/河北承德市雙灤區實驗中學2024?2025學年高二下學期高二4月份月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數（是的導函數），則（

）A．1 B．2 C． D．2．在等比數列中，，，成等差數列，則（

）A． B． C．2 D．43．若函數在區間[2，3]上不是單調函數，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若，則（

）A．100 B．110 C．120 D．1305．若函數有兩個不同的極值點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．記數列的前項和為，已知，為等差數列，若，則（

）A．2 B． C． D．8．某學校4位同學參加數學知識競賽，競賽規則規定：每位同學必須從甲?乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得30分，答錯得﹣30分；選乙題答對得10分，答錯得﹣10分.若4位同學的總分為0，則這4位同學不同得分情況的種數是A．24 B．36 C．40 D．44二、多選題（本大題共3小題）9．若，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．10．設數列的前n項和為，已知，且，則下列結論正確的是（

）A．是等比數列 B．是等比數列C． D．11．已知函數，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．函數的單調遞減區間為C．的極小值為e D．方程有2個不同的解三、填空題（本大題共3小題）12．由這七個數字組成沒有重復數字的七位數，且偶數數字從小到大排列（由高數位到低數位），這樣的七位數有個．13．已知，則使恒成立的的范圍是．14．已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍．四、解答題（本大題共5小題）15．已知二項式的展開式中，所有項的二項式系數之和為，各項的系數之和為，.(1)求的值：(2)求展開式中的系數.16．某工廠計劃投資一定數額的資金生產甲，乙兩種新產品.甲產品的平均成本利潤（單位：萬元）與投資成本（單位：萬元）滿足：（，為常數，，）；乙產品的平均成本利潤（單位：萬元）與投資成本（單位：萬元）滿足：.已知投資甲產品為1萬元，10萬元時，獲得的利潤分別為5萬元，16.515萬元.(1)求，的值；(2)若該工廠計劃投入50萬元用于甲，乙兩種新產品的生產，每種產品投資不少于10萬元，問怎樣分配這50萬元，才能使該工廠獲得最大利潤？最大利潤為多少萬元？（參考數據：，）17．已知等差數列的公差，且，，，成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)設求數列前項和為；(3)設求數列的前項和．18．設函數.(1)當時，求的單調區間；(2)若已知，且的圖象與相切，求b的值；(3)在（2）的條件下，的圖象與有三個公共點，求m的取值范圍（不寫過程）.19．已知函數.（1）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；（2）若，證明.

參考答案1．【答案】A【詳解】由函數，可得，令，可得，解得，則，所以.故選A.2．【答案】C【詳解】設等比數列的公比為，由于，，成等差數列，所以，所以.故選C3．【答案】B【詳解】因為函數，所以，若在區間上不是單調函數，則在區間上有解，即在區間上有解，即設，則，，所以，實數的取值范圍是，故選B.4．【答案】C【分析】利用二項式定理分別求出即可計算得解.【詳解】在中，，，所以.故選C.5．【答案】C【詳解】，由函數有兩個不同的極值點，故函數有兩個變號零點，即當時，有兩個不同正實數根，令方程有兩個不同正實數根為、，則有，，則，解得，即實數a的取值范圍是.故選C.6．【答案】A【分析】分離參數，求函數的最小值即可求解.【詳解】因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數，故為增函數，當時，有最小值，即，故選A．7．【答案】D【詳解】，故，所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以，故，所以當時，，所以，故選D．8．【答案】D【詳解】由題意知這4位同學不同得分情況的種數分五類：（1）兩人得30分，余下兩人得﹣30分，有C42=6種情況；（2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4種情況；（3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4種情況；(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A43=24種情況；(5)兩人得10分，余下兩人得﹣10分，有C42=6種情況.根據分類計數原理得到共有6+4+4+24+6=44種情況.故選D.9．【答案】ACD【詳解】依題意，，令，得，所以A選項正確.令，得，所以，所以B選項錯誤.令，得，所以C選項正確.由于二項式展開式的通項公式為，所以為正數，為負數，所以，所以D選項正確.故選ACD.10．【答案】BC【詳解】，，則是公差為1，首項為的等差數列，所以，則.對A：，因為不是非零常數，所以不是等比數列，故A錯誤；對B：，因為，所以是以為首項，以2為公比的等比數列，故B正確；對C：，故C正確；對D：因為，所以，兩式相減得，故D錯誤.故選BC.11．【答案】ACD【詳解】，，因為，，所以在處的切線方程為，故A正確；令，即，解得，因為，所以的單調遞減區間為，，故B錯誤；令，解得，在時單調遞增，時單調遞減，所以在處取得極小值，極小值為，故C正確；方程，即，即求方程零點的個數，令，，當時，，即為單調遞增的，，，故在區間有唯一一個零點，時，即為單調遞減的，，即在區間存在唯一一個零點，故D正確；故選ACD．12．【答案】90【詳解】因偶數排列順序固定且0只能在6，5，4位，奇數可任意排列，則當0排在第6位時，共有（個）數；當0排在第5位時，共有（個）數；當0排在第4位時，共有（個）數，故這樣的七位數共有（個）．故答案為.13．【答案】【詳解】因，令，，依題意，，當時，，求導得，當時，，當時，，因此在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，當時，，求導得，在上單調遞減，，于是得函數在上單調遞減，，因此，則，所以的取值范圍是.14．【答案】【詳解】存在，使得可得，構造函數，其中，則，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，則，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由題可得，，進而即得；(2)由二項式展開式的通項公式求解即得．【詳解】(1)因為，，所以，解得；(2)由通項公式，令，可得，所以展開式中的系數為.16．【答案】(1)，(2)甲，乙兩種產品各投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為31.09萬元【詳解】（1）由題意知，，整理得，解得，；（2）設甲產品投資萬元，乙產品投資萬元，且，則該公司獲得的利潤，；則在上單調遞減，令，解得或（舍去），當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴，∴當甲，乙兩種產品各投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為31.09萬元.17．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據題意得到方程組，求出首項和公差，得到通項公式；（2）變形得到，裂項相消法求和；（3）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）根據題意，因為，，，成等比數列，所以，又，解得，，故；（2）因為，所以；（3）因為，所以①，②，所以①-②得，所以.18．【答案】(1)單調遞增區間為和，單調遞減區間為(2)3(3)【詳解】（1）當時，，則，當或時，；當時，，所以f(x)的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.（2）由，得，設函數與直線相切的切點是，因為，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得；（3）時，，的圖象與有三個公共點，即方程有三個實數根，設函數，則，時，或；時，，在和上單調遞增，在上單調遞減，時取極大值，時取極小值，所以的取值范圍為.19．【答案】（1）（2）見解析【