第33頁（共33頁）2025年高考數學復習新題速遞之雙曲線（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?昌黎縣校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1，過F1的直線l交圓x2+yA．355 B．455 C．732．（2025春?南京月考）已知雙曲線的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，若雙曲線的離心率為5，則雙曲線的漸近線方程為（）A．y＝±2x B．y=C．y=±33x或y=±3x3．（2025?柳州三模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）若直線3xA．(1，132) B．(0，132)4．（2025?廣州模擬）已知點P在雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上，A．3 B．2 C．3 D．25．（2025?金鳳區校級一模）雙曲線x2a2-y212=1(a＞0)的兩個焦點分別是F1和F2，焦距為8；M是雙曲線上的一點，且|A．1 B．4 C．9 D．1或96．（2025?新余一模）雙曲線x2A．6 B．4 C．26 D．7．（2025?開封二模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，圓O經過直線x＝±a，A．a2 B．b2 C．a2+b2 D．a2﹣b28．（2025?和平區一模）已知F是雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，過點F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于S，T兩點，A1，A2分別為雙曲線的左、右頂點，連接AA．72 B．3 C．2 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?湖北模擬）已知O為坐標原點，雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，以AF為直徑的圓與y軸正半軸交于點D，過D且垂直于y軸的直線與CA．|AB|2|OAC．|OD|2|（多選）10．（2025?道里區校級二模）已知P（x0，y0）為雙曲線C：x24-y212=1上一點，F1，F2為雙曲線C的左、右焦點，G和I分別為△PF1A．|x0|＝6 B．△PF1F2的面積為126C．|PF1|＝14 D．△PF1F2內切圓的半徑r（多選）11．（2025?鶴壁二模）已知F1，F2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|A．點F1到C的漸近線的距離為3 B．|AB|＝10 C．C的離心率為2 D．分別以BF1，F1F2為直徑的圓的公共弦長為15（多選）12．（2025?洮北區校級一模）已知直線l：y＝﹣3x+m（m≠0）與雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞A．2 B．3 C．22 D．三．填空題（共4小題）13．（2025春?湖南月考）已知雙曲線C的兩個焦點為(5，0)，(-5，0)，點(-5，1214．（2025?河北模擬）雙曲線C：y2a2-x23=1的一個焦點為（0，﹣15．（2025?臨汾二模）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，過點F且傾斜角為45°的直線與E的左支交于A，16．（2025?常德模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0四．解答題（共4小題）17．（2025?香坊區校級二模）已知直線l：y＝x+1與雙曲線M：x2m-y24=1（m＞0）及其漸近線分別交于點A（1）求實數m的取值范圍；（2）證明：AC＝BD；（3）若m＝2，過雙曲線M上一點P向雙曲線N：x2m-y24=λ作切線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，問是否存在這樣的λ，使得k1?k2為定值？若存在，求出λ18．（2025?昌黎縣校級模擬）已知雙曲線E的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且P（﹣1，0），Q(0，-23)，R（2（1）求雙曲線E的標準方程．（2）直線l1，l2均經過E的右焦點，l1與E交于A，B兩點，l2與E交于D，E兩點，以AB為直徑的圓記作⊙O1，以DE為直徑的圓記作⊙O2．①求證：存在定圓與⊙O1相切；②設⊙O1與⊙O2的公共弦所在直線為l，求直線l經過的定點．19．（2025春?沙坪壩區校級月考）雙曲線Ei：25x2-my2=ai2(ai＞0，i=1，2，?