2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習《二次函數(shù)中正方形的存在性問題》專項

檢測卷附答案

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.在矩形Q4SC中，以點。為坐標原點，分別以O(shè)C,所在直線為X軸、y軸，建立平

面直角坐標系，點E是射線OC上一動點，連接AE,過點。作于點。，交直線BC

于點F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當矩形Q4BC是正方形時，若點E在線段OC上，線段AE與。尸的數(shù)量關(guān)系是

(填“相等”或“不相等”)；

(2)如圖2,當點E在線段OC上，且OE=2EC,以點尸為直角頂點在矩形Q4BC的外部作

s

直角三角形CEE,且FH=OE,連接EH,交BC于點G,求曲的值;

)四邊形OEG產(chǎn)

(3)如圖3,若點A(O,3),點C(1,O),點E在線段OC的延長線上，點F在線段CB的延長線

上，F(xiàn)H±FC,FB:BC=1:3,連接OH,取OH的中點V,連接,設(shè)=",DM2=m,

求俄關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式.

2.如圖，拋物線＞=V+6尤+C與X軸交于點A和點8(4,0),與y軸交于點C(0,4),點

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

⑵點E在第一象限內(nèi)，過點E作跖〃y軸，交于點尸，作EHX軸，交拋物線于點

點H在點E的左側(cè)，以線段所，硝為鄰邊作矩形現(xiàn)文汨，當矩形EFGH的周長為11時，

求線段E"的長；

⑶點M在直線AC上，點N在平面內(nèi)，當四邊形OENM是正方形時，請直接寫出點N的坐

標.

3.綜合與探究

在正方形ABC。中，AB=4,點E是AB邊上的動點，連接CE.

（2）【類比探究】如圖2,過點B作班'J_CE于點/，連接。尸，當是等腰三角形時,

求此時AE的長度與△CED的面積；

（3）【拓展延伸】如圖3,過點B作3尸，CE于點/，連接DF，將△CKD沿CE翻折得到ACFG,

FG交BC于點H,請直接寫出線段CH的最小值.

4.如圖，E是正方形ABCD邊BC上不與8,C重合的一動點，將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。

得到砂，連接AF交8。于G,交CD于H,連接CP.

圖I品用圖

【知識技能】（1）找出圖中與NEEC相等的角，并證明你的結(jié)論：

【數(shù)學(xué)理解】（2）①若AB=1.求△ECF面積的最大值.

②若BE=1,DH=3,則正方形的邊長為.

【拓展探索】（3）求證：BG=DG+CF.

5.在平面直角坐標系xOv中，對于圖形G,若存在一個正方形/,這個正方形的某條邊與x

軸垂直，且圖形G上的所有的點都在該正方形的內(nèi)部或者邊上，則稱該正方形/為圖形G的

一個正覆蓋.很顯然，如果圖形G存在一個正覆蓋，則它的正覆蓋有無數(shù)個，我們將圖形G

的所有正覆蓋中邊長最小的一個，稱為它的緊覆蓋.如圖1,圖形G為三條線段和一個圓弧

組成的封閉圖形，圖中的三個正方形均為圖形G的正覆蓋，其中正方形A3CD就是圖形G的

緊覆蓋.

(1)對于一個底角在坐標原點(0,0)，斜邊長為2的等腰直角三角形，它的緊覆蓋的邊長為

(2)如圖2,點尸為直線y=3x+3上一動點，若線段O尸的緊覆蓋的邊長為3,求點尸的坐標;

⑶直線y=3x+3與x軸，y軸分別交于A,5.若在拋物線y=ax2+2ax-2{a豐0)上存在點C,

使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,請求出。的取值范圍.

6.如圖，正方形ABCO的邊長為迷，以。為原點建立平面直角坐標系，點A在x軸的負半

軸上，點C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a后得到正方形

AlBlC1O(a<45°),4cl交y軸于點且。為4G的中點，拋物線y=+人尤+￡>過點A、

⑴填空：tana=,；拋物線的函數(shù)表達式是.

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△尸與G為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿

足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由;

(3)若正方形\B{CXO以每秒2垂個單位長度的速度沿射線A0下滑，直至頂點與落在x軸上

時停止.設(shè)正方形落在無軸上方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時間/的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出相應(yīng)自變量f的取值范圍.

7.如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，正方形ABCD的四個頂點都在格點(網(wǎng)格線的

交點)上，對角線AC,50相交于點E,二次函數(shù)丁二^^小三彳^^的圖象經(jīng)過點人。,？).

