專題04二次根式

考情聚焦

課標要求考點考向

1.掌握二次根式有意義的條件和基本性質（/）2=a（aN0）.考向一二次根式概念及性

2.能用二次根式的性質聲=|a|來化簡根式.質

考向二二次根式計算化簡

3.能識別最簡二次根式、同類二次根式.二次根式

求值

4.能根據運算法則進行二次根式的加減乘除運算以及混合

運算.考向三二次根式綜合應用

真題透視A

考點二次根式

A考向一二次根式概念及性質

1.（2023?金華）要使《工有意義，則x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可.

【解答】解：由題意得：尤-220,

解得：尤22,

則x的值可以是2,

故選：D.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

2.（2020?寧波）二次根式中字母x的取值范圍是（）

A.x>2B.無#2C.x22D.xW2

【答案】C

【分析】根據被開方數大于等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由題意得，尤-220,

解得x22.

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意

義.

3.（2020?衢州）要使二次根式J啟有意義，則尤的值可以為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】根據二次根式有意義的條件可得X-3N0,再解即可.

【解答】解：由題意得：x-320,

解得：工23,

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數.

22

4.（2000?杭州）已知二次根式J就，/曲，悔，i/a+b,J了中最簡二次根式共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀

察被開方數的每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2,且被開方數中不含有分母，被開方數是多

項式時要先因式分解后再觀察.

【解答】解：22~2V2a,可化簡；

持后哼可化簡；

=Va2*a）可化簡；

所以，本題的最簡二次根式有兩個：忘,7a2+b2;故選私

【點評】根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：

（1）被開方數不含分母；

（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式.

被開方數是多項式時，還需將被開方數進行因式分解，然后再觀察判斷.

5.（2021?麗水）要使式子J言有意義，則x可取的一個數是4（答案不唯一）.

【答案】4（答案不唯一）.

【分析】根據二次根式有意義的條件得出x-320,再求出不等式的解集，最后求出答案即可.

【解答】解：要使式子J啟有意義，必須x-320,

解得：無23,

所以x可取的一個數是4,

故答案為：4（答案不唯一）.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件和解一元一次不等式，注意：式子?中“20.

6.（2021?衢州）若J二工有意義，則。的值可以是2（答案不唯一）.（寫出一個即可）

【答案】2（答案不唯一）.

【分析】由題意可得：x-1^0,解不等式即可得出答案.

【解答】解：由題意可得：

x-120,

即在1.

則x的值可以是大于等于1的任意實數.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練應用二次根式有意義的條件進行計算是解決本題

的關鍵.

7.（2012?杭州）已知?（a-V3）<0,若6=2-a,則6的取值范圍是2-?<6<2.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據被開方數大于等于0以及不等式的基本性質求出a的取值范圍，然后再求出2-a的范圍即

可得解.

【解答】解：vVa（?-V3）<0,

a-V3<0,

解得o>0且a<百，

：.0<a<\[3,

-V3<-a<Q,

：.2-43<2-a<2,

即2--/3<b<2.

故答案為：2-百<6<2.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的基本性質，先確定出a的取值范圍是解題的關鍵.

A考向二二次根式計算化簡求值

1.（2021?杭州）下列計算正確的是（）

A.亞^=2B.J（-2）2=-2

C.*=±2D.1（一2產=±2

【答案】A

【分析】利用二次根式的性質值=|2|可知答案.

【解答】解：4*=|2|=2,符合題意；

B.J（-2）2=|-2|=2f不符合題意；

C=|2|=2,不符合題意；

D.q（一2）2=|-2|=2>不符合題意,

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的性質，關鍵是熟記性質進行計算.

2.（2020?杭州）V2XV3=（）

A.V5B.VeC.2V3D.3V2

【答案】B

【分析】根據二次根式的乘法運算法則進行運算即可.

【解答】解：近乂如=瓜，

故選：B.

