江蘇省常州市2025-2025學年高三上學期期末質量調研數學試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三〔1〕班試卷標題：江蘇省常州市2025-2025學年高三上學期期末質量調研數學試題一、選擇題〔每題5分，共20分〕要求：在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，那么$f'(1)=\;?$A.-2B.0C.2D.42.知曉數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，那么$a_5=\;?$A.31B.33C.35D.373.知曉等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=16$，那么$a_9=\;?$A.32B.34C.36D.384.知曉函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，那么$f'(0)=\;?$A.-1B.0C.1D.不存在5.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處的切線方程為$\;?$A.$y=2x-1$B.$y=-2x+1$C.$y=x-2$D.$y=-x+2$6.知曉函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的圖像關于直線$x=\;?$對稱。A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.$x=\pm1$二、填空題〔每題5分，共20分〕要求：將答案填入橫線上。7.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，那么$f'(x)=\;?$8.知曉數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，那么$a_n=\;?$9.知曉等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=16$，那么$d=\;?$10.知曉函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，那么$f'(x)=\;?$三、解答題〔每題15分，共30分〕要求：解答以下各題，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。11.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：〔1〕$f(x)$在$x=1$處的導數值；〔2〕$f(x)$的極值點及其對應的極值。12.知曉數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的通項公式；〔2〕數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。四、解答題〔每題15分，共30分〕要求：解答以下各題，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。13.知曉等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=16$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的通項公式；〔2〕數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。14.知曉函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求：〔1〕$f(x)$的導數$f'(x)$；〔2〕$f(x)$的單調區間及極值點。五、解答題〔每題15分，共30分〕要求：解答以下各題，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：〔1〕$f(x)$在區間$[0,2]$上的最大值和最小值；〔2〕$f(x)$的凹凸性及拐點。16.知曉數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的極限；〔2〕數列$\{a_n\}$的收斂速度。六、解答題〔每題15分，共30分〕要求：解答以下各題，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17.知曉等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=16$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$在$n=10$時的值；〔2〕數列$\{a_n\}$的通項公式在$n=20$時的值。18.知曉函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求：〔1〕$f(x)$的導數$f'(x)$；〔2〕$f(x)$在$x=\frac{1}{2}$處的切線方程；〔3〕$f(x)$的圖像在$x=\frac{1}{2}$處的斜漸近線方程。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由導數的定義，$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-3(1+h)^2+4(1+h)+1-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^3-3h^2+4h}{h}=\lim_{h\to0}(h^2-3h+4)=4$。2.A解析：根據遞推關系，$a_2=2a_1+1=2\cdot1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\cdot3+1=7$，$a_4=2a_3+1=2\cdot7+1=15$，$a_5=2a_4+1=2\cdot15+1=31$。3.C解析：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$和$a_5=16$，得$16=2+(5-1)d$，解得$d=4$，因此$a_9=2+(9-1)\cdot4=36$。4.B解析：由導數的定義，$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{(0+h)^2+1}-\frac{1}{1}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{h^2+1}-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1-(h^2+1)}{h(h^2+1)}=\lim_{h\to0}\frac{-h^2}{h(h^2+1)}=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h^2+1}=0$。5.A解析：由導數的定義，$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-3(1+h)^2+4(1+h)+1-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^3-3h^2+4h}{h}=\lim_{h\to0}(h^2-3h+4)=2$，因此切線方程為$y=2x-1$。6.D解析：函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的圖像關于直線$x=\pm1$對稱，因為$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$。二、填空題7.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：由導數的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-3(x+h)^2+4(x+h)+1-(x^3-3x^2+4x+1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-6xh-6h^2+4h}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2-6x+4)=3x^2-6x+4$。