2025中考數學二輪復習-正方形-專項訓練

知識點1正方形的性質（重點、高頻考點）

1.正方形的定義：

（1）有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

（2）正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：

①有一組鄰邊相等的平行四邊形（即菱形）；

②并且有一個角是直角的平行四邊形（即矩形）。

（3）正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形。

2.正方形的性質：

（1）對邊平行；

（2）四個角都是直角；

（3）四條邊都相等；

（4）對角線互相垂直且平分，對角線相等且平分對角；

（5）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；

（6）正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.

（7）面積：正方形的面積=邊長的平方或對角線乘積的一半。

1.正方形具有而菱形和矩形都不具有的性質是（）

A.對角線相等B.對角線垂直

C.對角線互相平分D.對角線垂直且相等

2.如圖，在正方形A8CD中，對角線AC、8。相交于點O.E、尸分別為AC、BD上一

點，且OE=O尸，連接AF,BE,EF.若NAEE=25。，則NCBE的度數為（）

3.如圖，在正方形ABCD中，點E是邊A8上一動點，將△CBE沿直線CE折疊，點B落在

點尸處，連接DF交CE的延長線于點“，連接9.下列四個結論：①BH=FH；②

ZCHE>=30°；③DF:DC=1；?ZAHD=ZBHC；其中正確的是（）

A.①②④B.①④C.②③④D.①②③④

4.如圖，正方形ABCD中，AB=l,連接AC,NACD的平分線交AD于點E,在A3上截

^LAF=DE,連接。/，分別交CE,C4于點G,4,點尸是線段GC上的動點，PQA.AC

于點Q,連接PH.下列結論：①CE_LDF；?DE+DC=AC；③EAgAH;@PH+PQ

5.如圖，正方形ABCD的邊長為3,E在3c上，且3E=2,點P是加上的動點，則PE+PC

的最小值為.

6.如圖，正方形ABCD的邊CO在正方形ECG尸的邊CE上，點。是EG的中點，NEGC的

平分線G7/過點。，交BE于點H,連接OH,FH,EG與M交于點M,對于下面四個結論：

①GHLBE；②BG=EG；③AMFG為等腰三角形；④AB:DE=^7,其中正確結論的

序號為.

7.在正方形ABCD中，點G是邊DC上的一點，點下是直線BC上一動點，EELAG于H,

交直線AD于點E.

⑴當點尸運動到與點8重合時（如圖1）,線段所與AG的數量關系是

（2）若點P運動到如圖2所示的位置時，（1）探究的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；

如果不成立，請說明理由.

⑶如圖3,將邊長為6的正方形ABCD折疊，使得點A落在邊C。的中點M處，折痕為P。，

點、P、。分別在邊AD、BC上，請直接寫出折痕尸。的長.

8.在圖1到圖3中，點。是正方形A3CD對角線AC的中點，AMPN為直角三角形，

/MPN=90。.正方形ABCD保持不動，AMPN沿射線AC向右平移，平移過程中尸點始終

在射線AC上，且保持尸河垂直于直線A2于點E,PN垂直于直線BC于點尸.

⑴如圖1,當點尸與點。重合時，0E與。尸的數量關系為二

⑵如圖2,當尸在線段OC上時，猜想OE與OP有怎樣的數量關系與位置關系？并對你的猜

想結果給予證明；

（3）如圖3,當點尸在AC的延長線上時，0E與。尸的數量關系為「位置關系為一.

2

9.如圖，正方形的頂點4、2在反比例函數y=—（x＞。）的圖象上，頂點A、百分

X

2

別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形￡24層，頂點巴在反比例函數y=—（無＞。）

X

的圖象上，頂點為在X軸的正半軸上.求點乙，A的坐標.

10.如圖①，NQPN的頂點尸在正方形ABCD兩條對角線的交點處，ZQPN=a,將NQPN

繞點P旋轉，旋轉過程中ZQPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F

（點尸與點C,。不重合）.

（1）如圖①，當&=90。時，DE,DF,AD之間滿足的數量關系是

⑵如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為NADC=120。的菱形，其他條件不變，當夕=60。

時，（1）中的結論變為,請給出證明;

⑶在（2）的條件下，若旋轉過程中/。叫的邊尸。與直線仞交于點E,2尸與直線DC相

交與點、F,其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE,DF,AD之間滿足的數量

關系，直接寫出結論，不用證明.

