2024-2025學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷（滿分：150分；考試時間：120分鐘）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列函數(shù)的求導正確的是（）A. B.C. D.2.設函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.3.已知某超市為顧客提供四種結賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只會用現(xiàn)金結賬，顧客乙只會用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡結賬，顧客丙與甲.乙結賬方式不同，丁用哪種結賬方式都可以若甲乙丙丁購物后依次結賬，那么他們結賬方式的組合種數(shù)共有（）A種 B.種 C.種 D.種4.若，則（）A. B. C. D.5.函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示，關于函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.函數(shù)，上單調遞增B.函數(shù)在，上單調遞減C.函數(shù)存在兩個極值點D.函數(shù)有最小值，但無最大值6.若隨機變量的可能取值為，且，則（

）A.4 B.3 C.2 D.17.已知事件，且，，，則（）A. B. C. D.8.已知曲線與曲線只有一個公共點，則（）A. B.1 C.e D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.不透明的袋中裝有5個大小質地完全相同的小球，其中3個紅球、2個白球，從袋中一次性取出2個球，記事件A=“兩球同色”，事件B=“兩球異色”，事件C=“至少有一紅球"，則（）A. B.C.事件A與事件B是對立事件 D.事件A與事件B是相互獨立事件10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線對稱中心D.直線是曲線的切線11.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點.依據(jù)不動點理論，下列說法正確的是（）A.函數(shù)有1個不動點B.函數(shù)有2個不動點C.若定義在R上的奇函數(shù)，其圖像上存在有限個不動點，則不動點個數(shù)是奇數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，則實數(shù)a滿足（e為自然對數(shù)的底數(shù)）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.現(xiàn)有一個由甲、乙、丙、丁共4人組成的參觀團要參觀廣雅、省實和華附三所中學，要求每人只能參觀一所學校，每所學校至少有一個人參觀，則不同的參觀方法有________種.13.已知在，的展開式中，有且只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為_____14.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則_________.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．16.一個袋中裝有6個同樣大小小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機取出3個小球，用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差．（1）求；（2）求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．17.已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02，現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗，篩查出該種疾病攜帶者.（1）若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01，未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結果顯示患有該疾病的概率；②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）（2）若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按人一組分組，然后將個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次（每一小組都要按要求獨立完成），取何值時，總化驗次數(shù)最少？說明：函數(shù)先減后增0.88580.86810.85080.833718.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的極值點在內，求m的取值范圍；（2）若有兩個零點，求m取值的范圍.19.甲乙兩人輪流投擲質地均勻的骰子，第一輪甲先后投擲兩次，接著乙先后投擲兩次，依此輪流每人連續(xù)投擲兩次.（1）甲先后投擲兩次，在第一次擲出偶數(shù)點的條件下，求甲兩次擲出的點數(shù)之和大于6的概率；（2）若第一輪甲連續(xù)兩次擲出的點數(shù)均為偶數(shù)，則甲獲勝.同時比賽結束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到有人連續(xù)兩次擲出的點數(shù)均為偶數(shù)，則此人獲勝且比賽結束.求甲獲勝的概率.（注：若，當時，看作0）

2024-2025學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷（滿分：150分；考試時間：120分鐘）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列函數(shù)的求導正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由初等函數(shù)的導數(shù)和復合函數(shù)的導數(shù)公式逐項分析即可.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：D.2.設函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的定義，變形求解.【詳解】因為，所以故選：B3.已知某超市為顧客提供四種結賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只會用現(xiàn)金結賬，顧客乙只會用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡結賬，顧客丙與甲.乙結賬方式不同，丁用哪種結賬方式都可以若甲乙丙丁購物后依次結賬，那么他們結賬方式的組合種數(shù)共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】分乙使用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡兩種方法，分類求結賬方法的組合數(shù).【詳解】當乙用現(xiàn)金結算時，此時甲和乙都用現(xiàn)金結算，所以丙有3種方法，丁有4種方法，共有種方法；當乙用銀聯(lián)卡結算時，此時甲用現(xiàn)金結算，丙有2種方法，丁有4種方法，共有種方法，綜上，共有種方法.故選：D【點睛】本題考查分類和分步計數(shù)原理，意在考查分析問題和解決問問他的能力，屬于基礎題型.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令二項展開式中的，即可求展開式中各項系數(shù)的和.【詳解】因為，

所以令，即，可得，即.

