專題05概率與統計綜合

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01數據的收集與整理（統計與統計圖（表））..........................................................1

題型02數據分析（數據的集中趨勢與波動程度）...........................................................11

題型03概率的計算......................................................................................24

中考練場.................................................................................................35

題型01數據的收集與整理（統計與統計圖（表））

01題型綜述________________________________________

數據的收集與整理（統計與統計圖（表））是初中數學統計與概率板塊的重要內容，它主要圍繞如何收集數據、整

理數據以及通過圖表直觀呈現數據信息展開，在中考數學中分值占比約5%-10%o

1.考查重點：重點考查數據收集方法的選擇，以及對各類統計圖表（如條形圖、折線圖、扇形圖、頻數分布直方圖等）

特征和數據的解讀。

2.能力要求：要求學生具備數據處理能力，能從圖表中準確提取關鍵信息，進行合理的計算與推理，同時具備數據分

析觀念和統計意識。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.調查數據的方法與過程:

①問卷調查法-一收集數據；②列統計表--整理數據；③畫統計圖--描述數據。

2.全面調查與抽樣調查：

①全面調查：調查全體對象。②抽樣調查：調查部分對象。

3.總體、個體、樣本以及樣本容量：

①總體：我們把所要考察的對象的全體叫做總體；②個體：把組成總體的每一個考察對象叫做個體;

③樣本：從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本；

④樣本容量：一個樣本包括的個體數量叫做樣本容量。

4.用樣本估計總體：

①樣本平均數：即抽出的樣本中所有個體的平均數。②總體平均數：總體中所有個體的平均數。

通常情況下用一個具有代表性的樣本的平均數估算總體平均數。

5.數據描述的方法：

條形統計圖，折線統計圖，扇形統計圖以及直方圖。

6.頻數與頻率:

①頻數：落在每一個小組的數據個數叫做每一組的頻數。②頻率：頻數與總數的比值叫做頻率。

7.相關計算:

①各部分具體數量等于總體數量乘以各部分所占百分比。

②各部分在扇形中所占圓心角度數等于360。乘以百分比。

8.畫直方圖的步驟:

第一步:計算數據的極差。即一組數據中的最大值減去最小值。

邙熱

第二步:決定組數與組距。①組數：通常自己決定，合理組數即可。②組距：組距

第三步:決定分組分點。第四步：畫頻數分布表。第五步：畫頻數分布直方圖。

【典例分析】

例1.（2024?廣東廣州.中考真題）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調查了本地50個公園

的用地面積，按照0cxW4,4<x<8,8<x<12,12<x<16,16<xW20的分組繪制了如圖所示的頻數分布直方圖，

下列說法正確的是（）

B.用地面積在8VxM12這一組的公園個數最多

C.用地面積在4<xW8這一組的公園個數最少

D.這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃

【答案】B

【分析】本題考查的是從頻數分布直方圖獲取信息，根基圖形信息直接可得答案.

【詳解】解：由題意可得：^=50-4-16-12-8=10,故A不符合題意；

用地面積在8〈尤V12這一組的公園個數有16個，數量最多，故B符合題意；

用地面積在。〈尤W4這一組的公園個數最少，故C不符合題意；

這50個公園中有20個公園用地面積超過12公頃，不到一半，故D不符合題意；

故選B

例2.（2022?廣東深圳?中考真題）某工廠一共有1200人，為選拔人才，提出了一些選拔的條件，并進行了抽樣調查.從

中抽出400人，發現有300人是符合條件的，那么則該工廠1200人中符合選拔條件的人數為.

【答案】900人

【分析】符合選拔條件的人數=該工廠總共人數x符合條件的人數所占的百分率，列出算式計算即可求解.

【詳解】解：1200x（300^400）=900（人）.

故答案是：900人.

【點睛】本題考查了用樣本估計總體，關鍵是得到符合條件的人數所占的百分率.

例3.（2023?廣東廣州?中考真題）2023年5月30日是第7個全國科技工作者日，某中學舉行了科普知識手抄報評比

活動，共有100件作品獲得一、二、三等獎和優勝獎，根據獲獎結果繪制如圖所示的條形圖，則。的值為,若

將獲獎作品按四個等級所占比例繪制成扇形統計圖，貝『'一等獎”對應扇形的圓心角度數為.

【答案】3036。/36度

【分析】用總件數100減去其他獎品的數量即可得到a的值，利用“一等獎”與作品總數的比乘以360。即可得到“一等獎”

對應扇形的圓心角度數.

【詳解】解：4=100—10—50—10=30,

“一等獎”對應扇形的圓心角度數為帶x360。=36°,

故答案為：30,36°.

【點睛】此題考查了條形統計圖，計算圓心角度數，計算條形統計圖某項的數量，正確理解條形統計圖是解題的關鍵.

