第四輯平面向量（選填題）…………………01排列組合與二項式定理（選填題）…………………11事件與概率、分布列與統計綜合（選填題）………23復數（選填題）………………………39集合與常用邏輯用語（選填題）……………………47平面向量（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷35（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．1 D．2向量垂直的坐標表示；平面向量線性運算的坐標表示2024年新高考II卷35（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B．C．D．1數量積的運算律；已知數量積求模；垂直關系的向量表示2023年新高考I卷35（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A．B．C．D．平面向量線性運算的坐標表示；向量垂直的坐標表示；利用向量垂直求參數2023年新高考II卷135（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．數量積的運算律2022年新高考I卷35（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B．C． D．用基底表示向量2022年新高考II卷45（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．5 D．6向量夾角的坐標表示；平面向量線性運算的坐標表示近三年新高考數學平面向量選填題考查情況總結?考點：涵蓋向量垂直的坐標表示（2024年新課標Ⅰ卷）、數量積運算及向量垂直（2024年新課標Ⅱ卷）、向量線性運算與垂直（2023年新課標Ⅰ卷）、數量積運算律（2023年新課標Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新課標Ⅰ卷）、向量夾角與線性運算（2022年新課標Ⅱ卷）。?題型：多為選擇題，分值5分，側重考查向量的坐標運算、數量積、垂直關系及線性運算，注重對向量基本概念和運算規則的理解與應用。2025年新高考平面向量選填題高考預測?題型與分值：預計為選擇題或填空題，分值5分。?考查方向：延續對向量垂直、數量積、線性運算的考查，可能強化坐標運算與幾何意義的結合，或涉及向量模長、夾角的綜合計算，注重運算能力與邏輯推理，如根據向量垂直或數量積求參數，或利用坐標運算解決向量關系問題。向量的運算兩點間的向量坐標公式：，，終點坐標始點坐標向量的加減法，，向量的數乘運算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數量積向量的夾角投影向量向量在上的投影向量為向量的平行關系向量的垂直關系向量模的運算典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.典例2（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.典例3（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．典例4（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．【名校預測·第一題】（福建省福州第一中學2024-2025學年高三數學試題）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【來源】福建省福州第一中學2024-2025學年高三上學期第二學段期末考試數學試題【分析】根據向量線性運算的坐標表示與向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即，解得.故選：B.【名校預測·第二題】（浙江省杭州學軍中學2024-2025學年高三下學期3月月考數學試題）已知向量，若反向共線，則實數的值為（

）A． B．3 C．3或 D．或7【答案】A【來源】浙江省杭州學軍中學2024-2025學年高三下學期3月月考數學試題【分析】利用平面向量的坐標運算以及共線的坐標表示計算即可.【詳解】因為，所以.因為共線，所以，解得或.又反向共線，代入驗證可知時為同向，舍去.而滿足條件，所以.故選：.【名校預測·第三題】（湖北省武漢市華中師范大學第一附屬中學2024-2025學年數學試題）已知，，若與的夾角是鈍角，則實數的取值范圍是．【答案】【來源】湖北省武漢市華中師范大學第一附屬中學2024-2025學年高三下學期開學檢測數學試題【分析】根據向量數量積的坐標表示及平行坐標公式判斷鈍角即可求出參數范圍.【詳解】因為與夾角為鈍角，可以得出，解得：，且不平行，則，即且，即.故答案為：【名校預測·第四題】（山東省泰安第一中學2024-2025學年高三下學期4月月考數學試題）若向量在向量上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】山東省泰安第一中學2024-2025學年高三下學期4月月考數學試題【分析】利用投影向量公式得，結合，利用數量積的運算律求得，代入數量積的夾角公式即可得解.【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故選：A【名校預測·第五題】（重慶市巴蜀中學2024-2025學年高三下學期二診數學試題）已知向量都是單位向量，且向量滿足向量的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【來源】重慶市巴蜀中學2024-2025學年高三下學期二診數學試題【分析】根據模長關系可得，設，分類討論點與直線的位置關系，結合圓的性質即可得結果.【詳解】由題意可知：，因為，即，則，可得，且，所以，設，則，由題意可知：，若位于直線兩側，且，可知四點共圓，且圓心為，半徑，其中點優弧上，不包括點，則的最大值即為圓的直徑；若位于直線同側，且，可知四點共圓，且圓心為，半徑，其中點優弧上，不包括點，此時；綜上所述：的最大值為2故選：A.【名師押題·第一題】已知向量，，若，則的值為．【答案】【分析】由得即可求解.【詳解】由.故答案為：.【名師押題·第二題】已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用數量積的運算律求出，再利用投影向量的意義求解.【詳解】已知單位向量，，故由得，故，即，因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D．【名師押題·第三題】已知平面向量，，，，且A，B，C三點共線，則實數（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用坐標表示向量共線可得.【詳解】，，因為A，B，C三點共線，所以設，即.故選：B【名師押題·第四題】在直角梯形中，，，，是的中點，若，則（

