n＝1，由基本不等式求出積的最大值；B選項，m＝1﹣2n＞0，解得0＜n＜12，變形得到m2+4n2=8(n-14)2+1【解答】解：由題意可得，Q（1，2），則m+2n＝1，m＞0，n＞0，A選項，由基本不等式得m+2n≥22當且僅當m＝2n，即m=12B選項，m+2n＝1，故m＝1﹣2n＞0，解得0＜則m2故當n=14時，m2+4n2取得最小值，最小值為1C選項，1m所以1m當且僅當2nm=故1m+mn的最小值為D選項，1≥1當且僅當n+1m=4m故選：ACD．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?臨潼區二模）若點A（2，1）在直線l：mx+ny＝1上，且mn＞0，則1m+2n的最小值為【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】8．【分析】由已知可得2m+n＝1，m＞0，n＞0，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：若點A（2，1）在直線l：mx+ny＝1上，且mn＞0，則2m+n＝1，m＞0，n＞0，1m+2n=（1m+2n）（2m+n）＝4+nm+4故答案為：8．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．14．（2025?浦東新區模擬）已知x∈R，不等式x-2x＜0的解為（0【考點】分式不等式．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（0，2）．【分析】根據已知條件，結合分式不等式的解法，即可求解．【解答】解：不等式x-2x＜0故答案為：（0，2）．【點評】本題主要考查分式不等式的解法，屬于基礎題．15．（2025春?海淀區校級月考）能說明“若a+b＞2，則lga+lgb＞0”是假命題的一組正實數a，b的值是a＝10，b=1100（答案不唯一）【考點】運用基本不等式比較大小．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】a＝10，b=1100（答案【分析】根據已知條件，舉出反例，即可求解．【解答】解：令a＝10，b=1100，滿足a+b＞2，但lga+lgb＝1﹣2＜故答案為：a＝10，b=1100（答案【點評】本題主要考查不等式的性質，是基礎題．16．（2025?吳忠模擬）不等式log2（﹣x）＜x+1的解集為（﹣1，0）．【考點】指、對數不等式的解法．【專題】作圖題；轉化思想；數形結合法；不等式的解法及應用．【答案】見試題解答內容【分析】由題意畫出圖形，由圖形求得不等式log2（﹣x）＜x+1的解集．【解答】解：由﹣x＞0，得x＜0，作出函數y＝log2（﹣x）與函數y＝x+1的圖象如圖：由圖可知，不等式log2（﹣x）＜x+1的解集為（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．【點評】本題考查對數不等式的解法，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?南寧期末）（1）比較3x2﹣x+1與2x2+x﹣1的大小；（2）已知x＞3，求y=x+【考點】運用基本不等式求最值；不等式比較大小．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】（1）3x2﹣x+1＞2x2+x﹣1；（2）7，x＝5．【分析】（1）由已知利用比較法即可比較大小；（2）由已知結合基本不等式即可求解．【解答】解：（1）3x2﹣x+1﹣2x2﹣x+1＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，所以3x2﹣x+1＞2x2+x﹣1；（2）x＞3，y=x+4x-3=x﹣當且僅當x﹣3=4x-3，即x＝【點評】本題主要考查了比較法的應用，還考查了基本不等式求解最值，屬于基礎題．18．（2025?崆峒區校級開學）已知集合A={x|4x-1≤-1}，B＝{x|（x﹣a）[（a+1））]（1）當a＝0時，求A∩B；（2）若x∈A成立的一個充分不必要的條件是x∈B，求實數m的取值范圍．【考點】分式不等式；解一元二次不等式；充分不必要條件的應用．【專題】整體思想；綜合法；集合；簡易邏輯；運算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|0≤x＜1}．（2）[﹣3，0）．【分析】（1）求出集合A，B，然后結合集合的交集運算即可求解；（2）結合充分必要條件與集合包含關系的轉化即可求解．【解答】解：（1）由集合A={x|4x-1≤-1}={xB＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}，當a＝0時，B＝{x|0≤x≤1}，A∩B＝{x|0≤x＜1}．（2）若x∈A成立的一個充分不必要條件是x∈B，等價于B?A但A?B，即B?A，可知a≥-3a+1＜1，得﹣故a的范圍為[﹣3，0）．【點評】本題主要考查了集合的基本運算及集合包含關系的應用，屬于基礎題．19．（2024秋?保定期末）已知集合A={x|x+2x-6≤0}，B＝（1）求A∩B和?R（A∪B）；（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x≤3﹣a}，且A∩C＝C，求實數a的取值范圍．【考點】分式不等式；集合的包含關系的應用；集合的交并補混合運算．【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x＜6}，?R（A∪B）＝{x|x＜﹣2}．（2）{a|a≥﹣1}．【分析】（1）先求出集合A，B，然后結合集合的基本運算即可分別求解；（2）A∩C＝C可得C?A，然后結合集合的包含關系即可求解．【解答】解：A={x|x+2x-6≤0}={x|﹣2≤x＜6}，B＝{x|2x﹣1≥（1）A∩B＝{x|3≤x＜6}，A∪B＝{x|x≥﹣2}，?R（A∪B）＝{x|x＜﹣2}．（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x≤3﹣a}，且A∩C＝C，則C?A，當C＝?時，a﹣1≥3﹣a，即a≥2，符合題意；當C≠?時，a＜2a-1≥-23-a故實數a的取值范圍為{a|a≥﹣1}．【點評】本題主要考查了集合的基本運算及集合包含關系的應用，屬于基礎題．20．（2024秋?朝陽校級期末）已知x＞2，y＞0，xy＝y+4．（1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值；（2）求x+【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】（1）x+y的最小值為5，（x﹣1）2+y2的最小值為8；（2）5．【分析】（1）依題意可得x=1+（2）結合（1）可得x+【解答】解：（1）因為x＞2，y＞0，xy＝y+4，所以x=1+4y＞2，解得0＜所以x+y=1+4y+y≥1+24y?所以x+y的最小值為5；又(x-1)2+y2=16y2所以（x﹣1）2+y2的最小值為8．（2）因為x=1+4y，x＞2且0＜y所以x=1+1+4-當且僅當4-yy=y4-y，即y＝所以x+44-【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題．

考點卡片1．集合的包含關系的應用【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系．4．有時借助數軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數形結合等方法．【命題方向】設m為實數，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當m≥1時，可得-3≤m綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，2．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．3．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．4．集合的交并補混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎題．設全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）?U（A∩B）；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）；（Ⅲ）A∩（?UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）＝?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴?UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（?UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．