-----利用向量解決空間的角問題1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題向量方法求距離的相關公式

距離問題

圖示

向量法距離公式兩點間的距離

點到直線的距離兩平行線之間的距離

點到平面的距離PQlAuaPQnαAPQ投影向量+勾股定理l1l2APQau復習回顧：引入

與距離類似,角度是立體幾何中另一個重要的度量,下面我們用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角。1.兩條異面直線所成的角(1)定義:設a,b是兩條異面直線,過空間任一點O作直線a1∥a,b1∥b,則a1,b1所夾的銳角或直角叫a與b所成的角.(2)范圍:空間三種角的向量求解方法aαbOa1b1l1l2l1l2不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來,兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系.注意:例1.如圖,在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中,M,N分別為BC,AD的中點,求直線AM和CN夾角的余弦值.如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝120°，F為CD的中點，PB＝2，以B為坐標原點，

的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．解：因為底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC＝120°，F為CD的中點，例2(2)求異面直線PD，BF所成角θ的余弦值．練習．如圖，在空間直角坐標系中有正方體ABCD-A′B′C′D′，點E是A′D′的中點，求直線A′B與直線CE所成角的余弦值．

以上我們用向量解決了異面直線所成角的問題,你能用向量方法求直線與平面所成的角嗎？2.直線與平面所成的角(1)定義:直線與它在這個平面內的射影所成的角.(2)范圍:PP1A斜線正射影直線與平面所成的角如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中點．求直線BE與平面EAC所成角的正弦值．解：連接MC，因為EA＝EB，M是AB的中點，所以EM⊥AB，因為平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM?平面ABE，所以EM⊥平面ABCD，又CM?平面ABCD，所以EM⊥CM，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，所以MC⊥AB．所以ME，MC，MB兩兩垂直．所以以點M為坐標原點，MB，MC，ME所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，例3設m＝(x，y，z)是平面ACE的一個法向量，設直線BE與平面EAC所成的角為θ，變式探究

(變條件、變結論)若點P在線段EC上，且直線AP與平面ABE所成的角為45°，求出

的值．解：由題意可知，平面ABE的一個法向量為n＝(0，1，0)，因為直線AP與平面ABE所成的角為45°，求直線與平面所成角的思路與步驟1．思路一：找直線在平面內的投影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數值)；思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量．2．利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟第一步(建系)：建立空間直角坐標系；第二步(求方向向量)：求直線的方向向量

；第三步(求法向量)：求平面的法向量n；第四步(計算)：設線面角為θ，則sinθ＝.

規律方法練習2．如圖所示的幾何體中，底面ABCD是平行四邊形，AB＝AC＝

，BC＝2，四邊形ACEF為矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF＝1，點M是線段EF的中點．(1)求證：AB⊥平面ACEF；證明：由四邊形ACEF是矩形，得AF⊥AC，而平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，AF?平面ACEF，則AF⊥平面ABCD，又AB?平面ABCD，于是AB⊥AF，由AB＝AC＝

，BC＝2，得AB2＋AC2＝BC2，則AB⊥AC，而AC∩AF＝A，AC，AF?平面ACEF，所以AB⊥平面ACEF.(2)求直線ED與平面BFM所成角的正弦值．解：由(1)知，直線AB，AC，AF兩兩垂直，以點A為坐標原點，直線AB，AC，AF分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設平面BFM的法向量為m＝(x，y，z)，設直線ED與平面BFM所成角為θ，則直線ED與平面BFM所成角的正弦值為：

以上我們用向量解決了異面直線所成角的問題和直線與平面所成角問題,你能用向量方法求平面與平面所成的角嗎？3.二面角(1)定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的大小用它的平面角來度量

以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

lOAB(2)范圍:同進同出互補一進一出相等lαβlαβxyzOxyzOFxyzOFxyzOFxyzOFxyzOFxyzOF練習．如圖所示，正四棱錐S-ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝2，P為側棱SD上的點，且SP＝3PD．

求二面角P-AC-B的大?。猓哼B接BD，設AC交BD于O，在正方形ABCD中，有AC⊥BD，連接SO，因為SA＝SC，SB＝SD，點O是AC，BD的中點，所以SO⊥AC，SO⊥BD，AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以SO⊥平面ABCD；如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，因為SO⊥平面ABCD，易知平面ABC的法向量為m＝(0，0，1)，設平面PAC的法向量為n＝(x，y，z)，由圖可知二面角P-AC-B的平面角為鈍角，(1)當空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置關系)時，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補)，但我們可以根據圖形觀察得到結論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.(2)注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.反思與感悟用向量方法解決立體幾何中夾角問題的一般步驟是什么？向量化向量運算幾何化向量夾角問題

向量夾角結論線線角、線面角、面面角問題線線角、線面、面面角結論小結：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關鍵:觀察二面角的范圍課后練習:1.如圖,在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【解析】設，則，，故選A.xyzAABCPDyxzO課后練習：2.如圖,在三棱錐P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.(1)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；(2)求二面角B-AP-C的余弦值.EABCPDxyzO2.如圖,在三棱錐P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.(1)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；(2)求二面角B-AP-C的余弦值.課后練習：ABCPDxyzO2.如圖,在三棱錐P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.(1)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；(2)求二面角B-AP-C的余弦值.課后練習：ABCPDxyzO2.如圖,在三棱錐P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.(1)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；(2)求二面角B-AP-C的余弦值.課后練習：

課后練習3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC，點D為BC中點．問：在線段AB上是否存在點M，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為

，若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．解：存在，M是AB的中點．因為PC⊥AC，所以∠PCA＝90°，因為AC＝BC，PA＝PB，PC＝PC，所以△PCA≌△PCB，所以∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥BC，又AC∩BC＝C，AC，BC?平面ACB，所以PC⊥平面ACB，所以PC，CA，CB兩兩垂直，故以C點為坐標原點，分別以CB，CA，CP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，因為AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，則AB＝2，又AP＝BP＝AB，則C(