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并畫出符合題意的函數(shù)圖象；

(2)將正方形ABC。向左平移，當點E落在這個二次函數(shù)的圖象上時，平移的距離為.

8.在平面直角坐標系中，四邊形Q4BC是正方形，點AC在坐標軸上，點8(8,8),p是射

線08上一點，將.AOP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到ABQ.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當。尸=30時，求點。的坐標；

(2)如圖2,設(shè)點P(x,y)(0<x<8),/XAP。的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S取

得最小值時無的值；

(3汝口圖3,若點尸在的延長線上，當8尸+8。=10匹時，求點。的坐標.

9.如圖，點A、B、M、E、尸依次在直線/上，點A、8固定不動，且AB=2,分別以AB、EF

為邊在直線/同側(cè)作正方形ABC。、正方形EFGH,ZPMN=90P,直角邊MP恒過點C,直

角邊"N恒過點H.

(1汝口圖1,若班=10,EF=12,求點M與點2之間的距離；

(2)如圖1,若3E=10,當點M在點8、E之間運動時，求“E的最大值；

(3汝口圖2,若3尸=22,當點￡在點3、尸之間運動時，點M隨之運動，連接C”，點。是C"

的中點，連接"B、MO,則2OM+HB的最小值為.

10.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點43在x軸上，拋物線

>=/+法+。經(jīng)過點3,￡>(T,5)兩點，且與直線。C交于另一點E.

(1)求拋物線的解析式;

(2)f為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q，F(xiàn),E,B為

頂點的四邊形是以BE、B尸或E&EF邊的菱形.若存在，請求出點廠的坐標；若不存在，

請說明理由；

(3)P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為連接ME,BP,探究

EM+MP+P3是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點P的坐標；若不存在，請

說明理由.

11.如圖1,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6cm,3c=8cm,。為48的中點，連接

CD,動點P從點A出發(fā)，以女m/s的速度沿AB向點8運動(點尸與點A、8不重合)，過

點P作尸。工A6,交折線AC-C3于點。，以R2為邊向右作正方形PQWN,設(shè)點尸的運動

時間為《s)

(1)用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長.

⑵求當點〃在邊CD上時t的值.

(3)設(shè)正方形尸QMN與ACD重疊部分面積為S,當重疊部分圖形是四邊形時，求S與/的函

數(shù)關(guān)系式.

(4)如圖2,點P在運動過程中，點C關(guān)于Q"的對稱點為E,點。關(guān)于"N的對稱點為「

連接所，當線段砂與VA5c的某一邊垂直時，直接寫出f的值.

12.如圖，在正方形ABCD中，AB=8cm,點。是對角線AC的中點，動點尸、Q分別從

點A、3同時出發(fā)，點尸以2cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動，點Q以4cm/s的

速度沿折線3C-CD向終點D勻速運動，聯(lián)結(jié)P。并延長交邊CD于點M,聯(lián)結(jié)Q。

并延長交折線以-于點N,聯(lián)結(jié)尸。、QM,MN、NP,得到四邊形PQMN.設(shè)點

尸的運動時間為x(s)(0<x<4),四邊形尸QVW的面積為yen?.

(l)fiP的長為_cm,CM的長為_cm,(用含x的代數(shù)式表示)

(2)求》關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶當四邊形PQMN是軸對稱圖形時，請直接寫出x的值.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=OB=3.經(jīng)

過點。，A的拋物線L>=冰2+"交于點。，點c的橫坐標為1.點尸在線段上,

當點尸與點C不重合時，過點尸作PQ〃y軸，與拋物線交于點。.以P。為邊向右側(cè)作矩形

PQMN,且PN=1.設(shè)點尸的橫坐標為加時，解答下列問題.

(1)求此拋物線L的解析式；

⑵當拋物線的頂點落在邊PN上時，求相的值;

⑶矩形PQMN為正方形時，直接寫出機的值.

14.如圖，直線y=x-4與y軸交于點A,與X軸交于點B,拋物線y=/+bx+c經(jīng)過A,B

兩點，與x軸負半軸交于點C,長度為2夜的線段。尸在直線上滑動，以D尸為對角線

作正方形。EPG.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當正方形DEPG與拋物線有公共點時，求。點橫坐標的取值范圍;

⑶連接CE,OD,直接寫出CE+OD的最小值.