5．充分不必要條件的判斷【知識點的認識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數學中表明某個條件足以保證結果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充分不必要條件，可以先驗證P?Q，然后找反例驗證Q成立但P不成立．舉反例是關鍵步驟，找到一個Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過幾何圖形性質驗證某些充分不必要條件．【命題方向】充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質、函數的特定性質等．已知命題p：x2﹣4x+3＜0，那么命題p成立的一個充分不必要條件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，則1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要條件．故選：BD．6．充分不必要條件的應用【知識點的認識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數學中表明某個條件足以保證結果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因為A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A?B且A≠?，當﹣a＜﹣2時，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，則﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，當﹣a＞﹣2時，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，則﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故選：B．7．等式與不等式的性質【知識點的認識】1．不等式的基本性質（1）對于任意兩個實數a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且8．不等式比較大小【知識點的認識】不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．【命題方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，則p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，則p﹣q＝0，此時p＝q，若a≠b，則p﹣q＜0，此時p＜q，綜上p≤q，故選：B方法二：利用函數的單調性典例2：三個數(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指數函數的單調性可知，(6由冪函數的單調性可知，(2則(2故(6故選：B．9．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據的是．A：a，b均為負數，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數的要求是整個式子為正數，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當0＜x解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，y=用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數）相加，而他們的特點是相乘后為常數；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值．技巧二：湊系數例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式．10．運用基本不等式比較大小【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】運用均值不等式比較大小時，需要將待比較的數值代入不等式．例如，要比較兩個數a和b的大小，可以使用a+b2≥ab在具體題目中，通常會將兩個數構造成可以應用均值不等式的形式，然后進行比較．例如，比較x2【命題方向】均值不等式比較大小的命題方向主要包括代數式的大小比較、幾何中的邊長或面積的比較等．例如，比較兩個代數式的大小，或比較兩個三角形的面積大小．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行比較，并能正確代入和計算．比較大小：x2+2x解：根據題意，x2+2x2+1=x2故答案為：≥．11．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數表達式的最值求解、幾何圖形的最優設計等．例如，求解一個代數式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當且僅當a＝b=1故答案為：6．12．分式不等式【知識點的認識】分式不等式指的是含有分式的數學不等式．解分式不等式時，關鍵是注意分母不為零．【解題方法點撥】將分式不等式轉化為普通不等式，并限定分母部分不為零，找出符合不等式的區間．綜合各區間解，寫出最終解集．【命題方向】典型的命題包括解簡單的分式不等式，結合實際應用題解分式不等式，以及分式不等式在函數單調性、最值問題中的應用．求不等式3x解：3x+13-x＞-1可化為2x+4x-3解得：﹣2＜x＜3，所以原不等式的解集為：{x|﹣2＜x＜3}．13．指、對數不等式的解法【知識點的認識】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則．（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解．（4）指數不等式：轉化為代數不等式（5）對數不等式：轉化為代數不等式（6）含絕對值不等式①應用分類討論思想去絕對值；②應用數形思想；③應用化歸思想等價轉化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數）：14．不等式的綜合【知識點的認識】1、不等式的性質2、不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．3、利用重要不等式求函數最值：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”．4、常用不等式5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法．比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論．常用的放縮技巧有：6．常系數一元二次不等式的解法：判別式﹣圖象法步驟：（1）化為一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；（2）求根的情況：ax2+bx+c＝0→能否因式分解△＞0（＝0，＜0（3）由圖寫解集：考慮y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象得解．7．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；（2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根右上方依次通過每一點畫曲線（奇穿偶回）；（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集．8．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用標根法求解．解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母．9．絕對值不等式的解法：（了解）（1）分域討論法（最后結果應取各段的并集）（2）利用絕對值的定義；（3）數形結合；（4）兩邊平方．10、含參不等式的解法：通法是“定義域為前提，函數增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意：①解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”．②按參數討論，最后應按參數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最后應求并集．含參數的一元二次不等式的解法：三級討論法．一般地，設關于x的含參數a的一元二次形式的不等式為：．（1）第一級討論：討論