第十章計數原理與概率、隨機變量及其分布第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理[最新考綱展示]1．理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理．2.會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題考點一分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．考點二分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．分類加法計數原理與分步乘法計數原理有什么區別？分類加法計數原理針對的是“完成事件的方法種類不同”問題，其各種方法是相互獨立的，用其中任何一種方法都能完成這件事情；分步乘法計數原理針對的是“完成事件需分幾個步驟”問題，其各個步驟中的方法是相互聯系的，只有各個步驟都完成才能完成這件事情1．從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不同的選法種數為()A．6B．5C．3 D．22．(2014年濟南調研)已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為()A．40 B．16C．13 D．103.(2014年臨沂模擬)如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為L型(每次旋轉90°仍為L型圖案)，那么在由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L型圖案的個數是()A．16 B．32C．48 D．644．有不同顏色的四件襯衣與不同顏色的三條領帶，如果一條領帶與一件襯衣配成一套．則不同的配法種數是________．5．(2013年高考山東卷改編)用0,1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為________．(用數字作答)．類型一分類加法計數原理【例1】有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位教師不能在本班監考，則監考的方法有()A．8種 B．9種C．10種 D．11種變式訓練：1．(2014年濟南模擬)橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數為________．類型二分步乘法計數原理【例2】由數字1,2,3,4，(1)可組成多少個3位數；(2)可組成多少個沒有重復數字的3位數．類型三兩個原理的綜合應用【例3】(1)(2014年濰坊模擬)如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1<a2>a3，則稱這樣的三位數為凸數(如120,343,275等)，那么所有凸數的個數為()A．240 B．204C．729 D．920(2)(2014年沈陽模擬)一生產過程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，現從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有________種．變式訓練2．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內不同的點的個數是()A．18 B．10C．16 D．14數學思想方法----分類討論的思想在計數原理中的應用縱觀歷年高考對兩個計數原理應用的考查，多以選擇題與填空題的形式出現，考查蘊含在實際問題的解決中，多是兩原理結合在一起應用，做好問題轉化，分好類與步是關鍵，今年高考仍會堅持此規律，不會有大的變化．1．(2013年高考福建卷)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為()A．14 B．13C．12 D．102.如圖所示，在A，B間有四個焊接點1,2,3,4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通．今發現A，B之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有()A．9種 B．11種C．13種 D．15種作業及練習[A組]一、選擇題1．高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會實踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數是()A．9B．143．(2014年濰坊模擬)從1到10的正整數中，任意抽取兩個數相加，所得和為奇數的不同情形的種數是()A．10B．154．從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()A．24B．185．用0,1,2,3,4,5六個數字組成無重復數字的四位數，若把每位數字比其左鄰的數字小的數叫做“漸降數”，則上述四位數中“漸降數”的個數為()A．14B．156．(2014年海淀模擬)書架上原來并排著5本不同的書，現要再插入3本不同的書，那么不同的插法共有()A．336種B．120種C．24種 D．18種二、填空題7．從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市至少有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6個人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有________種．8.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個．9.將1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有________種．123312231三、解答題10．標號為A、B、C的三個口袋，A袋中有1個紅色小球，B袋中有2個不同的白色小球，C袋中有3個不同的黃色小球，現從中取出2個小球．(1)若取出的兩個球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個球顏色相同，有多少種取法？11.編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1,2號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？[B組]1．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是()A．60B．48C．362．(2014年濰坊期中)如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫做“好數”，那么在由1,2,3,4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有________個．3.用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“1、5、9”123456789第二節排列與組合[最新考綱展示]1．理解排列、組合的概念．2.能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式．3.能利用排列與組合解決簡單的實際問題．考點一排列與排列數1．排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素， ，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．2．排列數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 ，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作.