奧數拓展第六講：多邊形的面積綜合數學五年級上冊人教版一、選擇題1．比較下面陰影部分的面積，（

）是錯誤的。①

②

③

④A．圖①中陰影部分的面積等于圖②中陰影部分的面積B．圖②中陰影部分的面積等于圖③中陰影部分的面積C．圖③中陰影部分的面積不等于圖④中陰影部分的面積2．一個等腰直角三角形的斜邊長為a厘米（如圖），則這個三角形的面積是（

）平方厘米。

A．a B．a2 C．a D．a23．一個用木條釘成的長方形，用手將長方形拉成平行四邊形，如圖所示。關于面積的變化，下面說法正確的是（

）。A．面積變大 B．面積變小 C．面積不變 D．無法確定4．七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成七巧板，把一幅七巧板按如圖①所示進行1~7編號，1~7號分別對應著七巧板的七塊。圖②所示的“天鵝”是由這幅七巧板拼成的，“天鵝”頭頸由3號和6號塊構成，其面積為3，則圖①大正方形的邊長為（

）。

A．8 B．6 C．4 D．25．將一個梯形割補成一個三角形（如圖所示），面積和原來相比（

），周長與原來相比（

）。A．不變；變大 B．不變；變小 C．變?。蛔兇?D．無法確定6．如圖中兩個正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，陰影部分的面積是（

）平方厘米。A．20 B．18 C．16 D．22二、填空題7．下圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，其中幾個三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是()平方厘米。8．圖中ABCD為正方形，E為AB的中點，陰影部分的面積是21cm2，正方形ABCD的面積是()cm2。9．如圖，在三角形ABC中，D是邊AB的中點，可知AD＝BD，則三角形BCD與三角形ACD的面積相等。(1)如圖①，在三角形ABC中，D、E分別是AB和AC兩邊的中點。已知三角形ADE的面積是2cm2，則三角形ABC的面積是()cm2。(2)如圖②，在三角形ABC中，把AB邊三等分、AC邊四等分。已知三角形ADE的面積是2cm2，則三角形ABC的面積是()cm2。(3)如圖③，在平行四邊形ABCD中，把AB邊五等分、AD邊六等分。已知平行四邊形ABCD的面積是15cm2，則三角形AEF的面積是()cm2。10．如圖，在△ABC中，BC＝3BE，AC＝4CD。已知△ADE的面積是36cm2，那么，△ABC的面積是()cm2。11．直角三角形ACD中，陰影部分的面積為（如圖）。已知，，，AC長()cm。12．一個直角梯形，如果把下底減少4dm，這個梯形就變成一個邊長是8dm的正方形。這個梯形的面積是()dm2。13．下圖中，長方形ABCF與長方形ACDE部分重疊。(1)AE長()cm。(2)如果三角形①的面積是8.64，那么三角形②的面積是()。14．下圖是一個直角梯形，如果把上底延長4厘米，就變成了一個長方形，這樣，直角梯形的面積就增加了12平方厘米。原來的這個直角梯形的面積是()平方厘米。三、解答題15．按要求畫一畫、填一填、算一算。（每個小方格的邊長是1cm）①三角形ABC是一個軸對稱圖形，請你補全這個三角形，并標出點C。②在圖上用數對表示三角形頂點B和C的位置，觀察它們的數對，你發現了什么？_________________________________________________________③圖中三角形ABC的面積是（

）cm2，在方格紙上畫一個和這個三角形面積相等的平行四邊形。

16．如圖，三角形ABC中，底和高都是6厘米，點A和點C同時以0.5厘米/秒的速度向右平移，形成一個梯形，經過幾秒后，梯形的面積達到42平方厘米？17．如圖，是長方形ADEF和直角梯形ABCD組成的組合圖形，已知長方形AFED的面積是90平方厘米，求陰影部分面積。