例4.（2022?廣東廣州?中考真題）某校在九年級學生中隨機抽取了若干名學生參加“平均每天體育運動時間”的調查，

根據調查結果繪制了如下不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖.

頻數分布表

運動時間t/min頻數頻率

30<z<6040.1

60<r<9070.175

90<r<120a0.35

120<r<15090.225

1504<1806b

合計n1

16

1

14

1

12

1

10

1

8

6

4

2

O

請根據圖表中的信息解答下列問題：

（1）頻數分布表中的々=，b=,n=；

（2）請補全頻數分布直方圖；

⑶若該校九年級共有480名學生，試估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于120min的學生人數.

【答案】（1）14,0.15,40；

（2）補圖見解析；

（3）約有180人

【分析】從頻數分布表中得知，頻數4占比例為0.1,由此可推出樣本容量是40,在求出”=40后，”和6可隨之求出,

繼而（2）可解決；接下來，從樣本去估計總體，就是（3）的結果.

【詳解】（1）"=4+0.1=40

“=40-（4+7+6+9）=14,

b=6+40=0.15

故。=14,6=0.15,?=40

（2）補全頻數分布直方圖如下：

16

1

14

1

12

1

10

1

8

6

4

2

O

（3）被抽到的40人中，運動時間不低于120分鐘的有9+6=15人，占頻率0.225+0.15=0.375,

以此估計全年級480人中，大概有480x0.375=180（名）.

【點睛】本題主要考查了統計和概率，總體和樣本；能夠準確的根據頻數分布表和直方圖計算樣本和總體的各項數據

是解題的關鍵.

【變式演練】

1.（2024?廣東廣州?模擬預測）為讓同學們培養紅色情懷，麋續紅色血脈，某校九（1）班和九（2）班決定聯合開展

黨史競賽活動（滿分100）,其成績的頻數分布直方圖如圖，記成績260的為“優良”，則其優良率為98%.

(1)將頻數分布直方圖補充完整(所缺數據均需通過計算說明)；

(2)記成績290的為“優秀”，估計該校600名八年級學生的優秀人數.

【答案】(1)見詳解

(2)120人

【分析】本題主要考查了頻數直方圖，用樣本估計總體，解答本題的關鍵的明確題意，利用數形結合的思想解答.

(1)根據優良率為98%可得總人數；總人數減去其他的人數求出在70到80分的人數,據此補全頻數分布直方圖即可;

(2)求出成績上90占的百分比，估計該校60。名八年級學生的優秀率.

【詳解】(1)解：根據題意可得：學生總人數為3+(1-98%)=150人;

在80至U90分的人數為人150—3—12—45—30=60，

x600=120A.

2.(2024?廣東深圳.模擬預測)5月1日起，公共場所明令禁止吸煙，對此項規定能不能有效落實，小華對部分抽煙人

群進行隨機抽樣調查，發現他們每人分別持以下四種態度中的一種：4堅持執行；8、不執行；C、有時執行，有時

不執行；。、勸說后執行.他將調查結果繪制成下面這一幅完整的統計圖.

⑴持A態度的人為本次抽樣人數的30%,此次抽樣人數有人.

(2)將上面的統計圖補充完整.

(3)持A態度的人數比持8態度的少%.

【答案】(1)200

(2)見解析

⑶40

【分析】本題主要考查了條形統計圖，正確理解題意是解題的關鍵；

(1)用A的人數除以其人數占比即可求出抽樣的人數；

(2)求出B的人數，再補全統計圖即可；

(3)求出A比8少的人數在總人數中的占比即可得到答案.

【詳解】(1)解：此次抽樣人數有60+30%=200(人)，

故答案為：200；

(2)解：持8中態度的人數為200-(60+30+10)=100(人)，

故答案為：40.

3.(2025?廣東揭陽?一模)植樹節是按照法律規定宣傳保護樹木，并組織動員群眾積極參加以植樹造林為活動內容的

節日.按時間長短可分為植樹日、植樹周和植樹月，共稱為國際植樹節.提倡通過這種活動，激發人們愛林造林的熱

情、意識到環保的重要性.1928年，國民政府為紀念孫中山逝世三周年，將植樹節改為3月12日.新中國成立后的

1979年，在鄧小平提議下，第五屆全國人大常委會第六次會議決定將每年的3月12日定為植樹節.某學校在植樹節到

來之際，舉辦了一場環保主題的知識競賽，八年級其中一個班級的成績作如下整理，部分信息如下:

組別成績加/分頻數

A50<m<602

B60<m<70a

C70<m<8014

D80<m<90b

E90<m<10010

木頻數

20

18

2

71)I11)扁/分

完成下面問題:

(1)。=,b=；

(2)在扇形統計圖中，A組對應的圓心角的度數為；

(3)補全條形統計圖；

(4)八年級一共有480人，請根據以上數據估計八年級中分數在80分到90分的人數.