15.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線、=--4尤+°與，軸相交于點4(0,2),點3為,軸

上一點，其縱坐標為〃?(機工2),連接A8,以AB為邊向右作正方形ABCZX

備用圖

⑴求C的值；

(2)設(shè)拋物線的頂點為P,當點尸在2C上時，求機的值；

(3)當點C在拋物線上時，求機的值；

(4)當拋物線與正方形ABCZ)有兩個交點時，直接寫出加的取值范圍.

參考答案

1.⑴相等

小、12749

(3)m=—n-----n-\-----

43468

【分析】(1)根據(jù)得到NAC?+NQ4Z)=NAOr>+N￡C?=90。，從而得到

ZOAD=ZEOD根據(jù)角邊角判定即可得到證明；

(2)先證，CGEs.cFO,再證CGE^,FGH,結(jié)合相似三角形面積比等于相似比直接求

解即可得到答案；

(3)取。/中點N,連接MN,過點。作垂足為T,先證OCF,再

證,"TVsaFcO,利用相似三角形及勾股定理，表示相應(yīng)邊的長度即可得到答案.

【詳解】(1)解：相等，理由如下，

'：OFLAE,

：.ZAOD+ZOAD=ZAOD+ZEOD=90°,

ZOAD=ZEOD,

,矩形Q4BC是正方形，

:.ZAOE=NOCF=90°,AO=OC,

在ZkAOE與中，

ZAOE=ZOCF

<AO=0C

ZOAD=ZEOD

：.AOE^OCF(ASA),

；?AE=OF,

故答案為：相等；

(2)解：CFH是直角三角形

:.ZHFC=ZOCB=90

:.FH//OE

又FH=OE

???四邊形FOEH是平行四邊形

.\EG//OF,

:.ZGEC=ZFOCfZCGE=ZCFO,

/.CGEsCFO,

0E=2EC,

CE1

?.?—-―，

CO3

.S^ECG_j_

°SOCF-9y，

設(shè)SECG=k,貝！JSOCF=9k,

??S四邊形OEGF=8k,

FH//OE,

:,ZCEG=ZFHGfNECG=NHFG,

/.CGEs,FGH,

OE=2EC,FH=OE,

.CE_1

??=一,

FH2

.uqECG_1i

0SHFG—4，

=

..S.HFG4kf

.SHFG_4k_1

S四邊形OEGr8k2

(3)解：OA//FC,

:.ZAOD=ZOFCf

0F1AE,

/.ZADO=ZOCF=90°,

/.ADO^OCF,

AOADOP

一而一女-7E'

FB:BC=l：3fOA=BC=3,

:.BF=1,FC=4,OF=歷，

3ADOP

歷—14

Uyfn

醇.喘17

取。/中點N,連接MN,過點。作OTLMN,垂足為T,

,,FH=n,

2

cn1“12屈Vn7后

..NAzDn=OD——OF=-----------------=--------,

217234

.DT//FC,

:.ZNDT=ZOFCf

又./DTN=/FCO=900,

DTNs；FCO,

DTNDTN

FC-OF-CO

7A/17

DT__TN,

4-V17-1

714n7

:.TN=—,DT=—，TM=MN-TN=--------,

3417234

n714

..m=DM2=TM2+DT2=

2-3417

【點睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形相似的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理,

矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形.

5+7573屈-17、-17-3歷

(3)點N坐標

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)先求得直線的解析式為、=一》+4,設(shè)￡、,-]2+犬+4),則77(x「x+4),利用

對稱性質(zhì)求得8(2-工一(/+了+4),推出G8=EF=f+2x,GF=EH=2x-2,利用

矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；

(3)先求得直線AC的解析式為y=2x+4,分別過點加、E作y軸的垂線，垂足分別為P、Q,

證明△OEP/△MO0,推出PE=。。,尸。=MQ,設(shè)根，一3蘇+m+4),則

由點Af在直線AC上，列式計算，可求得優(yōu)的值，利用平移的性質(zhì)即

可求解.當加沿著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到OE,設(shè)M(a,6),則點E(b,-“)，然后表示出

M.E的坐標，再代入一次函數(shù)即可解答.

