第22講圖形與相似

典例精練

【例1】（2023杭州）如圖，在△ABC中,AB=AC,NA<90。,點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,CA上，連接DE,EF,FD,已知

點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng).設(shè)器=k，若AD=DF,則會(huì)=（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）.

［例2］如圖，在△ABC中，AB=2小,AC=4其8c=6,,M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取一點(diǎn)電使小AM

N與4ABC相似,則線段MN的長(zhǎng)為.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1,2）,B（2,1）,C（3,2）,現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象

限內(nèi)作與4ABC相似比為2的位似圖形△A'B'C,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

D.(5,4)

2.（2024樂(lè)山）如圖,在梯形ABCD中,AD〃:BC,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O.若修

3.如圖，在三角形紙片ABC中.AC=6,BC=9,分別沿與BC,AC平行的方向,從靠近A的AB邊的三等分點(diǎn)剪去兩個(gè)

角，得到的平行四邊形紙片的周長(zhǎng)是.

4.（2023廣東）邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一條直線上（如圖），則圖中陰影

部分的面積為.

5.如圖，在△ABC中,/ACB=9(F,CDJ_AB于點(diǎn)D.

(1)AC=8,BC=6,AB=,CD=;

(2)CD=4,BD=3,BC=,AD=,AC=,

6.如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，且終=求證：4ACB=90。.

c

7.如圖，點(diǎn)D,E,G在△ABC的三邊上,DE\\BC?DE交AG于點(diǎn)F.求證：笠=?

8.（2023邵陽(yáng)）如圖,（CA^AD,ED^AD,,B是線段AD上一點(diǎn),且（CB團(tuán)BE,已知ABAB=8,AC=6,DE=4.

⑴求證：4ABe~4DEB;

(2)求線段BD的長(zhǎng).

9.如圖，在矩形ABCD中,E,F分別是AB,AD上的點(diǎn)且.DE回CF于點(diǎn)G,求證：號(hào)=三.

10.如圖在△4BC中，AB=AC,,BE和CD是△ABC的中線.

(1)求證：BE=CD;

(2)求黑的值.

UD

11.如圖，在AABC中，P為邊AB上一點(diǎn).若乙4cp=NB,求證：AC2=AP-AB.

12.如圖，在等腰三角形ABC中，^BAC=120°,AB=AC,,D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),在

AC上取一點(diǎn)E，使UDE=30。,求證：△ABD~△DCE.

13.如圖在△語(yǔ)中點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，連接DE,EF.已知四邊形BFED是平行四邊形蔗*

A

B

FC

⑴若AB=8,求線段AD的長(zhǎng)

(2)若4ADE的面積為1,求平行四邊形BFED的面積.

14.如圖在正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn),N為CD上一點(diǎn)，且(CN:ND=1:3,求證：AMXMN.

15.如圖，在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,求差的值.

BDC

16.如圖，已知銳角△4BC,BC長(zhǎng)為12,高AD長(zhǎng)為8.矩形PNMQ的邊QM在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)P,N分別

在AB.AC上,PN交AD于點(diǎn)E.

⑴求證:①器暇■②Q券

⑵求第勺值；

(3)若矩形PNMQ為正方形，求PN的值.

17.(2024上海)如圖,在矩形ABCD中,E為邊CD上一點(diǎn)，目.AE1BD.

⑴求證：AD2=DE-DC;

(2)F為線段AE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CF.若EF=CF=坪D,求證：CE=AD.

18.（2024湖北）如圖在矩形ABCD中,E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P落在C

D上，B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G,PG交BC于點(diǎn)H.

（1）求證：AEDP-APCH.

⑵若P為CD的中點(diǎn),且.AB=2,BC=3,求GH的長(zhǎng).

⑶連接BG若P為CD的中點(diǎn),H為BC的中點(diǎn)探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

第22講圖形與相似

典例精練

【例1】（2023杭州）如圖，在△ABC中.AB=AC,NA<90。點(diǎn)D,E,F分別在邊AB.BC,CA上，連接DE,EF,FD,已知

點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng).設(shè)=k若AD=DF,則號(hào)=生（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）.

ABFA2-

［例2］如圖，在△ABC中，AB=2AC=4強(qiáng)8C=6,,M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取一點(diǎn)電使4A

MN與△ABC相似,則線段MN的長(zhǎng)為3或|.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(2,1),C(3,2),現(xiàn)以原點(diǎn)0為位似中心，在第一象

限內(nèi)作與4ABC相似比為2的位似圖形△A'B'C,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(C)

2.(2024樂(lè)山)如圖,在梯形ABCD中,AD〃:BC,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O.若學(xué)=［，則受些=《_.