【點評】本題主要考查二次根式的乘法運算法則，關鍵在于熟練正確的運用運算法則，比較簡單.

3.（2016?杭州）下列各式變形中，正確的是（）

A.B.-^2=|x|

C.（x2--）+尤=x-ID.x2-x+l=（x-—）2+—

x24

【答案】B

【分析】直接利用二次根式的性質以及同底數幕的乘法運算法則和分式的混合運算法則分別化簡求出答

案.

【解答】解：A、/?/=2,故此選項錯誤；

B、正確；

C、（?-1）+x=x-1-,故此選項錯誤；

xXx2

D、x2-A+1=（x-—）2+—,故此選項錯誤；

24

故選:B.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質以及同底數幕的乘法運算和分式的混合運算等知識，正確掌握

相關運算法則是解題關鍵.

4.（2012?杭州）已知機=（二巨）X（-2721則有（）

3

A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<-4D.-6<m<-5

【答案】A

【分析】求出機的值，求出2小（V28）的范圍5<加<6,即可得出選項.

【解答】解：機=（-返）X（-2721），

3

=173X21,

3

=2x377,

3

=2A/7=V28-

vV25<V28<V36,

.'.5<V28<6,

即5<m<6,

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的乘法運算和估計無理數的大小的應用，注意：5<V28<6,題目比較好，

難度不大.

5.（2003?杭州）已知—,b=_」-，則Ja?+b2+7的值為（）

V5-2V5+2v

A.5B.6C.3D.4

【答案】A

【分析】先化簡m6后，再代入代數式求值.

【解答】解：：a=-j=J—=V5+2,b=-=l—=V5-2，

<5-2V5+2

Va2+b2+7=V（V5+2）2+（V5-2）2+7=5-

故選：A.

【點評】先化簡再代入，是求值題的一般步驟；不化簡，直接代入，雖然能求出結果，但往往導致繁瑣

的運算.

6.（2005?杭州）若化簡|『x|HX2_8X+16的結果為2》-5,則x的取值范圍是（）

A.尤為任意實數B.

C.尤21D.xW4

【答案】B

【分析】根據完全平方公式先把多項式化簡為11-x|-|x-4|,然后根據x的取值范圍分別討論，求出符合

題意的x的值即可.

【解答】解：原式可化簡為|1-尤|-|x-4|,

當1-xNO,X-4N0時，可得x無解，不符合題意；

當l-x>0,X-4W0時，可得xW4時，原式=1-x-4+x=-3；

當1-xWO,x-420時，可得x24時，原式=x-1-x+4=3；

當1-xWO,x-4W0時，可得時，原式=x-1-4+x=2x-5.

據以上分析可得當1WxW4時，多項式等于2%-5.

故選：B.

【點評】本題主要考查絕對值及二次根式的化簡，要注意正負號的變化，分類討論.

7.（2023?杭州）計算：V2-^8—1y[2_.

【答案】見試題解答內容

【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=&-2近

=-我.

故答案為：-V2.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

8.（2010?杭州）先化簡欄-（卷煙-適），再求得它的近似值為5.20（精確至U0.01,-

1.414,73^1.732）.

【答案】見試題解答內容

=3?

^3X1.732

-5.196

-5.20

【點評】在根式的解答過程中，經常遇到類似本題的題型，在解答此類題型時，化簡時，先把分數化成

根式形式后，再去解答會比較容易一些.

9.（2004?寧波）已知：a<0,化簡｛4-（di]4+=-2.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二次根式的性質化簡.

又?.?二次根式內的數為非負數

'.a--=0

a

*.a=\或-1

??"V0

??6Z=-1

?，?原式=0-2=-2.

【點評】解決本題的關鍵是根據二次根式內的數為非負數得到〃的值.

10.（1999?杭州）如果a+b+|=477^+27^1-4,那么a+2b-3c=0.

