2考研試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題，20分）1.函數$f(x)$在點$x_0$處可導是$f(x)$在點$x_0$處連續的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.下列級數中收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}n$3.設$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$中必有兩行（列）對應元素成比例B.$A$中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.$A$中必有一行（列）元素全為零D.$A$的秩等于$n$4.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，則向量組（）線性無關。A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$D.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$5.設隨機變量$X$服從正態分布$N(1,4)$，則$P(X\leq1)$等于（）A.0.5B.0.25C.0.75D.0.16.函數$y=x^3-3x$的極大值點是（）A.$x=-1$B.$x=1$C.$x=0$D.$x=2$7.設$z=xy+\lny$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$y$B.$x+\frac{1}{y}$C.$xy$D.$x$8.曲線$y=e^x$在點$(0,1)$處的切線方程為（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$9.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x)dx$等于（）A.$F(2x)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x)+C$C.$2F(2x)+C$D.$F(x)+C$10.設$A,B$為兩個事件，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(AB)=0.2$，則$P(A|B)$等于（）A.0.5B.0.3C.0.4D.0.6二、多項選擇題（每題2分，共10題，20分）1.下列函數中，在其定義域內是單調遞增的有（）A.$y=2^x$B.$y=\lnx$C.$y=x^3$D.$y=\sinx$2.下列矩陣中，是可逆矩陣的有（）A.單位矩陣B.對角矩陣（主對角線元素均不為0）C.正交矩陣D.行列式為0的矩陣3.關于線性方程組$Ax=b$，以下說法正確的是（）A.若$r(A)=r(A|b)$，則方程組有解B.若$r(A)\ltr(A|b)$，則方程組無解C.若$r(A)=n$（$n$為未知數個數），則方程組有唯一解D.若$r(A)\ltn$，則方程組有無窮多解4.下列級數中，絕對收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$5.設隨機變量$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{C}{k(k+1)}$，$k=1,2,3,\cdots$，則（）A.$C=1$B.$C=2$C.$P(X\geq2)=\frac{1}{2}$D.$P(X\geq2)=\frac{3}{4}$6.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的充分條件有（）A.偏導數$f_x(x_0,y_0)$，$f_y(x_0,y_0)$存在B.偏導數$f_x(x,y)$，$f_y(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續C.$\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})$D.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續7.下列曲線中，漸近線為$y=x$的有（）A.$y=x+\frac{1}{x}$B.$y=\frac{x^2}{x-1}$C.$y=\sqrt{x^2+1}$D.$y=x+\lnx$8.設$A,B$為$n$階方陣，且$AB=BA$，則（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^k=A^kB^k$（$k$為正整數）C.$A,B$一定相似于對角矩陣D.$A,B$的特征值相同9.對于二維隨機變量$(X,Y)$，以下說法正確的是（）A.若$X,Y$相互獨立，則$E(XY)=E(X)E(Y)$B.若$X,Y$相互獨立，則$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$C.若$Cov(X,Y)=0$，則$X,Y$相互獨立D.若$X,Y$服從二維正態分布，$Cov(X,Y)=0$，則$X,Y$相互獨立10.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx$B.$\int_{-1}^{1}x^3dx$C.$\int_{-\pi}^{\pi}\cosxdx$D.$\int_{-1}^{1}e^xdx$三、判斷題（每題2分，共10題，20分）1.若函數$f(x)$在區間$(a,b)$內可導，且$f^\prime(x)\gt0$，則$f(x)$在$(a,b)$內單調遞增。（）2.若矩陣$A$的行列式$|A|\neq0$，則$A$的行向量組線性無關。（）3.級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）4.函數$y=\frac{1}{x}$在定義域內是凹函數。（）5.設$A,B$為兩個事件，若$A\subsetB$，則$P(A)\leqP(B)$。（）6.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$線性相關，則其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。（）7.函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的偏導數$f_x(x_0,y_0)$存在，則函數$z$在該點關于$x$方向連續。（）8.若矩陣$A$與矩陣$B$相似，則$A$與$B$有相同的特征值和特征向量。（）9.對于任意隨機變量$X$，都有$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。（）10.定積分的值只與被積函數和積分區間有關，與積分變量用什么字母表示無關。（）四、簡答題（每題5分，共4題，20分）1.求函數$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$的單調區間和極值。答案：$f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=-1$，$x=3$。當$x\lt-1$或$x\gt3$時，$f^\prime(x)\gt0$，函數遞增；當$-1\ltx\lt3$時，$f^\prime(x)\lt0$，函數遞減。極大值$f(-1)=10$，極小值$f(3)=-22$。2.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。則$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。3.設隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，求$\lambda$的值。答案：泊松分布$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$。由$P(X=1)=P(X=2)$，即$\frac{\lambdae^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}$，化簡得$\lambda=2$。4.求二重積分$\iint_Dxydxdy$，其中$D$是由直線$y=x$，$y=0$，$x=1$所圍成的區域。答案：積分區域$D$：$0\leqy\leqx$，$0\leqx\leq1$。則$\iint_Dxydxdy=\int_0^1dx\int_0^xxydy=\int_0^1\frac{1}{2}x^3dx=\frac{1}{8}$。五、討論題（每題5分，共4題，20分）1.討論線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}$的解的情況，其中$a$為參數。答案：對增廣矩陣進行初等行變換。系數矩陣$A$的行列式為$(a-1)(a-2)$。當$a\neq1$且$a\neq2$時，有唯一解；當$a=1$時，有無窮多解；當$a=2$時，無解。2.討論函數$f(x)=\frac{1}{1-x}$的冪級數展開及其收斂區間。答案：已知$\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n$，$|t|\lt1$。令$t=x$，則$f(x)=\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$，收斂區間為$(-1,1)$。3.討論二維隨機變量$(X,Y)$的獨立性與相關性的關系。答案：若$(X,Y)$相互獨立，則一定不相關，即$Cov(X,Y)=0$。但不相關不一定相互獨立。只有當$(X,Y)$服從二維正態分布時，不相關與相互獨立等價。4.討論矩陣相似對角化的條件，并舉例說明。答案：$n$階方陣$A$可相似對角化的充要條件是$A$有$n$個線性無關的特征向量。例如矩陣$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\en