【答案】(1)4；20

⑵14.4。

(3)見解析

(4)192人

【分析】本題考查頻數分布表、扇形統計圖、條形統計圖、樣本估計總體，解題的關鍵是從頻數分布表和扇形統計圖

中獲取關鍵信息.

(1)根據E組頻數及所占百分數求出班級的總人數，進而可求出a、b；

(2)先求出本次調查中A組的占比，再與360。相乘，即可作答.

(3)根據(1)中求出的°、匕補全即可，

(4)先求出本次調查中八年級中分數在80分到90分的占比，再與480相乘，即可作答.

【詳解】(1)解：班級總人數為：10+20%=50,

b=50x40%=20,tz=50—(2+14+20+10)=4,

故答案為：4；20；

(2)解：依題意，2+50x3600=14.4°,

A組對應的圓心角的度數為14.4。，

故答案為：14.4。；

(3)解:補全條形統計圖如下：

產數20

20----------------1~~r------

18----------------——

8

5060708090100成績/分

20

(4)解：依題意，—X480=192(人)，

估計八年級中分數在80分到90分的人數為192人.

4.(2025?廣東深圳?一模)安全使用電瓶車可以大幅度減少因交通事故引發的人身傷害，為此交警部門在全市范圍開

展了安全使用電瓶車專項宣傳活動.在活動前和活動后分別隨機抽取了部分使用電瓶車的市民，就騎電瓶車戴安全頭

盔情況進行問卷調查，將收集的數據制成如下統計圖表.

活動前騎電瓶車戴安全頭盔情況統計表活動后騎電瓶車戴安全頭盔情況統計表

類別人數

A68

BaO

C510

D177

合計1000

A：每次戴B：經常戴C：偶爾戴D：都不戴

(1)“活動前騎電瓶車戴安全頭盔情況統計表”中，8類別對應人數。不小心污損，計算a的值為；

⑵為了更直觀的反應A,B,C,。各類別所占的百分比，最適合的統計圖是,(選填“扇形統計圖”，“條形統計

圖”，“折線統計圖”)；

(3)若該市約有20萬人使用電瓶車，估計活動后全市騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的總人數為萬人；

(4)小明認為，宣傳活動后騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的人數為178,比活動前增加了1人，因此交警部門開展的宣傳

活動沒有效果.小明分析數據的方法是否合理？請結合統計圖表，對小明分析數據的方法及交警部門宣傳活動的效果

談談你的看法.

【答案】(1)245

(2)扇形統計圖

(3)1.78

(4)小明分析數據的方法不合理，理由見解析

【分析】本題考查了用樣本估計總體，條形統計圖，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關

鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據.

(1)用總人數分別減去其它三類人數可得。的值；

(2)根據“扇形統計圖”，“條形統計圖”，“折線統計圖”的特征解答即可；

(3)用20萬人乘樣本中“都不戴”安全頭盔的占比可得答案；

(4)先求出宣傳活動后騎電瓶車“都不戴”安全帽的百分比，活動前全市騎電瓶車“都不戴”安全帽的百分比，比較大小

可得交警部門開展的宣傳活動有效果.

【詳解】(1)解：A=1000-68-510-177=245,

故答案為：245；

(2)為了更直觀的反應A,B,C,。各類別所占的百分比，最適合的統計圖是扇形統計圖；

故答案為：扇形統計圖；

(3)活動后全市騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的總人數為：

20x---------------------------=1.78（萬人）.

896+702+224+178

估計活動前全市騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的總人數約為1.78萬人，

故答案為：1.78；

（4）小明分析數據的方法不合理，理由如下：

1

宣傳活動后騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的百分比：896+702+224+178X100%=&9%，

177

活動前全市騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的百分比：彳而x100%=17.7%.

8.9%<17.7%.因此交警部門開展的宣傳活動有效果.