，n)的離心率為414，斜率為k1的直線l1和斜率為k2的直線l（1）求實數m的值；（2）作斜率為k的過原點的直線l（異于l1，l2）與E1，E2，?，En的右支分別交于點P1，P2，?，Pn，記△AiBiPi的面積為Si（i＝1，2，?，n）．（i）求證：AiBi∥Ai+1Bi+1：（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai=1i(20．（2025?潮陽區校級模擬）已知等軸雙曲線C：x2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知點A是C上一定點，過點B（0，1）的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若kAP+kAQ為定值λ，求點A的坐標及實數λ的值．

2025年高考數學復習新題速遞之雙曲線（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDCDCCBD二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDADACDBC一．選擇題（共8小題）1．（2025?昌黎縣校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1，過F1的直線l交圓x2+yA．355 B．455 C．73【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】C【分析】過O作OQ⊥MN，設|MN|＝2m，利用幾何關系計算m與a的關系，再在△F1OQ中利用勾股定理即可得解．【解答】解：如圖，設雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，過O作OQ⊥MN，垂足為Q，則|OM|＝|ON|＝a，∴|MQ|＝|NQ|．∵|F1M|＝|PN|，∴|F1Q|＝|PQ|，即Q為線段F1P的中點．∵O為F1F2的中點，∴OQ∥PF2，∴PF2⊥PF1，|PF2|＝2|OQ|．設|MN|＝2m，則|F1M|＝|PN|＝m，∴|PF1|＝4m，|MQ|＝|NQ|＝m，|PF2|＝|PF1|﹣2a＝4m﹣2a，∴|OQ|＝2m﹣a．在Rt△MOQ中，|OQ|2+|MQ|2＝|OM|2，即（2m﹣a）2+m2＝a2，解得m=45a，∴在Rt△F1OQ中，|OQ|2解得c=735a，∴雙曲線故選：C．【點評】本題主要考查離心率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．2．（2025春?南京月考）已知雙曲線的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，若雙曲線的離心率為5，則雙曲線的漸近線方程為（）A．y＝±2x B．y=C．y=±33x或y=±3x【考點】求雙曲線的漸近線方程；由雙曲線的離心率求解方程或參數．【專題】對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】D【分析】根據雙曲線的離心率，確定a、b關系，分雙曲線焦點在x軸和y軸兩種情況求解即可．【解答】解：根據已知條件設雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1或y因為e=ca=5，所以c=5ab2＝c2﹣a2＝5a2﹣a2＝4a2，b＝2a，當雙曲線交點在y軸時，雙曲線方程為y2漸近線方程為：y=當雙曲線交點在x軸時，雙曲線方程為x2漸近線方程為：y=故選：D．【點評】本題考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．3．（2025?柳州三模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）若直線3xA．(1，132) B．(0，132)【考點】求雙曲線的離心率．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】C【分析】由直線斜率與雙曲線漸近線斜率關系結合離心率的齊次式即可求出．【解答】解：根據題意可知，直線3x+2y＝0與雙曲線無公共點，故有-ba≥-32所以e2≤13所以e的范圍為(1，故選：C．【點評】本題考查了雙曲線的離心率，屬于基礎題．4．（2025?廣州模擬）已知點P在雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上，A．3 B．2 C．3 D．2【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】D【分析】雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0的兩條漸近線的方程為bx±ay＝【解答】解：雙曲線C：x2a2-y2b設P（x，y），利用點P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為|b可得|a2b2a2+故選：D．