福建省福州市臺江區(qū)九校2024-2025學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題(原卷版+解析版)_第1頁
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2024-2025學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷(滿分:150分;考試時間:120分鐘)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列函數(shù)的求導正確的是()A. B.C. D.2.設函數(shù)的導函數(shù)為,且,則()A. B. C. D.3.已知某超市為顧客提供四種結賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只會用現(xiàn)金結賬,顧客乙只會用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡結賬,顧客丙與甲.乙結賬方式不同,丁用哪種結賬方式都可以若甲乙丙丁購物后依次結賬,那么他們結賬方式的組合種數(shù)共有()A種 B.種 C.種 D.種4.若,則()A. B. C. D.5.函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示,關于函數(shù),下列說法不正確的是()A.函數(shù),上單調遞增B.函數(shù)在,上單調遞減C.函數(shù)存在兩個極值點D.函數(shù)有最小值,但無最大值6.若隨機變量的可能取值為,且,則(

)A.4 B.3 C.2 D.17.已知事件,且,,,則()A. B. C. D.8.已知曲線與曲線只有一個公共點,則()A. B.1 C.e D.二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.不透明的袋中裝有5個大小質地完全相同的小球,其中3個紅球、2個白球,從袋中一次性取出2個球,記事件A=“兩球同色”,事件B=“兩球異色”,事件C=“至少有一紅球",則()A. B.C.事件A與事件B是對立事件 D.事件A與事件B是相互獨立事件10.已知函數(shù),則()A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線對稱中心D.直線是曲線的切線11.在數(shù)學中,布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理,它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer),簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),存在一個點,使得,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù),而稱為該函數(shù)的一個不動點.依據(jù)不動點理論,下列說法正確的是()A.函數(shù)有1個不動點B.函數(shù)有2個不動點C.若定義在R上的奇函數(shù),其圖像上存在有限個不動點,則不動點個數(shù)是奇數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點,則實數(shù)a滿足(e為自然對數(shù)的底數(shù))三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.現(xiàn)有一個由甲、乙、丙、丁共4人組成的參觀團要參觀廣雅、省實和華附三所中學,要求每人只能參觀一所學校,每所學校至少有一個人參觀,則不同的參觀方法有________種.13.已知在,的展開式中,有且只有第項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的系數(shù)為_____14.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,則_________.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.16.一個袋中裝有6個同樣大小小球,編號分別為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從袋中隨機取出3個小球,用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差.(1)求;(2)求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.17.已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02,現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗,篩查出該種疾病攜帶者.(1)若該檢測方法可能出錯,具體是:患病但檢測顯示正常的概率為0.01,未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結果顯示患有該疾病的概率;②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.(保留四位有效數(shù)字)(2)若該檢測方法不可能出錯,采用混合化驗方法:隨機地按人一組分組,然后將個人的血樣混合再化驗,如果混合血樣呈陰性,說明這人全部陰性;如果混合血樣呈陽性,就需要對每個人再分別化驗一次(每一小組都要按要求獨立完成),取何值時,總化驗次數(shù)最少?說明:函數(shù)先減后增0.88580.86810.85080.833718.已知函數(shù).(1)若函數(shù)的極值點在內,求m的取值范圍;(2)若有兩個零點,求m取值的范圍.19.甲乙兩人輪流投擲質地均勻的骰子,第一輪甲先后投擲兩次,接著乙先后投擲兩次,依此輪流每人連續(xù)投擲兩次.(1)甲先后投擲兩次,在第一次擲出偶數(shù)點的條件下,求甲兩次擲出的點數(shù)之和大于6的概率;(2)若第一輪甲連續(xù)兩次擲出的點數(shù)均為偶數(shù),則甲獲勝.同時比賽結束;否則,由另一人繼續(xù)投擲,直到有人連續(xù)兩次擲出的點數(shù)均為偶數(shù),則此人獲勝且比賽結束.求甲獲勝的概率.(注:若,當時,看作0)

2024-2025學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷(滿分:150分;考試時間:120分鐘)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列函數(shù)的求導正確的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由初等函數(shù)的導數(shù)和復合函數(shù)的導數(shù)公式逐項分析即可.【詳解】對于A:,故A錯誤;對于B:,故B錯誤;對于C:,故C錯誤;對于D:,故D正確.故選:D.2.設函數(shù)的導函數(shù)為,且,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的定義,變形求解.【詳解】因為,所以故選:B3.已知某超市為顧客提供四種結賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只會用現(xiàn)金結賬,顧客乙只會用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡結賬,顧客丙與甲.乙結賬方式不同,丁用哪種結賬方式都可以若甲乙丙丁購物后依次結賬,那么他們結賬方式的組合種數(shù)共有()A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】分乙使用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡兩種方法,分類求結賬方法的組合數(shù).【詳解】當乙用現(xiàn)金結算時,此時甲和乙都用現(xiàn)金結算,所以丙有3種方法,丁有4種方法,共有種方法;當乙用銀聯(lián)卡結算時,此時甲用現(xiàn)金結算,丙有2種方法,丁有4種方法,共有種方法,綜上,共有種方法.故選:D【點睛】本題考查分類和分步計數(shù)原理,意在考查分析問題和解決問問他的能力,屬于基礎題型.4.若,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令二項展開式中的,即可求展開式中各項系數(shù)的和.【詳解】因為,

所以令,即,可得,即.