題型02數據分析（數據的集中趨勢與波動程度）

01題型綜述________________________________________

數據分析（數據的集中趨勢與波動程度）是初中數學統計與概率領域的核心內容，旨在通過對數據的深入剖析，揭

示數據分布的特征，在中考數學中分值占比通常在5%-8%o

1.考查重點：重點考查對平均數、中位數、眾數等反映數據集中趨勢的統計量，以及方差、標準差等體現數據波動程

度指標的理解與計算。

2.高頻題型:高頻題型包括根據給定數據計算集中趨勢和波動程度的統計量;依據統計量對數據特征進行描述與分析;

通過比較不同數據組的統計量作出合理決策。

3.高頻考點：考點聚焦于平均數（算術平均數、加權平均數）、中位數、眾數的計算與應用，方差、標準差的概念及

計算，以及利用這些統計量解決實際問題。

4.能力要求：要求學生具備較強的運算能力，能夠準確計算各類統計量；具備數據分析和邏輯推理能力，能依據統計

量對數據進行合理評價與解讀。

5.易錯點：易錯點在于加權平均數中權重的確定失誤；計算中位數時數據排序錯誤；對眾數可能不唯一的情況考慮不

周全；計算方差時公式運用出錯，以及在利用統計量進行決策時，忽略實際背景導致錯誤判斷。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.平均數:

-1

①算術平均數：對于九個數X],x2,x3...,xn,則x=—(X1+X2+X3+…+x”)表示這一組數據的平均數。

n

②加權平均數：對于〃個數X],x2,X3…，X”的權重分別是明,W2,%，…，wn,貝！J

-1

x=—(X1/+X2W2+X3%+...+X”/)表示這一組數數據的加權平均數。權重的表示一般用比的形式或者百分比

n

占比的形式。

2.中位數：

將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這

組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

3.眾數：

一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的平均數。

4.極差：

一組數據的最大值減去最小值。

5.方差：

若一組數是苞，x2,與…，與，他們的平均數是1，則這組數據的方差為：

S2=—-%+x-x+...+X-X0方差表示這組數據的波動情況，方差越大，數據越波動，方差越

"I)\2JInJ

小，數據越穩定。

6.根據已知數據的平均數與方差求關聯數據的平均數與方差：

若一組數據和出，…，的平均數是左，方差是S?。則：

①數據。叫，ax2,ax3,...,的平均數為ax,方差為as?。

②數據X1+6,x2+b,x3+b,...,+6的平均數為x+6,方差為S2。

③數據axi+6,ax2+b,ax3+b,...,ax”+。的平均數為ax+b,方差為as?。

7.標準差：

一組數均的方差的算術平方根就是這組數據的標準差。即s。

【典例分析】

例1.（2024.廣東?中考真題）數據2,3,5,5,4的眾數是—.

【答案】5

【分析】由于眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個，由此即可確定這組數據的眾數.

【詳解】解：是這組數據中出現次數最多的數據，

這組數據的眾數為5.

故答案為：5.

【點睛】本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的眾數的能力，解題關鍵是要明確定義，讀懂題意.

例2.（2023?廣東廣州?中考真題）學校舉行“書香校園”讀書活動，某小組的五位同學在這次活動中讀書的本數分別為

10,11,9,10,12,下列關于這組數據描述正確的是（）

A.眾數為10B.平均數為10C.方差為2D.中位數為9

【答案】A

【分析】根據眾數，平均數，方差，中位數的定義分別判斷，即可得到答案.

【詳解】解：A、10出現2次，出現次數最多，故眾數是10,該項正確；

-10+11+9+10+12

B、X=------------------------=10.4,故該項錯誤;

5

C、方差為gx[2x（10-10.4）2+（il_10.4）2+（9—10.4）2+（12一10.4）2]=1.04,故該項錯誤;

D、中位數為10,故該項錯誤；

故選：A.

【點睛】此題考查了求眾數，中位數，方差及平均數，正確理解各定義及計算公式是解題的關鍵.

例3.（2024?廣東深圳?中考真題）據了解，“i深圳”體育場地一鍵預約平臺是市委、市政府打造“民生幸福標桿”城市過

程中，推動的惠民利民重要舉措，在滿足市民健身需求、激發全民健身熱情、促進體育消費等方面具有重大意義.按

照符合條件的學校體育場館和社會體育場館“應接盡接”原則,“i深圳”體育場館一鍵預約平臺實現了“讓想運動的人找到

場地，已有的體育場地得到有效利用”.

小明爸爸決定在周六上午預約一所學校的操場鍛煉身體，現有42兩所學校適合，小明收集了這兩所學校過去10周

周六上午的預約人數：

學校A：28,30,40,45,48,48,48,48,48,50,

學

平均數眾數中位數方差

校

A①________4858.01

B48.4②________③__________354.04

(2)根據上述材料分析，小明爸爸應該預約哪所學校？請說明你的理由.

【答案】⑴①43.3；②25；③47.5

(2)小明爸爸應該預約學校4理由見解析

【分析】本題考查求平均數，中位數和眾數，利用方差判斷穩定性：

(1)根據平均數，中位數和眾數的確定方法，進行求解即可；

(2)根據方差判斷穩定性，進行判斷即可.