知識點2正方形的判定（重點、高頻考點）

正方形的判定：

（1）根據正方形的定義；

（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（3）有一個角是直角的菱形是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。

11.下列說法錯誤的是（）

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是矩形

C.對角線相等的平行四邊形是矩形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

12.如圖，四邊形A2CD是平行四邊形，下列說法不正確的是（

DC

A.當=時，四邊形A8CD是矩形

B.當AB=3C時，四邊形A8CD是菱形

C.當AC工3。時，四邊形ABCD是菱形

D.當/D4B=90。時，四邊形ABC。是正方形

13.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,ABPC是等邊三角形，則ACDP的面積是1,

ABPD的面積是—.

AE

14.如圖所示，多邊形ABCFDE1中，AB=8,BC=12,ED+DF=13,AE=CF,DEIDF,

則多邊形ABCFDE的面積是

15.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,過點C的直線D為AB邊上一點，過

點。作OELBC,交直線MN于E,垂足為尸，連接CD,BE.

(1)CE與AD的數量關系是_；

(2)當D在AB的中點，四邊形BECD是什么特殊的四邊形？請說明理由；

(3)若。為AB中點，則當NA的大小滿足什么條件時，四邊形3ECD是正方形？請說明你的

理由.

16.如圖，已知RtaABC中，ZABC=90°,先把VABC繞點3順時針旋轉90。至ADBE后，

再把VA3C沿射線平移至VFEG,DE、尸G相交于點H.

(1)判斷線段DE尸G的位置關系，并說明理由；

(2)連接CG,求證：四邊形CBEG是正方形.

知識點3正方形的周長、面積及相關計算

L周長：正方形的周長等于其邊長的四倍。如果邊長為a,則周長P為：P=4a

2.面積：正方形的面積等于其邊長的平方。如果邊長為a,則面積S為：S=a2

3.對角線：正方形的對角線長度等于邊長乘以根號2。如果邊長為a,則對角線d為：d=a后

4.對角線與面積的關系：正方形的面積也可以通過對角線的長度來計算。如果對角線長度為

d,則面積A為：A=—

2

5.邊長與對角線的關系：如果已知正方形的對角線長度d,則邊長a為：a=\=￥

6.周長與面積的關系：如果已知正方形的周長P,則邊長a為：

17.如圖所示，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE,直角三角形尸EG的兩

直角邊跖,EG分別交3C,DC于點N,若正方形ABCD的邊長為a,則重疊部分四邊形

18.如圖，正方形ABCD和正方形EFG。的邊長都是1,正方形跳GO繞點。旋轉時，兩個

正方形重疊部分的面積是（）

cID.不能確定

19.如圖，以RCABC的斜邊為一邊，在A3的右側作正方形正方形的對角線

交于點。，連接CO,如果AC=4,BC=8,那么CO=

E

20.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0,3),B(9,0),且/AC8=90。，CA=CB,則

點C的坐標為.

21.如圖，在口ABCD中，NADB=90。，點E為AB邊的中點，點尸為CO邊的中點.

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若NA=45。，求證：四邊形DE8尸是正方形.

22.如圖，在直角坐標系中，RtZXABC的直角邊AC在無軸上，ZACB=9Q°,AC=1,反比

例函數y=3%>0)的圖象經過BC邊的中點0(3,1).

⑵若VABC與AEFG關于點M成中心對稱，且AEFG的邊下G在y軸的正半軸上，點E在這

個函數的圖象上.

①直接寫出0尸的長、對稱中心點M的坐標;

②連接AF,BE,證明四邊形ABEF是正方形.

知識點4正方形的性質與判定的綜合應用(難點、高頻考點)

1.正方形性質和判定的聯系

正方形的性質正方形的判定

具有矩形、菱形的所有性質既是矩形也是菱形的四邊形是正方形

2.正方形的應用策略

通常可以把正方形轉化為四個等腰直角三角形，利用三角形的知識求解。

3.正方形的判定思路

矩形+菱形的一個特殊性質n正方形

菱形+矩形的一個特殊性質上正方形

23.如圖，在矩形ABCD中，DE平分/4DC交8C于點E,EF1AD交AD于點/，若成'=3,

24.AABC中，ZC=90°,點。為AABC三條角平分線的交點，ODLBC于D,OELAC于

E,OF_LAB于F,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,則點O到三邊AB、AC、BC的距離

為()

A.2cm,2cm,2cmB.3cm,3cm,3cmC.4cm,4cm,4cmD.2cm,3cm,5cm

25.如圖，已知點43,0),5(0,4),C是y軸上位于點8上方的一點，AD平分NQ4B,BE

平分-ABC,直線BE交AD于點。.若反比例函數>(x<0)的圖像經過點。，則4

的值是()

*

ox

A.-8B.-9C.-10D.-12

26.如圖，點E為正方形ABCD內一點，ZAEB=90°,將AABE繞點B按順時針旋轉90。，

得到ACBG.延長AE交CG于點尸，連接DE,下列結論：①Ab_LCG,②四邊形BEFG是

正方形，③若ZM=OE,則Cb=FG；其中正確的結論是（）

C.②③D.①③

27.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是AB的中點，E、F

分別是AC、8c上的點（點E不與端點A、C重合），且AE=CT,連接并取￡尸的中點

O,連接。。并延長至點G,使GO=。。，連接。E、DF、GE、GF.

