高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省武漢市5G聯合體2023-2024學年高一下學期期末考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校高三年級有810名學生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數分別為（）A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，26【答案】A【解析】根據分層抽樣原理知，，，所以抽取男生40人，女生32人．故選：A.2.下列統計量中，都能度量樣本的集中趨勢的是（）A.樣本的標準差與極差B.樣本的中位數與平均數C.樣本的極差與眾數D.樣本的方差與平均數【答案】B【解析】根據書中知識可知：度量數據的集中趨勢的是中位數，平均數，眾數，度量數據離散程度的是方差，標準差，極差，所以本題B是正確的.故選：B.3.在正方體中，二面角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由正方體的性質易知平面，平面，平面，則，而平面平面，則為二面角的平面角，又因為四邊形為正方形，所以，即二面角的大小是.故選：B.4.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列結論正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對于A項，若，則可能相交，如下圖所示，故A錯誤；對于B項，若，，則或，如下圖所示，故B錯誤；對于C項，如圖所示，，顯然不一定垂直，故C錯誤；對于D項，由線面垂直的性質可知若，則，即D正確.故選：D.5.設為所在平面內一點，若，則下列關系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴?=3(?)，∴=?.故選：A.6.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論不正確的是（）A.圓柱的側面積為B.圓錐的側面積為C.圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和D.三個幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】D【解析】對A，圓柱的側面積等于，A正確；對B，圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為，B正確；對C，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，所以，C正確，對D，圓柱的表面積，圓錐的表面積，球的表面積為，由于，所以圓錐的表面積最小，D錯誤.故選：D．7.如圖，四棱錐中，底面為菱形，側面為等邊三角形，分別為的中點，給出以下結論：①平面；②平面；③平面與平面交線為，則；④平面．則以上結論正確的序號為（）A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②③④【答案】C【解析】取中點，易知，結合平面，平面，根據線面平行的判定定理，得知①正確；根據題意，可知，從而得到四邊形FCME是平行四邊形，所以，根據線面平行的判定定理，得知②正確；得平面，由線面平行的性質可知，③正確，④顯然不正確.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別是的中點，有四個結論：①與是異面直線；②相交于一點；③過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為平行四邊形；④過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形.其中錯誤的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】對于①，連接，如圖所示：由分別是的中點，可得，可得與共面，故①錯誤；對于②，因為平面平面平面，所以由異面直線的定義可得，與是異面直線，則不相交于一點，故②錯誤；對于③，由①知，過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為四邊形，而，故四邊形不是平行四邊行，故③錯誤；對于④，取，則過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形，故④正確.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.設復數，則下列命題結論不正確的是（）A.的虛部為1 B.C.在復平面內對應的點在第四象限 D.是方程的根【答案】BCD【解析】由，可得：，所以的虛部為，即A是錯誤的；由，可知，即B是正確的；由可知在復平面內對應的點在第四象限，即C是正確的；由方程的根為，即D是正確的.故選：BCD.10.已知向量，則下列結論正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】對于A，，故A錯誤，對于B,,而，故與不共線，故B錯誤，對于C，，由于，故與的夾角為，C正確，對于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：CD.11.已知正四面體的棱長為，則（）A.正四面體的外接球表面積為B.正四面體內任意一點到四個面的距離之和為定值C.正四面體的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為D.正四面體在正四面體的內部，且可以任意轉動，則正四面體的體積最大值為【答案】BD【解析】棱長為的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設外接球的半徑為，則，所以，所以A錯誤；設正四面體內任意一點到四個面的距離分別為，設正四面體的高為，又，由等體積法可得，，所以為定值，所以B正確；如圖所示，設中點為，連接，，則，，故為所求二面角的平面角，，，由余弦定理得，則，所以C錯誤；對于選項D，要使正四面體在四面體的內部，且可以任意轉動，則正四面體的外接球要在四面體內切球內部，當正四面體的外接球恰好為四面體內切球時，正四面體的體積最大值，又，，設正四面體內切球的半徑為，則，即，解得，所以正四面體的外接球半徑為，設正四面體的邊長為，則，所以，故體積，即正四面體的體積最大值為，所以D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，若，則的面積為__________.【答案】【解析】由題意得，而，故，解得，故的面積為.故答案為：.13.已知向量，則與垂直的單位向量的坐標為__________.【答案】【解析】設與向量垂直的單位向量為，則，解得，或，所以，或.故答案為：.14.如圖，正三棱錐的側面和底面所成角為，正三棱錐的側面和底面所成角為和位于平面的異側，且兩個正三棱錐的所有頂點在同一個球面上，則__________，的最大值為__________.