【詳解】(1)解：@^(28+30+40+45+48+48+48+48+48+50)=43.3；

②數據中出現次數最多的是25,故眾數為25；

③數據排序后，排在中間兩位的數據為45,50,故中位數為：1(45+50)=47.5；

填表如下:

學平均眾中位

方差

校數數數

A43.34858.01

B48.42547.5354.04

（2）小明爸爸應該預約學校4理由如下：

學校A的方差小，預約人數相對穩定，大概率會有位置更好的場地進行鍛煉.

例4.（2023?廣東?中考真題）小紅家到學校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗,

第一周（5個工作日）選擇A線路,第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內乘車2次并分別記錄所用時間,

數據統計如下：（單位：min）

數據統計表

試驗序號12345678910

A線路所用時間15321516341821143520

B線路所用時間25292325272631283024

數據折線統計圖

012345678910試哈序號

根據以上信息解答下列問題：

平均數中位數眾數方差

A線路所用時間22a1563.2

B線路所用時間b26.5C6.36

⑴填空：a=；b=

（2）應用你所學的統計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

【答案】（1）19,26.8,25

（2）見解析

【分析】（1）根據中位數定義將A線路所用時間按從小到大的順序排列，求中間兩個數的平均數即為A線路所用時

間的中位數。，利用平均數的定義求出B線路所用時間的平均數b,找出B線路所用時間中出現次數最多的數據即為B

線路所用時間的眾數c,從而得解；

（2）根據四個統計量分析，然后根據分析結果提出建議即可.

【詳解】（1）解：將A線路所用時間按從小到大順序排列得：14,15,15,16,18,20,21,32,34,35,中間兩個

數是18,20,

1QIof）

..?A線路所用時間的中位數為：。=合產=19,

2

,25+29+23+25+27+26+31+28+30+24“0

由題意可知B線路所用時間得平均數為:b=------------------------------------------------=26.8,

10

?；B線路所用時間中，出現次數最多的數據是25,有兩次，其他數據都是一次，

二B線路所用時間的眾數為：c=25

故答案為：19,26.8,25；

（2）根據統計量上來分析可知，A線路所用時間平均數小于B線路所用時間平均數線路，A線路所用時間中位數也小

于B線路所用時間中位數，但A線路所用時間的方差比較大，說明A線路比較短，但容易出現擁堵情況，B線路比較

長，但交通暢通，總體上來講A路線優于B路線.

因此，我的建議是：根據上學到校剩余時間而定，如果上學到校剩余時間比較短，比如剩余時間是21分鐘，則選擇A

路線，因為A路線的時間不大于21分鐘的次數有7次，而B路線的時間都大于21分鐘；如果剩余時間不短也不長,

比如剩余時間是31分鐘，則選擇B路線，因為B路線的時間都不大于31分鐘，而A路線的時間大于31分鐘有3次，

選擇B路線可以確保不遲到；如果剩余時間足夠長，比如剩余時間是36分鐘，則選擇A路線，在保證不遲到的情況，

選擇平均時間更少，中位數更小的路線.

【點睛】本題考查求平均數，中位數和眾數，以及根據統計量做決策等知識，掌握統計量的求法是解題的關鍵.

例5.（2022?廣東?中考真題）為振興鄉村經濟，在農產品網絡銷售中實行目標管理，根據目標完成的情況對銷售員給

予適當的獎勵，某村委會統計了15名銷售員在某月的銷售額（單位：萬元），數據如下：10,4,7,5,4,10,5,4,

4,18,8,3,5,10,8

人數

6............................................................................

5............................................................................

4............................................................................

3.........................................................................

2..........................—...........................................

°V3'4'57's11018―銷售額/萬元

⑴補全月銷售額數據的條形統計圖.

（2）月銷售額在哪個值的人數最多（眾數）？中間的月銷售額（中位數）是多少？平均月銷售額（平均數）是多少？

（3）根據（2）中的結果，確定一個較高的銷售目標給予獎勵，你認為月銷售額定為多少合適？

【答案】（1）作圖見解析；

（2）月銷售額在4萬元的人數最多；中間的月銷售額為5萬元；平均數為7萬元；

（3）月銷售額定為7萬元合適，

【分析】（1）根據所給數據確定銷售額為4萬元的人數為4人；銷售額為8萬元的人數為2人，然后補全條形統計圖

即可；

（2）根據眾數、中位數及平均數的計算方法求解即可；

（3）根據題意，將月銷售額定為7萬元合適.

【詳解】（1）解：根據數據可得：銷售額為4萬元的人數為4人；銷售額為8萬元的人數為2人；補全統計圖如圖所

示：

人數▲

八

0345781018銷售額/萬元

（2）由條形統計圖可得：月銷售額在4萬元的人數最多；

將數據按照從小到大排序后，中間的月銷售額為第8名銷售員的銷售額為5萬元；

平均數為：------------------------------------二7萬兀；

（3）月銷售額定為7萬元合適，給予獎勵，可以激發銷售員的積極性，振興鄉村經濟.

