第4講進位制問題五升六暑期第4講進位制問題五升六暑期知識點知識點進位制問題（六上）我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”．在實際生活中，除了十進制計數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進位制．比如二進制，八進制，十六進制等．二進制：在計算機中，所采用的計數(shù)法是二進制，即“逢二進一”．因此，二進制中只用兩個數(shù)字0和1．二進制的計數(shù)單位分別是1、21、22、23、……，二進制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：．二進制的運算法則：“滿二進一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一．注意：對于任意自然數(shù)n，我們有n0=1．n進制：n進制的運算法則是“逢n進一，借一當(dāng)n”，n進制的四則混合運算和十進制一樣，先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內(nèi)的．進制間的轉(zhuǎn)換：如右圖所示．知識進階知識進階課堂例題課堂例題進制間的互化1、（1）；（2）；（3）．【答案】

（1）31023；3735；11B9；7DD（2）257（3）3470【解析】

（1）通過“除n取余，逆序排列”的方法，可知．（2）．（3）．2、（1）把三進制數(shù)12120120110110121121改寫成九進制，它從左向右數(shù)第1位數(shù)字是多少？（2）．【答案】

（1）5（2）13121；731【解析】

（1），故三進制轉(zhuǎn)九進制從右往左兩位兩位轉(zhuǎn)換，故此數(shù)改寫成九進制后從左向右數(shù)第1位數(shù)字是．（2），，故二進制轉(zhuǎn)四（八）進制從右往左兩（三）位兩（三）位轉(zhuǎn)換，由此可得答案．3、一本書共有2013頁，第一天看一頁書，從第二天起，每天看的頁數(shù)都是以前各天的總和．如果直到最后剩下的不足以看一次時就一次看完，共需多少天？【答案】

12【解析】

各天所看頁數(shù)分別為1、1、2、4、8、16、……、512（第11天），此時共看頁，剩，故還需1天，共12天．N進制中的四則運算4、．【答案】

15031【解析】

列豎式即可，逢七進一．5、在________進制中有．【答案】

七【解析】

在十進制下，，故進制小于10，且為的約數(shù)．由于有數(shù)字6，故至少為七進制．綜上，只能為七進制．N進制中的數(shù)論6、（金帆五升六）（1）一個7進制的三位數(shù)化為9進制的數(shù)為，求這個數(shù)在十進制中為多少？（2）一個6進制的三位數(shù)化為9進制的數(shù)為，這個數(shù)在十進制中為多少？【答案】

（1）248（2）212【解析】

（1）我們還原為十進制；．于是；，即；因為24a是8的倍數(shù)，40c也是8的倍數(shù)，所以b也應(yīng)該是8的倍數(shù)．于是或8，但是在7進制，不可能有8這個數(shù)字．于是，所以，則；所以a為5的倍數(shù)，c為3的倍數(shù)．所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以．于是，這個三位數(shù)在十進制中為248．（2）；．所以；于是；因為35a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)．所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3，5)=1．所以，或5．①當(dāng)，則；則；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以，．但是在6，9進制，不可以有一個數(shù)字為16．②當(dāng)，則；則；mod7后，．所以或者(k為整數(shù))．因為有6進制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是，；．于是．所以．這個三位數(shù)在十進制中為212．7、A是一個十進制的兩位數(shù)，且十位是5；A的3倍記作B，把B表示為一個R進制的兩位數(shù)，它的各位數(shù)字恰好與A相同，那么A在十進制中的值是____________．【答案】

50或55【解析】

設(shè)，則，化簡得，即，a可能為0或5，經(jīng)檢驗均符合要求．8、一個自然數(shù)用四進制表示，它的數(shù)字和是5；用六進制表示，它的數(shù)字和是8；用八進制表示，它的數(shù)字和是11．那么在十進制中，這個數(shù)最小是_________．【答案】

53【解析】

設(shè)這個自然數(shù)為N四進制的數(shù)字和為5，則是3的倍數(shù)，即N除以3余2；六進制的數(shù)字和為8，則是5的倍數(shù)，即N除以5余3；八進制的數(shù)字和為11，則是7的倍數(shù)，即N除以7余4；用物不知數(shù)方法逐步滿足各個條件（詳細可以參考本講前面的知識點內(nèi)容），求得N最小為53．經(jīng)檢驗可知，，，符合要求．天平稱物9、一個天平，物品必須放在左盤，砝碼必須放在右盤，那么為了能稱出1克到1000克，至少需要多少個砝碼？【答案】

