/導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用猜押考點3年真題考情分析押題依據(jù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2024全國新高考I卷10、13、182024全國新高考Ⅱ卷8、11、162023全國新高考I卷11、192023全國新高考Ⅱ卷6、11、222022全國新高考I卷7、10、222022全國新高考Ⅱ卷14、221.導(dǎo)數(shù)的概念與抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合考查；2.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、切線問題；3.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；4.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，或由極值（點）、最值求參數(shù)范圍；5.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，包括證明不等式、恒成立或存在性問題、零點及零點個數(shù)，以及根據(jù)零點求參數(shù)范圍問題；6.小題綜合化有增強趨勢，解答題難度有降低趨勢，注重其它學(xué)科中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題，突出其“工具性”.含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題是高考中的一個高頻考點，也是必考點，通過函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問題或者存在使成立問題以及其他問題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。與三角函數(shù)相關(guān)問題隨著新高考新結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這類題目一壓軸題出現(xiàn)的頻率會變大。導(dǎo)數(shù)綜合類問題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問題，極值點偏移問題，拐點偏移問題，隱零點問題，函數(shù)放縮問題。未來也是高考重難點隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問題將成為高頻考點題型一切線問題1．（23-24高二下·廣東中山·階段練習(xí)）設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則．2．（24-25高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）若直線是曲線與曲線的公切線，則．3．（24-25高二下·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)直線l為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程.4．（24-25高二上·陜西寶雞·期末）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則，.5．（24-25高三下·山東·階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則．6．（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）若曲線只有一條過原點的切線，則的值為．7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則．題型二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2025高二·全國·專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．4．（2025·河北秦皇島·一模）已知函數(shù)，若任意兩個不相等的正實數(shù)，，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為．6．（24-25高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且．若，則稱是的“增值”函數(shù)．下列函數(shù)是的“增值”函數(shù)，其中使得在上不是單調(diào)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．7．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知則（）A． B．C． D．題型三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值問題1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值為．2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則實數(shù)的最大值為．3．（24-25高二下·吉林·階段練習(xí)）（多選）對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的（

）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若恒成立，則4．（24-25高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)的極小值點為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）若函數(shù)有三個極值點，則的取值范圍是．6．（24-25高二下·江蘇揚州·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2025·河南開封·二模）已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，則取最小值時，，最小值為．題型四應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究恒成立（能成立）問題1．（24-25高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若在上恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．2．（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）設(shè)函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是.3．（24-25高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為．4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2025·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2025·四川自貢·二模）已知函數(shù)，.(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.8．（24-25高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值與最大值．9．（24-25高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在上的最大值為0，求實數(shù)的取值范圍.題型五應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式（等式）1．（2025·寧夏陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍．2．（2025·遼寧沈陽·二模）已知函數(shù)．(1)若存在，使成立，求k的取值范圍；(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．3．（2025·河南·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的零點個數(shù)；(2)若，求的最大值；(3)證明：.4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點.①求的取值范圍；②若恒成立，求的取值范圍.5．（2026高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)求證：當(dāng)時，；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍．6．（2025·湖南·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：.7．（24-25高二下·廣東清遠·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：對任意的都成立．8．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)為的從小到大的第個極值點.證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點依次為，.求證：.題型六三次函數(shù)1．（24-25高二下·山東·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．是的極小值點 B．有三個零點C．的極小值是 D．函數(shù)為奇函數(shù)2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)有三個零點，記為，則（