【點睛】題目主要考查條形統計圖及相關統計數據的計算方法，包括眾數、中位數、平均數，以及利用平均數做決策

等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

【變式演練】

1.（2025?廣東清遠?模擬預測）2024年8月6日，巴黎奧運會上中國運動員潘展樂在100米自由泳決賽中以46.4。的

成績打破世界紀錄斬獲冠軍.本次決賽中運動員們的成績分別是：46,46.40,47,48.47,49,47.50,47.71,47.80,

47.96,47.98,本次決賽成績的中位數是.

【答案】47.755

【分析】本題主要考查中位數，熟練掌握中位數是解題的關鍵；根據題意可按從小到大的順序進行排列，然后可得第5

個和第6個數據和的平均數即為中位數.

【詳解】解：由題意得：46,46.40,47,47.50,47.71,47.80,47,96,47.98,48.47,49,

本次決賽成績的中位數是4771;+4780=47.755；

故答案為47.755.

2.（2024.廣東?模擬預測）某校決定從甲、乙、丙三名學生中選拔一名去市里參加“致敬英雄”演講比賽，因此對三名

候選人進行了筆試和面試，三人的測試成績如下表所示.

測試成績/分

測試項

目

甲乙丙

筆試708090

面試907070

根據錄用程序，學校組織250名學生采用投票推薦的方式，對三人進行民主測評，三人得票率（沒有棄權，且每位同

學只能推薦1人）如扇形統計圖所示，每得一票記1分

（1）根據實際需要，學校將筆試、面試、民主評議三項得分按4:3:3的比例確定個人成績，請通過計算說明三人中誰將

被錄取.

（2）請你設計一種確定個人成績的規則，使得乙被錄取，并直接寫出此時甲、乙、丙三人的個人成績.

【答案】（1）丙被錄取，計算見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查了統計表，扇形統計圖，加權平均數，對于（1）,先求出民主測評得分，再根據三項按4:3:3

計算成績，并比較;

對于（2）,若筆試、面試、民主評議三項得分按1:1:2的比例確定個人成績計算得出答案，（民主測評所占的比例大,

答案合理即可）.

【詳解】（1）民主評議：甲為250x24%=60（分），乙為250x40%=100（分），丙為250x36%=90（分）.

70x4+90x3+60x3

=73（分）；

4+3+3

80x4+70x3+100x3

=83（分）；

4+3+3

90x4+70x3+90x3

*丙=--------------------=84（分）.

4+3+3

?漏<生<x丙，

，丙將被錄取;

（2）若筆試、面試、民主評議三項得分按1:1:2的比例確定個人成績，乙被錄取.此時甲的個人得分為70分，乙的個

人得分為87.5分，丙的個人得分為85分.（答案不唯一）.

3.（2024?廣東汕頭?二模）為了解八年級學生的體質健康狀況，某校對八年級（10）體43名同學進行了體質檢測（滿

（如圖）和成績分析表.

八年級（10）班女生體質檢測成績

八年級（10）班體質檢測成績分析表

性別平均數/分中位數/分眾數/分方差

男生7.488C1.99

女生ab71.74

（I）求八年級（10）班的女生人數；

（2）根據統計圖可知，a=,b=

（3）若該校八年級一共有430人，則估計得分在8分及8分以上的人數共有多少人？

【答案】⑴20；

（2）7.6,7.5,7:

（3）210人.

【分析】（1）由條形統計圖可得到男生人數，進而由全班人數可求得女生人數；

（2）由條形統計圖可得男生體質監測成績的眾數c=7；由女生扇形統計圖及加權平均數公式可求得。的值，由女生扇

形統計圖中5、6、7分的百分比的和與8、9、10分的百分比的和各為50%,且知女生人數為偶數，則可求得女生成績的中位

數；

（3）在8分及8分以上的人數所占的百分比乘以430即可得在8分及8分以上總人數；

此題考查了條形統計圖，扇形統計圖以及樣本估計總體，理清統計圖中各個數據之間的關系是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：八年級（10）班男生人數為2+4+6+5+4+2=23（人），

.,?女生人數為43-23=20（人）,

答：八年級（10）班的女生人數為20人；

（2）解：由條形統計圖知，男生體質監測成績的眾數c=7,

女生體質監測成績的平均數a=5x5%+6xl5%+7x30%+8x25%+9xl5%+10xl0%=7.6,

由女生扇形統計圖中5、6、7分的百分比的和與8、9、10分的百分比的和各為50%,且知女生人數為

偶數，

女生中位數6=m=7.5,

故答案為：7.6,7.5,7；

（3）43。/+4+2+2岡25%+15%+1。％）.0（人），

43

答：得分在8分及8分以上的人數共有210人.

