35相似三角形母子型一、單選題1．如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【詳解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB;∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD;所以有三對相似三角形，故選：C．2．如圖，點是的邊上的一點，若添加一個條件，使與相似，則下列所添加的條件錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；B．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；C．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；D．若，但夾的角不是公共等角∠B，則不能證明兩三角形相似，錯誤，符合題意，故選：D．3．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD=4，CD=3．下列結論①∠AED=∠ADC；②；③AC?BE=12；④3BF=4AC，其中結論正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∵∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本選項正確；②∵AD平分∠BAC，∴，∴設AB=4x，則AC=3x，在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，則（3x）2+49=（4x）2，解得：x=，∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故不正確；③由①知∠AED=∠ADC，∴∠BED=∠BDA，又∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，∴BE：BD=DC：AC，∴AC?BE=BD?DC=12．故本選項正確；④連接DM，在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，則DM=MA．∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM∥BF∥AC，由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．故本選項正確．綜上所述，①③④正確，共有3個．故選C．4．如圖，正方形ABCD中，△繞點A逆時針轉到，，分別交對角線BD于點E，F，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC繞點A逆時針旋轉到，∴∠EAF=∠BAC=45°，∴∠EAF=∠ADB=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴EF·ED=AE2，∵AE=4，∴EF·ED=16，故選：C．二、填空題5．如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當的條件，使，那么可添加的條件是．【答案】（答案不唯一，也可以增加條件：或）．【詳解】若增加條件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝．【答案】【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．7．如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．【答案】2【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=ABAD=31=2．故答案為28．在等腰中，頂角，點D在一腰上，連接，線段與底邊的長相等．若．則；若，則．【答案】6【詳解】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°36°）÷2=72°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=72°，∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=72°36°=36°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，∵BD=BC=6，∴AD=6；若AB=AC=6，設AD=x，則BD=BC=x，∴CD=6x，∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，即，解得：x=或（負值舍去），經檢驗：x=是原方程的解，∴AD=，故答案為：6，．9．如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點H，連接DG．以下四個結論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正確的是．（寫出所有正確結論的序號）【答案】①②④【詳解】解：設AB與EF相交于點O，如圖所示，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴，．又∵，∴．∵，∴，∴，故結論①正確；∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的對角線，∴，，∴．又∵，∴，即．∴△ACF∽△ADG．故結論②正確；由△ACF∽△ADG可知，∴DG平分．∵是等腰直角三角形，∴DG⊥AC．故結論④正確；∵，，∴△ACF∽△AFH，∴，∴．∵在等腰直角中，，∴，故結論③錯誤，∴正確的結論是①②④，故答案為：①②④．10．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．【答案】【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．11．如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結論①AE＝BF；②AE⊥BF；③S四邊形ECFG＝2S△BGE．正確的有．（填正確結論的序號）【答案】①②【詳解】解：∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積＝1：5，∴S四邊形ECFG＝4S△BGE，故③錯誤．故答案為：①②．12．如圖，正方形ABCD中，BC=2，點M是邊AB的中點，連接DM，DM與AC交于點P，點F為DM中點，點E為DC上的動點．當∠DFE=45°時，則DE=．【答案】．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，∵點M是邊AB的中點，，在中，，，，∴，，∵點F為DM中點，∴，∵，∴∴；即有．故答案是：．三、解答題13．已知：如圖，在中，D是AC上一點，連接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長.【答案】(1)見詳解；（2）【詳解】（1）證明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴14．已知，如圖，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D為BC邊上一點，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；（2）求AC長．【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由見詳解；（2）【詳解】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：AB＝2，BC＝4，BD＝1，，，又∠B=∠B，△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：，即，AD+AC=8，，解得：，．15．已知：如圖，中，平分，的垂直平分線交于點，交于點，交于點，交的延長線于點，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：如圖所示，連，∵垂直平分，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，又公共，∴，∴，∴，∴.16．已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．【答案】【詳解】解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD∴，∴CD2=BD?AD=4∴CD=2，∴．17．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．19．如圖，已知中，P是AB上一點，連接CP，B=ACP，求證：．【答案】見解析【詳解】解：∵∠A=∠A，B=ACP，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2=AP?AB．20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動點P以2cm/s的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1cm/s的速度從點C出發．沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點移動的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；（2）當運動時間為多少秒時，△CPQ與△CAB相似．【答案】（1）能，t的值為2s或3s；（2）t為秒與秒.【詳解】解：（1）如圖1，過點P作PH⊥BC于點H，在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，當運動ts（0＜t＜5）時，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，∴△PHC∽△ABC，∴∴PH＝（10﹣2t）cm，根據題意，得t?（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：當t的值為2s或3s時，△CQP的面積等于3.6cm2時．（2）如圖2，當∠PQC＝90°時，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如圖3，當∠CPQ＝90°時，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．綜上所述，t為秒與秒時，△CPQ與△CAB相似．21．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）2【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝222．如圖，已知矩形的兩條對角線相交于點O，過點作分別交、于點、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABE=90°∴∠ABG+∠EBG=90°∵∴∠ABG+∠BAG=90°∴∠EBG=∠BAG∴Rt△BEG∽Rt△AEB∴∴（2）由（1）有：∵BE=CE∴∴∵∠CEG=∠AEC∴△CEG∽△AEC∴∠CGE=∠ACE∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD∴OB=OC∴∠DBC=∠ACE∴23．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．24．如圖，中，，點為上一點，且．交于，交的延長線于．（1）求證：；（2）若，，求．【答案】(1)見解析;(2).【詳解】（1）∵，∴．又∵，，∴．而，，∴，∴，∴．又，，∴∽，∴，∴，∴．（2）由（1）可知，而，，∴，∴，∴在中根據勾股定理可知．∵∽，∴，．25．在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長；（2）如圖（2），過點A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點E，F．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即∴AD＝（2）①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過點作于，如圖3所示：∵，∴設，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．27．定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析；(2)或（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當時，，，，即是邊上的高，當時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．28．如圖1，，，，點從點出發以每秒1個單位長度的速度向點運動，點同時從點出發以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當一點到達終點時，另一點也停止運動．(1)求的長．(2)當以點、、為頂點的三角形與相似時，求的值．(3)如圖2，將本題改為點從點出發以每秒3個單位長度的速度在上向點運動，點同時從點出發向點運動，其速度是每秒2個單位長度，其它條件不變，求當為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)10；(2)當秒或秒時，以點M、C、N為頂點的三角形與相似；(3)當t的值為2秒或秒或秒時，能成為等腰三角形．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）解：①當時，∴，即，解得：；②當時，∴，即，解得：，綜上所述，當秒或秒時，以點M、C、N為頂點的三角形與相似；（3）解：①如圖3，當時，，解得：，②如圖4，當時，過點M作于D，則，∵，∴，∴，∴，即，解得：；③如圖5，當時，過點N作于D，則，，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，當t的值為2秒或秒或