）A．B．過可作曲線的三條切線C．D．3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，其中，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點B．若在上存在兩個極值點，則的取值范圍是C．當(dāng)時，函數(shù)至少有一個零點D．存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最大值4．（2025·山東棗莊·二模）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值C．過點且與曲線相切的直線有且僅有一條D．當(dāng)時，直線與曲線有三個交點，，則5．（24-25高三上·云南昭通·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域為B．當(dāng)時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增C．曲線是中心對稱圖形D．若，且的最小值是06．（24-25高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，該函數(shù)單調(diào)遞增 B．存在使得該函數(shù)為軸對稱圖形C．當(dāng)時， D．任意，過點可做函數(shù)兩條切線7．（24-25高三上·廣東深圳·期末）（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于中心對稱，函數(shù)關(guān)于軸對稱B．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程有三個根，且三個根的和為3C．時，D．四次函數(shù)必為軸對稱函數(shù)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用猜押考點3年真題考情分析押題依據(jù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2024全國新高考I卷10、13、182024全國新高考Ⅱ卷8、11、162023全國新高考I卷11、192023全國新高考Ⅱ卷6、11、222022全國新高考I卷7、10、222022全國新高考Ⅱ卷14、221.導(dǎo)數(shù)的概念與抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合考查；2.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、切線問題；3.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；4.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，或由極值（點）、最值求參數(shù)范圍；5.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，包括證明不等式、恒成立或存在性問題、零點及零點個數(shù)，以及根據(jù)零點求參數(shù)范圍問題；6.小題綜合化有增強趨勢，解答題難度有降低趨勢，注重其它學(xué)科中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題，突出其“工具性”.含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題是高考中的一個高頻考點，也是必考點，通過函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問題或者存在使成立問題以及其他問題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。與三角函數(shù)相關(guān)問題隨著新高考新結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這類題目一壓軸題出現(xiàn)的頻率會變大。導(dǎo)數(shù)綜合類問題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問題，極值點偏移問題，拐點偏移問題，隱零點問題，函數(shù)放縮問題。未來也是高考重難點隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問題將成為高頻考點題型一切線問題1．（23-24高二下·廣東中山·階段練習(xí)）設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線的斜率求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，所以曲線在點處的切線的斜率為，，所以.故答案為：2．（24-25高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】【分析】直線與曲線聯(lián)立求出，設(shè)與曲線相切于點，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程與比較可得答案.【詳解】直線與曲線聯(lián)立，得，因為直線是曲線的切線，所以，解得，設(shè)與曲線相切于，由得曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即，因為直線是曲線與曲線的公切線，所以，解得，即.故答案為：.3．（24-25高二下·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)直線l為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程.【答案】【分析】設(shè)出切點為，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，解方程可得切點和切線的方程.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，由切線經(jīng)過原點，可得，解得，，則切線的方程為.故答案為：.4．（24-25高二上·陜西寶雞·期末）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則，.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可解出、的值.【詳解】因為，則，因為曲線在點處的切線方程為，則，解得.故答案為：；.5．（24-25高三下·山東·階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則．【答案】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，利用點既在直線上又在曲線上，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，解方程，求出的值，即可得出的值.【詳解】由，得，設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，又點既在直線上又在曲線上，所以，聯(lián)立和，消去，得，令，則恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，得到．故答案為：.6．（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）若曲線只有一條過原點的切線，則的值為．【答案】或【分析】設(shè)切點為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，并結(jié)合題意得方程有且只有一個實數(shù)根，再結(jié)合判別式求解即可.【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,∴切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵曲線只有一條過坐標(biāo)原點的切線切，∴,解得或,∴或,故答案為：或7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則．【答案】【分析】根據(jù)已知求出.設(shè)出公共切點的坐標(biāo)，根據(jù)已知列出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，定義域為則有．設(shè)公共切點的坐標(biāo)為，則，，，．根據(jù)題意，有.由可得，，解得（舍去）或.由可得，代入可得，.故答案為：.題型二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】利用，經(jīng)等價轉(zhuǎn)化得到在區(qū)間上有解，故只需求在上的最小值即可.【詳解】依題意，在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，設(shè)，則，故只需求在上的最小值，而在時，取得最小值，故得，則實數(shù)的取值范圍為.故答案為：2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為在定義域上恒成立，即，反解得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，從而可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由已知，得函數(shù)的定義域為，，整理，得，設(shè)函數(shù)，則，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得．故選：D．3．（2025高二·全國·專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】求導(dǎo)，分別由，解不等式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)列不等式求解實數(shù)m的取值范圍即可得結(jié)論.【詳解】易知的定義域為，．由得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．因為在區(qū)間上單調(diào)，所以或，解得或．結(jié)合選項可得A，D正確．故選：AD．4．（2025·河北秦皇島·一模）已知函數(shù)，若任意兩個不相等的正實數(shù)，，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原題條件轉(zhuǎn)換為函數(shù)在上單調(diào)遞減，進一步轉(zhuǎn)換為導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離參數(shù)即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則由，也就是說，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，由題意恒成立，即恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性求解不等式.【詳解】令，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又為上的奇函數(shù)，所以為上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減且，不等式可化為，即，即，故，所以原不等式的解集為.故答案為：.6．（24-25高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且．若，則稱是的“增值”函數(shù)．下列函數(shù)是的“增值”函數(shù)，其中使得在上不是單調(diào)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由條件得到，再結(jié)合選項得到，進而逐項判斷即可.【詳解】由，可得．對于A：由，可得：為常數(shù)，令，則，所以，則在上是減函數(shù)，故錯誤；對于B：由可得：，為常數(shù)，令，則，所以，則在上是增函數(shù)，故錯誤；對于C，由可得：，為常數(shù)，令，則，所以，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確；對于D，由可得：，為常數(shù)，令，則0，所以，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確．故選：CD．7．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，可得在上單調(diào)遞增，然后結(jié)合其單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】由可得，設(shè)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由可得，即，即，解得，所以不等式的解集為.故選：B.8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)以及，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可比較以及.【詳解】由題得，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以.構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.綜上，.故選：B題型三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值問題1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值為．【答案】/【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極大值即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，令，可得，列表如下，xe+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)的極大值為．故答案為：2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則實數(shù)的最大值為．【答案】【分析】求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與零點情況，進而可判斷函數(shù)的極值情況，即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，又因為當(dāng)時，，，即當(dāng)，，又，，所以存在唯一的，使得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則實數(shù)的最大值為，故答案為：.3．（24-25高二下·吉林·階段練習(xí)）（多選）對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的（