故選:A5.函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示,關于函數(shù),下列說法不正確的是()A.函數(shù),上單調遞增B.函數(shù)在,上單調遞減C.函數(shù)存在兩個極值點D.函數(shù)有最小值,但是無最大值【答案】C【解析】【分析】利用導函數(shù)圖象,得到原函數(shù)單調性即可判斷AB,利用極值點的定義判斷C,利用函數(shù)的單調性及最值的概念判斷D.【詳解】根據(jù)的圖象可知,函數(shù)在和上,單調遞增,A選項正確;函數(shù)在和上,單調遞減,B選項正確;所以的極小值點為,3,極大值點為1,C選項錯誤;由上述分析可知,函數(shù)的最小值是和兩者中較小的一個,沒有最大值,D選項正確.故選:C6.若隨機變量的可能取值為,且,則(

)A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)概率的性質求出的值,再根據(jù)離散型隨機變量的公式計算即可.【詳解】由題意得,解得,故,故選:B7.已知事件,且,,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)概率的乘法公式及條件概率公式計算即可.【詳解】因為

,所以,因為

,所以

.故選:D.8.已知曲線與曲線只有一個公共點,則()A. B.1 C.e D.【答案】B【解析】【分析】方法一:把兩曲線與有一個公共點,轉化為方程只有一個實數(shù)解,通過分離常數(shù)求出值;方法二:把兩曲線與有一個公共點,轉化成兩曲線只有一個公切點,再利用幾何意義求解;方法三:利用原函數(shù)和反函數(shù)圖像關于對稱,且兩函數(shù)圖像都與相切于點,巧妙求出值.【詳解】方法一:由已知曲線與曲線只有一個公共點,方程只有一個實數(shù)解,而,則只考慮,即,令,則,而在單調遞增,且,所以時,單調遞減,時,單調遞增,而時,;時,,所以.方法二:由已知曲線與曲線只有一個公共點,則曲線與曲線只有一個公切點,設其坐標為,根據(jù)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像之間的關系,所以有,即,所以,設,則在單調遞減,而,所以,所以.方法三:由于函數(shù)的反函數(shù)為,兩函數(shù)關于對稱,由于,令,則,即函數(shù)與函數(shù)相切于點,同理,,令,即函數(shù).與函數(shù)也相切于點,于是函數(shù)與函數(shù)相切于點,由選項可知,.故選:B.二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.不透明的袋中裝有5個大小質地完全相同的小球,其中3個紅球、2個白球,從袋中一次性取出2個球,記事件A=“兩球同色”,事件B=“兩球異色”,事件C=“至少有一紅球",則()A. B.C.事件A與事件B是對立事件 D.事件A與事件B是相互獨立事件【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式求事件的概率,判斷AB,根據(jù)對立事件和獨立事件的定義判斷CD.【詳解】對于A,隨機試驗從袋中一次性取出2個球樣本空間含個樣本點,隨機事件包含的樣本點的個數(shù)為,所以,A錯誤;對于B,隨機事件包含的樣本點的個數(shù)為,所以,B正確,對于C,事件與事件不可能同時發(fā)生,所以事件與事件為互斥事件,又,即事件為必然事件,所以事件與事件是對立事件,C正確;對于D,隨機事件包含的樣本點的個數(shù)為,所以,隨機事件為不可能事件,所以,所以,所以事件與事件不是相互獨立事件,D錯誤,故選:BC.10.已知函數(shù),則()A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】BC【解析】【分析】利用導數(shù)y與零點存在性定理求解三次函數(shù)的極值點,零點,對稱中心,切線問題.【詳解】選項A:則恒成立,故單調遞增,故不存在兩個極值點,故選項A錯誤.選項B:又單調遞增,故有一個零點,故選項B正確,選項C:故點是曲線的對稱中心,故選項C正確,選項D:令,即,令,則令,則當則當切線斜率為切點為則切線方程為:與不相等,當時同樣切線方程不為,故選項D錯誤.故選:BC.11.在數(shù)學中,布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理,它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer),簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),存在一個點,使得,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù),而稱為該函數(shù)的一個不動點.依據(jù)不動點理論,下列說法正確的是()A.函數(shù)有1個不動點B.函數(shù)有2個不動點C.若定義在R上的奇函數(shù),其圖像上存在有限個不動點,則不動點個數(shù)是奇數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點,則實數(shù)a滿足(e為自然對數(shù)的底數(shù))【答案】ACD【解析】【分析】利用“不動點”的定義,研究的零點個數(shù),構造新函數(shù)和,結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可判斷選項,,利用奇函數(shù)的性質結合是的一個“不動點”,其它的“不動點”都關于原點對稱,即可判斷選項,將函數(shù)在區(qū)間,上存在不動點,轉化為在,上有解,然后構造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的性質進行分析,即可判斷選項.【詳解】解:對于選項,令,則,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以所以在上有且僅有一個零點,即有且僅有一個“不動點”,故選項正確;對于選項,令,則,所以在上單調遞增,所以在上最多有一個零點,即最多只有一個“不動點”,故選項錯誤;對于選項,因為是上的奇函數(shù),則為定義在上的奇函數(shù),所以是的一個“不動點”,其它的“不動點”都關于原點對稱,其個數(shù)的和為偶數(shù),所以一定有奇數(shù)個“不動點”,故選項正確;對于選項,因為函數(shù)在區(qū)間,上存在不動點,則在,上有解,則在,上有解,令,則,再令,則,解得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以,所以在,上恒成立,所以在,上單調遞增,所以,,所以實數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)),故選項正確.