【詳解】(1)解：：拋物線y=-；Y+bx+c經(jīng)過點3(4,0)和C(0,4),

19

——x4+4Z?+c=0

：.\2

解得

c=4

，拋物線的解析式為y=尤?+x+4；

（2）解：?.?點3（4,0）和C（0,4）,

設(shè)直線8C的解析式為，=依+4,則0=4左+4,

解得k=-lf

直線BC的解析式為y=-%+4,

設(shè)“S-3②+工+力，且0<x<4,貝ijF（x,—x+4）,

GH=EF=——x2+x+4-（-%+4）=——x2+2%,

Y---------1----二|1

???拋物線的對稱軸為直線2x,1，

H[2—x,——+x+4）,

???GF=EH=x-（2-x）=2x-2f

依題意得21一#+2工+2尸2）=11,

解得x=5>4（舍去）或九=3,

?,.EW=2x—2=2x3—2=4；

（3）解：令y=0,貝|」一；尤2+X+4=O,

解得彳=一2或尤=4,

4（-2,0）,

設(shè)直線AC的解析式為y=/+4（pw0）,將A（-2,0）,C（0,4）代入，-2。+4=0

解得,P=2,

直線AC的解析式為y=2x+4,

:四邊形是正方形，

：.OE=OM,AEOM=90°,分別過點M、E作V軸的垂線，垂足分別為尸、Q,如圖,

.?.40PM=ZEQO=90°,ZOMP=90°-/MOP=ZEOQ

：.OMP^AEOQ(AAS),

??.PM=OQ,PO=EQ

設(shè)+根+4],

當點E在,軸左側(cè)，工軸下方時，

1o

則PO=EQ=-m,PM=OQ=—m2-m-4,

2

A/m2+m+4,,

??,點M在直線AC±,

-m=加之+根+41+4.

解得機=土亙或”=1±2巨（舍去），

22

當砂手時，E[產(chǎn),

點。向左平移”一扃個單位,再向下平移叵9個單位，得到點加，

42

則點E向左平移I1一反個單位,再向下平移巨過個單位，得到點N,

42

當點石在y軸左側(cè)，n軸上方時，如圖，分別過點〃、石作,軸的垂線，垂足分別為P、Q,

貝IPO=EQ=-m,PM=OQ=—m2-m-4,

??,點M在直線AC上，

根=2[g根?一根_41+4,

解得：叫=4（舍去），餌=-1,

同理可得：

當點E在y軸右側(cè)，X軸下方時，作EGLx軸，MHLx軸，如圖:

設(shè)M（加2加+4）,則點E（-2m-4,m）,則點N^-m-4,3m+4）,

12

——（―2m—4y—2m—4+4=m,

解得M=TI士炳,

4

.—ii—Vs7—（仝土、

??n\=-------,m2=-------（告去3

--，…f-17-35/57-5+歷）

點N的坐標為---------,

I44J

當點E在〉軸右側(cè)，x軸上方時，作￡Cx軸，MH_Lx軸，如圖:

-m2+m+4

2

：.M-m2m-4,m

2

:點M在直線AC上，

=21gI??一機—41+4,

解得：叫=4,7%=一1(舍去),

E（4,0）,Af（0,4）,

...點N的坐標為(4,4)；

5+屈3屈-17)/73、J-17-3后

綜上,點N坐標或〔一5句叫—4—

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,

一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形的關(guān)

系，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.

3.⑴見解析

32

(2)當CF=D9時，AE=O,S^CDF=4；當DF=CD時，A￡=2,SACDF=-

(3)y

【分析】(i)利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定即可證明；

(2)由正方形和直角三角形的性質(zhì)得到CD>CF,再根據(jù)△CTO是等腰三角形得出

CF=DF或DF=CD,則分兩種情況進行討論，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形三線合一性質(zhì)以及三角形的面積公式分別求解即可；

(3)連接DG交EC于點K,交于點L由翻折的性質(zhì)得，CD=CG,FD=FG,得出CP

是DG的垂直平分線，同理(2)的方法證出CDKABCF,CDL咨3CE,得到DK=CF,

CK=BF,DL=CE,CL=BE,設(shè)CL=BE=x,利用相似三角形的性質(zhì)表示出的長，

64

進而得出CH=BC-BH=結(jié)合龍的范圍即可求出線段的最小值.

20-（x-2）2CH

【詳解】（1）證明：四邊形A5CD是正方形，

;.ZABC=/DCB=900,

ZDCF-^-ZECB=90°,

DF工CE,

:./DFC=9b0,

/DCF+/CDF=90°,

/.ZDCF+ZCDF=/DCF+ZECB,

ZCDF=ZECBf

又Z￡）FC=ZB=90°,

:.CFDsEBC.