注意：排列與排列數是不同概念，易混淆，排列數是問題中所有不同排列的個數．考點二組合與組合數1．組合從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 ，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 ，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作 .排列與組合有何異同點？排列與組合問題的共同點：都是“從n個不同元素中取出m個元素”；不同點：前者與元素的順序有關，為“將取出的元素按照一定順序排成一列”，后者與元素的順序無關，為“將取出的元素合成一組”．因此我們可以得到：區分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看選出的元素是否與順序有關．考點三排列數、組合數的公式及性質1．對于排列數公式的連乘形式和階乘形式，運用時注意把握以下幾點(1)排列數公式的連乘形式常用于計算具體的排列數．(2)排列數公式的階乘形式主要有兩個作用：一是當m，n較大時，使用計算器快捷地算出結果；二是對含有字母的排列數的式子進行變形．2．組合數的性質的應用：性質①主要有兩個方面的應用，一是簡化運算，當m>eq\f(n,2)時，通常將計算Ceq\o\al(m,n)轉化為計算Ceq\o\al(n－m,n)；二是列等式，由Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(y,n)可得x＝y或x＋y＝n.性質②主要應用于恒等變形，簡化運算．1．一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為()A．3×3！ B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!2．電視臺在直播2013年世錦賽廣州地區羽毛球比賽時要連續插播5個廣告，其中3個不同的商業廣告和2個不同的世錦賽宣傳廣告，要求最后播放的是世錦賽宣傳廣告，且2個世錦賽宣傳廣告不能連播．則不同的播放方式有()A．120 B．48C．36 D．183．(2014年開封一模)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種4．有3張都標著字母A,6張分別標著數字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5張卡片組成牌號，則可以組成的不同牌號的總數等于________．(用數字作答)類型一排列問題【例1】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數：(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，男生不能排在一起；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．類型二組合問題【例2】某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長．現從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選；(5)既要有隊長，又要有女生當選．式訓練1．從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有()A．36種 B．30種C．42種 D．60種類型三排列與組合的綜合應用【例3】(1)某地奧運會火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方法共有________種(用數字作答)．(2)有4張分別標有數字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標的數字之和等于10，則不同的排法共有________種(用數字作答)．變式訓練2.從5種不同的水果和4種不同的糖果中各選出3種，放入如圖所示的6個不同的區域(用數字表示)中拼盤，每個區域只放一種，且水果不能放在有公共邊的相鄰區域內，則不同的放法共有()A．2880種 B．2160種C．1440種 D．720種高考熱點——有限制條件的排列組合問題有限制條件的排列組合問題，高考每年必考，解決此類問題時，一是要明確問題中是排列還是組合或排列組合混合問題；二是要講究一些基本策略和方法技巧．常用的有：元素位置分析法、捆綁法或插空法、先整體后局部法、定序問題相除法、正難則反排除法、分組分配法等．【典例1】1名老師和5位同學站成一排照相，老師不站在兩端的排法共有()A．450種B．460種C．480種D．500種【典例2】(2014年張家界模擬)在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有()A．34種 B．48種C．96種 D．144種練習：有5盆各不相同的菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花的不同擺放種數是()A．12 B．24C．36 D．48[A組]1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有()A．24種B．60種C．90種 D．120種2．若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A．60種B．63種C．65種 D．66種3．(2014年武昌調研)將4名教師分配到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分配方案共有()A．12種B．24種C．36種 D．48種4．兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種B．15種C．20種 D．30種5．有6個座位連成一排，現有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐標有()A．36種B．48種C．72種 D．96種6．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是()A．258B．306C．336 D．2967．(2014年長春模擬)用1,2,3,4這四個數字組成無重復數字的四位數，其中恰有一個偶數字夾在兩個奇數字之間的四位數的個數為________．8．將A，B，C，D，E，F六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有________種(用數字作答)9．從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是________(用數字作答)10．某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，求該外商不同的投資方案有多少種？11．7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數有多少種．(1)A，B必須當選；(2)A，B必不當選；(3)A，B不全當選；(4)至少有2名女生當選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任．12．(能力提升)已知10件不同產品中共有4件次品，現對它們進行一一測試，直至找到所有次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同測試方法數有多少種？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有次品，則這樣的不同測試方法數有多少種？[B組]1．某教師一天上3個班級的課，每班一節，如果一天共9節課，上午5節、下午4節，并且教師不能連上3節課(第5和第6節不算連上)，那么這位教師一天的課的所有排法有()A．474種B．77種C．462種 D．79種2．