專題02方程與不等式目錄01思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。 02基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（4大模塊知識梳理）知識模塊一：一次方程（組）知識模塊二：分式方程知識模塊三：一元二次方程知識模塊四：一次不等式（組）03考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（6大基礎考點+2方法技巧）考點一：一元一次方程的解法考點二：二元一次方程（組）的解法考點三：分式方程及其解法考點四：一元二次方程的解法考點五：一元二次方程根的判別式及根與系數關系考點六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）考點七：方程（組）的含參問題（方法技巧）考點八：方程（組）的實際應用（方法技巧）04易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（2大易錯點）易錯點1：解分式方程時首要步驟去分母，分數相相當于括號，易忘記根檢驗，導致運算結果出錯。易錯點2：關于一元一次不等式組有解無解的條件易忽視相等或增根的情況。

思維導圖基礎知識知識模塊一：一次方程（組）知識點一：方程的有關概念一、等式1.等式：用“=”來表示相等關系的式子叫作等式。2.等式的性質：（1）性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等（如果\o"中國教育出版網""，那么\o"中國教育出版網""（\o"中國教育出版網""為一個數或式子））。（2）性質2：等式兩邊乘同一個數或除以同一個不為0的數，結果仍相等（如果\o"中國教育出版網""，那么\o"中國教育出版網""；如果\o"中國教育出版網""，那么\o"中國教育出版網""）3.等式性質的延伸：（1）對稱性：等式左右兩邊互換，所得結果仍相等，即如果\o"中國教育出版網""，那么\o"中國教育出版網""。（2）傳遞性：如果\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，那么\o"中國教育出版網""。二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知數的等式叫作方程。2.方程與等式的區別：方程是等式，但等式中不一定含有未知數，即等式不一定是方程。3.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫作方程的解。4.判斷一個數（或一組數）是不是某方程的解，只需看兩點：（1）它是方程中的未知數的值；（2）將它分別代入方程的左右兩邊，若左邊等于右邊，則它是方程的解，否則不是。5.解方程：求方程解的過程叫作解方程。6.方程的解和解方程的區別：方程的解是一個結果，解方程則是得到這個結果的一個過程。7.一元一次方程：只含有一個未知數（元），并且未知數的次數是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。8.一元一次方程知識拓展：（1）“元”是指未知數，“次”是指未知數的次數；（2）一元一次方程滿足3個條件：①是整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的次數是1.（3）一元一次方程的標準形式：\o"中國教育出版網""。知識點二：解一元一次方程與一元一次方程的應用一、解一元一次方程1.移項：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫作移項，注意移項要變號。2.解一元一次方程的步驟：（1）去分母：把方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數（去分母時，若分子是多項式，要添括號）；（2）去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號（不要漏乘括號里的項，不要弄錯符號）；（3）移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項移到另一邊（注意移項要變號）；（4）合并同類項：把等號兩邊的同類項分別合并，化成“\o"中國教育出版網""”的形式（\o"中國教育出版網""）；（5）系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數\o"中國教育出版網""得方程的解為\o"中國教育出版網""。二、一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的常見類型有：（1）和、差、倍、分問題：和、差、倍、分對應兩個量之間的加、減、乘、除，解題時要注意弄清倍、分關系和多少關系等；（2）增長（減少）率問題：增長后的量=原有量×（1+增長率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；（3）等積變形問題：長方形體積=長×寬×高；圓柱體積=\o"中國教育出版網""；（4）行程問題：路程=速度×時間；快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離（相向而行）；快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離（同向而行）。（5）航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；（6）調配問題：從調配后的數量關系中找等量關系；（7）比例分配問題：全部數量=各種成分的數量之和；（8）年齡問題：大小兩個年齡的差不會變；（9）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總工作量；一般情況下，把總工作量設為1.（10）利潤問題：商品的售價=商品的標價×折扣；商品的利潤=商品售價-商品進價；商品的利潤率=\o"中國教育出版網""；（11）數字問題：設\o"中國教育出版網""分別為一個兩位數的個位、十位上的數字，則這個兩位數可表示為\o"中國教育出版網""；（12）儲蓄問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期數）；（13）濃度問題：溶液質量=溶質質量+溶劑質量；百分比濃度=\o"中國教育出版網""；溶質質量=溶液質量×百分比濃度。（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數（x），根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知數．3．列：根據等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數的值．5．答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．知識點三：二元一次方程（組）及其解法（一）二元一次方程1.二元一次方程的定義含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數．③所有未知項的次數都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解。（二）二元一次方程組1.概念：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組；組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例如：\o"中國教育出版網""也是二元一次方程組。2.二元一次方程組的一般形式為：\o"中國教育出版網""3.如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么他們也組成一個二元一次方程組。4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。二元一次方程組\o"中國教育出版網""解的情況：（1）當\o"中國教育出版網""時，方程組有唯一的一組解；（2）當\o"中國教育出版網""時，方程組無解；（3）當\o"中國教育出版網""時，方程組有無數組解。（三）消元—解二元一次方程組1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，那么就把二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程，可以先求出一個未知數，然后再求出另一個未知數。這種將未知數由多化少，逐一解決的思想，叫作消元思想。2.代入消元法（1）定義：在二元一次方程組中，將其中一個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，再代入另一個方程中，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種解方程組的方法稱為代入消元法。