（2）解：四邊形A5CD是正方形，

:.CD=BC=AB=4fZBCD=90°,ZDCA=45°,

BFVCE,

.?.ZBFC=90。,

廠.在RtBCF中,BC>CF,

:.CD>CF,

.△ca為等腰三角形，

:.CF=DF或DF=CD；

①當CF=O尸時，如圖，作出，8于點兒

:.DH=CH=-CD=2,"HC=90。，

2

BF1CE,

ZCFB=90°,

:.ZFCB+ZCBF=90°f

/FCB+/FCH=/BCD=90°,

/.ZFCB+ZFCH=ZFCB-^-ZCBF,即NFCH=NCBF,

又ZFHC=ZCFB=90°9

CFHsBCF,

.HF_CF

,#一法’

,\CF2=BCHF=4HF,

設(shè)HF=a,貝!JCF2=4a,

在RtZXCF”中，HF2+CH2=CF2,

.Q2+22=4〃，

解得：a=2,即HF=2,

/.HF=CH=2,SCFD=；C。=；x4x2=4,

/.CFH是等腰直角三角形，

AZHCF=45°,

/.ZHCF=ZDCA=45°,

二?AEC三點共線，

???點A和點E重合，

AE=0；

②當。尸=CD時，如圖，作DHLCE于點凡

DF=DC,DHLCE,

:.FH=CH,NDHC=90。,

ZDHC=ZCFB=90°,

由①中的結(jié)論得，NDCF=NCBF,

又?CD=BC,

CDHm-BCF,

:.CH=BF,DH=CF,

設(shè)CH—BF—a,貝IFH=a,

:.CF=CH+FH=2a,

在Rt^CFB中，CF2+BF2=BC2,

:.（2a）2+a2=42,

4A/5

解得:d---

5

"2=竽

18小85/532

?q=-CFDH—X---------X----------=——

?,2.CDF22555

ZCFB=ZCBE=90°,/BCF=/ECB,

...CFBs,CBE,

4758>/5

BFCF

?即MM，

BEBC

BE4

解得：BE=2,

.\AE=AB-BE=2;

32

，綜上所述，當CF=O/時，AE=O,SACDF=4；當上=CD時，AE=2,SACDF=y.

（3）解：如圖，連接DG交EC于點K,交3C于點L

由翻折的性質(zhì)得，CD=CG,FD=FG,

.?.CF是DG的垂直平分線，

:.DK=KG,CFIDG,

:./DKC=90°,

同理（2）的方法可得，CDK&BCF,CDLWBCE,

:.DK=CF,CK=BF,DL=CE,CL=BE,

設(shè)CL=BE=x,則=CE=JBE?+BC，=&+16，BL=4-x,

由（2）得，CFBs,CBE,

CF_BF_BC_4

FF，一6+16，

164x

:.CF=BF=

+16，

32

DG=2DK=2CF=

+16'

16-x2

...LG=DG—DL

Vx2+16，

CF1BF,CFIDG,

BF//DG,

BFHs.LGH,

BH_BF_4x

"LH~LG~16-x2，

BH_BH__4x

"BL~BH+LH-4x+l6-x2

又［BL=4-x,

.加工64

4x+16-x20-(x-2)2，

CH=BC-BH=---------------7

20-（尤-2），

又Q0W4,

.?.當x=2時，20-（x-2）2有最大值20,此時CH有最小值=],

.??線段CH的最小值為

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾

股定理與翻折問題、全等三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，學(xué)

會結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵.本題屬于幾何綜

合題，需要較強的幾何知識儲備和輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生.

4.（1）NEAB=NFEC,NFEH=NFEC,證明見詳解；（2）①面積的最大值是。；

8

②正方形ABC￡）的邊長為2+V7；（3）見詳解

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AD=AB，ZABC=ZADC=ZBAD=90°,由旋轉(zhuǎn)得