）.A．1 B． C． D．【答案】A【分析】先選擇兩條不共線的向量作基底，再進行向量的線性運算，最后利用平面向量基本定理來求解即可．【詳解】由圖可知：，，因為，所以，整理得：，根據平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選：A．【名師押題·第五題】在等邊中，，點M為AB的中點，點N滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等邊三角形可得，再根據平面向量的線性運算與數量積的運算性質即可得結論.【詳解】

在等邊中，，由于點M為AB的中點，點N滿足，所以.故選：D.【名師押題·第六題】已知平面向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據向量的數乘和加法運算求出與的坐標，再利用向量數量積的坐標運算公式計算它們的數量積，最后通過化簡得到與的關系式．【詳解】，即．故選：A.排列組合與二項式定理（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考II卷145（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是．全排列問題；寫出基本事件2023年新高考I卷135（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．分類加法計數原理；實際問題中的組合計數問題2023年新高考II卷35（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種B．種C．種D．種分步乘法計數原理及簡單應用；實際問題中的組合計數問題；抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算2022年新高考I卷135（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數為（用數字作答）．兩個二項式乘積展開式的系數問題2022年新高考II卷55（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種C．36種 D．48種元素（位置）有限制的排列問題；相鄰問題的排列問題近三年新高考數學排列組合與二項式定理選填題考查情況總結?考點：涵蓋排列問題（2024年新課標Ⅱ卷方格表選方格）、分類加法計數（2023年新課標Ⅰ卷）、分層抽樣組合計數（2023年新課標Ⅱ卷）、二項式展開式系數（2022年新課標Ⅰ卷）、相鄰排列問題（2022年新課標Ⅱ卷），側重計數原理與公式應用。?題型：均為選填題，分值5分，注重實際情境中的計數與二項式定理簡單計算。2025年新高考排列組合與二項式定理選填題高考預測?題型與分值：預計為選填題，分值5分。?考查方向：延續排列組合實際應用（如分組、排隊），二項式定理求特定項系數，或與概率等簡單結合，強化計數原理（分類、分步）及公式運用，考查分析與計算能力。1.分類計數原理（加法原理）.2.分步計數原理（乘法原理）.3.排列數公式==.(，∈N*，且)．注:規定.4.組合數公式===(∈N*，，且).5.排列數與組合數的關系.6．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數有種.（3）兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當時，無解；當時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數為.7．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數共有.8.二項式定理;二項展開式的通項公式.典例1（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是．【答案】24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.故答案為：24；112【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結果.典例2（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.典例3（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.故選：D.典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數為（用數字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數為-28故答案為：-28典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B【名校預測·第一題】（黑龍江省哈爾濱第三中學校2025屆高三下學期第二次模擬數學試題）若在的展開式中，含項的系數為80，則．（用數字作答）【答案】2【來源】黑龍江省哈爾濱第三中學校2025屆高三下學期第二次模擬考試數學試題【分析】利用展開式的通項公式求出第項，令的指數為3得的系數，列出方程解得．【詳解】展開式的通項為，令的展開式中的系數為，∵展開式中x3的系數為80，∴.∴.故答案為：2.【名校預測·第二題】（山東省泰安第一中學2024-2025學年高三下學期4月月考數學試題）二項式的展開式中，常數項為（

）A．24 B．6 C． D．【答案】D【來源】山東省泰安第一中學2024-2025學年高三下學期4月月考數學試題【分析】根據給定條件，求出展開式的通項，進而確定常數項并求解.【詳解】依題意，展開式中的通項公式為，顯然無解，由，得，所以所求常數項為.故選：D【名校預測·第三題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學校2024-2025學年高三第一次模擬試卷）2024年4月26日，神舟十九號與神舟十八號航天員順利會師中國空間站，激發了全國人民的民族自豪感和愛國熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時刻，大家準備拍一張“全家福”.假設6人站成一排，兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（