4.（2025?廣東?模擬預測）四月是全國安全月，某校以“安全伴我行”為主題開展了一系列活動，并在活動后期對七、

八年級學生進行了安全知識測試，測試結果顯示所有學生成績都不低于75分（滿分100分），

【收集數據】隨機從七，八年級各抽取40名學生的測試成績，進行整理和分析（成績得分都是整數）.

【整理數據】將抽取的兩個年級的成績進行整理(用X表示成績,分成五組：A.75Vx<80,艮80VX<85,C.854X<90,

D.90<x<95,E.95W100).

①八年級學生成績在。組的具體數據是：91,93,93,93,94,94,94,94.

②將八年級的樣本數據整理并繪制成不完整的頻數分布直方圖(如圖)：

八年級抽取學生測試

【分析數據】兩個年級樣本數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表:

平均中位眾方

年級

數數數差

七年

929210057.4

級

八年92.6m10049.2

根據以上信息，解答下列問題：

(1)本次抽取八年級學生的樣本容量是；

(2)本次抽取八年級學生成績的中位數機=；

(3)分析兩個年級樣本數據的對比表，你認為年級的學生測試成績較整齊(填“七”或“八”)；

(4)若八年級有200名學生參加了此次測試，估計此次參加測試的學生中，該年級成績不低于95分的學生有人.

【答案】(1)40

(2)93

(3)八年級的學生測試成績較整齊

(4)70人

【分析】本題考查頻數分布直方圖，樣本容量，中位數，眾數，方差以及樣本估計總體，掌握中位數的計算方法，理

解方差的定義以及樣本估計總體的方法是解決問題的前提.

(1)由樣本容量的定義即可得出答案；

(2)根據中位數的定義和計算方法進行計算即可；

(3)由七、八年級學生成績的方差的大小即可得出結論；

(4)求出樣本中，八年級學生成績不低于95分的學生所占的百分比，估計總體中所占的百分比，再進行計算即可.

【詳解】(1)解：???隨機從七、八年級各抽取40名學生的測試成績，進行整理和分析，

本次抽取八年級學生的樣本容量是40,

故答案為：40；

(2)解：Q2+6+10=18<20,2+6+10+8=26>20,

.??中位數落在。組，

...20,21兩個數是：93,93,

93+93

中位數m=------=93；

2

故答案為：93；

(3)W：?1-57.4>49.2,

八年級的學生測試成績較整齊；

14

(4)解：由題意可得，200x—=70(人)，

40

所以，該年級成績不低于95分的學生約有70人；

故答案為：70.

5.(2025?廣東佛山?一模)據了解，深圳”體育場地一鍵預約平臺是市委、市政府打造“民生幸福標桿”城市過程中，

推動的惠民利民重要舉措，在滿足市民健身需求、激發全民健身熱情、促進體育消費等方面具有重大意義.按照符合

條件的學校體育場館和社會體育場館“應接盡接”原則，。深圳”體育場館一鍵預約平臺實現了“讓想運動的人找到場地,

已有的體育場地得到有效利用

小粵爸爸決定在周六上午預約一所學校的操場鍛煉身體，現有A,8兩所學校適合，小粵收集了這兩所學校過去10周

上午的預約人數：

學校A：28,30,40,45,48,48,48,48,48,50.

學校8：如圖所示：

(1)根據上述內容，整理出眾數、中位數、平均數、方差等數據，給下列問題提供參考:

(2)若小粵爸爸每日上午只有1.5小時進行健身，則他應該預約哪所學校？

(3)若小粵爸爸健身時需要更好的場所，則他應該預約哪所學校？

【答案】(1)見解析

(2)小粵爸爸應該預約學校8

(3)小粵爸爸應該預約學校A

【分析】(1)根據眾數、中位數、平均數、方差的計算方法求出個數，制成統計表；

(2)根據眾數和中位數分析即可；

(3)根據方差的知識解答即可.

【詳解】(1)解：整理數據如下：

學平均眾中位

方差

校數數數

A43.3484883.299

B48.42547.5354.04

(2)解：由于小粵爸爸每日上午只有1.5小時進行健身，時間緊促，所以應該選擇預約人數較少的學校，根據上面的

數據，學校B的預約人數的眾數以及中位數相對學校A低，因此預約人數較少，故小粵爸爸應該預約學校8；

(3)解：根據上面的數據，學校A的預約人數的方差相對學校B低，因此學校A的預約人數較穩定，管理員對場所的

維護較好，故小粵爸爸應該預約學校A.

【點睛】本題考查了統計的知識，熟練掌握眾數、中位數、平均數、方差的計算方法是解答本題的關鍵.

