其它類型幾何最值常考題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,/DAB=30。，ZADC=60°,BC=CD=2,若線段MN在邊AD上運動，目M

N=l,貝BM2+2BN2的最小值是（）

/

BC

172939

仁C.TD.10

2.如圖尸ABCD的面積為12,AC=BD=6,AC與BD交于點O,分別過點C,D作BDAC的平行線相交于點F,

點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是（）

D.3

3.如圖,在AABC中,AB=2,ZABC=60°,NACB=45。，D是BC的中點，直線1經過點D,AE±1,BF±1,

垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為（）

A.V6B.2V2C.2V3D.3V2

4.如圖，等邊△ABC的邊長為3,點D在邊AC上，4。=/線段PQ在邊BA上運動，PQ=點有下列結論：①C

學習筆記：

P與QD可能相等：②AAQD與ABCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為誓;④四邊形PCDQ周長的

16

最小值為3+亨.其中，正確結論的序號為（）

A

/\D

P,

R

A.①④B.②④C.①③D.②③

5.如圖，矩形ABCD,AB=1,BC=2,點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上.當點A在x軸上運動時，點D也隨

之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為.

6.如圖，在△ABC中，AB=4,BC=5,點D、E分別在BC、AC上，CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于點F,則4A

FE面積的最大值是.

7.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的0。上兩動

點，且C。=V2,P為弦CD的中點.當C、D兩點在圓上運動時，△PAB面積的最大值是（）

A.8B.6C.4D.3

8如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,OC的半徑為V3,P為AB邊上一動點,過點P作。C的切線PQ,切點

為Q,則PQ的最小值為.

B

9如圖，在Rt△ABC中，ZC=90。,"=6,BC=8,點E是BC邊上的點，連接AE過點E作AE的垂線交

AB邊于點F,則AF的最小值為.

A

10如圖.D是等邊三角形ABC外一點.若BD=8,CD=6,連接AD,則AD的最大值與最小值的差為.

11如圖，在△4BC中，NC=90°,AC=BC=6,P為邊AB上一動點，作PD回8c于點D,PEXAC于點E,

則DE的最小值為,

12如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(l,0),B(3,0),點P為y軸正半軸上的一個動點，以線像身嘲曲在PA的

右上方作等邊連接QB,在點P運動的過程中,線段QB長度的最小值為.

13如圖，直線AB與x軸交于點A(l,0),與y軸交于點B(0,2),將線段AB繞點A順時針旋轉90。得到線段AC,

反比例函數y=：也手0，x>0)的圖象經過點C.

(1)求直線AB和反比例函數y=^(k手0，幻0)的解析式；

(2)已知點P是反比例函數V=3上中。，久>0)圖象上的一個動點，求點P到直線AB距離最短時的坐標.

14如圖，在△ABC中，AB=42,AC=3,以點C為直角頂點，BC為直角邊，向下做等腰直角4BCD,則AD

的最大值是.

15如圖，在平面直角坐標系中，A(4,0)、B(0,-3),以點B為圓心、2為半徑的(DB上有一動點P.連接AP,若

點C為AP的中點，連接OC,則OC的最小值為.

16在△A8C中，若。為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2=2AO2+2B。?成立.依據以上結論，解決如下問

題：如圖,在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG?的最小值為

17如圖，在平面直角坐標系中，點P是以C(-但V7)為圓心,1為半徑的0c上的一個動點，已知A(-l,0),

B（l,。），連接PA,PB廁P42+PF的最小值是（）

C.10D.12

18如圖，AABCs^ADE,ZBAC=ZDAE=90°,AB=8,AC=6,F是DE的中點，若點E是直線BC上的動點，

連接BF,則BF的最小值是（）

C.5D.2

1.解：過B作BF團力。于F,過C作CE±AD于E,v乙D=60°,CD=2,：.CE=^-CD=V3,

???AD\\BC,：.BF=CE=舊，要使BM2+2BW的值最小，則BM和BN越小越好，

???MN顯然在點B的上方（即F在線段MN上時），符合所求最小值的題意.