【答案】見試題解答內容

【分析】先移項，然后將等號左邊的式子配成兩個完全平方式，從而得到三個非負數的和為0,根據非

負數的性質求出。、b.c的值后，再代值計算.

【解答】解：原等式可變形為：

a-2+b+l+Wc-1-11=Wa-2+2Vb+l-5

（o-2）+（b+1）+|Vc<-1|-4\^2-2Vb+l+5=0

（a-2）-4-a-2+4+（6+1）-2Vb+1+1+|Vc-l-l|=0

（7a-2-2）2+（Vb+1_1）2+lVc-l_1|-0；

即：7a-2-2=0,Vb+1-1=0,Vc-l_1=0,

?Wa-2=2,Vb+l=l,7c-l=l,

J.a-2=4,0+1=1,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2；

，〃+2b-3c=6+0-3X2=0.

【點評】此題較復雜，能夠發現所給等式的特點，并能正確地進行配方是解答此題的關鍵.

11.（1998?杭州）已知JI5+X2H19-X2=2,則419-X2+2A/15+X2=4?

【答案】見試題解答內容

【分析】用換元法代替兩個帶根號的式子，得出加、〃的關系式，解方程組求〃7、〃的值即可.

【解答】解：設m=N15+>2，n=yJ19-x2J

那么7"-w=2①，nr+n2="15+x2）+（V19-X2）=34②.

由①得，"2=2+〃③，

將③代入②得：T^+ln-15=0,

解得：n=-5（舍去）或〃=3,

因此可得出，m=5,n=3（根20,〃20）.

所以719-X2+2115+X2=〃+2%=13.

【點評】本題通過觀察，根號里面未知數的系數為相反數，可通過換元法求解.

2I2

12.（2001?浙江）已知：a=-J，求a八飛_'Va-2a+l的值.

2^3a+22_a

【答案】見試題解答內容

【分析】首先化簡。=2-然后根據約分的方法和二次根式的性質進行化簡，最后代入計算.

【解答】解：—

2W3

...原式=（a+2）（a-3）業盧戈_=._3+1

a+2a（a-l）a

=2-V3-3+2+V3=l.

【點評】此題中注意：當時，有.（a-l）2=1-

13.（1999?杭州）已知求代數式蠟號----/'了廠的值.

Vx-VyxVy-yvx

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二次函數的性質，可求出x、y的值，然后將所求的代數式化簡，再代值計算即可.

｛卷解得『

【解答】解:由已知，得:此時y=18；

原式=產廠2xy

Vx7yVxy(Vx-Vv)

X切

Vx-Vy

_(Vx-Vy)2

Vx-Vy

=Vx-Vy

當x=8,y=18時，

原式=2&-3近=-

【點評】能夠根據二次根式的性質求出小y的值，并能正確的將所求的式子化簡是解答此題的關鍵.

A考向三二次根式綜合應用

1.（2003?杭州）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4,則第三邊的長是5；②（右）

2=a；③若點P（a,b）在第三象限，則點。（-a,-b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對

應相等的兩個三角形全等，正確的說法是（）

A.只有①錯誤，其他正確B.①②錯誤，③④正確

C.①④錯誤，②③正確D.只有④錯誤，其他正確

【答案】A

【分析】①應明確邊長為4的邊是直角邊還是斜邊；

②隱含條件a20,根據二次根式的定義解答；

③根據每個象限內點的符號特點判斷出a、b的符號，再判斷出-a、-b的符號即可；

④用“倍長中線法”可證明兩個三角形全等.

【解答】解：①錯誤，應強調為直角三角形的兩條直角邊長為3與4,則第三邊的長是5；

②正確，隱含條件根據二次根式的意義，等式成立；

③正確，若點P(a,b)在第三象限，則a<0,b<0；則-a>0,-b>0,點。(-a,-b)在第一象

限；

④正確，作輔助線，倍長中線，可證明兩個三角形全等.

故選：A.