）A．16種 B．32種 C．48種 D．64種【答案】B【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學校2024-2025學年高三第一次模擬考試數學試卷【分析】先排兩位指令長，然后用四名宇航員的排列總數減去“80后”，“90后”相鄰的排法，即可求解.【詳解】兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，有種排法，剩下的四名宇航員共有種排法，其中兩位“80后”彼此相鄰，兩位“90后”彼此相鄰且分別在左側或右側的排法共有種，所以兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有種.故選：.【名校預測·第四題】（遼寧省本溪市高級中學2025屆高三下學期4月月考數學試題）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛、馬和羊，乙同學喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，則讓三位同學選取的禮物都滿意的選擇方法共有種（用數字作答）【答案】【來源】遼寧省本溪市高級中學2025屆高三下學期4月月考數學試題【分析】對甲的所選吉祥物進行分類討論，結合分類加法和分步乘法計數原理可得結果.【詳解】由于三人都喜歡牛、羊這兩種吉祥物，分以下幾種情況討論：若甲選牛或羊作吉祥物，則乙有種選擇，丙有種選擇，此時，不同的選擇方法種數為種；若甲選馬作吉祥物，則乙有種選擇，丙有種選擇，此時，不同的選擇方法種數為種.綜上所述，不同的選擇方法種數為種.故答案為：.【名校預測·第五題】（河南省鄭州外國語學校2024-2025學年高三調研數學試卷）現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（

）A．每人都安排一項工作的不同方法數為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為C．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是【答案】D【來源】河南省鄭州外國語學校2024-2025學年高三調研考試（八）數學試卷【解析】對于選項，每人有4種安排法，故有種；對于選項，5名同學中有兩人工作相同，先選人再安排；對于選項，先分組再安排；對于選項，以司機人數作為分類標準進行討論即可.【詳解】解：①每人都安排一項工作的不同方法數為，即選項錯誤，②每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為，即選項B錯誤，③如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為：（），即選項C錯誤，④分兩種情況：第一種，安排一人當司機，從丙、丁、戊選一人當司機有,從余下四人中安排三個崗位，故有；第二種情況，安排兩人當司機，從丙、丁、戊選兩人當司機有,從余下三人中安排三個崗位，故有；所以每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是，即選項D正確，故選：D．【點睛】本題考查了排列知識的應用.求解排列問題的六種主要方法:1.直接法:把符合條件的排列數直接列式計算;2.優先法:優先安排特殊元素或特殊位置;3.捆綁法:把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列;4.插空法:對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中;5.定序問題除法處理:對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.間接法:正難則反、等價轉化的方法.【名師押題·第一題】將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數為.（用數字作答）【答案】【分析】先給兩個1找兩個位置，再給兩個3找兩個位置，最后剩的一個位置排5即可.【詳解】第一步選2個空給兩個1有種選法，第二步選剩下的3個空給兩個3有種選法，最后剩一個空排5即可，根據分步乘法計數原理有種排法，故答案為：.【名師押題·第二題】若二項式展開式中的常數項為160，則．【答案】2【分析】求出二項展開式的通項，令的指數等于零，再根據題意建立等量關系，即可求出.【詳解】由題二項式展開式的通項公式為：，所以當時的項為常數項，解得.故答案為：2.【名師押題·第三題】已知的展開式中項的系數為60，則實數的值為.【答案】【分析】寫出的二項展開式，根據題意求出的系數，進而列出等式求解即可.【詳解】，的二項展開式的通項為，令得，，的展示式中的系數為；令得，，的展開式中的系數為40，依題意，解得，故答案為：．【名師押題·第四題】一個質點從平面直角坐標系的原點出發，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質點在第10秒末到達點的跳法共有種．（用數字作答）【答案】9450【分析】結合題意先分三類，每類由乘法原理結合組合數計算，再由分步加法原理求和.【詳解】質點第10秒末到達點共跳了10次，可分三類情況討論：第一類，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有種；第二類，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有種；第三類，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有種；根據分類計數原理得，共有（種）．故答案為：9450.【名師押題·第五題】甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發展大會的、、、四項服務工作，要求每名志愿者只能參加1項工作，每項工作至少安排1人，且甲不參加項工作，乙必須參加項工作，則不同的安排方法數有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【答案】B【分析】按照B項工作安排的人數分為兩類，利用分類加法計數原理和分步乘法計數原理求解即可.【詳解】安排B項工作的人數分為兩類，第一類，B項工作僅安排1人，因為甲不參加B項工作，乙必須參加D項工作，從甲、乙以外的3人中選一人參加B項工作有種方法，再安排A，C，D項工作，若D項工作安排兩人，則有種方法，若D項工作安排一人，則有種方法，所以B項工作僅安排1人共種方法，第二類，B項工作安排2人，有種方法，由分類加法計數原理，得共有種方法.故選：B.【名師押題·第六題】為拓展學生數學視野，鼓勵學生多讀數學書，學校舉辦了“數學圖書在哪”的抽獎活動.如圖，在一個5×5的方格表中，按如下規則放置了一些圖書，小方格中的數字表示與其有公共頂點的小方格的圖書的總本數，且有數字的小方格上沒有圖書，其余方格內無限制，且每一個方格只能放1本圖書.則所有可能的圖書排列方式總數為（