若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”，現從1,2,3,4,5,6這六個數字中任取3個數字，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有()A．120個B．80個C．40個 D．20個3．(2014年呼和浩特模擬)奧運選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1、2、3、4、5、6、7、8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．第三節二項式定理[最新考綱展示]1．能用計數原理證明二項式定理．2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．考點一二項式定理1．二項式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項式定理．2．二項展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr為展開式的第 項．考點二二項式系數與項的系數1．二項式系數二項展開式中各項的系數C(r∈{0,1，…，n})叫做二項式系數．2．項的系數項的系數是該項中非字母因數部分，包括符號等．與二項式系數是兩個不同的概念．3．二項式系數的性質

4.各二項式系數的和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即_______________________________＝2n.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和 奇數項的二項式系數的和，即 ＝ ＝ .注意：二項式系數與項的系數是完全不同的兩個概念．二項式系數是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，而且也與a，b的值有關．如(a＋bx)n的展開式中，第k＋1項的二項式系數是Ceq\o\al(k,n)，而該項的系數是Ceq\o\al(k,n)an－kbk.當然，在某些二項展開式中，各項的系數與二項式系數是相等的．基礎自測：1．(1＋x)7的展開式中x2的系數是()A．42B．35C．28D．212．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x2)))5的展開式中的常數項為________．3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為()A．9 B．8C．7 D．64.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))4展開式中常數項為________5．在(1－x)5＋(1－x)6的展開式中，含x3的項的系數是________．類型一二項展開式中的特定項或特定項的系數【例1】(1)(2014年濰坊模擬)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展開式中第5項是常數項，則自然數n的值可能為()A．6B．10C．12D．15(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數為5，則a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1變式訓練1．(2014年密云調研)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))n的展開式中各項系數的和是512，則展開式中的常數項為()A．－27Ceq\o\al(3,9) B．27Ceq\o\al(3,9)C．－9Ceq\o\al(4,9) D．9Ceq\o\al(4,9)類型二二項式系數的和或各項的系數和【例2】二項式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數之和；(2)各項系數之和；(3)所有奇數項系數之和．類型三二項式定理的應用與函數最值問題【例3】(1)設a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a＝()A．0 B．1C．11 D．12(2)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中常數項是()A．180B．90C．45 D．360變式訓練2．(2013年高考全國新課標卷Ⅰ)設m為正整數，(x＋y)2m展開式的二項式系數的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數的最大值為b，若13a＝7b，則m＝()A．5 B．6C．7 D．8高考熱點——二項式定理題型透析通過對近三年高考試題的研究可以看出，二項式定理的應用及二項式系數的性質是高考的必考內容之一，二項式定理揭示了二項式的冪展開式在項數、系數以及各項中的指數等方面的聯系，試題相對獨立，是高考中多年來最缺少變化的題型之一．【典例1】(2013年高考天津卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))6的二項展開式中的常數項為________．【典例2】(2013年高考四川卷)二項式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項的系數是________．(用數字作答)練習：1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\r(x)))9(a為實數)的展開式中x3的系數為18，則展開式中的常數項為()A．42B．672C.eq\f(21,2)D．3662．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))5的二項展開式中，x的系數為()A．10B．－10C．40 D．－40[A組基礎演練·能力提升]1．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n的展開式中各項系數的和為()A．32B．－32C．0 D．12．(2013年高考江西卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))5展開式中的常數項為()A．80B．－80C．40 D．－403．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開式中，x的冪指數是整數的項共有()A．3項B．4項C．5項 D．6項4．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是()A．28 B．38C．1或38 D．1或285．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝()A．180B．90C．－5 D．56．(2013年高考遼寧卷)使得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N＋)的展開式中含有常數項的最小的n為()A．4B．5C．6 D．77．(2013年高考浙江卷)設二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,\r(3,x))))5的展開式中常數項為A，則A＝________.8．設(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.9．若n是正整數，則7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余數是________．10．已知二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的展開式中各項的系數和為256.(1)求n；(2)求展開式中的常數項．11．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開式中，前三項系數成等差數列．