（1）求證：四邊形EOFG是正方形；

（2）當點E在什么位置時，四邊形瓦甲G的面積最小？并求四邊形MFG面積的最小值.

28.如圖1,邊長為4的正方形中，點E在邊上（不與點A,8重合），點廠在8C

邊上（不與點8、C重合）.

第一次操作：將線段EF繞點廠順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點G；

第二次操作：將線段PG繞點G順時針旋轉，當點尸落在正方形上時，記為點H；

依此操作下去...

（1）圖2中的是經過兩次操作后得到的，其形狀為，求此時線段所的長；

(2)若經過三次操作可得到四邊形EFGH.

①請判斷四邊形EFGH的形狀為,此時AE與BF的數量關系是；

②以①中的結論為前提，設AE的長為x,四邊形EFGH的面積為》求y與x的函數關系式

及面積y的取值范圍.

29.如圖1,四邊形A3CD為正方形,

圖1圖2

⑴求證：BE=DE；

(2汝口圖2,過點E作EFLDE,交邊3c于點F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

①求證：矩形DE尸G是正方形；

②若正方形ABCD的邊長為9,CG=3正，求正方形。瓦G的邊長.

30.四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE,過點E作￡F_LDE,交射

線BC于點孔以DE、防為鄰邊作矩形。跳G,連接CG.

備用圖

(1)如圖1,求證：矩形。跖G是正方形；

⑵若AB=2,CE=y/2,求CG的長度；

(3)當線段OE與正方形ABC3的某條邊的夾角是30。時，直接寫出NEFC的度數.

31.在RuABC中，ZACB=90°,AC=12.點。在直線CB上，以C4,8為邊作矩形ACDE,

直線43與直線CEDE的交點分別為￡G.

(1)如圖，點。在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.

①若點G為DE中點，求5G的長.

②若DG=GF,求的長.

(2)已知BC=9,是否存在點。，使得VW是等腰三角形？若存在，求CO的長；若不

存在，試說明理由.

32.(1)如圖1,正方形ABCD中，E為邊CD上一點，連接AE,過點A作AFLAE交

CB的延長線于F,猜想AE與AF的數量關系,并說明理由;

圖3

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接AC,過點A作AMLAC交CB的延長線于M,觀

察并猜想CE與MF的數量關系，并說明理由;

(3)解決問題:

王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中/A=NC=90。，AB=AD.王師傅想切一刀后把它

拼成正方形.請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖.

參考答案

1.D

【分析】本題考查了正方形，菱形及矩形的性質，根據正方形，菱形，矩形的性質逐一判斷

即可.

【詳解】解：正方形的性質有：四條邊都相等，四個角都是直角，對角線互相平分垂直且相

等，而且每一條對角線平分一組對角；

菱形的性質有：四條邊都相等，對角線互相垂直平分，而且每一條對角線平分一組對角；

矩形的性質有：矩形的四個角度數直角，矩形的對邊相等且互相平行，矩形對角線相等且互

相平分；

故A、B、C選項都不符合題意，只有D選項符合題意；

故選：D.

2.C

【分析】根據正方形的性質證明4AO/會△BOE(SAS),得至!]/。8￡=/。4尸,利用OE=OF,

NEOF=90。,求出NOEP=NOPE=45。，由此得到尸=NOEFNAPE=20。，進而得到NC3E

的度數.

【詳解】解：在正方形ABCD中，AO=BO,ZAOD=ZAOB^90°,ZCBO=45°,

;OE=OF,

：.^AOF^ABOE(SAS),

ZOBE=ZOAF,

"：OE=OF,ZEOF=90°,

：.ZOEF=ZOFE=45°,

'：ZAFE=25°,

：.ZOAF=ZOEF-ZAFE=20°,

ZCBE=ZCBO+ZOBE=45°+20o=65°,

故選：C.

【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，熟記正方形的性質是解題的

關鍵.

3.B

【分析】連接跖交HC于點。，過點A作交DH于點N,過點。作

交DH于點M,根據翻折的性質可得CE是9的垂直平分線，進而可以判斷①正確；證明

VCDF為等腰三角形，可證明③不正確，根據等腰三角形三線合一的性質即可證②不正確;

然后證明△可四AOMCIAAS),可得DN=MC,結合等腰直角三角形的性質可得④正確.