10【解析】

從稱1克開始依次考慮，需要克數(shù)為1、2、4、8、……、512的砝碼，共10個．10、一臺天平在稱物時，允許在天平的兩邊放砝碼．現(xiàn)在要求能一次性地分別稱出從1克到121克之間任意整克數(shù)重量的物體，至少需要__________個砝碼．【答案】

5【解析】

因為天平兩端可以放砝碼，所以可以做減法．必須有1克、3克，這時最大能稱4克．要稱5克還需要9克的砝碼，且最大可稱出克．而要稱出14克，要有27克的砝碼，且最大可稱出克．要稱出41克，要有81克的砝碼，且最大可稱出克．所以要求能一次性地分別稱出從1克到121克之間任意整克數(shù)重量的物體，至少需要1克、3克、9克、27克和81克這5個砝碼．其它問題11、在十進制的表示中，三個依次增大的兩位數(shù)恰構(gòu)成公差為6的等差數(shù)列；而在五進制的表示中，這三個數(shù)的數(shù)字和是依次減少的．符合這樣要求的等差數(shù)列有多少個？【答案】

6個【解析】

，那么這三個兩位數(shù)的五進制表示不會超過．第一個數(shù)加上6等于第二個數(shù)，也就是加上．?dāng)?shù)字和減少說明發(fā)生了進位．下面是五進制中的加法豎式．只有以下兩種發(fā)生進位的可能．+11+1111+11+1111有些位置可以確定．

AA24+1140+110111A43+1104+112011在兩個豎式中，A都只能是0、1或2，所以一共有6種可能．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、；；；．【答案】

554；2781；195；722【解析】

；；；．2、．【答案】

16157【解析】

從右端兩位截斷，易知．3、．【答案】

21234【解析】

列豎式即可，逢五進一．4、（北京四中）小聰?shù)叫∪A家玩時，小明正被父親責(zé)罵：“你都已經(jīng)六年級了，怎么連68×3都作錯，答案竟然是180，你腦袋到底在想什么啊！”小明一時尷尬的不知如何響應(yīng)．小聰思索一會兒后說：“伯父！伯父！小明作的是非十進制的運算，您看！算式是這樣的……它正確無誤！”小明的父親非常滿意的點點頭，小明則非常感激小聰替他解危．請問小聰是用幾進制來解釋這個算式的？【答案】

12【解析】

有數(shù)字8故至少為9進制，且由末位可知為進制數(shù)的倍數(shù)，因此為12或24進制，易知12進制符合要求．5、（金帆五升六）如果下列算式是八進制算式，請求出各字母表示的數(shù)字（不同字母表示不同數(shù)字）．ABABCD

＋CBAB

BBCBB【答案】

，，，【解析】

由和的首位數(shù)字分析可知，由個位可知，由加數(shù)的最高位需要進位且下一位不進位可得，而，最后試算可得，．課后作業(yè)課后作業(yè)1、進制互化：．【答案】

354【解析】

．2、．【答案】

1131【解析】

直接列豎式即可，逢四進一．3、一個十進制三位數(shù)，其中的a、b、c均代表某個數(shù)碼，它的二進制表達式是一個七位數(shù)，這個十進制的三位數(shù)是_______．【答案】

100【解析】

，化簡得．由于各字母只可能為0或1，易知，．4、a、b是自然數(shù)，a進制數(shù)47和b進制數(shù)74相等，a與b的和的最小值是_______．【答案】

24【解析】

a、b均至少為8．，，故且，易知最小情況為，此時．5、一個自然數(shù)的四進制表達式是一個三位數(shù)，它的三進制表達式也是一個三位數(shù)，而且這兩個三位數(shù)的數(shù)碼順序恰好相反．請問：這個自然數(shù)的十進制表示是__________．【答案】

22【解析】

設(shè)這個自然數(shù)的四進制表達式為，那么它的三進制表達式就是，那么有，化簡后得．考慮到a、b、c都小于3，只能，，．．6、一臺天平在稱物時，允許在天平的兩邊放砝碼．現(xiàn)在要求能一次性地分別稱出從1克到30克之間任意整克數(shù)重量的物體，至少需要__________個砝碼．【答案】

4【解析】

因為天平兩端可以放砝碼，所以可以做減法．必須有1克、3克，這時最大能稱4克．要稱5克還需要9克的砝碼，且最大可稱出克．而要稱出14克，要有27克的砝碼，且最大可稱出克．所以要求能一次性地分別稱出從1克到30克之間任意整克數(shù)重量的物體，至少1克、3克、9克和27克這4個砝碼．7、（2012走美杯四年級初賽）葛大財主請園藝師為其整修花園，要求一個月完成，3月1日開始31日結(jié)束，每天的工錢