/浙江省嘉興市八校2024?2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題一、單選題（本大題共6小題）1．下列函數求導正確的是（

）A． B． C． D．2．若的展開式中常數項為32，則（

）A．5 B．6 C．7 D．83．若隨機變量，且，，則的值為（

）A． B． C． D．4．從4名女生和2名男生中，抽取3名學生參加某檔電視節目，若按性別比例分層隨機抽樣，則不同的抽取方法數為（）A．56 B．28 C．24 D．125．某個班級有55名學生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團員，女生中有12名團員．在該班中隨機選取一名學生，A表示“選到的是團員”，B表示“選到的是男生”，則等于（）A． B． C． D．6．三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共1小題）7．已知函數定義域為，部分對應值如表，的導函數的圖象如圖所示.下列關于函數的結論正確的有（

）A．函數的極大值點有個B．函數在上是減函數C．若時，的最大值是，則的最大值為4D．當時，函數有個零點三、單選題（本大題共1小題）8．已知函數，，若在區間上，函數的圖象恒在函數圖象的上方，則的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．四、多選題（本大題共3小題）9．若隨機變量服從兩點分布，其中分別為隨機變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．10．已知的二項展開式中第3項和第4項的二項式系數最大，則（

）A． B．展開式的各項系數和為243C．展開式中奇數項的二項式系數和為16 D．展開式中有理項一共有3項11．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．當時，若有三個零點，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過點可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點，且，其中，則五、填空題（本大題共3小題）12．設曲線的圖象在點(1，)處的切線斜率為2，則實數a的值為．13．在某項測量中，測量結果服從正態分布，若在內取值的概率為，則在內取值的概率為．14．在送醫下鄉活動中，某醫院安排甲、乙、丙、丁、戊五名醫生到三所鄉醫院工作，每所醫院至少安排一名醫生，且甲、乙兩名醫生不安排在同一醫院工作，丙、丁兩名醫生也不安排在同一醫院工作，則不同的分配方法總數為．六、解答題（本大題共5小題）15．已知函數有極小值．(1)求的單調區間；(2)求在上的最大值和最小值．16．設，且．(1)求與的值；(2)求的值．17．張先生家住小區，他在科技園區工作，從家開車到公司上班有，兩條路線(如圖)，路線上有，，三個路口，各路口遇到紅燈的均為；上有，兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，.（1）若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（2）若走路線，求他遇到紅燈的次數的分布列和數學期望.18．隨著新中考英語人機測試的推行，為了確保學生能夠有效應對這一新的考試形式，某中學決定展開深入調查，組織一次模擬測試，對學生的英語水平能力進行準確評估，并據此制定針對性的教學方案.該校從初二學年學生中隨機抽取40人將進行模擬測試.現將40人分成三個小組，其中組15人，組15人，組10人.(1)第一輪測試按小組順次進行.若一切正常，則該小組完成測試的時間為10分鐘，若出現異常情況，則該小組需要延長5分鐘才能完成測試.已知每小組正常完成測試的概率均為，且各小組是否正常完成測試互不影響.記3個小組完成測試所需時間為，求的分布列;(2)第二輪測試將3組同學一起排序，每一位同學順次上機操作.①求最后一名同學來自組的條件下，組同學比組同學提前完成測試的概率;②若每名同學完成測試的時間都是為3分鐘，求組和組同學全部完成測試所需時間的期望.19．已知函數.（1）討論函數的極值；（2）是否存在實數，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值：若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】A【詳解】，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選A.2．【答案】A【詳解】的展開式通項為.故常數項為，得.故選A.3．【答案】A【詳解】因為，，所以，解得.故選A.4．【答案】D【詳解】所抽取的男生人數為，因此女生人數為2，抽取方法數共有種．故選D．5．【答案】B【詳解】設事件為選到的是團員，事件為選到的是男生，根據題意可得，，，故．故選B．6．