18．如圖所示，四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形，請你說明理由這兩個平行四邊形的面積相等。19．將一個平行四邊形分成一個三角形和一個梯形（如下圖），兩部分的面積相差40平方厘米，求線段EC的長度。20．如圖（單位：cm），同一直線上的直角梯形和長方形相距10cm，直角梯形的上底是2cm，下底是4cm，長方形的長是20cm，寬6cm?，F在直角梯形按每秒2cm的速度勻速向右平移。（1）畫出直角梯形平移6秒后的位置，這時它與長方形重疊部分的面積是多少平方厘米？（2）在直角梯形平移的過程中，整個直角梯形與長方形完全重疊的時間維持了幾秒？

參考答案：1．B【分析】設大、小正方形的邊長分別為a和b，分別用a和b表示出每個圖形中陰影部分的面積，再逐項判斷即可?！驹斀狻吭O大、小正方形的邊長分別為a和b，①中陰影部分的面積為：ab；②中陰影部分的面積為：ab；③中陰影部分的面積為：a2；④中陰影部分的面積為：b2；A.圖①中陰影部分的面積等于圖②中陰影部分的面積，說法正確；B.圖②中陰影部分的面積不等于圖③中陰影部分的面積，原說法錯誤；C.圖③中陰影部分的面積不等于圖④中陰影部分的面積，說法正確。故答案為：B【點睛】分別用a和b表示出每個圖形中陰影部分的面積，是解答此題的關鍵。2．D【分析】以直角頂點為中心，用四個一樣的等腰直角三角形能夠拼成邊長為a的正方形，正方形面積是a2，所以每個等腰直角三角形的面積是a2的四分之一，據此解答。【詳解】如圖，四個一樣的等腰直角三角形拼成一個邊長是a的正方形，正方形面積是a2，所以一個等腰直角三角形的面積是a2。