故選：A5.函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示，關于函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.函數(shù)，上單調遞增B.函數(shù)在，上單調遞減C.函數(shù)存在兩個極值點D.函數(shù)有最小值，但是無最大值【答案】C【解析】【分析】利用導函數(shù)圖象，得到原函數(shù)單調性即可判斷AB，利用極值點的定義判斷C，利用函數(shù)的單調性及最值的概念判斷D.【詳解】根據(jù)的圖象可知，函數(shù)在和上，單調遞增，A選項正確；函數(shù)在和上，單調遞減，B選項正確；所以的極小值點為，3，極大值點為1，C選項錯誤；由上述分析可知，函數(shù)的最小值是和兩者中較小的一個，沒有最大值，D選項正確.故選：C6.若隨機變量的可能取值為，且，則（

）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)概率的性質求出的值，再根據(jù)離散型隨機變量的公式計算即可.【詳解】由題意得，解得，故，故選：B7.已知事件，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)概率的乘法公式及條件概率公式計算即可.【詳解】因為

，

，所以，因為

，所以

．故選：D.8.已知曲線與曲線只有一個公共點，則（）A. B.1 C.e D.【答案】B【解析】【分析】方法一：把兩曲線與有一個公共點，轉化為方程只有一個實數(shù)解，通過分離常數(shù)求出值；方法二：把兩曲線與有一個公共點，轉化成兩曲線只有一個公切點，再利用幾何意義求解；方法三：利用原函數(shù)和反函數(shù)圖像關于對稱，且兩函數(shù)圖像都與相切于點，巧妙求出值.【詳解】方法一：由已知曲線與曲線只有一個公共點，方程只有一個實數(shù)解，而，則只考慮，即，令，則，而在單調遞增，且，所以時，單調遞減，時，單調遞增，而時，；時，，所以．方法二：由已知曲線與曲線只有一個公共點，則曲線與曲線只有一個公切點，設其坐標為，根據(jù)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像之間的關系，所以有，即，所以，設，則在單調遞減，而，所以，所以．方法三：由于函數(shù)的反函數(shù)為，兩函數(shù)關于對稱，由于，令，則，即函數(shù)與函數(shù)相切于點，同理，，令，即函數(shù)．與函數(shù)也相切于點，于是函數(shù)與函數(shù)相切于點，由選項可知，．故選：B.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.不透明的袋中裝有5個大小質地完全相同的小球，其中3個紅球、2個白球，從袋中一次性取出2個球，記事件A=“兩球同色”，事件B=“兩球異色”，事件C=“至少有一紅球"，則（）A. B.C.事件A與事件B是對立事件 D.事件A與事件B是相互獨立事件【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式求事件的概率，判斷AB，根據(jù)對立事件和獨立事件的定義判斷CD.【詳解】對于A，隨機試驗從袋中一次性取出2個球樣本空間含個樣本點，隨機事件包含的樣本點的個數(shù)為，所以，A錯誤；對于B，隨機事件包含的樣本點的個數(shù)為，所以，B正確，對于C，事件與事件不可能同時發(fā)生，所以事件與事件為互斥事件，又，即事件為必然事件，所以事件與事件是對立事件，C正確；對于D，隨機事件包含的樣本點的個數(shù)為，所以，隨機事件為不可能事件，所以，所以，所以事件與事件不是相互獨立事件，D錯誤，故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】BC【解析】【分析】利用導數(shù)y與零點存在性定理求解三次函數(shù)的極值點，零點，對稱中心，切線問題.【詳解】選項A：則恒成立，故單調遞增，故不存在兩個極值點，故選項A錯誤.選項B:又單調遞增，故有一個零點，故選項B正確，選項C：故點是曲線的對稱中心，故選項C正確，選項D：令，即，令，則令，則當則當切線斜率為切點為則切線方程為：與不相等，當時同樣切線方程不為，故選項D錯誤.故選：BC.11.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點.依據(jù)不動點理論，下列說法正確的是（）A.函數(shù)有1個不動點B.函數(shù)有2個不動點C.若定義在R上的奇函數(shù)，其圖像上存在有限個不動點，則不動點個數(shù)是奇數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，則實數(shù)a滿足（e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】ACD【解析】【分析】利用“不動點”的定義，研究的零點個數(shù)，構造新函數(shù)和，結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可判斷選項，,利用奇函數(shù)的性質結合是的一個“不動點”，其它的“不動點”都關于原點對稱，即可判斷選項，將函數(shù)在區(qū)間，上存在不動點，轉化為在，上有解，然后構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質進行分析，即可判斷選項．【詳解】解：對于選項,令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以所以在上有且僅有一個零點，即有且僅有一個“不動點”，故選項正確；對于選項,令，則，所以在上單調遞增，所以在上最多有一個零點，即最多只有一個“不動點”，故選項錯誤；對于選項，因為是上的奇函數(shù)，則為定義在上的奇函數(shù)，所以是的一個“不動點”，其它的“不動點”都關于原點對稱，其個數(shù)的和為偶數(shù)，所以一定有奇數(shù)個“不動點”，故選項正確；對于選項,因為函數(shù)在區(qū)間，上存在不動點，則在，上有解，則在，上有解，令，則，再令，則，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以在，上恒成立，所以在，上單調遞增，所以，，所以實數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)），故選項正確．