【詳解】解：如圖，連接正交"C于點。，過點A作ANLDH交DH于點N,過點C作

CMVDH,交.DH于點M,貝l]N/WD=N/WW=NaWE>=90。，

將沿直線CE折疊，點8落在點尸處,

二CE是所的垂直平分線，

1■1連接DF交CE的延長線于點H,

:=故①正確；

???四邊形ABCD是正方形，

,-.BC=CD=AD=AB,ZBCD=ZADC=90°,

由翻折可知：CF=CB,ZBCE=ZFCE,ZFHC=ZBHC

.?.CD=CF,則VCDb為等腰三角形，

若AF：r>C=l,則D尸=￡>C=CF,此時VCD產為等邊三角形，

則NDCF=60°,ZBC尸=30°,

而點E的位置不定，則/BC/的度數不定，相互矛盾，故③不正確

?「CM_LDH,貝ljNCAffi=90。，

ZFCM=ZMCD=-ZDCF,

2

ZBCE=ZFCE=-ZBCF,

2

ZMCH=ZFCM+ZFCE=1(ZDCF+ZBCF)=|ZBCD=1x90°=45°,

ZCMH=90°,

:.NCHD=45°,故②不正確；

則AHMC為等腰直角三角形，

■.?ZADN+ZMDC=ZADC=90°,ZDCM+ZMDC=90°,

:.ZADN=ZDCM,

在△AM）和ADMC中，

ZADN=ZDCM

<ZAND=ZCMD=90°,

AD=DC

.-.△AA?^ADMC（AAS）,

:.DN=MC,AN=MD,

&HMC為等腰直角三角形，

:.HM=MC,

:.HM=ND,

:.HN=MD,

■.■AN=MD,

:.HN=AN,

■.■ZANH=90,

ZAHN=45°=ZFHC=ZBHC,

:.ZAHD=ZBHC,故④正確；

綜上所述：正確的有①④，

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的判定及性

質、翻折的性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形、全等三角形、等腰三角形，等腰直角三角

形的相關知識.

4.D

【分析】本題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質、解直角三角形等知識點.先根據SAS

定理證出AADF%ADCE,從而可得ZADF=NDCE,再根據角的和差即可判斷結論①；

根據等腰三角形的性質可得DC=CH,A尸=A”,然后根據線段的和差、等量代換即可判斷

結論②；先根據正方形的性質可得AC=0,再根據DC=CH=1可得

DE=AF=AH=y/2-l,求解AE=2-夜，由此即可判斷結論③；過點尸作尸河_L8于點

M,連接胸，先根據角平分線的性質可得9=PQ,再根據兩點之間線段最短、垂線段

最短可得當時，尸〃+尸。取得最小值，然后利用勾股定理解直角三角形即可得判

斷結論④.

【詳解】解：丫四邊形ABCD是正方形，AB^l,

/.CD=AD=1,AC=V2,ZADC=ZDAF=90°,ZACD=45°,AB//CD,

在△AD廠和中，

AD=DC

<NDAF=NCDE=90。,

AF=DE

ADF、DCE(SAS),

:.ZADF=NDCE,

?.?ZDCE+/DEG=180。—ZCDE=90°,

.?.ZADF+NDEG=90°,

「.NDGE=90。,即CE_L。/,結論①正確；

???C￡平分ZACD,CE1DF,

：.CH=DC=1,

ZCDH=ZCHD=ZAHF,

??AB//CD,

.\ZCDH=ZAFH,

:.ZAFH=ZAHF,

:.AF=AH,

???AF=DE

:.DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC,結論②正確；

CH=1,AC=母,

:.DE=AF=AH=AC-CH=^2-1,

.?.A石=1-(拒-1)=2-

：.—=^^=y/2,即=故結論③正確;

AHV2-1

如圖，過點P作尸MLCD于點連接胸,

?.?CE平分ZAC。,PMLCD,PQLAC,

PM=PQ,

:.PH+PQ=PH+PM,

由兩點之間線段最短得：當點HP,“共線時，尸H+取得最小值

由垂線段最短得：當必fLCD時，取得最小值，

此時在中，CM=HM=—,

2

即尸”+尸。的最小值是變，結論④正確；

2

綜上，所有正確結論的序號是①②③④，

故選：D.

5.歷

【分析】本題考查了正方形的性質，軸對稱及勾股定理，要求PE+PC的最小值，PE,PC

不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化PE,PC的值，根據兩點之間線段最短可得AE就是

AP+PE的最小值，求出AE的值即得出PE+PC的最小值.

