第08講整式的加減（5個知識點+4種題型+過關檢測）知識點1．同類項（1）定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，這樣的項叫做同類項．同類項中所含字母可以看成是數字、單項式、多項式等．（2）注意事項：①一是所含字母相同，二是相同字母的指數也相同，兩者缺一不可；②同類項與系數的大小無關；③同類項與它們所含的字母順序無關；④所有常數項都是同類項．知識點2．合并同類項（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．（3）合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變．知識點3．去括號與添括號（1）去括號法則：如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反．（2）去括號規律：①a+（b+c）＝a+b+c，括號前是“+”號，去括號時連同它前面的“+”號一起去掉，括號內各項不變號；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括號前是“﹣”號，去括號時連同它前面的“﹣”號一起去掉，括號內各項都要變號．說明：①去括號法則是根據乘法分配律推出的；②去括號時改變了式子的形式，但并沒有改變式子的值．（3）添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前面是負號，括號括號里的各項都改變符號．添括號與去括號可互相檢驗．知識點4．整式的加減（1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項．（2）整式的加減實質上就是合并同類項．（3）整式加減的應用：①認真審題，弄清已知和未知的關系；②根據題意列出算式；③計算結果，根據結果解答實際問題．【規律方法】整式的加減步驟及注意問題1．整式的加減的實質就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．2．去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數字因數要乘括號內的每一項；二是當括號外是“﹣”時，去括號后括號內的各項都要改變符號．知識點5．整式的加減—化簡求值給出整式中字母的值，求整式的值的問題，一般要先化簡，再把給定字母的值代入計算，得出整式的值，不能把數值直接代入整式中計算．題型一、整式加減運算1．（23-24七年級上·四川攀枝花·期中）一個多項式與的和是，則這個多項式為（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級上·全國·課后作業）已知，則．3．（2024七年級上·全國·專題練習）馬虎同學在計算一個多項式減去另一個多項式時，錯將減號抄成了加號，于是他得到的結果是，請問如果不抄錯，正確答案該是多少？題型二、整式加減應用4．（23-24七年級上·貴州遵義·期末）已知某個長方形相鄰的兩邊長為和，那么這個長方形的周長為（

）A． B． C． D．5．（24-25七年級上·全國·單元測試）一列火車原有人，中途有一半人下車，又有若干人上車，現在車上有人，則上車的人數是．6．（24-25七年級上·全國·單元測試）將連續的奇數1，3，5，7，9，…排成如圖所示的數表．(1)十字框中的五個數之和與中間數15有什么關系？(2)設中間數為a，如何用代數式表示十字框中五個數之和？(3)若將十字框上下左右移動，可框住另外五個數，這五個數還有上述的規律嗎？(4)十字框中的五個數之和能為2018嗎？能為2025嗎？題型三、整式的加減中的化簡求值7．（2024·山東濟南·二模）已知a是方程的解，則代數式的值為（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20268．（24-25七年級上·全國·單元測試）已知，，則代數式的值是．9．（24-25七年級上·全國·課后作業）我們知道，，類似地，我們把看成一個整體，則．“整體思想”是中學數學中一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛．(1)把看成一個整體，化簡：；(2)已知，求（1）中整式的值；(3)先化簡，再求值：，其中．題型四、整式加減中的無關問題10．（24-25七年級上·全國·單元測試）多項式與的差中不含項，則m的值為（

）A．9 B．3 C．1 D．11．（24-25七年級上·全國·課后作業）當關于x的多項式中不含二次項和一次項時，，．12．（2024七年級上·全國·專題練習）老師寫出一個整式：，其中、為常數，且表示為系數，然后讓同學們給、賦予不同的數值進行計算．(1)甲同學給出了一組數據，然后計算的結果為，則甲同學給出、的值分別是，；(2)乙同學給出了，，請按照乙同學給出的數值化簡整式；(3)丙同學給出一組數，計算的最后結果與x的取值無關，請直接寫出丙同學的計算結果．一、單選題1．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．2．下列運算中正確的是（

）A． B． C． D．3．對多項式添括號，正確的是（

）A． B．C． D．4．下列各式計算正確的是（

）A． B． C． D．5．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．6．不改變代數式的值，把的二次項放在前面帶有“+”號的括號里，把一次項放在前面帶有“-”號的括號里，正確的是（

）A． B．C． D．7．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．8．設A是一個三次多項式，B是一個四次多項式，則的次數是（