【點評】本題考查了雙曲線的性質、離心率、距離公式，屬于中檔題．5．（2025?金鳳區校級一模）雙曲線x2a2-y212=1(a＞0)的兩個焦點分別是F1和F2，焦距為8；M是雙曲線上的一點，且|A．1 B．4 C．9 D．1或9【考點】雙曲線上的點與焦點的距離．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】C【分析】利用雙曲線的焦距求解a，通過雙曲線的定義求解即可．【解答】解：雙曲線x2a2-y212=1(a可得a2+12＝16，解得a＝2，M是雙曲線上的一點，且|MF1|＝5＜a+c＝6，所以M在雙曲線的左支上，所以|MF2|＝|MF1|+2a＝5+4＝9．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線的定義的應用，屬基礎題．6．（2025?新余一模）雙曲線x2A．6 B．4 C．26 D．【考點】雙曲線的實軸和虛軸．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】C【分析】根據雙曲線方程直接確定實軸長．【解答】解：由雙曲線x2可得a=6，則實軸長為故選：C．【點評】本題主要考查雙曲線的性質，屬于基礎題．7．（2025?開封二模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，圓O經過直線x＝±a，A．a2 B．b2 C．a2+b2 D．a2﹣b2【考點】雙曲線的焦點三角形．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】B【分析】根據題意判斷圓心位置，求得半徑，判斷點E，F即雙曲線的左右兩焦點，利用雙曲線的定義與勾股定理，建立方程組，求得|PE|?|PF|，即可求△PEF的面積．【解答】解：雙曲線C：x2由題意，圓O的圓心在坐標原點，半徑r=點E，F即雙曲線的左右兩焦點，如圖，可得|PE|﹣|PF|＝2a①，且因EF為圓的直徑，可得PE⊥PF，則有|PE|2+|PF|2＝4c2②，將①式兩邊取平方，（|PE|﹣|PF|）2＝|PE|2+|PF|2﹣2|PE|?|PF|＝4c2﹣2|PE|?|PF|＝4a2，解得|PE|?|PF故選：B．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線與圓的位置關系的應用，是中檔題．8．（2025?和平區一模）已知F是雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，過點F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于S，T兩點，A1，A2分別為雙曲線的左、右頂點，連接AA．72 B．3 C．2 D．【考點】雙曲線的離心率．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】D【分析】由已知求出S、T的坐標，寫出A1S的方程，可得R的坐標，進一步求得H坐標，結合向量等式得答案．【解答】解：由題意可設：S（c，b2a），T（又A1（﹣a，0），A2（a，0），∴A1S：yb2a=x+ac+a，取RA2：yb2a+c=x-a-a∴FH→=(0，由4FH→=FT→，得4×b2即e=c故選：D．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，考查雙曲線離心率的求法，考查運算求解能力，是中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?湖北模擬）已知O為坐標原點，雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，以AF為直徑的圓與y軸正半軸交于點D，過D且垂直于y軸的直線與CA．|AB|2|OAC．|OD|2|【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】BCD【分析】由條件分別寫出線段|OA|，|OF|，|OD|．由射影定理得到|OD|2＝|OA|?|OF|，即可判斷A選項；由勾股定理化簡|DF|2|OD|2-1及線段長化簡后即可判斷B選項；代入線段長化簡|OD|2|AO|2即可判斷C【解答】解：由題可知|OA|＝a，|OF|＝c，因為AB⊥x軸，且AB交曲線漸近線與點B，所以B（﹣a，b），因為以AF為直徑的圓與y軸正半軸交于點D，且BD⊥y軸，所以|AB|＝|OD|＝b，又AD⊥DF，由射影定理得|OD|2＝|OA|?|OF|，所以|AB|2又|DF|2又|OD|2由|OD|2＝|OA|?|OF|，得b2＝ac＝c2﹣a2，故c2﹣ac﹣a2＝0，即e2﹣e﹣1＝0，解得e=5+1故選：BCD．