【答案】【解析】由幾何體結構特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點，取中點，連接，由正棱錐性質知，且，則、，，設，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當且僅當時取等，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.果切是一種新型水果售賣方式，商家通過對整果進行消洗?去皮?去核?冷藏等操作后，包裝組合銷售，在“健康消費”與“瘦身熱潮”的驅動下，果切更能滿足消費者的即食需求.（1）統計得到10名中國果切消費者每周購買果切的次數依次為：，求這10個數據的第70百分位數與方差；（2）統計600名中國果切消費者的年齡，他們的年齡均在5歲到55歲之間，按照分組，得到頻率分布直方圖.估計這600名中國果切消費者年齡的中位數及平均數（結果保留整數）.解：（1）按從小到大順序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于，故第70百分位數為；平均數，.（2）由可得，所以，解得，所以這600名中國果切消費者年齡的中位數為24，其平均數16.在中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若．（i）求的值；（ii）求的面積．解：（1）已知，由余弦定理，則，又，則.（2）（i），由正弦定理有，得，故，.（ii）由正弦定理可知，，故的面積為.17.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求異面直線與所成角的大小.（3）求直線與平面所成角的正切值.解：（1）如圖，連接交于點，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，且平面，所以平面.（2）因，且，易得，則有，由（1）得，故與所成角為（或其補角），因為，所以，即與所成角的大小為.（3）連接，過作于點，因為平面，且平面，所以，又且，所以平面，因為平面，所以，又，且，平面，所以平面，所以直線與平面所成角為（或其補角），因為正方體的邊長為1，所以，，所以.18.（1）已知，，點在線段的延長線上，且，求點的坐標；（2）若是夾角為的兩個單位向量，求：（i）的值；（ii）函數的最小值；（3）請在以下三個結論中任選一個用向量方法證明．①余弦定理；②平行四邊形的對角線的平方和等于其四邊長的平方和；③三角形的三條中線交于一點．注：如果選擇多個結論分別解答，按第一個解答計分．解：（1）設，則，，因為點在線段的延長線上，且，所以，所以，解得，所以.（2）（i）因為，為單位向量，所以，，所以.（ii）因為，所以當時，函數的最小值為.（3）若選①：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，證明：如圖，設，由三角形法則有，所以，即，同理可得，，.若選②：在平行四邊形中，，為對角線，證明：，根據條件作出圖形，因為四邊形為平行四邊形，所以，，，所以，因為，所以，所以，即平行四邊形的對角線的平方和等于其四邊長的平方和.若選③：在中，，，分別為，，的中點，證明：，，相交于一點，由題意作出圖形，設，，則，，，設，相交于一點，，，則，，又，所以，解得，，所以，再設，相交于一點，同理可證得，即，重合，即，，相交于一點，所以三角形的三條中線交于一點.19.如圖，已知三棱臺的體積為，平面平面，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，（1）證明：平面；（2）求點到面的距離；（3）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.解：（1）連接，如圖，在三棱臺中，；，四邊形為等腰梯形且，設，則，由余弦定理得：，，；平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；是以為直角頂點的等腰直角三角形，，，平面，平面.（2）由棱臺性質知：延長交于一點，，，，；平面，即平面，即為三棱錐中，點到平面的距離，由（1）中所設：，，為等邊三角形，，，；，，，設所求點到平面的距離為，即為點到面的距離，，，解得：，即點到平面的距離為.（3）平面，平面，平面平面，平面平面，取中點，在正中，，平面，又平面，平面平面，作，平面平面，則平面，作，連接，則即在平面上的射影，平面，平面，，，平面，平面，平面，，即二面角的平面角，設，在中，作，，，又平面，平面，，解得：，由（2）知：，，，，，，，，若存在使得二面角的大小為，則，解得：，，存在滿足題意的點，.湖北省武漢市5G聯合體2023-2024學年高一下學期期末考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校高三年級有810名學生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數分別為（）A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，26【答案】A【解析】根據分層抽樣原理知，，，所以抽取男生40人，女生32人．故選：A.2.下列統計量中，都能度量樣本的集中趨勢的是（）A.樣本的標準差與極差B.樣本的中位數與平均數C.樣本的極差與眾數D.樣本的方差與平均數【答案】B【解析】根據書中知識可知：度量數據的集中趨勢的是中位數，平均數，眾數，度量數據離散程度的是方差，標準差，極差，所以本題B是正確的.故選：B.3.在正方體中，二面角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由正方體的性質易知平面，平面，平面，則，而平面平面，則為二面角的平面角，又因為四邊形為正方形，所以，即二面角的大小是.故選：B.4.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列結論正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對于A項，若，則可能相交，如下圖所示，故A錯誤；對于B項，若，，則或，如下圖所示，故B錯誤；對于C項，如圖所示，，顯然不一定垂直，故C錯誤；對于D項，由線面垂直的性質可知若，則，即D正確.故選：D.5.設為所在平面內一點，若，則下列關系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴?=3(?)，∴=?.故選：A.6.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論不正確的是（）A.圓柱的側面積為B.圓錐的側面積為C.圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和D.