）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若恒成立，則【答案】ACD【分析】求得，得到的單調(diào)區(qū)間，可判定A正確；根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出的圖象，可判定B錯誤；根據(jù)的單調(diào)性，得到，結(jié)合，可判定C正確；轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性與，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且僅有一個零點，所以B錯誤；由函數(shù)的圖象，可得，因為，所以，所以C正確；若在恒成立，則在恒成立，令，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，所以D正確.故選：ACD.4．（24-25高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)的極小值點為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，時，函數(shù)的無極小值，當(dāng)，函數(shù)的極小值為，當(dāng)，可得函數(shù)的極大值為，可得的取值范圍.【詳解】由，可得，因為函數(shù)的極小值點為，所以，若，則，所以在上恒成立，故函數(shù)無極小值，又函數(shù)的極小值點為，故，又時，令，可得或，當(dāng)，所以，當(dāng)，，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意，又時，令，可得或，當(dāng)，所以，當(dāng)，，所以是函數(shù)的極大值點，不符合題意，綜上所述：的取值范圍是.故選：A.5．（24-25高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）若函數(shù)有三個極值點，則的取值范圍是．【答案】【分析】函數(shù)有三個極值點等價于有三個實根，即有兩個實根且根不為3，得，令，最后利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由有：，所以函數(shù)有三個極值點等價于有三個實根，即有兩個實根且根不為3，所以，令，所以，令有，由有，有，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，所以或，所以，故答案為：.6．（24-25高二下·江蘇揚州·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先研究在上的單調(diào)性，再結(jié)合圖象分析討論的取值范圍.【詳解】，則，則得或；得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因，則當(dāng)在內(nèi)存在最小值時，有得，則實數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．（2025·河南開封·二模）已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，則取最小值時，，最小值為．【答案】【分析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且與垂直，轉(zhuǎn)化為求曲線上一點到直線距離的最小值，利用點到直線的距離及導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】由可得，，即，所以函數(shù)，互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，因直線互相垂直，所以問題可轉(zhuǎn)化為求上點到直線距離的最小值的2倍，因為，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，有最小值3，此時，故答案為：題型四應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究恒成立（能成立）問題1．（24-25高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若在上恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,然后構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性，得到，即，再構(gòu)造函數(shù)，求出最小值即可得解.【詳解】由題意，則，等價于，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，等價于，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，因此，故選：B2．（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）設(shè)函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，求出，然后參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】由題意，，當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以，等號僅當(dāng)時成立，所以.所以對，即，即.令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此.故答案為：3．（24-25高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將原不等式同構(gòu)為，即，令，分析單調(diào)性可得，令利用導(dǎo)數(shù)求出最值得解.【詳解】由，可得．令，易知在上單調(diào)遞增，由，可得，故，即.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故正數(shù)的取值范圍是.故答案為：.4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的不等式，結(jié)合同構(gòu)思想變形，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為不等式有解求解.【詳解】依題意，，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，不等式，則，依題意，不等式在上有解，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，則，，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B5．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，以及利用韋達定理和對數(shù)運算性質(zhì)得到相關(guān)等式，最后通過求函數(shù)最值來求解的最大值.【詳解】因為恒成立，所以和有兩個相同正根.對于方程，兩邊同乘得.由一元二次方程性質(zhì)，有兩個不同正根，則，且，.