【詳解】解：連接AE,AP,

點C關于BD的對稱點為點A,

:.PE+PC=PE+AP,

根據兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

,正方形ABCD的邊長為3,BE=2

:.AE=M+M=屈，

???尸E+PC的最小值是病,

故答案為：屈.

6.①②③

【分析】本題主要考查了四邊形的綜合應用，解題時需要綜合運用正方形的性質，三角形中

位線定理，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質以及等腰三角形的判定等，解

題的關鍵是作輔助線構造等腰三角形和等腰直角三角形，靈活利用直角三角形的邊角關系來

計算.

證明ABCE^ADCG（SAS）,即可證得ZCGD=NCEB,然后根據三角形的內角和定理證得

NEHD=NGCD=90。，則GHLBE,然后證明ABG”絲AEGH（ASA）,可得3G=EG,H

是班的中點，則”。是的中位線，根據三角形的中位線定理即可得到

HO=：BG,HO〃BG,以及NMOH=NEGC=45。,再根據等腰直角三角形的性質，得出

OF=-EG,ZOFG=45°,以及OH=OF,tgigZMHO+ZHOM=Z.OFH+ZOFG,即可得

2

出4MG=NMFG,最后根據等腰直角三角形的邊角關系，得出即可得到

2

AB:DE=?:2.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊CD在正方形ECG尸的邊CE上，

/.NBCE=ZDCG=90°,BC=DC,EC=GC,

：.ABCE沿ADCG（SAS）,

ZCGD=ZCEB,

又,:ZCDG^ZHDE,

：.ZEHD=ZGCD=90°,

AGH±BE,故①正確；

,/NEGC的平分線G”過點D,

Z.BGH=Z.EGH,

?;GH±BE,

ZBHG=ZEHG=90°,

,?GH=GH,

:.BG=EG,故②正確；

BG=EG,GHLBE,

.?.H為8E的中點，

又是EG的中點，

是ABEG的中位線,

HO=-BG,HO//BG,

2

ZMOH=ZEGC=45°,

如圖，連接尸0,

：O是EG的中點，

???等腰RtAEFG中，0F=工EG,N0FG=45。,

'2

OH=OF,

：.NOHF=Z.OFH,

ZMHO+ZHOM=Z.OFH+ZOFG,即NFMG=NMFG,

：,FG=MG,即AMFG是等腰三角形，故③正確；

如圖，連接3D,

:應垂直平分BE,

DE=DB,

?；RtAAB￡)中，AB=—BD,

2

AB:DE=y/2:2,故④錯誤；

故答案為：①②③

7.(1)EF=AG

(2)成立，理由見解析

(3)36

【分析】(1)利用ASA證明AABE絲全等即可得到結論;

(2)過點尸作根，AE,垂足為利用ASA證明即可得到結論；

(3)過點。作于"，根據翻折變換的性質可得尸。LAN,然后求出

ZAPQ=ZAMDf再利用“角角邊"證明"1。"四根據全等三角形對應邊相等可得

QP=AM,再利用勾股定理列式求出AM,從而得解.

【詳解】(1)解：:四邊形458是正方形，

.?.NBAE=ZADG=90°,AB=AD,

：.ZABE+ZA￡B=90°,

EFLAG,

：.NA￡B+NZMG=90。，

???ZABE=/DAG,

：.△ABE^ATMG(ASA),

：.EF=BE=AG；

(2)解：成立，理由是：

過點尸作垂足為M,

圖2

:四邊形ABC。是正方形，

/.NBAE=ZADG=90°,AD=CD,

：.MF=CD=AD,ZEMF=90°,

：.NE+NEFM=90。,

,:EhAH,

：./HAE+/E=90°,

ZHAE=ZEFM,

：.ASA),

???EF=AG；

(3)解：如圖，過點。作Q”,AD于凡則四邊形A5Q"中，HQ=AB,

由翻折變換的性質得PQrAM,

'：ZAPQ+ZDAM=90°,ZAMD+ADAM=90°,

ZAPQ=ZAMD,

:四邊形ABC。是正方形，

AD=AB,

/.HQ=AD,

在AADM和AQHP中,

'ZQHP=ZD

<ZAPQ=ZAMD,

QH=AD

：.AADM%QHP（AAS）,

：.QP=AM,

:點M是CD的中點，

DM=-CD=3,

2

在Rt^ADM中，由勾股定理得，AM=>]AD2+DE2=3yf5>

；.尸。的長為3君.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，翻折變換的問題,折疊問題其實質是軸對稱，

對應線段相等，對應角相等，找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關鍵.