）A．160 B．192 C．224 D．256【答案】B【分析】根據數字的約束，確定哪些方格可以放置圖書，通過分析每個數字的約束，確定可以放置圖書的方格，并計算最大可能的圖書數目，使用排列組合的方法，計算所有滿足條件的圖書放置方式的總數.【詳解】如圖所示，灰色代表圖書位置，此時有11本圖書，接下來說明不可能有12本圖書，考慮數字控制的區域，假設有一種方式可以達到8本圖書，首先左上角區域只有2本圖書（下圖左），在大圖中去掉后變成了下圖中間的樣子，并且圖中應有6本圖書.類似的，下方數字2代表周圍單元格中有2本圖書，再去掉后形如下方右側圖形，此時需要填4本圖書，但只剩下三個空方格，矛盾!故最多有7本，結合不受限制的區域，最多能抽中本書.接下來求所有可能的方法數，情形一：如圖所示，?處有圖書時，在左上數字2的周圍有兩種情形，若數字3右側方格無圖書，則4周圍的圖書排布方式已經固定，此時下方數字2的排布方式也被固定，此時中間數字3周圍只有兩本圖書，矛盾，∴中間數字3右側必有圖書.此時如上右圖陰影區域中有且僅有一本圖書，故下方數字2左側或右側有一本圖書.若下方數字2左側有一本圖書，則右側沒有圖書，此時4周圍的圖書排布已經固定，則此時3周圍圖書也已經符合題意，只有一種情形.若下方數字2右側有一本圖書，此時考慮下方數字2周圍還應存在的一本圖書的位置，若在2右上方，即上左圖中☆位置，則滿足題意，并且此時3周圍也滿足題意，4周圍還剩一本圖書，共有兩種選擇，共兩種；若不在2右上方，則4周圍圖書的排布已經符合題意，3周圍還應有一本圖書，共有兩種選擇.綜上，在情形一中，根據分類加法和分步乘法計數原理，共有種可能.情形二：如圖所示，?處無圖書時，左上數字2的圖書排布被固定，與情形一類似討論，可知3右側必有圖書，此時根據3周圍應還有2本圖書得到下方的2左右兩側均無圖書（否則下方2周圍圖書數目大于2），故4周圍的圖書排列方式被固定，∴3周圍還應有一本圖書，共有兩種選擇，故情形二共有2種可能.∴共有種.故選：B.事件與概率、分布列與統計綜合（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷96（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（

）（若隨機變量Z服從正態分布，）B．C．D．指定區間的概率；正態分布的實際應用2024年新高考I卷145（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.求離散型隨機變量的均值；均值的性質；計算古典概型問題的概率2024年新高考II卷45（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如下表根據表中數據，下列結論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間計算幾個數的平均數；計算幾個數據的極差、方差、標準差；計算幾個數的中位數2023年新高考I卷95（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數等于的平均數B．的中位數等于的中位數C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差計算幾個數的中位數；計算幾個數的平均數；計算幾個數據的極差、方差、標準差2023年新高考II卷125（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率利用互斥事件的概率公式求概率；獨立事件的乘法公式；獨立重復試驗的概率問題2022年新高考I卷55（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（

）A．B． C．D．計算古典概型問題的概率；實際問題中的組合計數問題2022年新高考II卷135（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則．指定區間的概率近三年新高考數學事件與概率、分布列與統計綜合選填題考查情況總結?考點：涵蓋正態分布實際應用（2024年新課標Ⅰ卷）、古典概型概率計算（2024年新課標Ⅰ卷、2022年新課標Ⅰ卷）、統計量分析（均值、方差、極差、中位數，如2024年新課標Ⅱ卷、2023年新課標Ⅰ卷）、獨立事件概率（2023年新課標Ⅱ卷），注重實際情境與概念結合。?題型：以選擇題為主，分值5-6分，側重考查概率統計知識在實際問題中的應用及基本計算能力。2025年新高考事件與概率、分布列與統計綜合選填題高考預測?題型與分值：預計為選擇題或填空題，分值5-6分。?考查方向：延續正態分布、古典概型、統計量計算的考查，可能結合分布列簡單問題，強化實際應用（如生活場景中的概率計算、統計量分析），注重對概念的理解與運算準確性，如根據統計圖表分析數據特征，或利用概率公式解決實際問題。等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．個互斥事件分別發生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．獨立事件A，B同時發生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).個獨立事件同時發生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率7.離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）;（2）.8.數學期望數學期望的性質（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標準差=.12.方差的性質(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關系.14.正態分布密度函數，式中的實數μ，（>0）是參數，分別表示個體的平均數與標準差.15.對于，取值小于x的概率..條件概率條件概率的定義條件概率的性質已知B發生的條件下，A發生的概率，稱為B發生時A發生的條件概率，記為P(A|B)．當P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當P(A)>0時，A發生時B發生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發生的條件下B發生的概率，后者是在B發生的條件下A發生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數，n(AB)為事件AB包含的樣本點數.（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有數字樣本特征眾數：在一組數據中出現次數最多的數中位數：將一組數據按從小到大（或從大到小）的順序排列，如果為奇數個，中位數為中間數；若為偶數個，中位數為中間兩個數的平均數平均數：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動程度，穩定程度和離散程度；越大，樣本波動越大，越不穩定；越小，樣本波動越小，越穩定；標準差：，標準差等于方差的算術平方根，數學意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（