故選：．【點睛】本題考查的是函數(shù)的新定義問題，試題以函數(shù)和方程的有關知識為背景設計問題，要求學生能理解函數(shù)性質的基礎上，利用基礎知識探究新的問題，解決此類問題，關鍵是讀懂題意，理解新定義的本質，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中，運用相關的數(shù)學公式、定理、性質進行解答即可．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.現(xiàn)有一個由甲、乙、丙、丁共4人組成的參觀團要參觀廣雅、省實和華附三所中學，要求每人只能參觀一所學校，每所學校至少有一個人參觀，則不同的參觀方法有________種.【答案】36【解析】【分析】先將4人分為3堆，再分配即可.【詳解】要滿足題意，只需先將4人分為3堆，分別有人，再分配給3間學校即可.故所有參觀方法有.故答案為：.【點睛】本題考查部分元素個數(shù)不同的分堆和分配問題，屬基礎題.13.已知在，展開式中，有且只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質求出的值，寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】依題意可知，的展開式通項為，令，則，故的系數(shù)為.故答案為：.14.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則_________.【答案】##【解析】【分析】先將看作關于的函數(shù)，利用導數(shù)討論其單調性后用表示其最大值，最后再利用導數(shù)求該最大值的最小值即可.【詳解】設，則，當，時，（不恒為零），所以是減函數(shù)，所以.設，則，當時，，單調遞增，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1）單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；極大值是，極小值是（2）最大值為，最小值為0【解析】【分析】（1）對求導，根據(jù)導數(shù)的正負確定函數(shù)的增減，根據(jù)函數(shù)的單調性確定極值即可；（2）根據(jù)極值點和端點值確定最值.【小問1詳解】．令，得或，令，得，所以的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．所以的極大值是，的極小值是．【小問2詳解】因為，由（1）知，的極大值是，的極小值是，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為0．16.一個袋中裝有6個同樣大小的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機取出3個小球，用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差．（1）求；（2）求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由概率公式代入計算，即可求解；（2）有題意可得，X取值分別為2，3，4，5，分別求得其對應概率，再由期望的公式代入計算，即可得到結果；小問1詳解】當時，這3個球的編號分別有兩個為1和6，另一個為2或3或4或5，可得；【小問2詳解】隨機變量X的取值分別為2，3，4，5，有，，，隨機變量X的分布列為：X2345P則．17.已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02，現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗，篩查出該種疾病攜帶者.（1）若該檢測方法可能出錯，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為0.01，未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結果顯示患有該疾病的概率；②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）（2）若該檢測方法不可能出錯，采用混合化驗方法：隨機地按人一組分組，然后將個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次（每一小組都要按要求獨立完成），取何值時，總化驗次數(shù)最少？說明：函數(shù)先減后增.0.88580.86810.85080.8337【答案】（1）①0.0688；②0.2878（2）【解析】【分析】（1）①用全概率公式即可求出概率，②結合①的結果，用條件概率公式即可求解；（2）設每小組檢驗次數(shù)為X，根據(jù)題意求出期望，總化驗次數(shù)為，根據(jù)表格即可求出使得化驗次數(shù)最少的k.【小問1詳解】設A表示患病，B表示檢測結果顯示患病，則，【小問2詳解】設總居民人數(shù)為M，每小組檢驗次數(shù)為X，X的可能取值為1，，，則，總化驗次數(shù)為，根據(jù)附表計算，時，化驗次數(shù)最少.18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的極值點在內，求m的取值范圍；（2）若有兩個零點，求m取值的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導，轉化問題為在上有解，進而求解即可；（2）求導，分，兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由,則，要使函數(shù)的極值點在內，則在上有解，即在上有解，則