圓

1.【解析】(1)證明：???AB是。。的直徑，.-.ZADB=90°,

VCC/7BD,/.ZAE0=ZADB=90°,即OC_LAD,

(2)解:連接CD,OD,VOC=OB,AZ0CB=Z0BC=30°,

/.ZA0C=Z0CB+Z0BC=60°,

VCC/7BD,

/.Z0CB=ZCBD=30°,

???NCOD二2NCBD=60°,NABD=60°,

/.ZA0D=120°,

VAB=6,

??.即=3,AD=37J,

VCA=0B,AE=ED,

13

r.CE=—

22

?ayo_120乃x321/r3.9G

??，加影一、WJKAOO-O^AOO-------------------------------------X37Jx-=3不

36022~1~

2.【解析】（1）???/￡）和64是力C所對圓周角,

???Z￡）=ZB：

TAB是圓的直徑，

丁./BC4=90。，

在心△ABC中，ZB+ZBAC=90°,

ZD+ZBAC=90°,

vZE4C=ZD,

/.ZE4C+Z^AC=90°,

：.BA±AE>IE是。。的切線.

⑵如圖：

???AB是圓的直徑，DC平■分NACB,

ZBC4=90°,NDC4=45。，

???ZDOA=2ZDCA,

Z/X14=9O%△OOA是直角三角形;

QOD=OA,OA=g/W=5,

/.AD=752+52=5>/2?

3.【解析】（1）證明?.?OM=OE,

:"OME=/OEM.

〈ME平分4DMN,

:"OME=NEMD,

:"OEM=/EMD,

:.0E//MD.

.MD工DE,

:.OE±DE,

???DE是。。的切線：

⑵證明：連接NE,

?:MN為0()的直徑,

；?4MEN=決)。.

?;MD1DE，

.-.ZMDE=90°.

?;ZOME=/EMD，

:AMDE?&MEN,

?_M___D___M___E__

,MF-AW'

:.ME^=MDMN.

4.【解析】解：（1）連接DN,ON

???。0的半徑為2,

2

???CD=5

VZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,

???RD=CD=AD=5,

.\AB=1O,

AB1-AC1=8

VCD為直徑

AZCND=90°,且BD=CD

/.EN=NC=4

(2)VZACB=90°,D為斜邊的中點(diǎn),

.*.CD=DA=DB=—AB,

2

AZBCD=ZB,

VCC=ON,

:.ZBCD=ZONC,

AZONC=ZB,

???CN〃AB,

VNE1AB,

ACNINE,

.??NE為。0的切線.

5.如圖，/火為。。的直徑，點(diǎn)。是。。上的一點(diǎn)，A斤8cm,/瀏右30°,點(diǎn)〃是弦/I。上的一點(diǎn).

(1)假設(shè)OD_LAC,求0D長；

(2)假設(shè)CD=2OD,判斷八4。0形狀，并說明理由.

【解析】解：(1).??力6為。。的直徑，

,/月廬8c勿，/的030°,

???0D1AC,NACB=90°,

:.OD//BC,

(2J/XA。。是等腰三角形.理由如卜：

如圖，過。作OQLAC于Q,連接OC

設(shè)OO=x,那么CO=200=2.%

由勾股定理可得:

.?.△ADO是等腰三角形.

6.AB是。。的直徑，C是。。上的一點(diǎn)1不與點(diǎn)A,B重合)，過點(diǎn)C作AB的垂線交。0于點(diǎn)D,垂足為E

點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)AE=4,BE=2時(shí)，求CD的長度；

(2)如圖2,連接AC,BD,點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).求證：MEXAC.

【解析】解：(1)如圖1，連接優(yōu).

VAE=4,BE=2,

AAB=6,

ACO=A0=3,

ACE=AE-AO=1,

VCD1AB,

???CE=yjoc2-OE2=V32-l2=2V2

?，AB是。。的直徑，CD1AB,

ACE=DE,

:.CI)=2CE=4X/2.

⑵證明：如圖2,延長ME與AC交于點(diǎn)N.

VCD1AB,

AZBED=90°.

???M為BD中點(diǎn),

AEM=—BD=DM,

2

AZDEM=ZD,

:.ZCEN=ZDEM=ZD.

VZB=ZC,ZB+ZD=90°

，ZCNE=90°,

即MEIAB.

7.如下列圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以(〃7,0)為圓心的與K軸相交于C、。兩點(diǎn)，與y軸相交于48

兩點(diǎn)，連接AC、BC.

srAB

(1)48上有一點(diǎn)E，使得￡4=EC.求證---=----；

AEAC

(2)在(1)的結(jié)論下，延長EC到尸點(diǎn)，連接尸B，假設(shè)依二尸E，請證明與。O'相切;

(3)如果〃?=1,0O'的半徑為2,求(2)中直線心的解析式.