8.（1）OE=OF（相等）

（2）OE=OF,OEYOF,證明見解析

⑶OE=OF（相等），OEYOF（垂直）

【分析】（1）根據利用正方形的性質及三角形全等的判定證明△AEgACFO（AAS）,從

而得到結論；

(2)當移動到點尸的位置時，可以通過證明四邊形班PF為矩形來得到班=方。.進而證

明QBE9QCF即可得解；

(3)通過證明四邊形班PF為矩形來得到郎=/。,進而證明即可得解.

【詳解】(1)解：:四邊形ABC。是正方形，

???ZBAC=NBCA=45°,

TO是AC的中點，

AO=PA,

u：OM^AB,ONIBC,

：.ZAEO=ZCFO=9G0,

在A4EO和△CFO中

ZOEA=ZOFC

</EAO=/FCO,

AO=CO

：.^AEO^CFO(AAS)

：.OE=OF(相等)，

故答案為：OE=OF(相等)；

(2)解：OE=OF,OE±OF；理由如下:

連接3。，

M

D

??,在正方形ABC。中，。為AC中點，

ABO=CO,BO±AC,NBC4=/ABO=45。，NABC=90。,

???N3OC=90。,

VPF±BC,NBCO=45。,

???NFPC=90°-45°=45°=NBCO,

：.PF=FC.

???正方形ABC。，ABC=90°,PFLBC,PE_LAB,.

???四邊形尸座尸是矩形,

BE=PF.

：.BE=FC.

:.AOBE'OCF,

：.OE=OF,NBOE=NCOF,

?；NCOF+NBOF=9。。,

：.NBOE+NBOF=90°,

???NEOF=90。.

：.OE±OF.

（3）解：OE=OF（相等），OEYOF（垂直）.

理由：連接30,

???在正方形ABC。中，。為AC中點，

ABO=CO,BOLAC,，BC4=/ABO=45。，ABC=90°,

：.N3OC=90。,

???ZOCF=ZOBE=180°-45°=135°,

VPF^BC,NBCO=45。,

???NPCF=ZBCO=45°

:?NFPC=45。=NPCF,

：.PF=FC.

???正方形ABC。，/ABC=90。，

VPF±BC,PE上AB,

???四邊形PEB尸是矩形，

BE=PF.

：.BE=FC.

^OBE=/sOCF,

：.OE=OF,NBOE=NCOF,

?：NCOF+NBOF=90°,

：.ZBOE+ZBOF=90°,

：.^EOF=90°.

：.OELOF.

故答案為：OE=OF（相等），OELOF（垂直）

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，同角的余角相等，等角對等

邊，解題的關鍵是抓住動點問題，化動為靜，還要大膽的猜想.

9.9（2」）;呂限+便-1）

【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特點為橫縱坐標之積為定值；也考查了正方

形的性質和三角形全等的判定與性質.作片軸于C,5軸于。，呂軸于E,

鳥F工P2D于F,設耳（a,，），則C[=a,OC=-,易得△/4。絲△4AO（AAS）,

2

△44。g則。用=片。=4。=〃，所以——〃，則鳥的坐標為

a

然后把2的坐標代入反比例函數y=2,得到。的方程，解方程求出。，得到八

的坐標；設6的坐標為H，易得△￡△乂△"￡,則BE=BF=DE=*,通過

2

OE=OD+DE=2+-=b,這樣得到關于6的方程，解方程求出b,得到鳥的坐標.

b

【詳解】解：作軸于。，鳥。，x軸于。，巴石,工軸于后，RF工2D于尸,如圖

設《（。，一],則OC=—,

<CL）a

???四邊形4耳6￡為正方形，

.?.NA44=90。,

.?.NC“+NO4A=90。，

QNC46+NC44=90。，NO4A+NOA4=90。，

.?.NC44=NO4]4,

NBCA=NB10A=90。

在△[B]C和△與4。中，</。耳4=/。4耳

耳片=A{BX

???△44。名△44O（AAS）,

同理：△4A。之△A2。，

/.OB】=PXC=A^D=a,

2

/.CMj=B[C=P^D=a,

a

22

.'.OD=QH--a=一,

aa

??P2的坐標為（一，。]，

把2的坐標代入y=2（%>0）得：f--4-=2,

x\aJa

解得：a=—l（舍去）或a=l,

???8（2,1）,

設己的坐標為

又,四邊形八鳥4星為正方形，

同上：△乙鳥尸也

P^E=PiF—DE,

:.OE=OD+DE=2+-,

b

2H—=b,

b

解得：b=l-百（舍去），b=l+百,

22

=6-1,

b1+6

「?點6的坐標為（百+L0-1）.