【點評】本題主要考查雙曲線的離心率，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．（2025?道里區校級二模）已知P（x0，y0）為雙曲線C：x24-y212=1上一點，F1，F2為雙曲線C的左、右焦點，G和I分別為△PF1A．|x0|＝6 B．△PF1F2的面積為126C．|PF1|＝14 D．△PF1F2內切圓的半徑r【考點】雙曲線的其他性質．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】AD【分析】根據雙曲線的幾何性質，圓的切線的性質，重心的坐標公式，等面積法，針對各個選項分別求解即可．【解答】解：因為雙曲線C：x2所以a＝2，b=23，c＝4因為G和I分別為△PF1F2的重心和內心，設△PF1F2的內切圓與x軸切于點Q，所以根據圓的切線長相等及雙曲線的定義可知：||PF1|﹣|PF2||＝||F1Q|﹣|F2Q||＝2a＝4，又|F1Q|+|F2Q|＝|F1F2|＝2c＝8，所以|F1Q所以|xI|＝a＝2，又GI⊥x軸，所以|xG|＝|xI|＝2，又F1（﹣4，0），F2（4，0），所以|xG|＝|x0+4+(-4)3|=|x0|3=2，所以將|x0|＝6代入雙曲線C：x24-y212=1所以△PF1F2的面積為12×|F因為P（±6，±46），F1（﹣4，0所以|PF1|＝14或10，所以C選項錯誤，因為|PF1|＝14，|PF2|＝10；或|PF1|＝10，|PF2|＝14，設△PF1F2內切圓的半徑為r，則根據等面積法可得：166=12×(14+10+8)×r故選：AD．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，雙曲線的焦點三角形問題，化歸轉化思想，屬中檔題．（多選）11．（2025?鶴壁二模）已知F1，F2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|A．點F1到C的漸近線的距離為3 B．|AB|＝10 C．C的離心率為2 D．分別以BF1，F1F2為直徑的圓的公共弦長為15【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】ACD【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理可求得|F1F2|＝4，從而可求得c＝2，即可判斷選項A，C；用余弦定理和雙曲線的定義可求得|AB|判斷選項B；點F1作F1E⊥BF2于點E，易知分別以BF1，F1F2為直徑的圓的公共弦為F1E，勾股定理可求公共弦長，即可求解選項D．【解答】解：已知F1，F2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|雙曲線C：x2-y對于A，C，連接BF1，由題意得tan∠BF2F1所以sin∠解得cos∠由于|AF1|＝|AB|，所以|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，又|BF1|﹣|BF2|＝2a＝2，故|BF1|＝4，設|F1F2|＝2c（c＞0），在△F1F2B中，由余弦定理可得|B即16=(2c)2+4-2×2c故離心率為ca點F1到C的漸近線的距離，即b=c2-a對于B，設|AF2|＝m（m＞0），則|AF1|＝|AB|＝2+m，在△F1F2A中，由余弦定理可得(2+m)2=16+m故|AB|＝2+m＝8，故B錯誤；對于D，因為|BF1|＝|F2F1|＝4，所以△BF1F2為等腰三角形，過點F1作F1E⊥BF2于點E，因為|F2F1|＝|BF1|＝4，所以E為BF2中點，易知分別以BF1，F1F2為直徑的圓的公共弦為F1E，且|F1E故選：ACD．【點評】本題主要考查雙曲線的性質應用，考查計算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2025?洮北區校級一模）已知直線l：y＝﹣3x+m（m≠0）與雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞A．2 B．3 C．22 D．【考點】雙曲線的中點弦．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】BC【分析】由題意可得直線l不平行于漸近線，推得e≠10，聯立直線l和雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式求得P的坐標，由斜率公式，解不等式可得c＞2a【解答】解：由題意知-ba≠-3，e≠10，設M（x1，y1），N由y=-3x+m，x2a2-y2b2=1，可得（b2﹣9a2）x2Δ＝（6ma2）2+4（b2﹣9a2）（a2m2+a2b2）＝4a2b2（m2+b2﹣9a2）＞0，所以x1+x2=-6ma2b2-9yP＝﹣3xP+m=9ma可得P(所以kOP即b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，即為c＞2a，可得e=ca＞2故選：BC．