ZAEF=90°,則N￡AH=/EE4=45°,ZEAB+ZAEB^90°,NFEC+ZAEB=90。,所以

ZEAB=ZFEC；W皿/繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABL,可證明，皿也得

ZAEB=ZAEH,則/FEC+ZA￡B=90。，NFEH+ZAEH=90°,所以/FEH=NFEC；

（2）①作FK_L3C交BC的延長線于點K,可證明FEK^EAB,得KF=BE,則

SECF=gcE.KF=gcE.BE,設(shè)CE=x,則郎=1一%,所以

S.EB='x（l一x）=_：（x_g）2+：,當尤=!時，SEB最大=所以△EC尸面積的最大值是

222X2o

]_

8；

②設(shè)正方形ABCD的邊長為機，則2C=OC=m，而6E=1,SL==3,所以CE=〃7-1,

CH=m-3,EL=EH=4,由勾股定理得（m-lf+（m-3子=42,求得符合題意的加值為

2+用,于是得到問題的答案；

（3）作FP〃BC交BD于點P,作正KL3C交8C的延長線于點K,則KF=3E,

EK=AB=BC,推導(dǎo)出KC=3E,所以KF=KC,則NKCF=NKFC=45。，所以

NKCF=/CBP,則CF〃族，所以四邊形PBCr是平行四邊形，則3P=B,再證明

GFP^GAD,得PG=DG,所以BG=PG+BP=DG+CF.

【詳解】（1）解：ZEAB=ZFEC,NFEH=NFEC,

證明：四邊形ABC。是正方形，

:.AD=AB,ZABCZADCZBAD9Q0,

,將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,

:.FE=AE,ZAEF=90°,

：.ZEAH=ZEFA=45°,ZEAB+ZAEB=90°,ZFEC+ZAEB=90°,

:.NEAB=NFEC；

如圖1,將ADH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到八ABL,則AL=AH,NBAL=ADAH,

:.ZEAL=ZBAE+ZBAL=ZBAE+ZDAH=45°,

:.ZEAL=ZEAH,

ZABL^ZADH=90°,ZABE=90°,

:.ZABL+ZABE=18Q°,

:.L、B、E三點在同一條直線上，

在/E4L和，胡”中，

AL=AH

-ZEAL=NEAH,

AE=AE

EAL^EAH（SAS）,

:.ZAEB=ZAEH,

NFEC+ZAEB=90。,ZFEH+ZAEH=90°,

NFEH=ZFEC.

（2）解：①如圖1,作產(chǎn)KLBC交BC的延長線于點K,則/K=9（r=/ABE,

圖1

在4莊長和一中,

NK=NABE

<ZFEK=ZEAB,

EF=AE

/.一FEK=EAB（AAS）,

:.KF=BE,

S=-CEKF=-CEBE,

EFCF22

設(shè)CE=x,

BC=AB=1,

BE=l—x,

-SECF=；%（1一%）二一；（%—；）2+：，

,--<0,

2

11

.?.當x=3時，sm最大=d，

Zo

△ECF面積的最大值是。.

o

②如圖1,設(shè)正方形ABCD的邊長為根，則3C=OC=

BE=1,BL=DH=3,

:.CE=m-l,CH=m—3,EL=EH=BE+BL=l+3=4,

ZECH=90。,

:.CE2+CH2=EH2,

(m-l)2+(m-3)2=42,

解得仍=2+J7,=2—5/7(不符合題意，舍去)，

「?正方形ABCD的邊長為2+幣,

故答案為：2+77.

(3)證明：如圖2,作EP〃3。交于點P，作尸KL3C交的延長線于點K,則NK=90。,

由(2)得”EK空EAB,

:.KF=BE,EK=AB,

BC=AB,

:.EK=BC,

:.EK-CE=BC-CEf

;.KC=BE,

/.KF=KC,

,\ZKCF=ZKFC=45°,

./CBP=NCDB=45。,

.\ZKCF=ZCBP,

CF//BP,

???四邊形MCE是平行四邊形，

:.BP=CF,FP=BC,

AD\BC,AD=BC,

:.FP//AD.FP=AD,

,\ZGFP=ZGAD,

在方P和.G4D中，

ZGFP=ZGAD

</FGP=/AGD,

FP=AD

：.GFP^GAD(AAS),

:.PG=DG,

BG=PG+BP,S.PG+BP=DG+CF,

:.BG=DG+CF.

圖2

【點睛】此題重點考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，正確

地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.⑴立

（2）（-2,-3）或（0,3）

（3）a2：或aV-2

【分析】（1）由題意得，斜邊長為2的等腰直角三角形，它的緊覆蓋正方形鄰邊恰好與等腰

直角三角形的兩腰重合，一條對角線為等腰直角三角形的斜邊，由勾股定理求解即可；

（2）由題意當點尸到坐標軸的距離等于3時，線段。尸的緊覆蓋的正方形的邊長為3.分三

種情形分別求解即可；

（3）如圖2中，由題意當拋物線與圖中矩形EFG〃區(qū)域有交點時，在拋物線

、="2+26-2（。*0）上存在點C,使得VABC的緊覆蓋的邊長為3.