由可得，可得.根據(jù)對數(shù)運算法則，所以，即.

令，對求導(dǎo)，.令，即，解得.當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減.所以在處取最大值，.

綜上，的最大值為.故選：B.6．（2025·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出，再構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由題設(shè)在上恒成立，知，此時在上都單調(diào)遞增，所以只需在上的零點相同，即，所以，令，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍是.故選：D7．（2025·四川自貢·二模）已知函數(shù)，.(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極小值為求解；（2）將不等式分離參數(shù)，得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出最值得解.【詳解】（1），，當(dāng)時，，所以函數(shù)無極值，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，所以，則，所以的取值范圍為.8．（24-25高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值與最大值．【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)最小值為；最大值為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令，可得，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）的定義域為，，令，可得，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；又，，所以的最大值為．9．（24-25高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在上的最大值為0，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)【分析】（1）求導(dǎo)得，則得到切線斜率，再寫出切線方程即可；（2）求導(dǎo)得，再分，和討論即可；（3）分，和討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，所以在點處的切線方程為，即．（2）由題意得的定義域為，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時，，由，解得，不妨設(shè)，則由韋達定理有，又，，即，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．③當(dāng)時，，可得，所以在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．（3）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，矛盾；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，矛盾；③當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意，綜上：所求實數(shù)的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是求導(dǎo)并因式分解得，再合理分類討論即可.題型五應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式（等式）1．（2025·寧夏陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的不等式即可.（2）由（1）求出函數(shù)的最小值，再結(jié)合恒成立的不等式列式求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，由不等式恒成立，得，解得，所以的取值范圍是.2．（2025·遼寧沈陽·二模）已知函數(shù)．(1)若存在，使成立，求k的取值范圍；(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）轉(zhuǎn)化為存在，使成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案．【詳解】（1）由得，可得存在，使成立，令，，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，若存在，使成立，則；（2），若在上恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則（舍）或，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，則，則k的最小值為．3．（2025·河南·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的零點個數(shù)；(2)若，求的最大值；(3)證明：.【答案】(1)兩個(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可得到的零點個數(shù)；（2）先利用必要性探路得到，再去證明的充分性；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，對進行放縮，再放縮求和即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，所以有兩個零點.（2）由，得，下證當(dāng)時，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.（3）證明：由（2）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以且因為當(dāng)時，所以，所以即.4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點.①求的取值范圍；②若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）①將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等實根，然后由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果；②根據(jù)題意，由，得，化簡可得，然后換元，構(gòu)造函數(shù)，然后分，以及討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意，得.①當(dāng)時，因為，恒成立，所以，故在定義域上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，由，得，解得；由，得，解得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）①由題意，得.令，則.易知為增函數(shù)，由，解得，即.由題意，關(guān)于的方程即有兩個不等實根.設(shè)函數(shù)，則.由，得；由，得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.又當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以的取值范圍是.②由已知，得，.兩式相減，得，故.由，得，故.將代入，得，即.令，則，即.設(shè)函數(shù)，其中，則.令，則.①當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，不符合題意.②當(dāng)時，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，不符合題意.③當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)知識求解.5．（2026高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)求證：當(dāng)時，；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進而可得函數(shù)最值，即可證明不等式；（2）由已知可得，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可得函數(shù)正弦值，進而可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，．（2）因為，所以，由（1）知，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，因為在上有解，所以，即，所以的取值范圍是．6．（2025·湖南·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值0，無極大值(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得極值；（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，在處取得極小值0，無極大值.（2）由題意得，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，與矛盾；②當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，因為恒成立，所以.記，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以.又，所以，所以.（3）先證，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.所以，再證.由（2）可知，當(dāng)時等號成立，令，則，即，所以，累加可得，所以.7．（24-25高二下·廣東清遠·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：對任意的都成立．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，，然后求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0即可；（2）由（1）得當(dāng)時，，即，所以，取可得：，然后累加法即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意，，設(shè)，，所以，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，又，所以的值域為，因為是單調(diào)函數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，解得，故實數(shù)的取值范圍是．（2）證明：由（1）可得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以，取可得：，所以，故，依次取得：，，，…，，以上各式相加得：．所以對任意的都成立．8．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)為的從小到大的第個極值點.證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點依次為，.求證：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，得單調(diào)遞減，則，故.(2)對進行求導(dǎo)，分析符號變化，確定極值點，求，根據(jù)等比數(shù)列的定義求證即可.(3)當(dāng)時，取得極值，所以，設(shè)，求導(dǎo)分析其單調(diào)性，利用零點存在定理得唯一解使，結(jié)合（1）的結(jié)論，構(gòu)造，求導(dǎo)證，完成不等式證明.【詳解】（1）當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，故恒成立，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，故.（2），令，由得，即，對，若，則；若，則，因此，在區(qū)間與上符號總是相反，于是，當(dāng)時，取得極值，所以，此時，，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（3）由，則，因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時，存在唯一，使得，記，則，由（1）知，時，在上恒成立，故，即，整理得，要證，等價于證，只需證，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，則，原命題得證.題型六三次函數(shù)1．（24-25高二下·山東·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．是的極小值點 B．有三個零點C．的極小值是 D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ABC【分析】對于A、C，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極小值點的定義，可得答案；對于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在性定理，可得答案；對于D，整理函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】對于A，求導(dǎo)：已知函數(shù)，可得，令，即，解得或.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f′(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小植單調(diào)遞增根據(jù)極小值點的定義，在左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A正確.對于C，根據(jù)極值點的定義，是的極小值點，.故C正確.