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，以及中點坐標公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?湖南月考）已知雙曲線C的兩個焦點為(5，0)，(-5，0)，點(-5，1【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】52【分析】利用雙曲線的焦距，結合定義，綜合求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：由題意，設F1(-5，0)則|F1F2|=2則2a＝|PF2|﹣|PF1|＝4，則e=故答案為：52【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題．14．（2025?河北模擬）雙曲線C：y2a2-x23=1的一個焦點為（0，﹣【考點】求雙曲線的漸近線方程．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】y=【分析】根據焦點求出c，再得出a2，即可得出漸近線方程．【解答】解：因為雙曲線C：y2a2-x23故a2+3＝22＝4，可得a2＝1，所以雙曲線C：故漸近線方程為y=故答案為：y=【點評】本題主要考查雙曲線的性質應用，屬于基礎題．15．（2025?臨汾二模）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，過點F且傾斜角為45°的直線與E的左支交于A，【考點】求雙曲線的離心率；雙曲線的幾何特征．【專題】對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】35【分析】聯立直線AB與雙曲線的方程，求出點M坐標，由給定關系求出離心率．【解答】解：已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞若|MF設雙曲線E的半焦距為c，則F（﹣c，0），直線AB方程為y＝x+c，由y=x+cb2x2-a2y2=a2b2消去y得（a2﹣b2）xa2-b2＞0Δ=4a2b4＞0，設A（x1于是點M(-a解得b2所以雙曲線E的離心率e=故答案為：35【點評】本題考查雙曲線的幾何特征相關知識，屬于中檔題．16．（2025?常德模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為2【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】y＝±x．【分析】直接利用e=ca，【解答】解：雙曲線中，e=所以ba故該雙曲線的漸近線方程為y＝±x．故答案為：y＝±x．【點評】本題考查了雙曲線的性質，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）17．（2025?香坊區校級二模）已知直線l：y＝x+1與雙曲線M：x2m-y24=1（m＞0）及其漸近線分別交于點A（1）求實數m的取值范圍；（2）證明：AC＝BD；（3）若m＝2，過雙曲線M上一點P向雙曲線N：x2m-y24=λ作切線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，問是否存在這樣的λ，使得k1?k2為定值？若存在，求出λ【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的定點及定值問題．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）（0，4）∪（4，5）；（2）證明過程見解析；（3）不存在，理由見解析．【分析】（1）由題意，將直線方程與雙曲線方程聯立，結合判別式即可求解；（2）根據韋達定理和中點坐標公式得點E，進而聯立直線方程可得點C，D坐標，即可得CD與AB的中點重合，進而即可得證；（3）根據相切可利用判別式為0得k1，k2為方程(2-【解答】解：（1）聯立y=x+1x2m-y24=1，消去y并整理得（4﹣m）此時m＞解得實數m的取值范圍為（0，4）∪（4，5）；（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知x1+x設AB的中點為E（x0，y0），此時x0所以y0即E(因為雙曲線的漸近線方程為y=聯立y=解得C(同理得D(所以CD的中點為(m此時CD與AB的中點重合，則AE＝EB，CE＝ED，故AC＝BD；設過P（x3，y3）且與雙曲線N：x22-y24=λ相切的直線方程為y﹣即y＝kx+y3﹣kx3，聯立y=kx+y3此時2-整理得(x此時x32-所以k1若k1?k2為定值，此時2=-解得λ=則k1?k2＝2，此時Δ1故不存在λ，使得k1?k2為定值．