【解析】解：(1)由題意可知，ZBAC=ZABC,

又因?yàn)镋4=EC,所以NACE=NCAE=NA5C,

故MBCsAACE,

ACAB

所rriI以一=—

AEAC

(2)連接0'8,那么Na78=2NC45,

因?yàn)镻B=PE,Z.PBE=ZPEB=2ZCAB=ZC(7B,

故乙PBO=NPBE+NEBO=NCOB+NEBO=90°,

即沖_LOB,所以依與O。'相加.

(3)00=1，O'B=2,所以/080'=30。,

ZCX/Z?=ZPB6>=60°,

所以"BE，△C8O'均為等邊三角形，它們的高分別是8。=2.08=百，

故8點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-G)；P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,縱坐標(biāo)為26-6=-立，

33

b=—\/3

設(shè)陽的直線為丁=丘+力，那么，C,

-2k+b=-—

3

h=-x/3r

所以、回，所以直線依的解析式為)，=一9不一方.

k=-------3

3

8.如圖1,CD是。。的直徑，且CD過弦AB的中點(diǎn)H,連接BC,過弧AD上一點(diǎn)E作EF〃BC,交BA的延長

線干點(diǎn)F,連接CE,其中CE交AB于點(diǎn)G,且FE=FG.

(1)求證：EF是。。的切線；

⑵如圖2,連接BE,求證：BE2=BG?BF；

(3)如圖3,假設(shè)CD的延長線與FE的延長線交于點(diǎn)M,tanF=-,BC=5J7,求DM的值.

4

【解析】(1)連接0E,那么NOCE-NOEC一。，

VFE=FG,

???NFGE=NFEG=￡,

???H是AB的中點(diǎn),

ACHIAB,

:.NGCH+ZCGH=a+/3=90°,

???ZFEO=NFEG+ZCEO=a+￡=90°,

???EF是。。的切線;

⑵VCH±AB,

AC=BC

：.ZCBA=ZCEB,

VEF#BC,

AZCBA=ZF,故NF=NCEB,

???NFBE=NGBE,

AAFEB^AEGB,

.BE_BF

^~RG~~RF,

???BE?=BGBF;

(3)如圖2,過點(diǎn)F作FRJ_CE于點(diǎn)R,

3

設(shè)NCBA=/CEB=NGFE=/,那么tan/=二，

4

.,.ZFEC=ZBCG=/?,故ABCG為等腰三角形，那么BG=BC=54，

3

在RtZ\BCH中，BC=5V7，tanZCBH=tan/=-,

4

34

那么sin/=—,cosY=—,

55

3

CH=BCsinX=577X-=377,同理HB=4g；

設(shè)圓的半徑為r,那么OB-Olf+BH?,

2

即產(chǎn)=(r-3J7)+(4J7)2,解得：「=生且；

6

GH=BG-BH=5近-477=不，

GHyj]13

tanZGCH=---=-=?=—,那么cosZGCH=；,

CH3773V10

那么tanZCGH=3=tanP,那么cos0—1——

vl0

連接DE,那么NCED=90°,

在RtACDE中

CECE3,,5J70

cosZGCH=—=—=-/=,解得：CE=-----，

CD2rV102

1“3屈

在aFEG中，cos/3=2____4_[?

FG~FG-710

解得：FG=15>/7.

2

VFH=FG+GH=12^L,

2

AIIM=FHtanZF=亞2X-=衛(wèi)也；

248

VCM=I1M+CH=Z5^L,

8

AMD=CM-CD=CM-2r=.

24

9.(1)如圖①，ZXOAB、△OC。的頂點(diǎn)0重合，且NA+N8+NC+NO=1800,那么

NA0B+/C0D二°：1直接寫出結(jié)果)

(2)連接A。、BC,假設(shè)40、BO、CO、分別是四邊形ABC。的四個(gè)內(nèi)角的平分線.

①如圖②，如果NAO8=U0。，那么NCOD的度數(shù)為；(直接寫出結(jié)果)

②如圖③，假設(shè)NAQD=N3OC,A3與CO平行嗎？為什么？

【答案】(1)180；⑵①70。；②A8//CD,理由見解析.

【解析】(1)Z/l+N3+NC+N￡>+NAO8+NOOC=360°,可得NAO8+N/)OC=180°;

(2)①結(jié)合NA08+4DOC=180°,NA08=110°,可得NC0D=70°；

②AB//CQ,

理由是：因?yàn)锳。、BO、8、。。分別是四邊形A8CO的四個(gè)內(nèi)角的平分線，

所以NOAB=L/OAB,ZOBA=-ZCBA,NOCDJNBCD,ZODC=-ZADC.

2222

所以NOAB+ZOBA+ZOCD+NODC=-(/DAB+NCBA+/BCD+NAOC)

2

在四邊形ABC。中，ZDAB+ZCBA+ZBCD+ZADC=360°.