【詳解】（1）解：由題意得，斜邊長為2的等腰直角三角形，它的緊覆蓋正方形鄰邊恰好與

等腰直角三角形的兩腰重合，一條對角線為等腰直角三角形的斜邊，

...設(shè)邊長為x,

由勾股定理得，尤2+爐=22,

解得：x=?（舍負），

故答案為：72;

（2）解：當點尸在第一象限時，OP>3,故不符合題意；

當點尸在第二象限包括坐標軸時，過點尸作PZ）_Lx軸于點D,

，當y=3時，3x+3=3

解得：x=0,

???尸（0,3）；

當點尸在第三象限時，尸時,

y=-9+3=-6,不符合題意;

當。P>DO時，把y=-3%=—3代入y=3x+3得，3x+3=-3,

解得：x=-2,

???尸(-2,-3),

綜上所述：若線段OP的緊覆蓋的邊長為3,求點尸的坐標為（-2,-3）或（0,3）；

（3）解：如圖2中，如圖由題意當拋物線與圖中矩形EFG〃區(qū)域有交點時，在拋物線

）=g2+2依—2（。工0）上存在點C,使得VABC的緊覆蓋的邊長為3.

由題意E（—3,3）/（—3,0）,G（2,0）,H（2,3）.

當拋物線經(jīng)過點G時，4〃+4〃一2=0,

1

Q=—,

4

:拋物線的對稱軸x=-l,經(jīng)過（0,-2）,

觀察圖象可知，當時，在拋物線＞=1+2依-2（aw0）上存在點C,使得VABC的緊

覆蓋的邊長為3.

當。＜0時，拋物線經(jīng)過點A時，解析式為y=-2（x+l『，

觀察圖象可知，當時，在拋物線丁=加+26-2（"0）上存在點C,使得VA2C的緊

覆蓋的邊長為3.

綜上所述，滿足條件的。的值為a2：或。＜-2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，圖形G的緊

覆蓋的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題.

6.（1）@|;②,=-|工2-9+：

/623

⑵存在點尸，使△股G為直角三角形.滿足條件的點尸共有4個：4Hml，心D

（325+2回）（325-25'

寫「仿，1。J'勺一歷，io:

3+”1

⑶s='—<t<1

42

5/一15.+?[1</<3

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出0G=4G，NOC4=90。.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

ZCiOD=ZAOAl=a,再根據(jù)正切的定義求解即可.過點A作人石上彳軸，垂足為點已過

點耳作與尸軸，垂足為點凡設(shè)4石=左，則0E=23在RtAE。中，利用勾股定理

求得A￡和OE,即可求得點4的坐標,進一步證明“AEO烏BFA，有AE=B,F,EO=FAl,

即可求得點4和點G的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的函數(shù)表達式；

3

（2）將（1）的拋物線解析式配方得對稱軸％=-而.根據(jù)題意分三種情況：①以點司為直

角頂點，利用待定系數(shù)法求得直線4月的解析式，即可求得點A；②以點C1為直角頂點，

同理求得點八；③以點P為直角頂點，分別過點耳、G作拋物線對稱軸的垂線，垂足為G、

H,設(shè)點+1yj,進一步分點P在直線8G上方和點尸在直線下方，利用相似三角

形求解即可；

（3）分三種情況：①當點A，運動到x軸上時，求得。0，=2后，0E'=g00'=族，利用

三角形的面積即可；②當點C'運動到無軸上時，則OO',OA,A'F=-OA',O'E^-OO',

22

B'F=AB'-AF,C'E=OIC-OE,利用三角形的面積即可；③當點笈運動到x軸上時，

同②可得：B'F^AB'-AF,BrE=2B'F,利用三角形的面積即可.

【詳解】（1）解：①：四邊形4BC0為正方形，

OCX=4G,NOC[B尸90°.

又?.?。是BG的中點，

：.CiD=^BlCl=^OCl

:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，/CQD=ZAOA=a,

C1

.,.在RtCQD中,GD2°

tana=——=------

2

OGocx

tanor的值是g.