（2）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②代入；③解方程；④求值；⑤聯立。（3）代入消元法的技巧：①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數的系數為1（或-1）的方程，則選擇系數為1（或-1）的方程進行變形比較簡便；③若方程組中所有方程里的未知數的系數都不是1（或-1），選系數較簡單的方程和系數較簡單的未知數變形比較簡便。3.用加減消元法解二元一次方程組（1）定義：兩個二元一次方程中，同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減從而消去這個未知數，得到一個一元一次方程；這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法。（2）加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②加減；③解方程；④求值；⑤聯立。（3）加減法的技巧：①當方程組中兩個方程的同一個未知數的系數的絕對值相等時，可直接用加減法進行消元；②當方程組的兩個方程中同一個未知數的系數成整數倍時，可把其中一個方面的兩邊乘以倍數，使這個未知數的系數相同或相反，然后運用加減法消去這個未知數。③當方程組中兩個未知數的系數均不成整數倍時，一般選擇系數較為簡單的未知數消元，將兩個方程分別乘以某個數，使該未知數的系數的絕對值相等，再加減消元求解。（四）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（五）列二元一次方程組解應用題的常見類型（1）和差倍分問題：增長量=原有量×增長率；較大量=較小量+多余量；總量=倍數×倍量；（2）產品配套問題：解這類問題的基本等量關系是加工總量成比例；（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；各部分工作量之和=總量；（4）利潤問題：商品售價=標價×折扣率；商品利潤=商品售價-商品進價；利潤率=\o"中國教育出版網""；（5）行程問題：速度×時間=路程；順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；（6）方案問題：在解決問題時，常常需合理安排，需要從幾種方案中選擇最佳方案，方案選擇題的題干較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點，比較幾種方案得出最佳方案。知識模塊二：分式方程知識點一：分式方程求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．知識點二：分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．知識點三：解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．知識點四：換元法解分式方程1.解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2.我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現．知識點五：解分式方程應用題1.列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2.要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．知識模塊三：一元二次方程知識點一：一元二次方程（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．知識點二：一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．知識點三：配方法解一元二次方程（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．知識點四：因式分解法解一元二次方程（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．知識點五：根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．知識點六：一元二次方程的應用1.列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2.列一元二次方程解應用題中常見問題：（1）數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數×（1+增長百分率）2＝后來數．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解．【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系．2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．3．列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．知識模塊四：一次不等式（組）知識點一：不等式的基本性質（一）不等式1.一般地，用符號“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小關系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。2.不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解；3.不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集；4.不等式解集的表示方法：（1）用最簡的不等式表示，一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解集是一個范圍；（2）用數軸表示，不等式的解集可以在數軸上直觀的表示出來，形象的表明不等式的無限個解（注意：邊界點和方向）。①確定邊界點：若邊界點是不等式的解，則用實心點；若邊界點不是不等式的解，則用空心點；②確定方向：對邊界點\o"中國教育出版網""而言，當\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""時，向右畫；當\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""時，向左畫。（二）不等式的性質1.不等式的基本性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。2.不等式的基本性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。3.不等式的基本性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。知識點二：一元一次不等式（組）及其應用（一）一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式。2.一元一次不等式與一元一次方程的區別與聯系：（1）相同點：二者都是只含有一個未知數，且未知數的次數為1，左邊和右邊都是整式；（2）不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關系，由等號連接，等號沒有方向。（二）一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式的解集的過程叫作解不等式。2.解一元一次不等式的一般步驟：①去分母：防止漏乘不含分母的項，乘以（或除以）負數時，不等號要改變方向，分子是多項式時，須加括號；②去括號：防止漏乘括號內的項和出現符號錯誤；③移項：過了不等號的項要變號；④合并同類項：防指計算錯誤；⑤系數化為1：除以負數時要改變不等號的方向。（三）一元一次不等式組1.一元一次不等式組的概念：一般地關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。（這幾個不等式必須含有同一個未知數）2.解一元一次不等式組：（1）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個不等式的解集的公共部分叫作這個一元一次不等式組的解集。（2）由2個一元一次不等式組成的不等式組的解集的情況：同小取小；同大取大；大小小大取中間，大大小小取不到。（3）一元一次不等式組的解法：第一步：分別求出不等式組中各不等式的解集；第二步：將各不等式的解集在數軸上表示出來；第三步：在數軸上找出各不等式的解集的公共部分，這個公共部分就是這個不等式組的解集。一元一次不等式（組）的應用：審題\o"中國教育出版網""設未知數\o"中國教育出版網""找不等關系\o"中國教育出版網""列不等式（組）\o"中國教育出版網""解不等式（組）\o"中國教育出版網""檢驗\o"中國教育出版網""回答考點考法考點一：一元一次方程的解法【典例1】（2024·海南·中考真題）若代數式\o"中國教育出版網""的值為5，則x等于（