10.⑴DE+DF=AD

(2)DE+DF^^AD,證明見解析

(3)當點E落在線段AD,點下落在線段CO上時，DE+DF^AD-

當點E落在線段AD,點廠落在線段CD的延長線上時，DE-DF^^AD；

當點E落在線段AD的延長線時，點尸落在線段C。的延長線上時，DF-DE^AD-

當點E落在線段AD的延長線時，點廠落在線段CO上時，DF-DE^AD,

當點E落在線段DA的延長線時，點方落在線段CO的延長線上時，DE-DF=\AD.

【分析】(1)根據正方形的性質，可證A4PE四口尸尸，從而得到AE=D尸，即可得到

DE+DF=AD；

(2)取AD的中點連接PAf,根據菱形的性質，即可得AMDP是等邊三角形，利用SAS

可證△血PEGAFPD,再由全等三角形的對應邊相等可得旌=DE,由。E+=

2

即可得出Z)E+DP=；AD；

(3)①當點E落在線段AD,點廠落在線段CO上時，同理可證△￡7%?0△￡?￡),那么有

DF=ME,從而得到。E+。/=

2

②當點E落在線段AD,點尸落在線段CO的延長線上時，，同理可證AEPMGAEPD,那么

有DF=ME,從而得到DE-。尸=[AD；

2

③當點E落在線段AD的延長線上，點F落在線段CO的延長線上時，，同理可證

^EPM^FPD,那么有￡)尸=腿，從而得至I]D/一。E=gAD；

④當點E落在線段AD延長線時，點b落在線段C。上時，同理可證AEPM咨AEPD,那么有

DF=ME,從而得到￡＞產_￡＞￡=；&￡＞；

⑤當點E落在線段DA的延長線，點F落在線段CD的延長線上時，,同理可證AEPM0△￡?￡),

那么有。狂=ME,從而得到力石-力/二；/!。.

【詳解】(1)解：?正方形ABCD的對角線AC,BD交于點、P,

:.PA=PD,ZPAE=NPDF=45°

ZAPE+Z.EPD=NDPF+ZEPD=90°

,\ZAPE=ZDPF

在VAPE和ADP廠中

"NAPE=ZDPF

<PA=PD

ZPAE=ZPDF

「.△APE四mF(SAS)

:.AE=DF

:.DE+DF=AD

故答案為：DE+DF=AD.

(2)解：結論為。E+。尸=3"),證明如下:

如圖：取AD的中點連接PM

0?.?四邊形ABCD為菱形，ZADC=120°

:.BD=AD,ZDAP=30°,ZADP=NCDP=60。

:AMDP是等邊三角形

:.PM=PD,ZPME=ZPDF=60°

???ZPAM=30°

:.ZMPD=60°

???ZQPN=60°

:.ZMPE=/FPD

在1和Z\FPD中

ZPME=ZPDF

<PM=PD

ZMPE=ZFPD

.△MPE均FPD(AS0

：.ME=DF

:.DE+DF=-AD

2

故答案為：DE+DF=-AD.

2

(3)解：①當點E落在線段AD,點尸落在線段CO上時，如圖所示

②當點E落在線段仞，點尸落在線段的延長線上時，如圖所示

取線段AZ)的中點/，同理可證AEPH冬AFPD,那么有DF=A1E,

:.DE-DF=DE-ME=DM

?jM為線段A￡＞的中點

：.DM=-AD

2

:.DE-DF^-AD

2

③當點E落在線段AD的延長線上，點/落在線段CD的延長線上時，如圖所示

取線段AD的中點同理可證AEPH冬AFPD,那么有DF=A1E,

DF-DE=ME-DE=DM

???A/為線段AD的中點

：.DM=-AD

2

DF-DE^-AD

2

④當點E落在線段仞延長線時，點/落在線段CO上時，如圖所示

Q

取線段的中點/，同理可證AEPH且那么有。尸=A1E,

:.DF-DE=ME-DE=DM

???M為線段A￡＞的中點

：.DM=-AD

2

:.DF-DE^-AD

2

⑤當點E落在線段D4的延長線，點歹落在線段CD的延長線上時，如圖所示

取線段AD的中點同理可證且AFPD,那么有DF=A1E,

:.DE-DF=DE-ME=DM

?jM為線段A。的中點

：.DM=-AD

2

:.DE-DF^-AD

2

綜上，當點E落在線段AD,點尸落在線段CO上時，DE+DF=^AD.

當點E落在線段A。，點尸落在線段CD的延長線上時，DE-DF=^AD；

當點E落在線段凡。的延長線時，點尸落在線段C。的延長線上時，DF-DE=-AD；

2

當點E落在線段AD的延長線時，點b落在線段C。上時，DF-DE=-AD-

2

當點E落在線段ZM的延長線時，點/落在線段CD的延長線上時，DE-DF=^AD.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形判定與性質，菱形的性質，全等三角形的判

定與性質，解答本題的關鍵是設計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段

與線段之間的等量關系.