過點A作軸，垂足為點及過點用作AE，3/軸，垂足為點凡如圖,

設(shè)AE=左，則0E=2左，在Rt4E。中，4。=逐

222

根據(jù)勾股定理，n\E+OE=AxO.

即r+（2笈y=（占『

解得勺=T（舍），左2=1.

/.A￡=1，OE=2.

又..?點A在第二象限,

...點4的坐標為

o

ZOAiE+ZAiOE=ZOAlE+ZB1AlF=90,

：.NAQE=NB&F,

：/4￡0=/瓦%=90。，A,O=A,B,

：.\EO^t^^(AAS),

A￡=B[F,EO=FA^,

則點區(qū)的坐標為(-1,3),同理點G的坐標為(1,2).

；p=以2+灰+。過點A、耳、Cx.

l=4a-2b+c

v3=a—Z?+c

2=a+b+c

5

a=——

6

解得＜b=一;

10

T

???拋物線的函數(shù)表達式為y=.

623

(2)解：將(1)的拋物線解析式配方，得丁=_91%+上］+—.

6110J120

3

拋物線的對稱軸是直線％

假設(shè)存在符合條;件的點P，分三種情況：

8J

①以點修為直角頂點;

由(1)知點點A的坐標為(-2,1),點耳的坐標為(-1,3),

設(shè)直線A耳的解析式：，=履+可上力0),則

l=-2k+bk=2

3i+b，解得

b=5

則直線A片的解析式：y=2x+5,

3+5=2

當％=——時，y=2x

105

則點

②以點G為直角頂點;

同理可得直線0C1的解析式：y=2x,

③以點尸為直角頂點;

分別過點與、G作拋物線對稱軸的垂線，垂足為G、H；

設(shè)點d，4

當點尸在直線gG上方時,

37313

B.G=l--=—.PG=y-3C,H=l+—=—PH=y-2

11010>11010

?.,/B、PG=90°-ZC.PH=NPC[H,ABfiP=ZPHQ=90°,

.??B[GPsPHC],

.BfiGP

**PH-HQJ

7

則圣=導(dǎo)，解得：產(chǎn)”+2月,25-2729(舍).

y-2131010

10

當點尸在直線4G下方時，同上，可求得y=竺看叵；

綜上，存在點尸，使△P&G為直角三角形.滿足條件的點尸共有4個：Px

f_3_(_3_25+2屈］(_3_25-25、

2，，-,

Cio-5j\10~10y4［一元，"10J

(3)解：設(shè)運動后的正方形為O'AEC,分三種情況:

①當點A運動到x軸上時，

???正方形A［B{C{0以每秒2非個單位長度的速度沿射線4。下滑,

._行_1

一塞-法一于

當時，如圖①,

2

OO'=2s[5t,OE=；O(y=底,

**?S-S正方形_Soo,E=5—~x2^/5^xy/5t——5產(chǎn)+5?

②當點C'運動到無軸上時，"岑=羋=1；

2V52V5

貝U00'=2后，OA'=2y/5t-y[5,NF=goAJ#；下,O'E=^OO'=45t,

B'F=A'B'-A'F=3癢2后,c，￡=o，c'-O'E=占一百，

2

1/,,\,,1(3\/5—2^/5zqrz/r25-20z

S=—(BF+CE)xBC=-x---------------卜N5-Y5tx>/5=-----------；

2Ag+A0，3

③當點?運動到x軸上時，t=---韭---=-;

3

當IV"；；■時，如圖③，

2

:.S=gB'FxB'E=g義3君;2后卜卜七_2.)=5產(chǎn)-151+?

綜上,

5r2-15f+y^l<z<|^|

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，以及熟練應(yīng)用分類討論思想.

7.(1)二次函數(shù)的解析式為y函數(shù)圖象如圖所示

(2)4-271

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)將A點坐標代入即可求解；

(2)根據(jù)(1)中解析式，令丁=4,解方程求出x的值，即可求平移距離.

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)丁="2的圖象經(jīng)過點4(2,2),

/.4。=2,

解得：a=g，

???二次函數(shù)的解析式為y=g/；

畫出二次函數(shù)的圖象如圖所示:

解得：x=2&或x=-2&（舍去），

，當點E落在這個二次函數(shù)的圖象上時，正方形ABCD向左平移了4-2應(yīng)個單位,

故答案為：4-272.

8.⑴點。的坐標為。1,5）；

（2）S與尤的函數(shù)關(guān)系式為S=f-8x