）A．8 B．\o"中國教育出版網"" C．2 D．\o"中國教育出版網""【答案】A【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據題意可知\o"中國教育出版網""，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵代數式\o"中國教育出版網""的值為5，∴\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，故選：A．【典例2】（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質量分別為x，y，則下列關系式正確的是（

）A．\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網"" C．\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】C【知識點】等式的性質【分析】本題考查等式的性質，設“▲”的質量為a，根據題意列出等式\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，然后化簡代入即可解題．【詳解】解：設“▲”的質量為a，由甲圖可得\o"中國教育出版網""，即\o"中國教育出版網""，由乙圖可得\o"中國教育出版網""，即\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，故選C．【典例3】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：\o"中國教育出版網""例如：\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""．若\o"中國教育出版網""，則\o"中國教育出版網""的值為．【答案】\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據新定義運算法則列出方程求解即可．【詳解】解：∵\o"中國教育出版網""而\o"中國教育出版網""，∴①當\o"中國教育出版網""時，則有\o"中國教育出版網""，解得，\o"中國教育出版網""；②當\o"中國教育出版網""時，\o"中國教育出版網""，解得，\o"中國教育出版網""綜上所述，x的值是\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""，故答案為：\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""．考點二：二元一次方程（組）的解法【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【知識點】二元一次方程的解【分析】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．設購買\o"中國教育出版網""支筆記本，\o"中國教育出版網""個碳素筆，利用總價\o"中國教育出版網""單價\o"中國教育出版網""數量，即可得出關于\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""的二元一次方程，再結合\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""均為正整數，即可得出購買方案的個數．【詳解】解：設購買\o"中國教育出版網""支筆記本，\o"中國教育出版網""個碳素筆，依題意得：\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""．又\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""均為正整數，\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""共有4種不同的購買方案．故選：B．【典例2】（2024·四川宜賓·中考真題）某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現采摘有32千克荔枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數最多為（

）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【答案】C【知識點】二元一次方程的解【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數解問題，設用\o"中國教育出版網""個大箱，\o"中國教育出版網""個小箱，利用每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數解可得答案．【詳解】解：設用\o"中國教育出版網""個大箱，\o"中國教育出版網""個小箱，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，∴方程的正整數解為：\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""，∴所裝的箱數最多為\o"中國教育出版網""箱；故選C．【典例3】（2024·湖北·中考真題）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個關于“方程”的問題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（

）A．\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網""C．\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】A【知識點】根據實際問題列二元一次方程組、古代問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．因為每頭牛值金\o"中國教育出版網""兩，每頭羊值金\o"中國教育出版網""兩，根據“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩”，即可得出關于\o"中國教育出版網""、\o"中國教育出版網""的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：根據題意得：\o"中國教育出版網""．故選：A．【典例4】（2024·浙江·中考真題）解方程組：\o"中國教育出版網""【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】加減消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3＋②得，\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，再把\o"中國教育出版網""代入①求出\o"中國教育出版網""即可.【詳解】解：\o"中國教育出版網""①×3＋②得，\o"中國教育出版網""解得\o"中國教育出版網""，把\o"中國教育出版網""代入①得\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""∴\o"中國教育出版網""考點三：分式方程及其解法【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程\o"中國教育出版網""無解，則k的值為（