、△BCD§、4BOC9

3.如圖.在三角形紙片ABC中.AC=6,BC=9,分別沿與BC,AC平行的方向,從靠近A的AB邊的三等分點(diǎn)剪去兩個(gè)

角，得到的平行四邊形紙片的周長(zhǎng)是

4.(2023廣東)邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一條直線上(如圖),則圖中陰影

部分的面積為」建.

5.如圖在4ABC中./ACB=90o,CD_LAB于點(diǎn)D.

：1)AC=8,BC=6,AB=10,CD="；

--------5

⑵CD=4,BD=3,BC=5163,XC=y

6.如圖，在△ABC中CD是邊AB上的高，且=器求證：乙4cB=90。.

CDDU

證明：：CD是邊AB上的高,，ZADC=ZCDB=90°.

又CD=BD,MACDs/\CBD"./A=/BCD.

ZA+ZACD=90°,

ZBCD+ZACD=90°,gPZACB=90°.

7.如圖，點(diǎn)D,E,G在小ABC的三邊上,DE〃BC,DE交AG于點(diǎn)F.求證：笠=冬

FEGC

證明:：DE//BC,△ADFsAABG,AAFE^AAGC.

DF_AFFE_AF

??BG-AG'GC-AG'

DF_FE日口DF_BG

BG-GC'區(qū)FE-GC

8.(2023邵陽(yáng))如圖,(CA^AD,ED^AD,,B是線段AD上一點(diǎn),且(CBE1BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.

(1)求證:△ABC^ADEB;

⑵求線段BD的長(zhǎng).

解:⑴證明:：CAJ_AD,ED_LAD,CBJ_BE,

,>.ZA=ZCBE=ZD=90°.

ZC+ZCBA=ZCBA+ZDBE=90°.

/C=NDBE.

/.AABC^ADEB.

ACAR

(2)???△ABC-△DEB,??.—.

、JDRnp

9,如圖在矩形ABCD中,E,F分別是AB,AD上的點(diǎn)，且DEMF于點(diǎn)G,求證：-=

證明：：在矩形ABCD中2A=/CDF=90。,；.ZADE+ZCDG=90°.

VDE±CF,/.ZDCF+ZCDG=90°..\ZADE=ZDCF.

DE_AD

ADE?△DCF.

CF-DC

10.如圖，在△ABC中,AB=AC,BE和CDABC的中線.

⑴求證:BE=CD;

(2)求器的值

Utf

解:⑴證明:：BE是4ABC的中線，二AE=|XC.

1

同理，AD=jAB.AB=AC,AD=AE.

在4ABE和4ACD中｛AB=AC,N4=NA,

AE=AD,

：.AABE^△ACD(SAS).；.BE=CD.

(2)：BE和CD是4ABC的中線,DE是4ABC的中位線.

.\DE/7BC,HDE=|BC..\AODE^AOCB.

.OE_DE_1

''OB~BC~2

11.如圖，在△ABC中,P為邊AB上一點(diǎn)若NACP=NB,求證：AC2=AP?AB.

證明:丁ZACP=ZB,ZA=ZA,

.,.△APC^AACB,

蒜AC=茄AP，:".c2D=apAT-t

12.如圖.在等腰三角形ABC中2BAC=12(r,AB=AC,D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，在AC上取一點(diǎn)

E.使/ADE=30。,求證:△ABD^ADCE.

證明：：AABC是等腰三角形,且/BAC=120。，

A

：.ZABD=ZACB=30°..\ZABD=ZADE=30°.

BDC

,?ZADC=ZADE+ZEDC=ZABD+ZDAB,

/.ZEDC=ZDAB.

AABD^ADCE.

13如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，連接DE,EF.已知四邊形BFED是平行四邊形，絲=士

⑴若AB=8,求線段AD的長(zhǎng)

⑵若△ADE的面積為1,求平行四邊形BFED的面積.

解:⑴：四邊形BFED是平行四邊形.二DE〃BF.DE〃BC.

AnT~)p1

??.△ADE△ABC..-.—=—=AB=8,??.AD=2.

ABBC4

(2)???△ADE-AABC,：.=(—)2=

''s4ABeBC16

AADE的面積為1,.\AABC的面積為16.

,/四邊形BFED是平行四邊形,；.EF〃AB.