故選:.【點睛】本題考查的是函數(shù)的新定義問題,試題以函數(shù)和方程的有關知識為背景設計問題,要求學生能理解函數(shù)性質的基礎上,利用基礎知識探究新的問題,解決此類問題,關鍵是讀懂題意,理解新定義的本質,把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中,運用相關的數(shù)學公式、定理、性質進行解答即可.三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.現(xiàn)有一個由甲、乙、丙、丁共4人組成的參觀團要參觀廣雅、省實和華附三所中學,要求每人只能參觀一所學校,每所學校至少有一個人參觀,則不同的參觀方法有________種.【答案】36【解析】【分析】先將4人分為3堆,再分配即可.【詳解】要滿足題意,只需先將4人分為3堆,分別有人,再分配給3間學校即可.故所有參觀方法有.故答案為:.【點睛】本題考查部分元素個數(shù)不同的分堆和分配問題,屬基礎題.13.已知在,展開式中,有且只有第項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的系數(shù)為_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質求出的值,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得解.【詳解】依題意可知,的展開式通項為,令,則,故的系數(shù)為.故答案為:.14.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,則_________.【答案】##【解析】【分析】先將看作關于的函數(shù),利用導數(shù)討論其單調性后用表示其最大值,最后再利用導數(shù)求該最大值的最小值即可.【詳解】設,則,當,時,(不恒為零),所以是減函數(shù),所以.設,則,當時,,單調遞增,所以.故答案為:.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】(1)單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;極大值是,極小值是(2)最大值為,最小值為0【解析】【分析】(1)對求導,根據(jù)導數(shù)的正負確定函數(shù)的增減,根據(jù)函數(shù)的單調性確定極值即可;(2)根據(jù)極值點和端點值確定最值.【小問1詳解】.令,得或,令,得,所以的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.所以的極大值是,的極小值是.【小問2詳解】因為,由(1)知,的極大值是,的極小值是,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為0.16.一個袋中裝有6個同樣大小的小球,編號分別為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從袋中隨機取出3個小球,用X表示取出的3個小球中最大編號和最小編號的差.(1)求;(2)求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析,.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,由概率公式代入計算,即可求解;(2)有題意可得,X取值分別為2,3,4,5,分別求得其對應概率,再由期望的公式代入計算,即可得到結果;小問1詳解】當時,這3個球的編號分別有兩個為1和6,另一個為2或3或4或5,可得;【小問2詳解】隨機變量X的取值分別為2,3,4,5,有,,,隨機變量X的分布列為:X2345P則.17.已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02,現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進行檢驗,篩查出該種疾病攜帶者.(1)若該檢測方法可能出錯,具體是:患病但檢測顯示正常的概率為0.01,未患病但檢測顯示患病的概率為0.05.①求檢測結果顯示患有該疾病的概率;②求檢測顯示患有該疾病的居民確實患病的概率.(保留四位有效數(shù)字)(2)若該檢測方法不可能出錯,采用混合化驗方法:隨機地按人一組分組,然后將個人的血樣混合再化驗,如果混合血樣呈陰性,說明這人全部陰性;如果混合血樣呈陽性,就需要對每個人再分別化驗一次(每一小組都要按要求獨立完成),取何值時,總化驗次數(shù)最少?說明:函數(shù)先減后增.0.88580.86810.85080.8337【答案】(1)①0.0688;②0.2878(2)【解析】【分析】(1)①用全概率公式即可求出概率,②結合①的結果,用條件概率公式即可求解;(2)設每小組檢驗次數(shù)為X,根據(jù)題意求出期望,總化驗次數(shù)為,根據(jù)表格即可求出使得化驗次數(shù)最少的k.【小問1詳解】設A表示患病,B表示檢測結果顯示患病,則,【小問2詳解】設總居民人數(shù)為M,每小組檢驗次數(shù)為X,X的可能取值為1,,,則,總化驗次數(shù)為,根據(jù)附表計算,時,化驗次數(shù)最少.18.已知函數(shù).(1)若函數(shù)的極值點在內,求m的取值范圍;(2)若有兩個零點,求m取值的范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求導,轉化問題為在上有解,進而求解即可;(2)求導,分,兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由,則,要使函數(shù)的極值點在內,則在上有解,即在上有解,則

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