）A．\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網"" C．\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】A【知識點】分式方程無解問題【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，\o"中國教育出版網""，整理得，\o"中國教育出版網""，當\o"中國教育出版網""時，方程無解，當\o"中國教育出版網""時，令\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，所以關于x的分式方程\o"中國教育出版網""無解時，\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""．故選：A．【典例2】（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程\o"中國教育出版網""的解為．【答案】x=1【知識點】解分式方程【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【詳解】解：原方程去分母得：\o"中國教育出版網""，即\o"中國教育出版網""解得：x=1，檢驗：當x=1時，\o"中國教育出版網""，故原方程的解為x=1，故答案為：x=1．【典例3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程\o"中國教育出版網""的解為正整數，則整數m的值為．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】根據分式方程解的情況求值【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．表示出方程的解，由解是正整數，確定出整數\o"中國教育出版網""的值即可．【詳解】解：\o"中國教育出版網""，化簡得：\o"中國教育出版網""，去分母得：\o"中國教育出版網""，移項合并得：\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""，由方程的解是正整數，得到\o"中國教育出版網""為正整數，即\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""（舍去，會使得分式無意義）．故答案為：\o"中國教育出版網""．【典例4】（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：\o"中國教育出版網""．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】解分式方程【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關鍵，注意檢驗．依次去分母、去括號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案．【詳解】解：\o"中國教育出版網""，去分母得：\o"中國教育出版網""，去括號得：\o"中國教育出版網""，移項得：\o"中國教育出版網""，合并同類項得：\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""，經檢驗，\o"中國教育出版網""是原方程的解，\o"中國教育出版網""該分式方程的解為\o"中國教育出版網""．考點四：一元二次方程的解法【典例1】（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程\o"中國教育出版網""時，將它轉化為\o"中國教育出版網""的形式，則\o"中國教育出版網""的值為（

）A．\o"中國教育出版網"" B．2024 C．\o"中國教育出版網"" D．1【答案】D【知識點】解一元二次方程——配方法、配方法的應用【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵．用配方法把\o"中國教育出版網""移項，配方，化為\o"中國教育出版網""，即可．【詳解】解：∵\o"中國教育出版網""，移項得，\o"中國教育出版網""，配方得，\o"中國教育出版網""，即\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""．故選：D．【典例2】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關于\o"中國教育出版網""的一元二次方程\o"中國教育出版網""，其中\o"中國教育出版網""滿足\o"中國教育出版網""，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（

）A．無實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定【答案】C【知識點】根據判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程\o"中國教育出版網""，若\o"中國教育出版網""，則方程有兩個不相等的實數根，若\o"中國教育出版網""，則方程有兩個相等的實數根，若\o"中國教育出版網""，則方程沒有實數根，據此先求出\o"中國教育出版網""，再求出\o"中國教育出版網""的符號即可得到結論．【詳解】解：∵\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""，∴原方程有兩個不相等的實數根，故選：C．【典例3】（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則\o"中國教育出版網""（

）A．1 B．\o"中國教育出版網"" C．\o"中國教育出版網"" D．1或\o"中國教育出版網""【答案】C【知識點】公式法解一元二次方程、其他問題(一元二次方程的應用)【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由題意得方程\o"中國教育出版網""，利用公式法求解即可．【詳解】解：由題意得：\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""或\o"中國教育出版網""（舍）故選：C．【典例4】（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""于點C，\o"中國教育出版網""尺，\o"中國教育出版網""尺．設\o"中國教育出版網""的長度為x尺，可列方程為．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】列方程、用勾股定理構造圖形解決問題【分析】本題考查了勾股定理的實際應用，正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關鍵．設\o"中國教育出版網""的長度為x尺，則\o"中國教育出版網""，在\o"中國教育出版網""中，由勾股定理即可建立方程．【詳解】解：設\o"中國教育出版網""的長度為x尺，則\o"中國教育出版網""，∵\o"中國教育出版網""，由勾股定理得：\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，故答案為：\o"中國教育出版網""．【典例5】（2024·江蘇徐州·中考真題）關于x的方程\o"中國教育出版網""有兩個相等的實數根，則k值為．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】根據一元二次方程根的情況求參數【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程\o"中國教育出版網""，當\o"中國教育出版網""時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當\o"中國教育出版網""時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當\o"中國教育出版網""時，一元二次方程沒有實數根．【詳解】解：∵方程\o"中國教育出版網""有兩個相等的實數根，∴\o"中國教育出版網""，即\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""，故答案為：\o"中國教育出版網""考點五：一元二次方程根的判別式及根與系數關系【典例1】（2024·山東日照·中考真題）已知，實數\o"中國教育出版網""是關于x的方程\o"中國教育出版網""的兩個根，若\o"中國教育出版網""，則k的值為（