）（若隨機變量Z服從正態分布，）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據正態分布的原則以及正態分布的對稱性即可解出.【詳解】依題可知，，所以，故，C正確，D錯誤；因為，所以，因為，所以，而，B正確，A錯誤，故選：BC．典例2（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【答案】/0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.【詳解】設甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于將問題轉化為隨機變量問題，利用期望的可加性得到等量關系，從而避免繁瑣的列舉.典例3（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如下表畝產量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數61218302410根據表中數據，下列結論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間【答案】C【分析】計算出前三段頻數即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數，再計算比例即可判斷B；根據極差計算方法即可判斷C；根據平均值計算公式即可判斷D.【詳解】對于A,根據頻數分布表可知,,所以畝產量的中位數不小于,故A錯誤；對于B，畝產量不低于的頻數為，所以低于的稻田占比為，故B錯誤；對于C，稻田畝產量的極差最大為，最小為，故C正確；對于D，由頻數分布表可得，平均值為，故D錯誤.故選；C.典例4（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數等于的平均數B．的中位數等于的中位數C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設的平均數為，的平均數為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數等于的中位數均為，故B正確；對于選項C：舉反例說明，例如：，則平均數，標準差，，則平均數，標準差，顯然，即，所以的標準差不小于的標準差，這一論斷不成立，故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.典例5（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對于A，依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發送1接收1、發送0接收0、發送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發送1，相當于依次發送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.【名校預測·第一題】（025屆湖南省長沙市雅禮中學高三4月綜合自主測試數學試題）語文老師要從10篇課文中隨抽3篇不同的課文讓同學背誦，規定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學只能背誦其中的6篇，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【來源】2025屆湖南省長沙市雅禮中學高三4月綜合自主測試（提升卷）數學試題【分析】先得出總的選法為，該同學能及格分為能背誦的6道里抽3道和能背誦的6道里抽2道及不會背誦的4道抽1道，即該同學能及格的情況有，由古典概型可計算及格的概率.【詳解】從10篇課文中隨抽3篇不同的課文，總共的選法為種，該同學能及格的情況有種，由古典概型可知，該同學能及格的概率為.故答案為：.【名校預測·第二題】（浙江省杭州學軍中學2024-2025學年高三下學期3月月考數學試題）（多選）體育教育既能培養學生自覺鍛煉身體的習慣，又能培養學生開拓進取、不畏艱難的堅強性格.杭州學軍中學西溪校區高三學生參加體育測試，其中理科班女生的成績與文科班女生的成績均服從正態分布，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【來源】浙江省杭州學軍中學2024-2025學年高三下學期3月月考數學試題【分析】利用正態分布的期望與方差和正態曲線的特點，結合正態分布的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，由，得，故A正確；對于B，由，得，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，由于隨機變量、均服從正態分布，且對稱軸均為直線，，所以在正態分布曲線上，的峰值較高，正態分布較“瘦高”，隨機變量分布比較集中，所以，故D錯誤.故選：AC.【名校預測·第三題】（廣東省深圳市高級中學2024-2025學年高三下學期數學試題）（多選）樣本數據的平均數是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則的平均數為B．若，則的方差為0C．若的極差是，則D．若，則這組數據的第75百分位數是【答案】AB【來源】廣東省深圳市高級中學高中園2024-2025學年高三下學期第三次模擬考試數學試題【分析】由平均數以及方差的性質即可判斷AB，結合極差的定義，舉出反例，即可判斷C，由百分位數的計算公式，即可判斷D.【詳解】對于A，由原數據的平均數，可得新數據的平均數為，故A正確；對于B，由原數據的方差是，可得新數據的方差為，故B正確；對于C，若樣本數據為，則其極差為，此時數據為，則其極差，即，故C錯誤；對于D，由，所以數據的第75百分位數是，故D錯誤；故選：AB【名校預測·第四題】（廣東省深圳市高級中學2024-2025學年高三下學期數學試題）依次拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，表示事件“第一次拋擲骰子的點數為2”，表示事件“第一次拋擲骰子的點數為奇數”，表示事件“兩次拋擲骰子的點數之和為6”，表示事件“兩次拋擲骰子的點數之和為7”，則（