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．18．（2025?昌黎縣校級模擬）已知雙曲線E的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且P（﹣1，0），Q(0，-23)，R（2（1）求雙曲線E的標準方程．（2）直線l1，l2均經過E的右焦點，l1與E交于A，B兩點，l2與E交于D，E兩點，以AB為直徑的圓記作⊙O1，以DE為直徑的圓記作⊙O2．①求證：存在定圓與⊙O1相切；②設⊙O1與⊙O2的公共弦所在直線為l，求直線l經過的定點．【考點】直線與雙曲線的綜合；拋物線的定點及定值問題．【專題】方程思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）x2-y23=1；（2）①證明見解析；【分析】（1）根據題意有雙曲線E經過點P（﹣1，0），R（2，3）代入方程即可求解；（2）①先討論直線AB的斜率不存在和斜率為0的情況，猜想所求圓為⊙S：（x﹣3）2+y2＝4，再討論當直線AB的斜率不為0時，設AB：x＝my+2，與雙曲線方程聯立即可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），根據韋達定理有y1+y2，y1y2，得AB的中點O1(-23m2-1，-6m②當直線DE的斜率不為0時，設DE：x＝ny+2，計算圓O2，圓O1的方程和圓O2的方程相減得公共弦所在直線l的方程，化簡即可得定點．【解答】解：（1）由題意可知，雙曲線E經過點P（﹣1，0），R（2，3）．設雙曲線E的方程為x2-y2b2=1(b＞0)，把點R所以雙曲線E的方程為x2（2）①當直線AB的斜率不存在時，⊙O當直線AB的斜率為0時，⊙O結合對稱性，猜想所求圓為⊙S：（x﹣3）2+y2＝4．當直線AB的斜率不為0時，設AB：x＝my+2，聯立x=得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則3m所以AB的中點O1|AB=1+所以⊙O又⊙S：（x﹣3）2+y2＝4，則S（3，0），半徑為2，所以|O所以|O當3m2﹣1＞0時，⊙O1與⊙S的半徑之和r1所以r1+r2＝|O1S|，⊙O1與⊙S外切；當3m2﹣1＜0時，⊙O1與⊙S的半徑之差的絕對值|r所以|r1﹣r2|＝|O1S|，⊙O1與⊙S內切．綜上所述，存在定圓（x﹣3）2+y2＝4與⊙O1相切．②當直線DE的斜率不為0時，設DE：x＝ny+2，則⊙O即x2+又⊙O即x2+兩圓方程①﹣②，得直線l的方程為4(14(14(14(14(1(1即(1令y＝0，得x＝﹣1，所以直線l經過定點（﹣1，0）．【點評】本題考查雙曲線與圓的方程的綜合應用，屬于難題．19．（2025春?沙坪壩區校級月考）雙曲線Ei：25x2-my2=ai2(ai＞0，i=1，2，?，n)的離心率為414，斜率為k1的直線l1和斜率為k2的直線l（1）求實數m的值；（2）作斜率為k的過原點的直線l（異于l1，l2）與E1，E2，?，En的右支分別交于點P1，P2，?，Pn，記△AiBiPi的面積為Si（i＝1，2，?，n）．（i）求證：AiBi∥Ai+1Bi+1：（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai=1i(【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】轉化思想；轉化法；點列、遞歸數列與數學歸納法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）16；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析．【分析】（1）根據離心率公式得到方程，解出即可；（2）（i）通過聯立方程求出Ai，Bi，Ai+1，Bi+1的坐標，再利用兩點斜率公式即可證明平行；（ii）利用點到直線的距離公式和三角形面積公式求出Si的表達式，利用導數求出其值域，最后再利用放縮和裂項相消法即可證明不等式．【解答】解：（1）∵雙曲線Ei∴x2∵Ei的離心率e=∴e=∴m＝16，（2）（i）證明：聯立：y=則25x即x2∴x=ai即：Ai同理，Bi∴kA同理，Ai∴kA∴kA即AiBi∥Ai+1Bi+1．（ii）證明：由（i）知：當若k1＝1，k2＝0時，Ai(1lAiB同理有：Pi∴Pi到AiBi的距離d=∵△AiBiPi的面積為Si（i＝1，2，?，n），∴Si令f(則f'令f′（k）＜0，解得0＜k＜58，令f′（k則當0＜k＜58時，f（k）單調遞減；當5∴f(x)≥f(58)=34，當k因此f(∴Si∴Si又∵i≥2時，1i∴S=【點評】本題考查圓錐曲線的綜合應用，屬于難題．20．（2025?潮陽區校級模擬）已知等軸雙曲線C：x2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知點A是C上一定點，過點B（0，1）的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若kAP+kAQ為定值λ，求點A的坐標及實數λ的值．