）A．1 B．\o"中國教育出版網"" C．\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】B【知識點】一元二次方程的根與系數的關系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程\o"中國教育出版網""，若\o"中國教育出版網""是該方程的兩個實數根，則\o"中國教育出版網""，據此得到\o"中國教育出版網""，再由\o"中國教育出版網""得到\o"中國教育出版網""，據此可得答案．【詳解】解：\o"中國教育出版網""是關于x的一元二次方程\o"中國教育出版網""的兩個根，\o"中國教育出版網""．\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，經檢驗，\o"中國教育出版網""是原分式方程的解，故選：B．【典例2】（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程\o"中國教育出版網""的兩個解，則\o"中國教育出版網""的值為．【答案】2028【知識點】已知式子的值，求代數式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根與系數的關系【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數關系、代數式求值，先根據方程的解滿足方程以及根與系數關系求得\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，再代值求解即可．【詳解】解：∵a和b是方程\o"中國教育出版網""的兩個解，∴\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""，故答案為：2028．考點六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）【典例1】（2024·廣東廣州·中考真題）若\o"中國教育出版網""，則（

）A．\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網"" C．\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】D【知識點】不等式的性質【分析】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題關鍵．根據不等式的基本性質逐項判斷即可得．【詳解】解：A．∵\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，則此項錯誤，不符題意；B．∵\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，則此項錯誤，不符題意；C．∵\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，則此項錯誤，不符合題意；D．∵\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，則此項正確，符合題意；故選：D．【典例2】（2024·內蒙古赤峰·中考真題）解不等式組\o"中國教育出版網""時，不等式①和不等式②的解集在數軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再在數軸上表示出不等式組的解集即可．【詳解】解：\o"中國教育出版網""解不等式①得，\o"中國教育出版網""，解不等式②得，\o"中國教育出版網""，所以，不等式組的解集為：\o"中國教育出版網""，在數軸上表示為：故選：C．【典例3】（2024·山東·中考真題）根據以下對話，給出下列三個結論：①1班學生的最高身高為\o"中國教育出版網""；②1班學生的最低身高小于\o"中國教育出版網""；③2班學生的最高身高大于或等于\o"中國教育出版網""．上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【知識點】代入消元法、用一元一次不等式解決實際問題【分析】本題考查了二元一次方程、不等式的應用，設1班同學的最高身高為\o"中國教育出版網""，最低身高為\o"中國教育出版網""，2班同學的最高身高為\o"中國教育出版網""，最低身高為\o"中國教育出版網""，根據1班班長的對話，得\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，然后利用不等式性質可求出\o"中國教育出版網""，即可判斷①，③；根據2班班長的對話，得\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，然后利用不等式性質可求出\o"中國教育出版網""，即可判斷②．【詳解】解：設1班同學的最高身高為\o"中國教育出版網""，最低身高為\o"中國教育出版網""，2班同學的最高身高為\o"中國教育出版網""，最低身高為\o"中國教育出版網""，根據1班班長的對話，得\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""∴\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，故①錯誤，③正確；根據2班班長的對話，得\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，故②正確，故選：C．【典例4】（2024·內蒙古·中考真題）關于x的不等式\o"中國教育出版網""的解集是，這個不等式的任意一個解都比關于x的不等式\o"中國教育出版網""的解大，則m的取值范圍是．【答案】\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""【知識點】求一元一次不等式的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關鍵．先分別求出不等式的解集，再根據題意列出關于\o"中國教育出版網""的不等式，求解即可得．【詳解】解：\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""．解不等式\o"中國教育出版網""得：\o"中國教育出版網""，∵不等式\o"中國教育出版網""任意一個解都比關于\o"中國教育出版網""的不等式\o"中國教育出版網""的解大，∴\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，故答案為：\o"中國教育出版網""；\o"中國教育出版網""．【典例5】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""定義運算“※”為\o"中國教育出版網""，例如\o"中國教育出版網""，則關于\o"中國教育出版網""的不等式\o"中國教育出版網""有且只有一個正整數解時，\o"中國教育出版網""的取值范圍是．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】求一元一次不等式的整數解、求不等式組的解集【分析】本題考查了一元一次不等式的整數解，解一元一次不等式組，根據新定義和正整數解列出關于\o"中國教育出版網""的不等式組是解題的關鍵．根據新定義列出不等式，解關于\o"中國教育出版網""的不等式，再由不等式的解集有且只有一個正整數解得出關于\o"中國教育出版網""的不等式組求解可得．【詳解】解：根據題意可知，\o"中國教育出版網""解得：\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""有且只有一個正整數解\o"中國教育出版網""解不等式①，得：\o"中國教育出版網""解不等式②，得：\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""故答案為：\o"中國教育出版網""．【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式\o"中國教育出版網""的正整數解．【答案】\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""．【知識點】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整數解【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數解，先求出不等式的解集，進而可得到不等式的正整數解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關鍵．【詳解】解：去分母得，\o"中國教育出版網""，去括號得，\o"中國教育出版網""，移項得，\o"中國教育出版網""，合并同類項得，\o"中國教育出版網""，系數化為\o"中國教育出版網""得，\o"中國教育出版網""，∴不等式的正整數解為\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""．考點七：方程（組）的含參問題（方法技巧）【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）規定：對于任意實數A.B.c，有\o"中國教育出版網""，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如\o"中國教育出版網""．若關于x的方程\o"中國教育出版網""有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（