題型03概率的計算

01題型綜述

概率的計算是初中數學統計與概率部分的核心內容，主要研究隨機事件發生可能性的量化，在中考數學中分值占比

約5%-10%o

1.考查重點：重點考查對古典概型（有限等可能事件）、幾何概型等不同類型概率模型的理解，以及相應概率計算公

式的運用。

2.高頻題型：高頻題型包含利用列舉法（列表法、樹狀圖法）計算簡單事件的概率；結合實際情境判斷概率模型并計

算概率；根據概率大小進行決策或設計游戲規則。

3.高頻考點：考點集中在簡單事件概率的定義與計算，通過列舉所有等可能結果求概率，概率與頻率的關系，以及利

用概率知識解決實際生活中的各類問題。

4.能力要求：要求學生具備清晰的邏輯思維能力，能準確分析事件的等可能性；具備良好的閱讀理解能力，能從實際

問題中抽象出概率模型并求解；還要有一定的創新思維，能依據概率設計合理方案。

5.易錯點：易錯點在于列舉等可能結果時出現遺漏或重復；混淆不同概率模型，錯誤套用公式；對復雜事件中各事件

間關系把握不準，導致概率計算錯誤；在實際問題中，對隱含條件挖掘不足，影響概率求解。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.事件:

①確定事件：事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能

事件，必然事件和不可能事件都是確定事件。

②隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件。

2.事件的可能性（概率）大?。?/p>

事件的可能性大小用概率來表示。表示為P（事件）。

必然事件的概率為1;不可能事件的概率為0;隨機事件的概率為0<°<1。

3.概率的定義與計算公式:

①概率的意義：一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發生的頻率二會穩定在某個常數?附近，那么這

n

個常數p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p

隨機事件出現的次數

②概率公式：隨機事件A的概率P（A）=

所有可能出現的結果數

4.幾何概率：

在幾何中概率的求解皆用部分面積比總面積，或部分長度比總長度，或部分角度比整個大角角度。

5.古典概型：

①定義：若在一次實驗中，可能出現的結果有有限多個，且每一個結果出現的可能性大小相同，那么這樣的

實驗稱古典概型。

②概率求法：一般地，在一次實驗中，有〃種可能出現的結果，并且他們發生的可能性大小相同，事件A包

含了其中的機種結果，那么事件A發生的概率為P（A）=-。

n

6.列表法：

當試驗中存在兩個元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，不重不漏地列舉出所有可能

的結果，再求出概率。

7.樹狀法：

當試驗中存在三個及以上的元素且出現的所有可能的結果較多時，我們常用畫樹狀圖的方式，不重不漏地列

舉出所有可能的結果，再求出概率。

8.游戲的公平性：

判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平。

9.用頻率估算概率：

大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定

性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率。

實驗的次數越多，則估算結果越精確。

【典例分析】

例1.（2024?廣東?中考真題）長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化

等區域文化.若從上述四種區域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則選中“巴蜀文化”的概率是（）

A.-B.-C.gD.-

4324

【答案】A

【分析】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.直接根據概率公式求解即可.

【詳解】解：根據題意，選中“巴蜀文化”的概率是:，

故選：A.

例2.（2024?廣東深圳?中考真題）二十四節氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自

然現象發生的規律，二十四個節氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒

種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、

大寒），若從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在夏季的概率為（）

A.■B.—C.—D.—

21264

【答案】D

【分析】本題考查了概率公式.根據概率公式直接得出答案.

【詳解】解：二十四個節氣中選一個節氣，抽到的節氣在夏季的有六個，

則抽到的節氣在夏季的概率為三=!，

244

故選：D.

例3.（2022?廣東深圳?中考真題）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優秀”，“良好”，“合格”,

“不合格”.

(D本次抽查總人數為一“合格”人數的百分比為

(2)補全條形統計圖.

(3)扇形統計圖中“不合格人數”的度數為

(4)在“優秀”中有甲乙丙三人，現從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為一.

【答案］⑴50人,40%；

⑵見解析

(3)115.2°

(4)|

【分析】(1)由優秀人數及其所占百分比可得總人數，根據百分比之和為1可得合格人數所占百分比;

(2)總人數乘以不合格人數所占百分比求出其人數，從而補全圖形；

(3)用360。乘以樣本中“不合格人數”所占百分比即可得出答案；

(4)列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可.

【詳解】(1)解：本次抽查的總人數為8+16%=50(人)，

“合格”人數的百分比為1-(32%+16%+12%)=40%,

故答案為：50人，40%：

(2)解：不合格的人數為：50x32%=16；

補全圖形如下：

0優秀良好合格不合格

（3）解：扇形統計圖中“不合格”人數的度數為36（Fx32%