設MF=x,FN=l-x,

BM2+2BN2=BF2+FM2+2（BF?+FN2）=x2+3+2[（1一久）2+3]=3x2-4%+11=3（%

.?.當x=爭寸,BM2+2BN2的最小值是學故選：B.

2.解：：四邊形ABCD為平行四邊形，AC=BD,

；.OD=OC,

VDF//AC,OD〃CF,.?.四邊形OCFD為菱形，

???點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，

當GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值.過D點作DM,AC于M,過G點作GP±AC與P,則G

P〃OD,

;矩形ABCD的面積為12,AC=6,

???2X|XC-DM=12,即2x|x6xOM=12,解得DM=2,

：G為CD的中點，GP為4DMC的中位線，

GP==1,故PG的最小值為1.故選：A.

3.解：如圖，過點C作CKL1于點K,過點A作AHLBC于點H,在RtAAHB中，：NABC=6(T,AB=2,

BH=1,AH=V3,在RtAAHC中，ZACB=45",???AC=y/AH2+CH2=V6,

;點D為BC中點，；.BD=CD,在ABFD與ACKD中，易證△BFD之△CKD(AAS),；.BF=CK,延長AE,過點

C作CN_LAE于點N,可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,在RtAACN中,AN<AC,當直線1_LAC時，最大值為V6,

綜上所述，AE+BF的最大值為V6.故選:A.

4.解：①利用圖象法可知PODQ,或通過計算可知DQ的最大值為亨,PC的最小值為苧，所以PODQ,故①

錯誤.

②設AQ=x,BP=AB-AQ-PQ=3-x-^=l-x,

：NA=/B=60。，.?.當蔡=色或卷=熊時，△ADQ與公BPC相似，即=舞得x=l或|或(，；.當A

2

Q=1或|或高時，兩個三角形相似，故②正確

③設AQ=x，則四邊形PCDQ的面積：=SAABC-SAADQ-SABCP=^x32-|xxx^x|-jx3x(3-x-

》x噂=乎+苧益*的最大值為3-J=|,.?.%=?時，四邊形PCDQ的面積最大,最大值=噌，故③正確,

ZZooZZZlo

,/四邊形PCDQ中，PQ=|,CD=3-.當QD+PC的值最小值時，四邊形PCDQ的周長有最小值.

如圖，作點D關于AB的對稱點D1,AQD'=QD

作D，F〃PQ,再截取DF=PQ,得口DFPQ,

/.PF=QD'=QD；.QD+PC=PF+PC

當F、P、C三點共線，FC即為QD+PC的最小值。

由題意，帥=百40=手,可=為》=與C/=竽,FH=|—

CH=CJ+HJ=尊

2

CF=VFH2+CH=—,

2

..?四邊形P'CDQ，的周長的最小值=3+第故④錯誤，故選:②③正確，選D.

5解：如圖，取AD的中點H,連接CH,OH,,矩形ABCD,AB=1,BC=2,；.CD=AB=1,AD=BC=2,;點H是

AD的中點，.?.AH=DH=1,

CH=<DH2+CD2=V2,v^AOD=90。,點H是AD的中點，OH=^AD=1,在4OCH中,CO<OH+CH,

當點H在OC上時，CO=OH+CH,

.,.CO的最大值為。"+CH=/+1,故答案為：夜+1.

6解:連接DE.vCD=2BD,CE=2AE,

=2,???DE\\ABCDE?△CBA,

BDAEUf

DE_CD_2DF_DE_2

"BA~CB-34尸—BA-3’

DE\\AB,AS^ABE=S^ABD,

2

J^LAEF=S^BDF，*',

???BD=^BC=|,.?.當AB回BD時，△ABD的面積最大，最大值=|x|x4=￡,；.△AEF的面積的最大值=

|x三?故答案為：

7.解：解：作0Q回48,連接0P,CD=y/2,0C=0D=1,

???OC2+OD2=CD2,.-.AOCD為等腰直角三角形，由.y=r-2得，點4(-2,0)、B(0--2),

OA=OB-2,.-.A。48為等腰直角三角形，

AB=2VXOQ=V2,

由題得，當P、O、Q共線時，S-BP最大，

???P為中點，.?.OP=y,.-.PQ=OP+OQ=苧，

s4ABp=|AB.PQ=T義2/x誓=3.故選：D.