）A．\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網"" C．\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""【答案】D【知識點】新定義下的實數運算、一元二次方程的定義、根據一元二次方程根的情況求參數【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據題意得到\o"中國教育出版網""，再由有兩個不相等的實數根得到\o"中國教育出版網""，且\o"中國教育出版網""，即可得到答案.【詳解】解：∵\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""∴\o"中國教育出版網""，即\o"中國教育出版網""，∵關于x的方程\o"中國教育出版網""有兩個不相等的實數根，∴\o"中國教育出版網""，且\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""，故選：D．【典例2】（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關于x、y的二元一次方程組\o"中國教育出版網""的解是\o"中國教育出版網""，則關于x、y的方程組\o"中國教育出版網""的解是．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】已知二元一次方程組的解求參數、加減消元法【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把\o"中國教育出版網""，代入\o"中國教育出版網""，得到\o"中國教育出版網""，整體代入\o"中國教育出版網""中，得到方程組\o"中國教育出版網""，加減消元法解方程組即可．【詳解】解：把\o"中國教育出版網""代入\o"中國教育出版網""，得：\o"中國教育出版網""，∵\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，即：\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，得：\o"中國教育出版網""，∵方程組\o"中國教育出版網""有解，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，把\o"中國教育出版網""代入①，得：\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""；∴方程組的解集為：\o"中國教育出版網""；故答案為：\o"中國教育出版網""．【典例3】（2024·重慶·中考真題）若關于\o"中國教育出版網""的一元一次不等式組\o"中國教育出版網""的解集為\o"中國教育出版網""，且關于\o"中國教育出版網""的分式方程\o"中國教育出版網""的解均為負整數，則所有滿足條件的整數\o"中國教育出版網""的值之和是．【答案】\o"中國教育出版網""【知識點】根據分式方程解的情況求值、由一元一次不等式組的解集求參數【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的兩個不等式，再根據不等式組的解集求出\o"中國教育出版網""；解分式方程得到\o"中國教育出版網""，再由關于\o"中國教育出版網""的分式方程\o"中國教育出版網""的解均為負整數，推出\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""且a是偶數，則\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""且a是偶數，據此確定符合題意的a的值，最后求和即可．【詳解】解：\o"中國教育出版網""解不等式①得：\o"中國教育出版網""，解不等式②得：\o"中國教育出版網""，∵不等式組的解集為\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""；解分式方程\o"中國教育出版網""得\o"中國教育出版網""，∵關于\o"中國教育出版網""的分式方程\o"中國教育出版網""的解均為負整數，∴\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""是整數且\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""且a是偶數，∴\o"中國教育出版網""且\o"中國教育出版網""且a是偶數，∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數a的值之和是\o"中國教育出版網""．故答案為：\o"中國教育出版網""．【典例4】（2024·西藏·中考真題）解不等式組：\o"中國教育出版網""，并把解集在數軸上表示出來．【答案】\o"中國教育出版網""，數軸見解析【知識點】在數軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在數軸上即可．【詳解】解：\o"中國教育出版網""，解不等式①得：\o"中國教育出版網""，解不等式②得：\o"中國教育出版網""，∴不等式組的解集為：\o"中國教育出版網""，將解集表示在數軸上如圖：．考點八：方程（組）的實際應用（方法技巧）【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（