【點評】本題考查了對勾股定理的理解，二次根式的化簡，點的對稱性質，全等三角形的判定方法.

2.(2005?臺州)我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，即己知三角形的三邊

I2222

長，求它的面積.用現代式子表示即為：S唱段一￡)]“@(其中。、b、c為

三角形的三邊長，s為面積).

而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

s=4p(p-a)(p-b)(p-c)…②(其中p=a+￡+c.)

(1)若已知三角形的三邊長分別為5,7,8,試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積s；

(2)你能否由公式①推導出公式②？請試試.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)代入計算即可；

(2)需要在括號內都乘以4,括號外再乘工，保持等式不變，構成完全平方公式，再進行計算.

4

I2222

【解答】解：(1)s=KHX72-(5-+、-*-)]，

=^752(72-11)-|V48=1073；

(5+7+8)=10,

2

又S=410(10-5)(10-7)(10-8)=710X5X3X2=1073；

22222222222222

(2)1r2,2/a+b-c-._1(4ab_(a+b)-2(a+b)*c+(c))

⑵-[ab-(—2)]-4---------------------4----------------

-[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2],

=—^(c+a-Z?)(c-a+b)(a+6+c)Ca+b-c),

16

=春(2p-2a)(2p-2b)，2p,(2p-2c),

p(〃-〃)(p-Z?)(p-c)

/222______________________

**?[a2b2-（"~~）]=Vp（p-a）（p-b）（p-c）.

V3乙

（說明：若在整個推導過程中，始終帶根號運算當然也正確）

【點評】考查了三角形面積的海倫公式的用法，也培養了學生的推理和計算能力.

新即特訓,

1.（2024?余姚市一模）下列計算正確的是（）

.（-3）2=-3B.后=3

C.1（一3）2=±3D.后=±3

【答案】B

【分析】根據二次根式的性質進行化簡，從而作出判斷.

【解答】解：A、原式=3,故此選項不符合題意；

B、原式=3,故此選項符合題意；

C、原式=3,故此選項不符合題意；

D、原式=3,故此選項不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查二次根式的性質，理解二次根式的性質值=13是解題關鍵.

2.（2024?義烏市二模）二次根式4T§有意義，則實數x的取值范圍是（）

A.x>3B.x?3C._r》-3D.-3

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案.

【解答】解：???二次根式心看有意義，

/?x+3^0,

解得：工2-3.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關鍵.

3.（2024?濱江區二模）計算：3^j--V27=（）

A.-3V3B.-2V3C.-V3D.V3

【答案】B

【分析】先把算式中的二次根式化為最簡二次根式，然后進行計算即可.

【解答】解：原式=3乂爽-3^

3

=我-3如

=_酮,

故選：B.

［點評】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題關鍵是熟練掌握如何把二次根式化成最簡二次根式.

4.（2011?杭州模擬）要使代數式運W有意義，則x應滿足（）

x-1

A.xWlB.尤>-2且xWlC.x》-2D.尤》-2且無#1

【答案】D

【分析】代數式運之有意義的條件為：分母x-1#0且被開方數x+2>0.即可求出x的范圍.

x-l

【解答】解：根據題意得：尤-1W0且無+220.解得：工2-2且*/1.

故選：D.

【點評】式子有意義的條件必須同時滿足：分式有意義和二次根式有意義兩個條件.

分式有意義的條件為：分母#0；

二次根式有意義的條件為：被開方數20.

此類題的易錯點是忽視了二次根式有意義的條件，導致漏解情況.

5.（2024?寧波模擬）在二次根式《2x+4中,x的取值范圍是（）

A.x>-2B.-2C.xW-2D.xW-2

【答案】B

【分析】根據二次根式有意義的條件得到2x+420,然后解不等式即可.

【解答】解：??,2x+420,

:?x2-2.

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：五有意義的條件為a》0.