【答案】A【詳解】對函數求導，得因為函數在上是減函數，則在上恒成立，即恒成立，當，即時，恒成立；當，即時，，則，即，因為，所以，即；又因為當時，不是三次函數，不滿足題意，所以.故選A．7．【答案】ABD【詳解】由導數的正負性可知，函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為、，B選項正確；函數有個極大值點，A選項正確；當時，函數最大值是，而最大值不是，C選項錯誤；作出函數的圖象如下圖所示，由下圖可知，當時，函數與函數的圖象有四個交點，D選項正確.故選ABD.8．【答案】D【詳解】令，由數的圖象恒在函數圖象的上方得在上恒成立，即即可，所以，令有或，由，所以，由有或，由有，所以在上單調遞減，在單調遞增，所以只需，故選D.9．【答案】ACD【詳解】對于選項A：隨機變量X服從兩點分布，因為故，故選項A正確；對于選項B：，故選項B錯誤；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故D正確.故選ACD.10．【答案】BCD【詳解】A選項，二項展開式中第3項和第4項的二項式系數最大，即為奇數，且與最大，所以，解得，A錯誤；B選項，中，令得，，故展開式的各項系數和為243，B正確；C選項，展開式中的二項式系數和為，其中奇數項和偶數項的二項式系數和相等，所以展開式中奇數項的二項式系數和為16，C正確；D選項，展開式通項公式為，，且為整數，當時，滿足要求，當時，滿足要求，當時，滿足要求，綜上，展開式中有理項一共有3項，D正確.故選BCD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，，當時，，，令，解得或，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時取得極大值，當時取得極小值，有三個零點，，解得，故選項A正確；對于B，滿足，根據函數的對稱可知的對稱點為，將其代入，得，解得，故選項B錯誤；對于C，，設切點為，則切線的斜率化簡，得由條件可知該方程有三個實根，有三個實根，記，令，解得或，當時取得極大值，當時，取得極小值，因為過點可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項C正確；對于D，，，當，在上單調遞增；當，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；存在極值點，由得令，，于是，所以，化簡得：，，，于是，.故選項D正確；故選ACD.12．【答案】3【詳解】函數，可得，所以切線的斜率為，解得.13．【答案】/【詳解】因為在內取值的概率為，服從正態分布，所以，且，所以，所以，所以在內取值的概率為.14．【答案】84【詳解】試題分析：甲、乙、丙、丁、戊五名醫生到三所鄉醫院工作，每所醫院至少安排一名醫生，①當有二所醫院分2人另一所醫院分1人時，總數有種，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一組有種；②有二所醫院分1人另一所醫院分3人.有種.故滿足條件的分法共有種.15．【答案】(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為，(2)最大值為，最小值為．【詳解】（1），令，解得或，令，解得，所以單調遞減區間為，單調遞增區間為，．（2）由（1）知，的極小值為，解得．∵在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，∴的極小值為，的極大值為又，，所以在上的最大值為，最小值為．16．【答案】(1)；(2)511.【詳解】（1）由，得，取，得，所以.（2）由（1）知，，當時，，當時，，因此，所以.17．【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數學期望：.【詳解】（1）設走路線最多遇到1次紅燈為事件，則.（2）依題意，的可能取值為0，1，2.則；；，隨機變量的分布列為：012.18．【答案】(1)分布列見解析(2)，【詳解】（1）設事件：組正常完成；設事件：組正常完成；設事件：組正常完成；隨機變量的可取值：30，35，40，45的分布列：30354045（2）①設事件：最后一名同學來自組；事件：組同學比組同學提前完成測試.則②設所需時間為，的可取值：90,，93，96，，，，120（）則∴19．【答案】（1）答案不唯一，具體見詳解；（2）存在；的最小值是1.【分析】（1）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結論；（2）令，可證恒成立，而，由（1）得，在為減函數，在上單調遞減，在都存在，不滿足，當時，設，且，只需求出在單調遞增時的取值范圍即可.【詳解】（1）由題知，，①當時，，所以在上單調遞減，沒有極值；②當時，令，得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故在處取得極小值，無極大值；（2）不妨令，設在恒成立，在單調遞增，，在恒成立，所以當時