故答案為：D【點睛】此題應用三角形面積公式無法計算出這個等腰三角形的面積，利用平面圖形的拼接組合，得到我們熟悉的正方形，從而得以解決。割補和分割都是計算平面幾何圖形面積常用的數學方法。3．B【分析】把一個用木條釘成的長方形框架拉成一個平行四邊形后，每條邊的長度都不變，但是高變小了，于是由平行四邊形和長方形的面積公式可知，它的面積變小了，據此解答?！驹斀狻堪岩粋€用木條釘成的長方形框架拉成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于長方形的長，平行四邊形的高小于長方形的寬，所以面積變小了。故答案為：B【點睛】本題考查的平行四邊形、長方形周長和面積，關鍵是明確：把長方形拉成平行四邊形后，平行四邊形的高小于長方形的寬。4．C【分析】由七巧板可知，6號塊的面積是3號塊面積的2倍，已知“天鵝”頭頸由3號和6號塊構成，其面積為3，則3號塊的面積是1，6號塊的面積是2；由此推出5號塊面積是1，4號塊和7號塊的面積是2；可得出3、4、5、6、7號塊的面積一共是（1＋2＋1＋2＋2）；它們的面積和正好是圖①大正方形面積的一半，由此求出正方形的面積；然后根據正方形的面積＝邊長×邊長，推出正方形的邊長。【詳解】已知“天鵝”頭頸由3號和6號塊構成，其面積為3，則3號塊的面積是1，6號塊的面積是2；3、4、5、6、7號塊的面積一共是1＋2＋1＋2＋2＝8；正方形的面積是：8×2＝16因為16＝4×4，所以圖①大正方形的邊長為4。故答案為：C【點睛】發現七巧板各部分之間的面積關系是解題的關鍵。5．A【分析】如圖所示，三角形ABE和三角形FCE形狀相同面積相等，梯形ABCD的面積＝三角形ABE的面積＋四邊形AECD的面積，三角形ADF的面積＝三角形FCE的面積＋四邊形AECD的面積，將一個梯形割補成一個三角形面積不變；梯形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD，三角形ADF的周長＝AF＋CF＋CD＋AD，比較AF和BC的大小，求出兩個圖形周長的大小關系，據此解答?！驹斀狻棵娣e：三角形ABE的面積＝三角形FCE的面積梯形ABCD的面積＝三角形ABE的面積＋四邊形AECD的面積三角形ADF的面積＝三角形FCE的面積＋四邊形AECD的面積所以，梯形ABCD的面積＝三角形ADF的面積周長：梯形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD三角形ADF的周長＝AF＋CF＋CD＋AD由圖可知，AB＝CF，則梯形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝BC＋CF＋CD＋AD。因為AF＞BC，則AF＋CF＋CD＋AD＞BC＋CF＋CD＋AD，所以三角形ADF的周長＞梯形ABCD的周長。由上可知，將一個梯形割補成一個三角形，面積和原來相比不變，周長與原來相比變大。故答案為：A【點睛】理解用割補法把梯形轉化為三角形后面積不變，分析圖形找出周長的變化情況是解答題目的關鍵。6．B【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之和減去兩個空白三角形的面積之和，再加上右上方底為4厘米、高為（6－4）厘米的陰影小三角形的面積；根據正方形的面積＝邊長×邊長，三角形的面積＝底×高÷2，代入數據計算即可?！驹斀狻績蓚€正方形的面積：6×6＝36（平方厘米）4×4＝16（平方厘米）兩個空白三角形的面積：6×6÷2＝36÷2＝18（平方厘米）（6＋4）×4÷2＝10×4÷2＝40÷2＝20（平方厘米）右上方陰影小三角形的面積：4×（6－4）÷2＝4×2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）陰影部分的面積：（36＋16）－（18＋20）＋4＝52－38＋4＝14＋4＝18（平方厘米）陰影部分的面積是18平方厘米。故答案為：B【點睛】本題考查陰影部分面積的計算，關鍵是分析出陰影部分的面積是由哪些圖形的面積相加或相減得到，利用圖形的面積公式求解。7．5【分析】如下圖，先設AC與DE相交于點F，連接AE。先求出平行四邊形ABED的面積，觀察圖形可知，三角形ADE與平行四邊形ABED等底等高，得出三角形ADE的面積是平行四邊形面積的一半；從圖中可知，三角形ADC和三角形ADE等底等高，則三角形ADC的面積等于三角形ADE的面積，再減去三角形ADF的面積，即是陰影部分的面積?！驹斀狻咳鐖D：設AC與DE相交于點F，連接AE。平行四邊形ABED的面積：18＋8＝26（平方厘米）三角形ADE與平行四邊形ABED等底等高，則三角形ADE的面積是：26÷2＝13（平方厘米）三角形ADC和三角形ADE等底等高，則三角形ADC的面積是13平方厘米；那么三角形CDF的面積：13－8＝5（平方厘米）所以，陰影部分的面積是5平方厘米?！军c睛】明確等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半，等底等高的兩個三角形的面積相等是解題的關鍵。8．56【分析】如下圖，把陰影部分分割成3個完全一樣的小三角形，用陰影部分的面積除以3，求出一個小三角形的面積，然后乘4，即是正方形面積的一半，再乘2，求出正方形的面積?！驹斀狻咳鐖D：21÷3＝7（cm2）7×4×2＝28×2＝56（cm2）正方形ABCD的面積是56cm2。【點睛】把求正方形的面積轉化到求三角形的面積上，把陰影部分平均分成3個小三角形，而正方形的一半是4個同樣的小三角形，求出一個小三角形的面積是解題的關鍵。9．(1)8(2)24(3)0.25【分析】（1）根據題意，推理出因為E是AC邊的中點，所以三角形ADE的面積等于三角形CDE的面積。又因為D是AB邊的中點，所以三角形BCD與三角形ACD的面積相等。那么用三角形ADE的面積乘2，先求出三角形ACD的面積。