）A．\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網""C．\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】A【知識點】和差倍分問題(一元一次方程的應用)【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應用，利用井的深度不變建立方程是解題的關鍵．【詳解】解：設繩長為x尺，列方程為\o"中國教育出版網""，故選A．【典例2】（2024·四川巴中·中考真題）某班學生乘汽車從學校出發去參加活動，目的地距學校60km，一部分學生乘慢車先行\o"中國教育出版網""，另一部分學生再乘快車前往，他們同時到達．已知快車的速度比慢車的速度每小時快20km，求慢車的速度？設慢車的速度為\o"中國教育出版網""，則可列方程為（

）A．\o"中國教育出版網"" B．\o"中國教育出版網""C．\o"中國教育出版網"" D．\o"中國教育出版網""【答案】A【知識點】列分式方程【分析】本題主要考查了分式方程的應用．設慢車的速度為\o"中國教育出版網""，則快車的速度是\o"中國教育出版網""，再根據題意列出方程即可．【詳解】解：設慢車的速度為\o"中國教育出版網""，則快車的速度為\o"中國教育出版網""，根據題意可得：\o"中國教育出版網""．故選：A．【典例3】（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從\o"中國教育出版網""地勻速出發，甲健步走向\o"中國教育出版網""地．途中偶遇一位朋友，駐足交流\o"中國教育出版網""后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚出發\o"中國教育出版網""，跑步到達\o"中國教育出版網""地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離\o"中國教育出版網""與甲出發的時間\o"中國教育出版網""之間的函數關系．(