11.B

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行四邊形，菱形，矩形和正方形的判定，熟知相

關判定定理是解題的關鍵.根據平行四邊形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，原命題是真命題，不符合題意；

B、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，原命題是假命題，符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是真命題，不符合題意；

D、對角線互相垂直的矩形是正方形，原命題是真命題，不符合題意.

故選：B.

12.D

【分析】根據對角線相等的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角

線互相垂直的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形判斷即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

.?.當AC=3D時，利用對角線相等的平行四邊形是矩形，可知四邊形ABC。是矩形，

故A選項正確；

當=時，利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知四邊形ABC。是菱形，

故B選項正確；

當AC13D時，利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可知四邊形ABC。是菱形，

故C選項正確

當4MB=90。時，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知四邊形A8C。是矩形，

故D選項錯誤；

故選：D.

【點睛】此題考查平行四邊形的性質，正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握正方

形的判定、矩形的判定和菱形的判定定理是解題關鍵.

13.&-1

【分析】過P作PMLBC于M,根據等邊三角形的性質及勾股定理求得PM的長，再利用

SABPD=SABPC+SACPD-SABCD即可求解

【詳解】解：過P作PMJ_BC于M,

,.?△BPC為等邊三角形，PMXBC,

；.CP=BC=2,CM=BM=1,

由勾股定理得：PM=[CP。-CM。=6，

??SABPD=SABPC+SACPD-SABCD=BC-PM+SACPD-；BCCD=；X2X6X2X2=6-1.

故答案為6-1.

【點睛】本題考查了正方形的性質和正三角形的形質，觀察圖形得出

SABPD=SABPC+SACPD-SABCD是解決問題的關鍵.

14.57.75

【分析】運用拼圖的方法，構造一個正方形，用大正方形的面積-小正方形的面積，即可得

出所求多邊形的面積.

【詳解】解：運用拼圖的方法，構造一個正方形，如圖所示：

大正方形的邊長為12+8=20,小正方形的邊長EZ)+DF=13,

多邊形A8CPDE的面積(大正方形的面積-小正方形面積)=j(202-132)=57.75.

44

故答案為57.75.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質；熟練掌握正方形的判定與性質，運用拼圖的方法，

構造一個正方形是解決問題的關鍵.

15.⑴相等

(2)四邊形BECD是菱形，理由見解析

(3)當ZA=45。時，四邊形3ECD是正方形，理由見解析

【分析】本題考查了平行四邊形、菱形以及正方形的判定，熟記相關判定定理的內容即可.

(1)證四邊形ACED是平行四邊形即可求解；

(2)先證四邊形3ECD是平行四邊形，結合NACB=90。，。為A3中點，可得CD=B。,

即可求證；

(3)根據題意得AC=BC,結合。為54中點，可得NCDF=90。；結合(2)中的結論即

可求解；

【詳解】(1)解：由題意得：ZACB=ZDFB=90°,

：.AC//DE

AD//CE

四邊形ACED是平行四邊形

CE=AD

故答案為：相等

(2)解:四邊形BECD是菱形，

理由：?.?。為A3中點，

:.AD=BD,

CE=AD,

：.BD=CE,

:BD//CE

???四邊形BECD是平行四邊形，

VZACB=90°,。為A3中點，

:.CD=BD,

四邊形3ECD是菱形.

(3)解：當NA=45。時，四邊形班CD是正方形，

理由：VZACB=90°,NA=45。，

???NABC=NA=45。，

???AC=BC,

???。為B4中點，

：.CDLAB,

：.ZCDB=90°,

???四邊形5ECD是菱形，

???菱形3ECD是正方形，

16.(1)FG±ED,理由見解析

(2)見解析

【分析】(1)由旋轉及平移的性質可得到ND反+NG/芯=90。，可得出結論；

(2)由旋轉和平移的性質可得砥=CRCG//BE,從而可證明四邊形CBEG是矩形，再結

合CB=可證明四邊形CBEG是正方形.

【詳解】(1)FG1ED.理由如下：

???VABC繞點3順時針旋轉90。至△Db石后，

:.ZDEB=ZACBf

???把VABC沿射線平移至&FEG,

???ZGFE=ZA,

丁ZABC=90°,

AZA+ZACB=90°,

???Z.DEB+ZGFE=90°,

???ZFHE=90°,

：.FG.LED；

(2)根據旋轉和平移可得NGEF=90。，NCBE=90。,CG//EB,CB=BE,

■:CG//EB,

：.ZBCG=ZCBE=90°,

：./BCG=ZGEF=ZCBE=90°,

???四邊形BCG石是矩形，

'：C