再將三角形ACD的面積乘2，即可求出三角形ABC的面積；（2）同理（1）可推出，把AC邊四等分，那么三角形ADE的面積是三角形ACD面積的四分之一。把AB邊三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三分之一。據此，將三角形ADE的面積先乘4，求出三角形ACD的面積。再將三角形ACD的面積乘3，求出三角形ABC的面積；（3）將平行四邊形的面積除以2，先求出三角形ABD的面積。再將三角形ABD面積除以5，求出三角形ADE的面積。最后再將三角形ADE的面積除以6，即可求出三角形AEF的面積。【詳解】（1）2×2×2＝4×2＝8（cm2）所以，此時三角形ABC的面積是8cm2。（2）2×4×3＝8×3＝24（cm2）所以，此時三角形ABC的面積是24cm2。（3）15÷2÷5÷6＝7.5÷5÷6＝1.5÷6＝0.25（cm2）所以，此時三角形AEF的面積是0.25cm2。【點睛】本題考查了三角形的面積，解答本題的關鍵是理解題干中的理論，應用新方法去求三角形的面積。10．72【分析】因為AC＝4CD，所以AD＝3DC，又因為△ADE和△EDC等高，所以△EDC面積是36÷3＝12（cm2），△AEC的面積是36＋12＝48（cm2）。又因為BC＝3BE，所以EC＝2BE，因為△AEC和△ABE等高，所以△ABE的面積是48÷2＝24（cm2），那么△ABC的面積是24＋48＝72（cm2）?！驹斀狻緽C＝3BE，即EC＝2BE，；AC＝4CD，即AD＝3CD，，而，所以，，，72（）?！军c睛】本題考查圖形面積計算。解題關鍵是掌握兩個等高三角形，面積的倍數關系與底的倍數關系一致。11．16【分析】DE＝EC，三角形BDE和三角形CBE的高相等，根據三角形的面積＝底×高÷2，三角形BDE和三角形CBE的面積相等，AB＝BC，三角形CBD和三角形ABD的高相等，所以三角形CBD和三角形ABD的面積相等，而三角形ACD的面積＝三角形CBD面積＋三角形ABD的面積，可求出三角形ACD的面積，再根據三角形的面積公式，代入數據，即可求出AC的長度?！驹斀狻扛鶕治龅?，三角形BDE面積＝三角形CBE面積＝15（cm2）三角形ABD的面積＝三角形CBD＝三角形BDE面積＋三角形CBE面積＝15＋15＝30（cm2）三角形ACD的面積＝三角形CBD面積＋三角形ABD的面積＝30＋30＝60（cm2）AC＝三角形ACD的面積×2÷AD＝60×2÷7.5＝120÷7.5＝16（cm）即AC長16cm?！军c睛】此題的解題關鍵是靈活運用三角形的面積公式，根據等底等高的兩個三角形面積相等，從而解決問題。12．80【分析】根據題意，直角梯形的下底減少4dm，這個梯形就變成一個邊長是8dm的正方形，根據正方形的四條邊相等的特征，得出這個直角梯形的上底是8dm，下底是（8＋4）dm，高是8dm，根據梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，代入數據計算即可求出這個梯形的面積?！驹斀狻?＋4＝12（dm）（12＋8）×8÷2＝20×8÷2＝160÷2＝80（dm2）這個梯形的面積是80dm2?！军c睛】本題考查梯形面積公式的運用，根據正方形的特征推出梯形的上底、下底和高是解題的關鍵。13．(1)4.8(2)15.36【分析】（1）觀察圖形可知，長方形ABCF的長為8cm，寬為6cm，根據長方形的面積公式：S＝ab，據此求出該長方形的面積，三角形AFC的面積是該長方形的面積的一半，據此求出三角形AFC的面積，進而求出三角形AFC的高，也就是AE的長；（2）由（1）可知三角形AFC的面積，長方形的面積是三角形AFC的面積的2倍，用該長方形的面積減去三角形①和三角形③的面積即可求解。【詳解】（1）8×6÷2×2÷10＝48÷2×2÷10＝24×2÷10＝48÷10＝4.8（cm）則AE長4.8cm。（2）8×6÷2＝48÷2＝24（cm2）24×2－8.64－24＝48－8.64－24＝39.36－24＝15.36（cm2）則三角形②的面積是15.36?！军c睛】本題考查長方形和三角形的面積，熟記公式是解題的關鍵。14．42【分析】根據題意可知，增加部分的面積是一個底為4厘米的三角形的面積，根據三角形的高＝三角形的面積×2÷底，求出三角形的高，也是原來直角梯形的高；又已知把上底延長4厘米，就變成一個長方形，根據長方形對邊相等的特點，則梯形的上底是（9－4）厘米；最后根據梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，代入數據計算即可求出原來的這個直角梯形的面積?！驹斀狻咳切蔚母撸ㄌ菪蔚母撸?2×2÷4＝24÷4＝6（厘米）梯形的上底：9－4＝5（厘米）梯形的面積：（5＋9）×6÷2＝14×6÷2＝84÷2＝42（平方厘米）原來的這個直角梯形的面積是42平方厘米。【點睛】本題考查三角形、梯形面積公式的靈活運用，求出梯形的上底和高是解題的關鍵。15．（1）見詳解（2）（3，2），（9，2）；我發現B點和C點在同一行（3）15；圖見詳解【分析】（1）根據軸對稱圖形的特征，對稱點到對稱軸的距離相等，對稱點的連線垂直于對稱軸，在對稱軸的右邊畫出左圖的關鍵對稱點，依次連接，再標上C點即可。（2）根據用數對表示點的位置的方法，第一個數字表示列數，第二個數字表示行數，即可用數對表示出B、C點的位置；再根據兩點的位置寫出自己的發現。（3）根據三角形面積公式：三角形面積＝底×高÷2求出圖中三角形的面積；要畫的平行四邊形的面積與三角形的面積相等，根據平行四邊形的面積＝底×高，確定平行四邊形的底和高，據此畫出這個平行四邊形。【詳解】（1）補全這個三角形（如下圖）。（2）在圖上用數對表示三角形頂點B和C的位置（如下圖）；我發現B點和C點在同一行。（答案不唯一）（3）三角形的面積是：6×5÷2＝30÷2＝15（cm2）因為15＝5×3，可以畫一個底為5cm，高為3cm的平行四邊形，如圖所示：