）A．與為對立事件 B．與為相互獨立事件C．與為相互獨立事件 D．與為互斥事件【答案】C【來源】廣東省深圳市高級中學高中園2024-2025學年高三下學期第三次模擬考試數學試題【分析】利用列舉法與古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判斷A；由即可判斷B；由即可判斷C，由即可判斷D.【詳解】依次拋擲兩枚質地均勻的骰子，兩次的結果用有序數對表示，其中第一次在前，第二次在后，樣本空間如下：，共36個樣本點．則事件包括，共6個，，事件包括，共18個，，事件包括，共5個，，事件包括，共6個，.對于A，，所以與不為對立事件，故A錯誤；對于B，事件包括，則，又，，所以，即與不相互獨立，故B錯誤；對于C，事件包括，則，又，，所以，即與相互獨立，故C正確；對于D，事件包括，則，即與不為互斥事件，故D錯誤.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用列舉法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解決本題的關鍵.【名校預測·第五題】（湖北省武漢市華中師范大學第一附屬中學數學試題）一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現從口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到紅球的次數，當為奇數時，；當為偶數時，,則X的數學期望為（用n表示），Y的數學期望為（用n表示）．【答案】【來源】湖北省武漢市華中師范大學第一附屬中學2024-2025學年高三下學期開學檢測數學試題【分析】根據題意可知，利用二項分布的期望公式即可求出的數學期望；利用與的關系，寫出的值為,進而可得，再利用即可求得的數學期望.【詳解】第一空：由題可知，所以；第二空：根據題意的值為,，，，，，，.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是的數學期望的化簡需要用到及，.【名師押題·第一題】某市高三年級男生的體重（單位：kg）近似服從正態分布．若，則．【答案】0.3【分析】根據正態密度曲線關于對稱，結合概率和為1即可得到答案.【詳解】因為體重近似服從正態分布，所以正態密度曲線關于對稱，所以，則，所以，故答案為：0.3.【名師押題·第二題】已知互不相等的數據，，，，，，的平均數為，方差為，數據，，，，，的方差為，則（

）A． B．C． D．與的大小關系無法判斷【答案】C【分析】根據所給數據分別計算、比較大小即可求解.【詳解】根據已知條件第一組數據的個數為個，且，所以，，第二組數據的個數為個，且平均數，，因為，所以.故選：C【名師押題·第三題】某校食堂為打造菜品，特舉辦菜品評選活動.已知評委團由家長代表，學生代表和教工代表組成，人數比為，現由評委團對1號菜品和2號菜品進行投票（每人只能投一票且必須投一票）.若投票結果顯示，家長代表和學生代表中均有的人投票給1號菜品，教工代表中有的人投票給2號菜品，那么，從1號菜品的投票人中任選1人，他是學生代表的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件概率的計算公式，以及結合比例分配和分步計數原理即可求解.【詳解】根據人數比例設家長代表、學生代表和教工代表人數分別是（為比例系數），由題意知：家長代表中有的人投給1號，人數為；學生代表中有的人投給1號，人數為；教工代表中有的人投給2號，那么教工代表中有的人投給1號，人數為.所以投給1號的總人數為，學生代表中投給1號的人數為，因此所求概率為.故選：A.【名師押題·第四題】有6張卡片，正面分別寫有數字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數字7.先把這些卡片正面朝上排成一排.規定一次試驗：擲一顆均勻的骰子一次，若點數為，則將向上數字為的卡片翻面并放置原處；若沒有向上數字為的卡片，則卡片不作翻動.進行上述試驗3次，發現卡片朝上的數字之和為偶數，在這一條件下，骰子恰有一次點數為2的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】就正面數字為偶數的卡片翻一次、三次分類討論后可求概率.【詳解】翻動正面數字為偶數的卡片時，奇偶性發生改變，翻動正面數字為奇數的卡片時，奇偶性不變，進行上述試驗3次，發現卡片朝上的數字之和為偶數，則分為兩類：（1）正面數字為偶數的卡片翻一次：①擲3次骰子1次偶數2次奇數：種，其中恰有一次點數為2有27種，②擲3次骰子2次同一個偶數1次奇數：種，③擲3次骰子3次同一個偶數：3種，（2）正面數字為偶數的卡片一次翻三次：種，其中恰有一次點數為2有6種，所以骰子恰有一次點數為2的概率為.故選：C【名師押題·第五題】為備戰乒乓球賽，某體校甲?乙兩名主力進行訓練，規則如下：兩人每輪分別與老師打2局，當兩人獲勝局數不少于3局時，則認為此輪訓練過關；否則不過關.若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨立.記甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓練的輪數至少為（

