PAGEPAGE1第3講簡潔的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞1．命題“?x0∈R，lnx0＋2x0≤0”的否定是()A．?x∈R，lnx＋2x＜0B．?x∈R，lnx＋2x＞0C．?x0∈R，lnx0＋2x0＞0D．?x∈R，lnx＋2x≤0解析：選B．命題“?x0∈R，lnx0＋2x0≤0”的否定是“?x∈R，lnx＋2x＞0”，故選B．2．(2024·福州質檢)已知命題p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，則﹁p是()A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：選C．已知全稱命題p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，則﹁p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0，故選C．3．(2024·東北三校聯考(一))下列命題中是假命題的是()A．?x∈R，log2x＝0 B．?x∈R，cosx＝1C．?x∈R，x2＞0 D．?x∈R，2x＞0解析：選C．因為log21＝0，cos0＝1，所以選項A、B均為真命題，02＝0，選項C為假命題，2x＞0，選項D為真命題，故選C．4．命題p：甲的數學成果不低于100分，命題q：乙的數學成果低于100分，則p∨(﹁q)表示()A．甲、乙兩人的數學成果都低于100分B．甲、乙兩人至少有一人的數學成果低于100分C．甲、乙兩人的數學成果都不低于100分D．甲、乙兩人至少有一人的數學成果不低于100分解析：選D.由于命題q：乙的數學成果低于100分，因此﹁q：乙的數學成果不低于100分．所以p∨(﹁q)：甲、乙兩人至少有一人的數學成果不低于100分，故選D.5．以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A．銳角三角形有一個內角是鈍角B．至少有一個實數x，使x2≤0C．兩個無理數的和必是無理數D．存在一個負數x，eq\f(1,x)>2解析：選B．A中銳角三角形的內角都是銳角，所以A是假命題；B中當x＝0時，x2＝0，滿意x2≤0，所以B既是特稱命題又是真命題；C中因為eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是無理數，所以C是假命題；D中對于隨意一個負數x，都有eq\f(1,x)<0，不滿意eq\f(1,x)>2，所以D是假命題．6．已知命題p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，則()A．p是假命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0解析：選B．因為3x>0，所以3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0，所以p是假命題；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故選B．7．已知命題p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命題q：若a＞b，則a2＞b2.下列命題為真命題的是()A．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q解析：選B．因為?x＞0，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以命題p為真命題；當b＜a＜0時，a2＜b2，故命題q為假命題，由真值表可知B正確，故選B．8．(2024·廣州調研)設命題p：?x<1，x2<1，命題q：?x0>0，2x0>eq\f(1,x0)，則下列命題中是真命題的是()A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)解析：選B.依據題意可得命題p是假命題，q是真命題，所以p∧q是假命題，(﹁p)∧q是真命題，p∧(﹁q)是假命題，(﹁p)∧(﹁q)是假命題，故選B.9．已知命題p：“x>3”是“x2>9”的充要條件，命題q：“a2>b2”是“a>b”的充要條件，則()A．p∨q為真 B．p∧q為真C．p真q假 D．p∨q為假解析：選D.由x>3能夠得出x2>9，反之不成立，故命題p是假命題；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不肯定大于b，反之也不肯定成立，故命題q是假命題．因此選D.10．若命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”是真命題，則實數a的取值范圍是()A．[－1，3] B．(－1，3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：選D.因為命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”是真命題等價于xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＝0有兩個不等的實根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故選D.11．(2024·湖南湘東五校聯考)下列說法中正確的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件B．命題p：?x∈R，2x>0，則﹁p：?x0∈R，2x0<0C．命題“若a>b>0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”的逆命題是真命題D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要條件解析：選A.對于選項A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正確．對于選項B，全稱命題的否定為特稱命題，所以命題p：?x∈R，2x>0的否定為﹁p：?x0∈R，2x0≤0，故B錯誤．對于選項C，其逆命題：若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則a>b>0，可舉反例，如a＝－1，b＝1，明顯為假命題，故C錯誤．對于選項D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D錯誤．故選A.12．已知命題p：?x∈N*，(eq\f(1,2))x≥(eq\f(1,3))x，命題q：?x∈N*，2x＋21－x＝2eq\r(2)，則下列命題中為真命題的是()A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)解析：選C．因為y＝xn(n為正整數)在(0，＋∞)上是增函數，又eq\f(1,2)＞eq\f(1,3)，所以?x∈N*，(eq\f(1,2))x≥(eq\f(1,3))x成立，p為真命題；因為2x＞0，21－x＞0，所以2x＋21－x≥2eq\r(2x×21－x)＝2eq\r(2)，當且僅當2x＝21－x，即x＝eq\f(1,2)時等號成立，因為x＝eq\f(1,2)?N*，所以q為假命題，所以p∧(﹁q)為真命題．故選C．13．命題p的否定是“對全部正數x，eq\r(x)＞x＋1”，則命題p可寫為___________．解析：因為p是﹁p的否定，所以只需將全稱量詞變為特稱量詞，再對結論否定即可．答案：?x0∈(0，＋∞)，eq\r(x0)≤x0＋114．