?I\

8.解：連接CP、CQ,作CD回AB于D,如圖，：等邊三角形ABC的邊長為4,.：.AB=CB4/BCD=1

ZXCB=|x60°=30。,；.BH=^AB=2,CD=yBC=yx4=2低：PQ為。C的切線，；.CQ_LPQ,在RtACP

Q中，PQ=JCP2—CQ2=MP?—3,當CP最小時,PQ有最小值.

:點P是AB邊上一動點，，當點P運動到D點時，CP最小，即CP的最小值為CD=2V3

；.PQ的最小值為V12-3=3,故答案為：3.

9.解：以AF為直徑畫圓O,當圓。與BC相切于點E時，AF的值最小，

：BC是圓的切線，，OE，BC,

...NOEB=NC=90°,；.AC〃OE,.?.△BOEs/\BAC,肝=黑，設OA=OF=OE=R,在RtAACB中，AB=

埼的=10,.-.B=*，解得R=AF的最小值為?故答案為?

o1U4ZZ

10.解：如圖1,以CD為邊作等邊△CDE,連接BE,???^CDE和△ABC是等邊三角形，

ACE=CD,CB=CA,ZECD=ZBCA=60°,

:.ZECB=ZDCA,

在^ECB和^DCA中，易證△ECB^ADCA(SAS),

ABE=AD,VDE=CD=6,BD=8,

/.BD-DE<BE<BD+DE,即8-6<BE<8+6,

.*.2<BE<14,.*.2<AD<14.

則當B、D、E三點共線時，可得BE的最大值（如圖2）是14,與最小值（如圖3）別為2.

???AD的最大值與最小值的差為14-2=12.

故答案為：12.

11.解：解:如圖,連接CP,

ZACB=90°,AC=BC=6,

???AB=y/AC2+BC2=762+62=6vx

VPDXBC,PE±AC,AZPDC=ZPEC=90°,

四邊形CDPE是矩形，；.DE=CP,

由垂線段最短可得，當CPXAB時,CP有最小值，即為線段DE的最小值,

止匕時，AP=BP,：.CP=^AB=3V2,

；.DE的最小值為3夜，故答案為：3V2.

12.解：如圖，將AABQ繞點A逆時針旋轉60。得到△ACP,連接BC,.?.△ABQ絲AACP,

；.AB=AC,BQ=PC,ZPAQ=ZBAC,

???AABC是等邊三角形ZPAQ=ZBAC=60°,

.??△ABC是等邊三角形，：A(1,0),B(3,0),

.*.AB=3-1=2,.*.C(2,V3）,即點C是定點,

；?當PC最小時.BQ最小,

.?.當PC，y軸時，PC最小，最小值是2,

.??線段QB長度的最小值為2.故答案為：2.

13.解：⑴將點A(1,0),點B(0,2),代入y=mx+b,，b=2,m=-2,/.y=-2x+2;

:過點C作CDLx軸,,線段AB繞點A順時針旋轉90。得到線段AC,.,.△ABO絲ZkCAD(AAS),

；.AD=OB=2,CD=OA=1,.\C(3,1),

j3

???上=3o,???y=—

⑵設與AB平行的直線y=-2x+h,聯立一2刀+八=-2x2+?一3=0,當△=F-24=0時，％=2①或-

2傷(舍)，此時點P到直線AB距離最短，

—2x2+2-\/6x—3=(X解得x=~P(當'傷)；

14.解：如圖，作等腰直角N△ACE.AE=五AC=3夜易證△ACD0ZXBCE,AD=BE,當BE最大時，AD有

最大值。

當B、A、E三點共線時BE最大值=BA+AE=442

；.AD的最大值是4V2

15.解：如圖，取點D(-4,0),連接PD,：C是AP的中點，。是AD的中點，.,.OC是△APD的中位線,

OC=\PD,^PD最小值時，OC有最小值.連接BD交。B于Q,DQ即為PD的最小值.

,?,OD=4,OB=3.iSRtAB