）A．28 B．24 C．32 D．27【答案】D【分析】由題可得甲乙兩人通過訓練的概率表達式，結合基本不等式及二次函數知識可得兩人通過訓練概率的最大值，再結合甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為滿足二項分布，及二項分布期望表達式可得答案.【詳解】由題可得，甲乙兩人通過訓練的概率為：，因，由基本不等式，，當且僅當時，取等號.則.又注意到甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為滿足二項分布，則期望為：，結合，可得.故D正確.故選：D【名師押題·第六題】人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為．是新一輪科技革命和產業變革的重要驅動力量，是研究、開發用于模擬、延伸和擴展人的智能的理論、方法、技術及應用系統的一門新的科學．某商場在有獎銷售的抽獎環節時，采用技術生成獎券碼：在每次抽獎時，顧客連續點擊按鍵5次，每次點擊隨機生成數字0或1或2，點擊結束后，生成的5個數字之和即為獎券碼．并規定：如果獎券碼為0，則獲一等獎；如果獎券碼為3的正整數倍，則獲二等獎，其它情況不獲獎．已知顧客甲參加了一次抽獎，則他獲二等獎的概率為．【答案】【分析】利用分步乘法計數原理求出總情況數，利用分類加法計數原理結合組合數的性質求出符合條件的事件數，再利用古典概型概率公式求解概率即可.【詳解】設一次抽獎所生成的獎券碼為S，共有種情況，生成的5個數字中有個0，個1，則，由題可知．若獲得二等獎，則S為3的正整數倍，故可取的值為．當時，的取值為，共有種情況；當時，的可能取值為，，，共有種情況；當時，的取值為，，共有種情況，由分類加法計數原理得符合條件的有種情況，且設獲得二等獎的概率為，由古典概型概率公式得.故答案為：復數（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷25（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．復數的除法運算；復數的乘方2024年新高考II卷15（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1C． D．2求復數的模2023年新高考I卷25（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B．C．0 D．1共軛復數的概念及計算；復數的除法運算2023年新高考II卷15（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）在復平面內，對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限在各象限內點對應復數的特征；復數代數形式的乘法運算2022年新高考I卷25（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C．1 D．2共軛復數的概念及計算2022年新高考II卷25（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（

）A． B．C． D．復數代數形式的乘法運算近三年新高考數學復數選填題考查情況總結?考點：涵蓋復數除法、乘方運算（2024年新課標Ⅰ卷）、求模（2024年新課標Ⅱ卷）、共軛復數計算（2023年新課標Ⅰ卷、2022年新課標Ⅰ卷）、復數乘法及象限位置（2023年新課標Ⅱ卷、2022年新課標Ⅱ卷），側重復數基本運算與概念。?題型：均為選擇題，分值5分，注重對復數運算法則（乘、除）、共軛復數、模及幾何意義（象限）的考查。2025年新高考復數選填題高考預測?題型與分值：預計為選擇題，分值5分。?考查方向：延續對復數乘除運算、共軛復數、模的考查，可能結合復數方程或幾何意義（如對應點所在象限），強化對復數基本概念和運算法則的掌握，考查運算準確性與概念理解。虛數單位：，規定虛數單位的周期復數的代數形式：Z=，叫實部，叫虛部復數的分類復數相等：若共軛復數：若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；，復數的幾何意義：復數復平面內的點復數的模：，則；典例1（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復數四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.典例2（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.【詳解】若，則.故選：C.典例3（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．典例4（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）在復平面內，對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，則所求復數對應的點為，位于第一象限.故選：A.典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復數的除法可求，從而可求.【詳解】由題設有，故，故，故選：D【名校預測·第一題】（貴州省貴陽市第一中學2025屆高三下學期數學試卷）復數的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【來源】貴州省貴陽市第一中學2025屆高三下學期月考（六）（3月）數學試卷【分析】利用復數乘方運算法則得到，由復數除法法則得到，求出虛部.【詳解】，故，所以虛部為.故選：B.【名校預測·第二題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學校2024-2025學年高三第一次模擬試卷）復數，則在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學校2024-2025學年高三第一次模擬考試數學試卷【分析】利用復數的除法化簡復數，利用共軛復數的定義結合復數的幾何意義可得出結論.【詳解】因為，則，所以，復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.【名校預測·第三題】（遼寧省本溪市高級中學2025屆高三下學期4月月考數學試題）已知復數z滿足，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【來源】遼寧省本溪市高級中學2025屆高三下學期4月月考數學試題【分析】利用復數的四則運算求得，再利用復數模的公式即可得解.【詳解】因為，所以，則.故選：D.【名校預測·第四題】（黑龍江省哈爾濱第三中學校2025屆高三下學期第二次模擬數學試題）復數，在復平面內對應的點關于直線對稱，且（其中i為虛數單位），則復數（