所以ZOAB十AOBA十ZOCD十ZODC=-x360°=180°

2

在△QAB中，A.OAB+ZOBA=180°-.

在?CD中，ZOCD+ZODC=180°-/COD.

所以180。一乙4。8+180°-/COD=180°.

所以ZAOB+乙COD=180°

所以ZADO+ZBOD=360。一(ZAO3+ZCOD)=360°-180°=180°.

因?yàn)镹AOD=/BOC，

所以ZAOD=NBOC=90°

在ZAOD中，^DAO+^ADO=180°-^AOD=lSO°-9(r=90°.

因?yàn)閆DAO=-/DAB,ZADO=-ZADC,

22

所以，NOA8+」NAOC=90。.

22

所以ADAB+AADC=180°.

所以A6//C。

10.如圖1,設(shè)AABC是一個(gè)銳角三角形，且ABwAC,「為其外接圓，O、以分別為其外心和垂心，CD

為圓「直徑，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)且滿足A〃=2OM.

(1)證明：M為BC中點(diǎn)；

(2)過O作8c的平行線交A8于點(diǎn)E，假設(shè)廠為AH的中點(diǎn)，證明：EF1FC；

(3)直線40與圓廠的另一交點(diǎn)為N(如圖2),以AM為直徑的圓與圓「的另一交點(diǎn)為P.證明：假設(shè)

AP.BC、。“三線共點(diǎn)，那么/W=HV：反之也成立.

【解析】解：(1)連接AD,8D,那么ZM_LAC,DBA.BC

又”為AA3C垂心

/.BH±AC,AH1.BC

：.AD//BH,BD//AH

???四邊形ADBH為平行四邊形

:?DB=AH=2OM,又。為CO中點(diǎn)

???M為8C中點(diǎn)

(2)過￡作田_13c

連接G4,由(1)可知四邊形EG”尸為平行四邊形，四邊形網(wǎng)為平行四邊形

'：CHLAB,AB\\GF

:?CHIGF

???，為△尸GC垂心

??.GH±CFjhiGH\\EF

:.EF-LFC

(3)設(shè)AM與OF交息為I

由(1)可知四邊形OMFZ為平行四邊形

???/為直徑AM中點(diǎn)

而圓/與圓「相交弦為A尸

???OFLAP^MH\\OF

；?MHLAP

設(shè)MC,4P交于。

那么〃為初加。垂心

:.QH±AM

AP、BC、。"三線共點(diǎn)o。三點(diǎn)共線

11.如圖，3C是。。的直徑，AQ是。O的弦，AO交8。于點(diǎn)E,連接A3,C。，過點(diǎn)E作防J_A8,

垂足為尸，ZAEF=ZD.

(1)求證：ADLBCx

(2)點(diǎn)G在3C的延長線上，連接AG,ND4G=2N。.

①求證：AG與。。相切：

Ap2

②當(dāng)一=一，CE=4時(shí)，直接寫出CG的長.

BF5

【解析】(1)證明：?.?AC=AC

:?/B=/D，

即ZAEB=90°

(2)①連接4。

即ZQ4G=90°

?.?AO是。。的半徑

AG與。。相切

②如圖，

???BC為直徑,EF1AB,

/.ZBAC=ZBFE=90°,

???AC〃FE,

CEAF2

??==9

BEBF5

VCE=4,

AEE=10,

.\EC=14,

/.CA=0C=7,

??.。石=7-4=3,

在Rt4AOE中，由勾股定理，得

AE=《T-寸=2面，

???ZAOE=ZDAG，ZAEO=ZAEG=90°，

AAAEO^AGEA,

，也竺即__亞,

AEGE2屈GE

GE=—，

3

.…f4028

..CG=GE—CE=-----4=——.

33

12.如圖，A3是O。的直徑，點(diǎn)。是弧Ab的中點(diǎn).

(1)如圖1，求證：AH=FH；

(2)如圖2,假設(shè)CD_LA3于點(diǎn)。，交AF于點(diǎn)E,求證：AE=CE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BC交A/于丁，連接OT,CRIIAB交AF于S、交0。于點(diǎn)R，

ZOTO=45°,TH=1，求CR的長.

【解析】解：(1)連接OF,???點(diǎn)C是弧AF的中點(diǎn)，

:.弧AC=弧CFJZAOC=ZFOC

VOA=Ob/.AH=卜H;

(2)延長CO交。0于點(diǎn)M，連接AC.

CDA.AB,AB是。。的直徑.??弧AC=MAM

■.,弧AC=弧CF弧AM=弧CF

:.zLFAC=/MCA???AE=CE.

(3)連接尸B

VAB是OO的直徑???ZAFB=90°

設(shè)/EBC=。??