）A．7 B．4 C．3 D．4或39．如圖，六邊形是由9個等邊三角形拼成的，若中間的小等邊三角形的周長為，那么六邊形的周長為（

）．A． B． C． D．10．任意寫下一個兩位數，用它兩個數位的數字和的10倍減去這個兩位數，得差．然后對差重復這一運算程序……，以下結論正確的是（

）A．差是7的倍數 B．差是8的倍數 C．差是9的倍數 D．差是10的倍數二、填空題11．化簡：．12．若a＜3，則|a﹣3|﹣（1﹣a）的值是．13．若關于x的多項式中不含二次項，則．14．若兩個單項式與的和仍然是單項式，則和的次數為．15．當的值為時，與的和不含的一次項．16．已知有理數，，對應的點在數軸上的位置如圖所示，且，化簡：的結果為．17．甲、乙、丙三名同學在課間玩卡牌互動游戲：首先三名同學手上有著相同數量的卡牌（假定每名同學手中的卡牌數量足夠多），然后依次完成以下三個步驟：第一步，甲同學拿出三張卡牌給乙同學；第二步，丙同學拿出五張卡牌給乙同學；第三步，甲同學手中此時有多少張卡牌，乙同學就拿出多少張卡牌給甲同學．請你確定，最終乙同學手中剩余的卡牌的張數為．18．對數軸上的點P按照如下方式進行操作：先把點P表示的數乘以3，再把表示得到的這個數的點沿數軸向右平移1個單位長度，得到點P′．這樣的操作稱為點P的“倍移”，數軸上的點A、B經過“倍移”后，得到的點分別為A′、B′，將點A′、B′，若A′B′＝2022，則AB＝．三、解答題19．小林到某紙箱廠參加社會實踐，該廠計劃用50張白板紙制作某種型號的長方體紙箱，如圖，每張白板紙有三種剪裁方法，其中種裁法：裁成4個側面；種裁法：裁成3個側面與2個底面；種裁法：裁成2個側面與4個底面．已知四個側面和兩個底面恰好能做成一個紙箱．設按種方法剪裁的白板紙有張，按種方法剪裁的白板紙有張．(1)按種方法剪裁的白板紙有______張．（用含的式子表示）(2)將50張白板紙剪裁完后，一共可以裁出多少個側面與多少個底面？（用含的式子表示，結果要化簡）20．小亮房間窗戶的窗簾如圖（1）所示，它是由兩個四分之一圓組成（半徑相同）．(1)如圖（1），請用代數式表示窗簾的面積：________；用代數式表示窗戶能射進陽光的面積：__________；（結果保留π）(2)小亮又設計了如圖（2）的窗簾（由一個半圓和兩個四分之一圓組成，半徑相同），請你用代數式表示窗戶能射進陽光的面積：________；（結果保留π）(3)當米，米時，圖（2）中窗戶能射進陽光的面積與圖（1）中窗戶能射進陽光的面積的差為________（π取3）21．整式加減：(1)整式化簡：．(2)先化簡，再求值：，其中，．22．有一個三位數，其百位數字為，十位數字為，個位數字為．若這個三位數百位數字的4倍加上十位數字的2倍，再加上個位數字的和能被8整除，則稱這個三位數是“航天數”．如：232，，故232是“航天數”．（1）請你寫出最小的三位“航天數”______；并判斷448是否是“航天數”；（2）請證明任何一個三位“航天數”能被8整除，23．我校七年級有象棋、足球、演講、美術共四個社團，參加象棋社團的有x人，參加足球社團的人數比象棋社團的人數的兩倍少y人，參加演講社團的人數比足球社團人數的一半多1人，每個學生都限報一項，參加社團的學生共有人．(1)足球社團有________人，演講社團有________人．（用含x，y的式子表示）(2)若，，求美術社團的人數．24．“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話從左往右讀和從右往左讀，結果完全相同．文學上把這樣的現象稱為“回文”，數學上也有類似的“回文數”，比如252，7887，34143．小明在計算兩位數減法的過程中意外地發現有些等式從左往右讀的結果和從右往左讀的結果一樣，如：；；．數學上把這類等式叫做“減法回文等式”．(1)觀察以上等式，請你再寫出一個“減法回文等式”；(2)請歸納“減法回文等式”的被減數（十位數字為，個位數字為）與減數應滿足的條件，并證明．25．如圖：(1)在數軸上標出數、、、所對應的點、、、；(2)、兩點間距離=______；、兩點間距離=______；、兩點間距離______；(3)設數軸上兩點、，點對應的數為、點對應的數為，（點在點的左側），那么、兩點之間的距離______；(4)若動點、分別從點、同時出發，沿數軸負方向運動；已知點的速度是每秒個單位長度，點的速度是每秒個單位長度，則秒后、兩點之間的距離是______．(5)有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，試簡化：．26．某“綜合與實踐”小組開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動，他們利用邊長為（）的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖為無蓋的長方體紙盒，圖為有蓋的長方體紙盒），請你動手操作驗證制作的可行性并解答問題．（紙板厚度及接縫處忽略不計）

【動手操作一】根據圖方式制作一個無蓋的長方體紙盒．方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為（）的小正方形，再沿虛線折合起來．(1)該長方體紙盒的底面面積