(1)求n；(2)求第三項的二項式系數及項的系數；(3)求含x項的系數．12．(能力提升)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))n，(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數；(2)若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項．[B組因材施教·備選練習]1．(2014年聊城一模)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,\r(x))))n的展開式中第三項與第五項的系數之比為eq\f(3,14)，則展開式中常數項是()A．－10 B．10C．－45 D．452．Ceq\o\al(2,2n)＋Ceq\o\al(4,2n)＋…＋Ceq\o\al(2k,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n)的值為()A．2n B．22n－1C．2n－1 D．22n－1－13．(2014年銀川模擬)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋第四節隨機事件的概率[最新考綱展示]1．了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別．2.了解兩個互斥事件的概率加法公式．考點一隨機事件及其概率和頻率1．事件(1)在條件S下， 的事件，叫做相對于條件S的必然事件．(2)在條件S下， 的事件，叫做相對于條件S的不可能事件．(3)在條件S下， 的事件，叫做相對于條件S的隨機事件．2．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩定于概率P(A)，因此可以用 來估計概率P(A)．思考：頻率與概率有什么區別與聯系？頻率在一定程度上可以反映事件發生的可能性的大小．因為頻率不是一個完全確定的數，隨著試驗次數的不同產生的頻率也可能不同，所以頻率無法從根本上來刻畫事件發生的可能性的大小．但從大量的重復試驗中發現，隨著試驗次數的增加，頻率就穩定在某一固定的值上，頻率具有某種穩定性．概率是一個常數，它是頻率的科學抽象，當試驗次數增加時，所得的頻率可近似地當作事件的概率．考點二事件的關系與運算怎樣區分互斥事件與對立事件？互斥事件與對立事件都是指兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求必須有一個發生．因此，對立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是對立事件．例如：擲一枚骰子“出現的點數是1”與“出現的點數是偶數”是互斥事件，但不是對立事件；而“出現的點數是奇數”與“出現的點數是偶數”是互斥事件，也是對立事件．考點三概率的基本性質1．概率的取值范圍： .2．必然事件的概率：P(E)＝ .3．不可能事件的概率：P(F)＝.4．概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝ ．5．對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝ ．1．當一個事件包含多個結果時要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，注意涉及的各事件要彼此互斥．2．P(eq\x\to(A1∪A2∪…∪An))＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)．基礎自測1．擲一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．則下列結果正確的是()A．P(M)＝eq\f(1,3)P(N)＝eq\f(1,2)B．P(M)＝eq\f(1,2)P(N)＝eq\f(1,2)C．P(M)＝eq\f(1,3)P(N)＝eq\f(3,4)D．P(M)＝eq\f(1,2)P(N)＝eq\f(3,4)2．在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為eq\f(m,n)，當n很大時，P(A)與eq\f(m,n)的關系是()A．P(A)≈eq\f(m,n)B．P(A)<eq\f(m,n)C．P(A)>eq\f(m,n) D．P(A)＝eq\f(m,n)3．(2014年長沙調研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么()A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件4．2013年亞冠決賽由中國廣州恒大與韓國首爾FC強強較量．中國選手獲勝的概率為0.41.戰平的概率為0.27，那么中國選手不輸的概率為________．5．從分別寫有0,1,2,3,4的五張卡片中取出一張卡片，記下數字后放回，再從中取出一張卡片．則兩次取出的卡片上的數字之和恰好等于4的概率是________．類型一隨機事件的頻率與概率【例1】(2013年高考湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收貨量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量：(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．變式訓練1．假設甲乙兩種品牌的同類產品在某地區市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現從這兩種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，結果統計如圖所示：(1)估計甲品牌產品壽命小于200小時的概率；(2)這兩種品牌產品中，某個產品已使用了200小時，試估計該產品是甲品牌的概率．類型二事件關系的判斷【例2】從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”．變式訓練2．一個均勻的正方體的玩具的各個面上分別標以數字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件A表示向上的一面出現奇數點，事件B表示向上的一面出現的點數不超過3，事件C表示向上的一面出現的點數不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件類型三互斥事件、對立事件的概率【例3】某公務員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火車或乘飛機去開會的概率；(2)求他不乘輪船去開會的概率．高考熱點——互斥事件與對立事件的概率從近兩年高考命題看，隨機事件及其概率基本上不單獨考查，但概率與統計交匯、互斥事件、對立事件與古典概型、幾何概型滲透是命題的熱點，題目不超過中等難度，重點考查學生分析問題與數學計算能力，解題的關鍵是準確理解事件間關系及其概率．【典例】(2014年洛陽模擬)(本題滿分12分)經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下：求(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？[A組]1．一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶2．(2014年紹興一模)從1,2，…，9中任取兩數，其中：①恰有一個偶數和恰有一個奇數；②至少有一個奇數和兩個數都是奇數；③至少有一個奇數和兩個數都是偶數；④至少有一個奇數和至少有一個偶數．在上述事件中，是對立事件的是()A.①B．②④C．③ D．①③3．(2014年日照模擬)從一箱產品中隨機抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7