8.$a_n=2^n-1$解析：由遞推關系，$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_n=2a_{n-1}+1$，遞推展開得$a_n=2(2a_{n-2}+1)+1=2^2a_{n-2}+2+1$，以此類推，最終得到$a_n=2^n-1$。9.$d=4$解析：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$和$a_5=16$，得$16=2+(5-1)d$，解得$d=4$。10.$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$解析：由導數的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x^2+1-(x+h)^2-1}{h(x^2+1)(x+h)^2}=\lim_{h\to0}\frac{-2xh-h^2}{h(x^2+1)(x+h)^2}=\lim_{h\to0}\frac{-2x-h}{(x^2+1)(x+h)^2}=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。本次試卷答案如下：四、解答題11.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：〔1〕$f(x)$在$x=1$處的導數值；〔2〕$f(x)$的極值點及其對應的極值。〔1〕$f'(x)=3x^2-6x+4$，因此$f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1+4=1$。〔2〕求$f(x)$的極值點，需解方程$f'(x)=0$，即$3x^2-6x+4=0$。通過因式分解或使用求根公式可得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。檢驗這兩個點的導數符號變化，發現當$x<\frac{2}{3}$時，$f'(x)>0$，當$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$，當$x>1$時，$f'(x)>0$。因此，$x=\frac{2}{3}$是極大值點，$x=1$是極小值點。計算極值，$f(\frac{2}{3})=\frac{2}{27}-\frac{4}{9}+\frac{8}{3}+1=\frac{73}{27}$，$f(1)=1-3+4+1=3$。12.知曉數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的通項公式；〔2〕數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。〔1〕將遞推關系展開，得$a_2=2a_1+1=2\cdot1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\cdot3+1=7$，$a_4=2a_3+1=2\cdot7+1=15$，以此類推，得到$a_n=2^n-1$。〔2〕前$n$項和$S_n=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+\ldots+(2^n-1)=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^n-n$。使用等比數列求和公式$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}-n$，代入$a_1=2$，$r=2$，得$S_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}-n=2^{n+1}-2-n$。13.知曉等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=16$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的通項公式；〔2〕數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$。〔1〕由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$和$a_5=16$，得$16=2+(5-1)d$，解得$d=4$，因此$a_n=2+(n-1)\cdot4=4n-2$。〔2〕前$n$項和$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(2+4n-2)=n^2$。14.知曉函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求：〔1〕$f(x)$的導數$f'(x)$；〔2〕$f(x)$的單調區間及極值點。〔1〕由導數的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x^2+1-(x+h)^2-1}{h(x^2+1)(x+h)^2}=\lim_{h\to0}\frac{-2xh-h^2}{h(x^2+1)(x+h)^2}=\lim_{h\to0}\frac{-2x-h}{(x^2+1)(x+h)^2}=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。〔2〕$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=0$。檢驗$x=0$兩側的導數符號，當$x<0$時，$f'(x)>0$，當$x>0$時，$f'(x)<0$，因此$x=0$是極大值點。由于$f'(x)$在$x=0$處改變符號，$f(x)$在$x=0$處取得極大值$f(0)=1$。由于$f'(x)$在$x=0$兩側同號，所以$f(x)$在$x=0$兩側都是單調遞增的。五、解答題15.知曉函數$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：〔1〕$f(x)$在區間$[0,2]$上的最大值和最小值；〔2〕$f(x)$的凹凸性及拐點。〔1〕$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$和$x=\frac{2}{3}$。檢驗這兩個點的導數符號變化，發現當$x<\frac{2}{3}$時，$f'(x)>0$，當$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$，當$x>1$時，$f'(x)>0$。因此，$x=\frac{2}{3}$是局部極大值點，$x=1$是局部極小值點。計算極值，$f(\frac{2}{3})=\frac{73}{27}$，$f(1)=3$，由于$f(x)$在$[0,2]$上的端點值$f(0)=1$和$f(2)=3$，最大值為$f(2)=3$，最小值為$f(1)=3$。〔2〕$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$得$x=1$。檢驗$x=1$兩側的導數符號，當$x<1$時，$f''(x)<0$，當$x>1$時，$f''(x)>0$，因此$x=1$是拐點。$f(x)$在$x=1$處從凹變為凸。16.知曉數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的極限；〔2〕數列$\{a_n\}$的收斂速度。〔1〕數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2^n-1$，隨著$n$增大，$2^n$遠大于1，因此數列$\{a_n\}$的極限為$+\infty$。〔2〕由于數列$\{a_n\}$是指數增長的，收斂速度非常快，實際上，當$n$足夠大時，$a_n$幾乎等于$2^n$，所以收斂速度可以認為是$2^n$的增長速度。六、解答題17.知曉等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=16$，求：〔1〕數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$在$n=10$時的值；〔2〕數列