???△EFCAABC.：.還跳=(-)2=

S^ABC16

.?.△EFC的面積為9.

^BBFED=S—BC-S^EFC—t^ADE=16—9—1=6.

14如圖，在正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn),N為CD上一點(diǎn)，且（CN-.ND=1:3,求證：AM±MN.

證明：..?四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC=CD,ZB=ZC=90°.

：M是BC的中點(diǎn),CN:ND=1:3,

AB_MC_

,BM~CN~'

△ABM^AMCN.

.\ZBAM=ZCMN.

?.?ZBAM+ZAMB=90°,

.*.ZAMB+ZCMN=90°.

ZAMN=90°.

AAM±MN.

15如圖，在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,求蕓的值.

解:過(guò)點(diǎn)D作DG〃BF交AC于點(diǎn)G.

CG_CDAE_AF

"GF-BDrED-FG

VD是BC的中點(diǎn),，BD=DC.；.CG=GF.

,/E是AD的中點(diǎn),二AE=ED./.AF=FG.

；.AF=FG=CG.

AF_AF_1

FC-FG+GC-2

16.如圖，已知銳角△ABC,BC長(zhǎng)為12,MAD長(zhǎng)為8.矩形PNMQ的邊QM在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)P,N分別在A

B,AC±,PN交AD于點(diǎn)E.

⑴求證:①需暇②篇噂

(2)求.的值；

(3)若矩形PNMQ為正方形，求PN的值.

解:⑴證明:由矩形PNMQ得PN〃:BC,

AAPE^AABD.AAPN^AABC.AAEN^AADC.

PEAEENPEPAPNnnPEENPEBD

''BD-AD—DC'BD~BA~Be"BD一DC'PN一BC

(2)VPN/7BC,???AAPN^AABC.VAD±BC,ABN=AED.

.PN_BC_12_3

''AE-AD-8-2

(3)設(shè)正方形PNMQ的邊長(zhǎng)為x.

*/PN〃:BC,△APNsAABC.

..些=空....已=三解得x=4.8

ADBC812

???PN=4.8.

17.(2024上海)如圖,在矩形ABCD中,E為邊CD上一點(diǎn)，且AE±BD.

(1)求證：AD2=DE-DC;

(2)F為線段AE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CF.若EF=CF=卯0,求證:CE=AD.

證明：(1)在矩形ABCD4J,ZBAD=90°,ZADE=90°,AB=DC,

JZABD+ZADB=90°.

VAE±BD,.\ZDAE+ZADB=90°.

ZABD=ZDAE.VZBAD=ZADE=90°,

???△ADE?△BAD./.—=空即AD2=DE?BA.

BAAD

???AB=DC,.-.AD2=DEDC.

⑵連接AC交BD于點(diǎn)O.

在矢巨形ABCD中,/ADE=90。,貝!J/DAE+/AED=90。，

AE_LBD,ZDAE+ZADB=90°..\ZADB=ZAED.

ZFEC=ZAED,.\ZADO=ZFEC.

在矩形ABCD中，CM=。。=|BD,

1

???EF=CF=；BD,：.OA=OD=EF=CF

：.ZADO=ZOAD,ZFEC=ZFCE.

ZADO=ZFEC,.\ZADO=ZOAD=ZFEC=ZFCE.

/.ODA=Z.FEC,

在4ODA和4FEC中｛^OAD=乙FCE,

OD=FE,

：.AODA^AFEC(AAS)..\CE=AD.

18.(2024湖北)如圖在矩形ABCD中,E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P落在C

D上，B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G,PG交BC于點(diǎn)H.

(1)求證:△EDP^APCH.

⑵若P為CD的中點(diǎn)，且AB=2,BC=3,求GH的長(zhǎng).

⑶連接BG,若P為CD的中點(diǎn),H為BC的中點(diǎn)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系”并說(shuō)明理由.

解：(1)證明:：四邊形ABCD是矩形.

AED

：.ZA=ZD=ZC=90o..\Zl+Z3=90°.|尸&

E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P落在DC上，//I

Bc

：.ZEPH=ZA=90°..\Zl+Z2=90°.G

/.Z3=Z2..\AEDP^>APCH.

(2)：四邊形ABCD是矩形，

CD=AB=2,AD=BC=3,/A=ZD=ZC=90°.

VP為CD中點(diǎn),.DP=CP=/x2=1.

設(shè)EP=AE=x,ED=AD-x=3-x.

在RtAEDP中，EP2=ED2+DP2,

即%2=(3-x)2+1,解得%=I，