6.（2024?浙江模擬）已知代數式Va-2023f/2024-a，下列說法不正確的是（）

A.代數式有最大值

B.代數式有最小值

C.代數式值隨。的增大而增大

D.代數式值不可能為0

【答案】。

【分析】根據二次根式有意義的條件確定。的范圍，判斷即可.

【解答】解：由題意得：a-2023^0,2024-aNO,

解得：2023WaW2024,

A、當a=2024時，代數式有最大值1,本選項說法正確，不符合題意；

B、當a=2023時，代數式有最小值-1,本選項說法正確，不符合題意；

C、當。增大時，Ja-2023增大,42024-a減小,則代數式值隨。的增大而增大，本選項說法正確，不

符合題意；

D、當“a-2023="2024-a，即。=期二時，代數式值為0,故本選項說法錯誤，符合題意；

2

故選：D.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

7.(2024?蕭山區一模)下列計算或變形正確的是()

A.2a+3b=6abB.—+-^-=~-—

aba+b

C.Va+Vb-Va+bD.a2,b2=(ab)2

【答案】。

【分析】根據合并同類項法則、分式的加減、二次根式的加減、單項式乘單項式的運算法則分別計算判

斷即可.

【解答】解：2a與死不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；

B、①電，故此選項不符合題意；

abab

C、Va+Vb7^Va+b＞故此選項不符合題意；

D、a1*b1=(ab)2,故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了合并同類項法則、分式的加減、二次根式的加減、單項式乘單項式，熟練掌握這些

運算法則是解題的關鍵.

8.(2024?鎮海區校級一模)下列運算，結果正確的是()

A.cr'+c^=2tz3B.(a3)2=a5C.cr'^a=aD.J^=a

【答案】A

【分析】利用合并同類項的法則，塞的乘方與積的乘方的法則，同底數基的除法法則和二次根式的性質

對每個選項進行逐一判斷即可.

【解答】解：'.'a3+a3=2a3,

選項的結論正確，符合題意；

*/(a3)2=a6,

.?,2選項的結論不正確，不符合題意；

.?.3a?~a_—2a,

；.c選項的結論不正確，不符合題意；

?4a2=⑷，

選項的結論不正確，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了合并同類項的法則，募的乘方與積的乘方的法則，同底數嘉的除法法則和二次

根式的性質，熟練掌握上述法則與性質是解題的關鍵.

9.（2024?寧波模擬）計算：5a-&=口6_.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二次根式的運算法則即可求出答案

【解答】解：原式=（5-1）義弧=4泥,

故答案為：46

【點評】本題考查二次根式，解題的關鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎題型.

10.（2024?拱墅區校級二模）若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是無22.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二次根式有意義的條件得到x-220,解之即可求出x的取值范圍.

【解答】解：根據題意得：％-220,

解得：無22.

故答案為：工三2.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式有意義時被開方數是非負數.

11.（2024?鎮海區校級模擬）二次根式,2x+l有意義的條件是

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于等于0,列不等式求解.

【解答】解：根據二次根式有意義，得：2x+l>0,

解得：X，-1.

2

故答案為X2-2.

2

【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件，解答本題的關鍵是掌握二次根式有意義，則被開方數不

小于0,此題比較簡單.

12.（2024?浙江模擬）要使二次根式“x-2024有意義,實數x的取值范圍是G2024.

【答案】見試題解答內容

【分析】直接利用二次根式有意義的條件可得尤-202420,進而得出答案.

【解答】解：?.?二次根式/-2024有意義,

-202420,

解得：尤N2024.

故答案為：x22024.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握被開方數不小于零的條件是解題的關鍵.

13.(2023?臨安區校級模擬)計算我-2患的結果是

【答案】見試題解答內容

【分析】原式各項化為最簡二次根式，合并即可得到結果.

【解答】解：原式=2a-2X，Z

2

=272-72

=我，

故答案為：V2.

【點評】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

14.(2024?錢塘區一模)已知x=l-y=\+42,則/+3xy+/的值為3.