）A． B．1 C． D．【答案】A【來源】黑龍江省哈爾濱第三中學校2025屆高三下學期第二次模擬考試數學試題【分析】首先求出，再根據復數代數形式的除法運算計算可得.【詳解】因為在復平面內對應的點為，又點關于直線對稱的點為，所以，所以.故選：A【名校預測·第五題】（河北省石家莊市第一中學2025屆高三第二次模擬考試數學試題）已知，且，為虛數單位，則的最大值是．【答案】【來源】河北省石家莊市第一中學2025屆高三第二次模擬考試數學試題【分析】設，根據得出滿足的關系，表示出后根據復數的幾何意義求解.【詳解】設，由，則，表示的是圓心為，半徑為的圓，而，表示的是圓上一點到的距離，如圖所示，顯然最大距離是與圓心的連線加上半徑長，即最大值為.故答案為：【名師押題·第一題】若，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先利用，化簡，再利用復數的除法運算求，再求出，最后利用復數的加法運算即可.【詳解】因，，則，則，.故選：D.【名師押題·第二題】已知是虛數單位，，則（

）A． B． C．0 D．3【答案】C【分析】由復數的乘法求解即可.【詳解】，解得.故選：C【名師押題·第三題】若復數z滿足，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據復數的除法運算化簡復數，然后根據虛部的概念解答即可.【詳解】已知，先將等式右邊化簡，．則，所以z的虛部是．故選：A【名師押題·第四題】復數滿足，其中i為虛數單位，則對應的點在復平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據題意，化簡得到復數，然后結合復數的幾何意義即可知道結果.【詳解】因為，所以則其對應點的坐標為，位于第二象限.故選：B.【名師押題·第五題】已知z是方程的一個復數根，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據實系數一元二次方程根的性質，結合復數模的公式進行求解即可.【詳解】由題，因為，所以z和是方程的兩個根，所以，即，所以.故選：B.【名師押題·第六題】已知復數，（為虛數單位）則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設復數在復平面內對應的點分別為，根據復數的幾何意義可知點在標準單位圓上，，結合圓的性質分析求解.【詳解】設復數在復平面內對應的點分別為，因為，則點在標準單位圓上，，則，其中為坐標原點，所以的最大值是3.故選：C．集合與常用邏輯用語（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷15（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運算；由冪函數的單調性解不等式2024年新高考II卷25（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題B．和q都是真命題C．p和都是真命題D．和都是真命題全稱量詞命題的否定及其真假判斷；存在量詞命題的否定及其真假判斷；判斷命題的真假2023年新高考I卷15（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運算；解不含參數的一元二次不等式2023年新高考I卷75（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件充要條件的證明；判斷等差數列；由遞推關系證明數列是等差數列；求等差數列前n項和2023年新高考II卷25（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）設集合，，若，則（

）．A．2 B．1C． D．根據集合的包含關系求參數2022年新高考I卷15（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運算2022年新高考II卷15（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運算；公式法解絕對值不等式近三年新高考數學集合與常用邏輯用語選填題考查情況總結?考點：涵蓋集合的交集運算（2024年新課標Ⅰ卷、2023年新課標Ⅰ卷、2022年新課標Ⅰ卷、2022年新課標Ⅱ卷）、由集合包含關系求參數（2023年新課標Ⅱ卷）、解不等式（冪函數單調性解不等式、一元二次不等式、絕對值不等式）、命題真假判斷及否定（2024年新課標Ⅱ卷）、充要條件證明（2023年新課標Ⅰ卷）。?題型：均為選擇題，分值5分，側重集合運算、不等式求解及邏輯用語的基本概念應用，注重基礎運算與邏輯判斷能力。2025年新高考集合與常用邏輯用語選填題高考預測?題型與分值：預計為選擇題，分值5分。?考查方向：延續集合交集、并集運算，可能結合不等式（如一元二次不等式、絕對值不等式）求解集合；強化命題真假判斷、充要條件分析，或涉及簡單邏