三個幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】D【解析】對A，圓柱的側面積等于，A正確；對B，圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為，B正確；對C，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，所以，C正確，對D，圓柱的表面積，圓錐的表面積，球的表面積為，由于，所以圓錐的表面積最小，D錯誤.故選：D．7.如圖，四棱錐中，底面為菱形，側面為等邊三角形，分別為的中點，給出以下結論：①平面；②平面；③平面與平面交線為，則；④平面．則以上結論正確的序號為（）A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②③④【答案】C【解析】取中點，易知，結合平面，平面，根據線面平行的判定定理，得知①正確；根據題意，可知，從而得到四邊形FCME是平行四邊形，所以，根據線面平行的判定定理，得知②正確；得平面，由線面平行的性質可知，③正確，④顯然不正確.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別是的中點，有四個結論：①與是異面直線；②相交于一點；③過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為平行四邊形；④過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形.其中錯誤的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】對于①，連接，如圖所示：由分別是的中點，可得，可得與共面，故①錯誤；對于②，因為平面平面平面，所以由異面直線的定義可得，與是異面直線，則不相交于一點，故②錯誤；對于③，由①知，過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為四邊形，而，故四邊形不是平行四邊行，故③錯誤；對于④，取，則過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形，故④正確.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.設復數，則下列命題結論不正確的是（）A.的虛部為1 B.C.在復平面內對應的點在第四象限 D.是方程的根【答案】BCD【解析】由，可得：，所以的虛部為，即A是錯誤的；由，可知，即B是正確的；由可知在復平面內對應的點在第四象限，即C是正確的；由方程的根為，即D是正確的.故選：BCD.10.已知向量，則下列結論正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】對于A，，故A錯誤，對于B,,而，故與不共線，故B錯誤，對于C，，由于，故與的夾角為，C正確，對于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：CD.11.已知正四面體的棱長為，則（）A.正四面體的外接球表面積為B.正四面體內任意一點到四個面的距離之和為定值C.正四面體的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為D.正四面體在正四面體的內部，且可以任意轉動，則正四面體的體積最大值為【答案】BD【解析】棱長為的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設外接球的半徑為，則，所以，所以A錯誤；設正四面體內任意一點到四個面的距離分別為，設正四面體的高為，又，由等體積法可得，，所以為定值，所以B正確；如圖所示，設中點為，連接，，則，，故為所求二面角的平面角，，，由余弦定理得，則，所以C錯誤；對于選項D，要使正四面體在四面體的內部，且可以任意轉動，則正四面體的外接球要在四面體內切球內部，當正四面體的外接球恰好為四面體內切球時，正四面體的體積最大值，又，，設正四面體內切球的半徑為，則，即，解得，所以正四面體的外接球半徑為，設正四面體的邊長為，則，所以，故體積，即正四面體的體積最大值為，所以D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，若，則的面積為__________.【答案】【解析】由題意得，而，故，解得，故的面積為.故答案為：.13.已知向量，則與垂直的單位向量的坐標為__________.【答案】【解析】設與向量垂直的單位向量為，則，解得，或，所以，或.故答案為：.14.如圖，正三棱錐的側面和底面所成角為，正三棱錐的側面和底面所成角為和位于平面的異側，且兩個正三棱錐的所有頂點在同一個球面上，則__________，的最大值為__________.【答案】【解析】由幾何體結構特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點，取中點，連接，由正棱錐性質知，且，則、，，設，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當且僅當時取等，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.果切是一種新型水果售賣方式，商家通過對整果進行消洗?去皮?去核?冷藏等操作后，包裝組合銷售，在“健康消費”與“瘦身熱潮”的驅動下，果切更能滿足消費者的即食需求.（1）統計得到10名中國果切消費者每周購買果切的次數依次為：，求這10個數據的第70百分位數與方差；（2）統計600名中國果切消費者的年齡，他們的年齡均在5歲到55歲之間，按照分組，得到頻率分布直方圖.估計這600名中國果切消費者年齡的中位數及平均數（結果保留整數）.解：（1）按從小到大順序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于，故第70百分位數為；平均數，.（2）由可得，所以，解得，所以這600名中國果切消費者年齡的中位數為24，其平均數16.在中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若．（i）求的值；（ii）求的面積．解：（1）已知，由余弦定理，則，又，則.（2）（i），由正弦定理有，得，故，.（ii）由正弦定理可知，，故的面積為.17.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求異面直線與所成角的大小.（3）求直線與平面所成角的正切值.解：（1）如圖，連接交于點，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，且平面，所以平面.（2）因，且，易得，則有，由（1）得，故與所成角為（或其補角），因為，所以，即與所成角的大小為.（3）連接，過作于點，因為平面，且平面，所以，又且，所以平面，因為平面，所以，又，且，平面，所以平面，所以直線與平面所成角為（或其補角），因為正方體的邊長為1，所以，，所以.18.（1）已知，，點在線段的延長線上，且，求點的坐標；（2）若是夾角為的兩個單位向量，求：（i）的值；（ii）函數的最小值；（3）請在以下三個結論中任選一個用向量方法證明．①余