【答案】3.

【分析】根據二次根式的加法法則、乘法法則分別求出x+y、孫，根據完全平方公式把所求的式子變形,

代入計算即可.

【解答】解：尸1+血，

'.x+y=(1-V2)+(1+V2)=2,xy=(1-^2)(1+V2)=1-2=-1,

貝！J/+3孫+y2

=x2+2xy+y2+xy

=(%+y)2+xy

=22-l

=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則是解題的關鍵.

15.(2024?拱墅區二模)計算：了X欄+a=」反

【答案】見試題解答內容

【分析】先計算二次根式的乘法，再算加減，即可解答.

【解答】解：，無X患+企

=憫+我

=2a+2加

=4A/2，

故答案為：4A歷.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

16.（2024?浙江模擬）先化簡，再求值：2（aW^）（a-述）-a（a-4）+14,其中-2.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據平方差公式、單項式乘多項式的運算法則、完全平方公式把原式化簡，把。的值代入計算

即可.

【解答】解：原式=2（$-5）-（/-4〃）+14

=2/-10-〃2+4。+14

=/+4〃+4

=（〃+2）2,

當。=*\/^-2時，原式=（V6-2+2）2=6.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握平方差公式、單項式乘多項式的運算法則是解題的關

鍵.

17.（2024?浙江模擬）問題：先化簡，再求值：2。+1@2_]0/25,其中。=3.

小宇和小穎在解答該問題時產生了不同意見，具體如下.

小宇的解答過程如下：

解:24+42-儂+25

=2a+J（a-5）2……（第一步）

—2a+a-5（第二步）

=3a-5.……（第三步）

當a—3時，

原式=3X37=4....（第四步）

小穎為驗證小宇的做法是否正確，她將a=3直接代入原式中：

2fl+7a2-10a+25

=6+^32-iQX3+25

=6+2

=8.

由此，小穎認為小宇的解答有錯誤，你認為小宇的解答錯在哪一步？并給出完整正確的解答過程.

【答案】a+5；8.

【分析】根據二次根式的性質將二次根式進行化簡后，再代入求值即可.

【解答】解：錯在第二步，

原式=2〃+｛（軟—5）2=2〃+|〃-5|,

\'a=3<5,

:.a-5V0,

；?原式=2。+（5-〃）

=a+5,

當〃=3時,

原式=3+5

=8.

【點評】本題考查二次根式的化簡與求值，掌握值=間，是正確解答的關鍵.

18.（2024?杭州一模）以下是小濱計算/適.祗唔的解答過程：

解:原式■喙-加

=巫-/.

小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

【答案】有錯誤.

【分析】先把J五和聆化簡，再患化為巖，接著把除法運算轉化為乘法運算，然后根據二次根式的

乘法法則運算.

【解答】解：小濱的解答過程有錯誤.

正確的解答過程為：原式=2我+1

V22

=2百義6-逅

2

=2>/6-返.

2

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則是解

決問題的關鍵.

19.（2023?舟山一模）觀察下列各式:

(1)請觀察規律，并寫出第④個等式:

(2)請用含"521）的式子寫出你猜想的規律:(n+1)

n+2—

(3)請證明（2）中的結論.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）認真觀察題中所給的式子，得出其規律并根據規律寫出第④個等式;

（2）根據規律寫出含"的式子即可;

（3）結合二次根式的性質進行化簡求解驗證即可.

【解答】解：（1）

⑵/磊=31）舄;

【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，解答本題的關鍵在于認真觀察題中所給的式子，得出其規

律并根據規律進行求解即可.

20.（2023?衢州一模）已知若x,y為實數，且尸Jx2-9x2+小求肝〉的值.

【答案】見試題解答內容

【分析】先根據二次根式有意義的條件得出x的值，代回代數式求出y的值，繼而代入計算可得.