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的標準方程；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）x2﹣y2＝1；（2）A(2，1)，λ=【分析】（1）由等軸雙曲線知a＝b，再由焦點可得雙曲線C的方程；（2）設lPQ與點A、P、Q的坐標，由斜率之和為定值建立方程，根據韋達定理化簡討論方程根的情況即可．【解答】解：（1）由題意a＝b，a2+b2＝c2＝2，解得a＝b＝1，所以雙曲線C的標準方程為x2﹣y2＝1．（2）設A（m，n），過點B的動直線為：y＝kx+1．設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立x2-y2=1y=kx+1得（1﹣k2）x所以1-k2≠0Δ=4k2+8(1-k2)＞0x1+x2=因為kAP+kAQ＝λ，即y1-n化簡得(2k所以(2k化簡得m（λm﹣2n）k2+2（λm﹣n﹣1）k+2λ﹣2m+2mn﹣λm2＝0，由于上式對無窮多個不同的實數k都成立，所以m(如果m＝0，那么n＝﹣1，此時A（0，﹣1）不在雙曲線C上，舍去．因此m≠0，從而λm＝2n＝n+1，所以n＝1，代入2λ﹣2m+2mn﹣λm2＝0，得2λ＝λm2，解得m=±2，此時A綜上，A(2，1)，λ=【點評】本題考查雙曲線的方程和直線與雙曲線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．拋物線的定點及定值問題【知識點的認識】定點問題涉及到拋物線上點到固定點或直線的距離問題．定值問題通常涉及求解某點到焦點或準線的最值．【解題方法點撥】1．計算定點距離：利用拋物線方程計算點到定點的距離．2．應用定值：解決與定值相關的幾何問題．【命題方向】﹣給定拋物線的定點和定值，求解相關問題．﹣分析定點問題的幾何特征及應用．2．雙曲線的標準方程【知識點的認識】雙曲線標準方程的兩種形式：（1）x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標為F（±c，0），焦距|（2）y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．標準方程x2a2-y2b2=1中心在原點，焦點在x軸上y2a2-x2b2=1中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點（a，0）和（﹣a，0）（0，a）和（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，實軸長2a，虛軸長2b焦點在實軸上x軸、y軸，實軸長2a，虛軸長2b焦點在實軸上焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2離心率e=ca（e＞e=ca（e＞漸近線x2即y＝±bay2即y＝±ab準線x＝±ay＝±a3．雙曲線上的點與焦點的距離【知識點的認識】對于雙曲線上的任意點（x1，y1），到焦點（c，0）或（﹣c，0）的距離可以用距離公式計算．【解題方法點撥】1．計算距離：使用距離公式(x2．應用公式：根據雙曲線的方程應用公式進行計算．【命題方向】﹣給定點和焦點，計算距離．﹣分析點到焦點的距離性質．4．求雙曲線的漸近線方程【知識點的認識】雙曲線的漸近線是雙曲線無限遠處的切線．對于雙曲線x2a2-y2b【解題方法點撥】1．計算斜率：利用ba2．代入方程：寫出漸近線方程．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數，求漸近線方程．﹣利用標準方程計算漸近線方程．5．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y6．雙曲線的實軸和虛軸【知識點的認識】雙曲線的實軸是通過兩個頂點的線段，虛軸是與雙曲線相交的漸近線的距離．對于雙曲線x2a2-y2b【解題方法點撥】1．計算實軸長度：由a計算實軸長度．2．計算虛軸長度：由b計算虛軸長度．【命題方向】﹣給定雙曲線方程，求實軸和虛軸的長度．﹣利用參數計算實軸和虛軸的長度．7．雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y8．求雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的離心率e是e=ca【解題方法點撥】1．計算離心率：利用公式e=2．求解參數：從雙曲線方程中提取參數．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數，求離心率．﹣根據離心率計算雙曲線的標準方程．9．由雙曲線的離心率求解方程或參數【知識點的認識】已知離心率e，可以求解c和a，從而得到雙曲線