（平行四邊形的畫法不唯一）【點睛】此題考查的知識有：數對與位置、作軸對稱圖形，三角形的面積和平行四邊形的面積；注意畫平行四邊形時，要保證面積與三角形的面積相等，形狀不唯一。16．8秒【分析】由圖可知，梯形的面積＝三角形的面積＋平行四邊形的面積，利用“三角形的面積＝底×高÷2”求出三角形ABC的面積，平行四邊形的面積＝梯形的面積－三角形的面積，平行四邊形的高等于三角形的高，利用“底＝平行四邊形的面積÷高”求出平行四邊形的底，即點A和點C平移的距離，最后根據“時間＝路程÷速度”求出點A和點C平移的時間，據此解答?！驹斀狻?2－6×6÷2＝42－18＝24（平方厘米）24÷6＝4（厘米）4÷0.5＝8（秒）答：經過8秒后，梯形的面積達到42平方厘米?！军c睛】把梯形的面積分割為三角形的面積與平行四邊形的面積之和，并求出平行四邊形的面積和平行四邊形的底是解答題目的關鍵。17．45平方厘米【分析】利用等積變換思想，將所求陰影部分面積轉化成一個規則的易求的幾何圖形的面積。首先，△GCD的面積等于△GDB的面積，而△BDE的面積等于△DEF的面積。【詳解】如圖，連接BD，FD。

因為AD∥BC所以S△GCD＝S△GDB因為FE∥AD，所以S△BDE＝S△DEF＝×90＝45（平方厘米）答：陰影部分面積是45平方厘米。【點睛】本題主要考查了三角形面積的等積變換，難度不大，但卻是一道經典好題。巧妙地