【解答】解：由題意，7-920,9-/NO

，怔=9,

，％=±3

又?.?x+3W0,

-3,

.,.x=3,y=0+0+4=4,

；?x+y=7

【點評】本題主要考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是掌握二次根式和分式有意義的條件.

專題04二次根式

考情聚焦

課標要求考點考向

1.掌握二次根式有意義的條件和基本性質（/）2=a（aN0）.考向一二次根式概念及性

2.能用二次根式的性質聲=|a|來化簡根式.質

考向二二次根式計算化簡

3.能識別最簡二次根式、同類二次根式.二次根式

求值

4.能根據運算法則進行二次根式的加減乘除運算以及混合

運算.考向三二次根式綜合應用

真題透視A

考點二次根式

A考向一二次根式概念及性質

1.（2023?金華）要使《工有意義，則x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

2.（2020?寧波）二次根式中字母尤的取值范圍是（）

A.x>2B.%W2C.D.

3.（2020?衢州）要使二次根式丁啟有意義，則X的值可以為（）

A.0B.1C.2D.4

已知二次根式而,，

4.（2000?杭州）JJa2+b?,7?中最簡二次根式共有）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2021?麗水）要使式子JI互有意義，則X可取的一個數是—

6.（2021?衢州）若GI有意義，則X的值可以是___________.（寫出一個即可）

7.（2012?杭州）已知4（a-眄）＜0,若b=2-a,則b的取值范圍是___________.

A考向二二次根式計算化簡求值

1.（2021?杭州）下列計算正確的是（

A.4^=2B.y（-2產=.

C.后=±2d-a-2）2=±2

2.（2020?杭州）72X^3=（）

A.V5B.娓C.2^3D.3A/2

3.（2016?杭州）下列各式變形中，正確的是（）

A.x2,x3=x6B.

C.（7~~）~^~x=x-1D.X2-x+l=（x-—）2+—

X24

m=（岑■）X（-2V21）1

4.（2012?杭州）已知則有（）

A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<--4D.-6<m<

5.（2003?杭州）已知a^-3—,b'l，則、^a2+b2+7的值為（）

V5-2V5+2'

A.5B.6C.3D.4

6.（2005?杭州）若化簡|「X|-VX2-8X+16的結果為2x-5,則x的取值范圍是（）

A.x為任意實數B.

C.九21D.xW4

7.（2023?杭州）計算：加一強=.

8.（2010?杭州）先化簡聘-（1V24--|V12^-再求得它的近似值為（精確到0.01，近y

1.414,73^1.732）.

9.（2004?寧波）已知：a<0,化簡,4-（a4）2-14+（a-―）2=.

10.（1999?杭州）如果a+b+-1|=4Va^2+27b+l-4,那么a+2b-3c=.

11.（1998?杭州）已知“15+x?-419-X2=2,則J19-x2+2415+x?

12.（2001?浙江）已知：a=匚，求記士§_'a2-2a+l的值.

2+>/3a+22

a-a

求代數式廣切一的值.

13.（1999?杭州）已知x-8+V8-x+18-/xy

Vx-VyWy-yVx

A考向三二次根式綜合應用

1.（2003?杭州）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4,則第三邊的長是5；②（4）

2=a；③若點P（a,b）在第三象限，則點0（-a,-b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對

應相等的兩個三角形全等，正確的說法是（）

A.只有①錯誤，其他正確B.①②錯誤，③④正確

C.①④錯誤，②③正確D.只有④錯誤，其他正確

2.（2005?臺州）我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊

I2222

長，求它的面積.用現代式子表示即為：sJI[a2xb2_①（其中°、從c為

三角形的三邊長，s為面積）.

而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

s=4p（p-a）（p-b）（p-c）…②（其中p=）

（1）若已知三角形的三邊長分別為5,7,8,試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積s；

（2）你能否由公式①推導出公式②？請試試.

,新題特訓/

1.（2024?余姚市一模）下列計算正確的是（)

{（-3）2=-3