)那么以下結論：①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為\o"中國教育出版網""；②甲出發\o"中國教育出版網""時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值\o"中國教育出版網""；③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后\o"中國教育出版網""；④\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""兩地之間的距離是\o"中國教育出版網""．其中正確的結論有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【知識點】行程問題(二元一次方程組的應用)、從函數的圖象獲取信息【分析】本題考查了函數圖象以及二元一次方程組的應用；①由乙比甲晚出發\o"中國教育出版網""及當x=50時\o"中國教育出版網""第一次為\o"中國教育出版網""，可得出乙出發\o"中國教育出版網""時兩人第一次相遇，進而可得出結論①正確；②觀察函數圖象，可得出當\o"中國教育出版網""時，\o"中國教育出版網""取得最大值，最大值為\o"中國教育出版網""，進而可得出結論②正確；③設甲的速度為\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""，乙的速度為\o"中國教育出版網""，利用路程\o"中國教育出版網""速度\o"中國教育出版網""時間，可列出關于\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""的二元一次方程組，解之可得出\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""的之，將其代入\o"中國教育出版網""中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后\o"中國教育出版網""，進而可得出結論③錯誤；④利用路程\o"中國教育出版網""速度\o"中國教育出版網""時間，即可求出\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""兩地之間的距離是\o"中國教育出版網""．【詳解】解：①\o"中國教育出版網""乙比甲晚出發\o"中國教育出版網""，且當x=50時，\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""乙出發\o"中國教育出版網""時，兩人第一次相遇，既甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為\o"中國教育出版網""，結論①正確；②觀察函數圖象，可知：當\o"中國教育出版網""時，\o"中國教育出版網""取得最大值，最大值為\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""甲出發\o"中國教育出版網""時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值\o"中國教育出版網""，結論②正確；③設甲的速度為\o"中國教育出版網""，乙的速度為\o"中國教育出版網""，根據題意得：\o"中國教育出版網""，解得：\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后\o"中國教育出版網""，結論③錯誤；④\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""兩地之間的距離是\o"中國教育出版網""，結論④正確．綜上所述，正確的結論有①②④．故選：B．【典例4】（2024·內蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰辰”的數量是用2200元購進大號“龍辰辰”數量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網店在該廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數不超過小號“龍辰辰”個數的一半，小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，則該網店所獲最大利潤為元．【答案】551260【知識點】分式方程的實際應用、一元一次不等式組的其他應用、最大利潤問題(一次函數的實際應用)【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數的應用，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．設大號“龍辰辰”的單價為\o"中國教育出版網""元，則小號“龍辰辰”的單價為\o"中國教育出版網""元，根據題意建立分式方程，解方程即可得；設購進小號“龍辰辰”的數量為\o"中國教育出版網""個，則購進大號“龍辰辰”的數量為\o"中國教育出版網""個，先求出\o"中國教育出版網""的取值范圍，再設該網店所獲利潤為\o"中國教育出版網""元，建立\o"中國教育出版網""關于\o"中國教育出版網""的函數關系式，利用一次函數的性質求解即可得．【詳解】解：設大號“龍辰辰”的單價為\o"中國教育出版網""元，則小號“龍辰辰”的單價為\o"中國教育出版網""元，由題意得：\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，經檢驗，\o"中國教育出版網""是所列分式方程的解，所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．設購進小號“龍辰辰”的數量為\o"中國教育出版網""個，則購進大號“龍辰辰”的數量為\o"中國教育出版網""個，由題意得：\o"中國教育出版網""，解得\o"中國教育出版網""，設該網店所獲利潤為\o"中國教育出版網""元，則\o"中國教育出版網""，由一次函數的性質可知，在\o"中國教育出版網""內，\o"中國教育出版網""隨\o"中國教育出版網""的增大而減小，則當\o"中國教育出版網""時，\o"中國教育出版網""取得最大值，最大值為\o"中國教育出版網""，即該網店所獲最大利潤為1260元，故答案為：55；1260．【典例5】（2024·重慶·中考真題）我們規定：若一個正整數\o"中國教育出版網""能寫成\o"中國教育出版網""，其中\o"中國教育出版網""與\o"中國教育出版網""都是兩位數，且\o"中國教育出版網""與\o"中國教育出版網""的十位數字相同，個位數字之和為\o"中國教育出版網""，則稱\o"中國教育出版網""為“方減數”，并把\o"中國教育出版網""分解成\o"中國教育出版網""的過程，稱為“方減分解”．例如：因為\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""與\o"中國教育出版網""的十位數字相同，個位數字\o"中國教育出版網""與\o"中國教育出版網""的和為\o"中國教育出版網""，所以\o"中國教育出版網""是“方減數”，\o"中國教育出版網""分解成\o"中國教育出版網""的過程就是“方減分解”．按照這個規定，最小的“方減數”是．把一個“方減數”\o"中國教育出版網""進行“方減分解”，即\o"中國教育出版網""，將\o"中國教育出版網""放在\o"中國教育出版網""的左邊組成一個新的四位數\o"中國教育出版網""，若\o"中國教育出版網""除以\o"中國教育出版網""余數為\o"中國教育出版網""，且\o"中國教育出版網""（\o"中國教育出版網""為整數），則滿足條件的正整數\o"中國教育出版網""為．【答案】\o"中國教育出版網""\o"中國教育出版網""【知識點】新定義下的實數運算、整式加減的應用、二元一次方程的解【分析】本題考查了新定義，設\o"中國教育出版網""，則\o"中國教育出版網""（\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""）根據最小的“方減數”可得\o"中國教育出版網""，代入，即可求解；根據\o"中國教育出版網""除以\o"中國教育出版網""余數為\o"中國教育出版網""，且\o"中國教育出版網""（\o"中國教育出版網""為整數），得出\o"中國教育出版網""為整數，\o"中國教育出版網""是完全平方數，在\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，逐個檢驗計算，即可求解．【詳解】\o"中國教育出版網""設\o"中國教育出版網""，則\o"中國教育出版網""（\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""）由題意得：\o"中國教育出版網""，∵\o"中國教育出版網""，“方減數”最小，∴\o"中國教育出版網""，則\o"中國教育出版網""，\o"中國教育出版網""，∴\o"中國教育出版網""，則當\o"中國教育出版網""時，\o"中國教育出版網""最小，為\o"中國教育出版網""，故答案為：\o"中國教育出版網""；\o"中國教育出版網""設\o"中國教