若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”為真命題，則實數m的最大值為________．解析：由“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”為真命題，可得－1≤tanx≤1，所以0≤tanx＋1≤2，所以實數m的最大值為0.答案：015．已知命題“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0”的否定為假命題，則實數a的取值范圍是________．解析：由“?x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0”的否定為假命題，可知原命題必為真命題，即不等式x2－5x＋eq\f(15,2)a＞0對隨意實數x恒成立．設f(x)＝x2－5x＋eq\f(15,2)a，則其圖象恒在x軸的上方．故Δ＝25－4×eq\f(15,2)a＜0，解得a＞eq\f(5,6)，即實數a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，＋∞))16．下列結論：①若命題p：?x0∈R，tanx0＝2；命題q：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,2)>0，則命題“p∧(﹁q)”是假命題；②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是eq\f(a,b)＝－3；③“設a，b∈R”，若ab≥2，則a2＋b2＞4”的否命題為：“設a，b∈R，若ab＜2，則a2＋b2≤4”．其中正確結論的序號為________．(把你認為正確結論的序號都填上)解析：在①中，命題p是真命題，命題q也是真命題，故“p∧(﹁q)”是假命題是正確的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正確．在③中“設a，b∈R，若ab≥2，則a2＋b2＞4”的否命題為“設a，b∈R，若ab＜2，則a2＋b2≤4”正確．答案：①③1．(2024·鄭州第一次質量預料)下列說法正確的是()A．“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1”B．“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題C．?x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D．“若sinα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,6)”是真命題解析：選D.對于選項A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，所以選項A錯誤；對于選項B，其逆命題為“若a<b，則am2<bm2”，當m＝0時，am2＝bm2，因此選項B是假命題；對于選項C，對于函數y＝3x與y＝4x，當x0∈(0，＋∞)時，4x0>3x0，故選項C錯誤；對于選項D，可考慮其逆否命題的真假，其逆否命題為“若α＝eq\f(π,6)，則sinα＝eq\f(1,2)”，是真命題，從而原命題為真命題．故選D.2．已知命題p：?x∈R，x2＋1<2x；命題q：若mx2－mx＋1>0恒成立，則0<m<4，那么()A．“﹁p”是假命題 B．q是真命題C．“p∨q”為假命題 D．“p∧q”為真命題解析：選C．因為x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命題p為假；若mx2－mx＋1>0恒成立，則m＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m2－4m<0，))則0≤m<4，所以命題q為假，故選C．3．(2024·張掖第一次診斷)下列說法正確的是()A．若a∈R，則“eq\f(1,a)＜1”是“a＞1”的必要不充分條件B．“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的必要不充分條件C．若命題p：“?x∈R，sinx＋cosx≤eq\r(2)”，則﹁p是真命題D．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＜0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3＞0”解析：選A．由eq\f(1,a)＜1，得a＜0或a＞1，反之，由a＞1，得eq\f(1,a)＜1，所以“eq\f(1,a)＜1”是“a＞1”的必要不充分條件，故A正確；由p∧q為真命題，知p，q均為真命題，所以p∨q為真命題，反之，由p∨q為真命題，得p，q至少有一個為真命題，所以p∧q不肯定為真命題，所以“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的充分不必要條件，故B不正確；因為sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)，所以命題p為真命題，則﹁p是假命題，故C不正確；命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＜0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3≥0”，故D不正確．4．已知命題p1：?x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：?θ∈R，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,2)，則在命題q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(﹁p1)∨p2和q4：p1∧(﹁p2)中，真命題是________．解析：因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)在R上是增函數，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命題p1是真命題；sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)，所以命題p2是假命題，﹁p2是真命題，所以命題q1：p1∨p2，q4：p1∧(﹁p2)是真命題．答案：q1，q45．設命題p：函數y＝loga(x＋1)在區間(－1，＋∞)內單調遞減，q：曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸有兩個不同的交點．若p∧﹁q為真命題，求實數a的取值范圍．解：函數y＝loga(x＋1)在區間(－1，＋∞)內單調遞減?0＜a＜1，曲線y＝x2＋(2a－3)x＋1與x軸有兩個不同的交點?Δ＝(2a－3)2－4＞0?a＜eq\f(1,2)或a＞eq\f(5,2).所以若p為真命題，則0＜a＜1；若q為真命題，則a＜eq\f(1,2)或a＞eq\f(5,2).因為p∧﹁q為真命題，所以p為真命題，q為假命題．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1,\f(1,2)≤a≤\f(5,2)))，解得eq\f(1,2)≤a＜1，所以實數a的取值范圍是[eq\f(1,2)，1)．6．設p：實數x滿意x2－5ax＋4a2＜0(其中a＞0)，q：實數x滿意2＜x≤5.(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；(2)若