對于B，利用零點存在性定理：因，，.因，故函數(shù)在內(nèi)存在一個零點；又因，故函數(shù)在內(nèi)存在一個零點；因，故函數(shù)在內(nèi)存在一個零點.

綜上，可知函數(shù)存在三個零點，故B正確.

對于D，由，即.因，而，可得，故不是奇函數(shù)，故D錯誤.

故選：ABC.2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)有三個零點，記為，則（

）A．B．過可作曲線的三條切線C．D．【答案】ACD【分析】對于A，對求導(dǎo)，求出函數(shù)極值，結(jié)合條件得，即可求解；對于B，設(shè)出切點，結(jié)合條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成的解的個數(shù)，即可求解；對于選項C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得在上遞增，從而得到，再利用單調(diào)性，即可求解；對于選項D，構(gòu)造，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得在上遞增，從而得到，再利用單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，得，令，得到或，令，得或，令，得，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以極大值，極小值．因為函數(shù)有三個零點，所以，解得，所以選項A正確；對于選項B，設(shè)切點，則，所以切線方程，將代入切線方程，得，令，則，由，得到或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以極大值，極小值，又時，，時，，所以有兩個解，即過可作曲線的兩條切線，所以選項B錯誤；對于選項C，令，則，所以在區(qū)間上遞增．因為，所以，即，因為，所以，因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以選項C正確，對于選項D，令，則，所以在區(qū)間上遞增．因為，所以，即，因為，所以，因為，且在區(qū)間上遞增，所以，即，所以選項D正確，故選：ACD．3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，其中，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點B．若在上存在兩個極值點，則的取值范圍是C．當(dāng)時，函數(shù)至少有一個零點D．存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最大值【答案】BC【分析】對于A，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得到零點個數(shù)；對于B，利用導(dǎo)函數(shù)將極值點轉(zhuǎn)化成方程的根，通過分析一元二次方程的根的情況求出的取值范圍；對于C，利用導(dǎo)函數(shù)求極值點，結(jié)合韋達定理分析極值點的位置，利用零點存在定理分析零點個數(shù)；對于D，利用已知條件，分類討論在不同取值范圍時，求函數(shù)的單調(diào)性和最大值.【詳解】對于A，若，則，，令，可得，，所以，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，且，由函數(shù)零點存在定理可得，函數(shù)在上有唯一零點，故A錯誤；對于B，，若在上存在兩個極值點，則且在上有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時，則有，即，解得，當(dāng)時，則有即，此不等式組無解.綜上，的取值范圍為，故B正確；對于C，由于，令，得，若，則，設(shè)方程的兩根分別為，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，不妨設(shè)，，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，可得，又，所以在上必有一個零點，故C正確；對于D，由C選項可知，若，則在處取得極大值，所以函數(shù)在上可能單調(diào)遞減，可能先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，可能單調(diào)遞增，都取不到最大值；若，則在上單調(diào)遞減，取不到最大值；當(dāng)時，令，則，設(shè)方程的兩根分別為，由根與系數(shù)關(guān)系可得，所以，不妨設(shè)，則在，上單調(diào)遞減，在