2025年廣西柳州市高考數學二模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設全集U={1,3,6,8,9},A={1,6},B={3,6,8},MO(CyA)AB=()

A.{6}B.{3,8}C.{8,9}D.{3,6,8}

2.命題“Vz>0,/_3x+2〉o”的否定是()

A.V/〉0,優2一+2W0B.V/<0,?一3力+2w0

C.班〉0,/一37+2(0D.⑦W0,/一3化+2W0

3.若點A(2,l)在拋物線/=2py(p>0)上，/為拋物線的焦點，則|AF|=()

A.1B.2C.3D.4

4.已知cos(a—[)=；，則sin2a的值為(

)

77c33

A.-B.--C.-D.--

8844

5.180的不同正因數的個數為()

A.8B.10C.12D.18

6.若(1—a；)'=劭+電2+敢/+…+&5/5,則。2+&4=()

A.-16B.10C.15D.16

7.在平面直角坐標系xQy中，點尸在直線22+3g+l=0上，若向量牙=(2,3),則加在區上的投影向

量為()

AY，書B，H)

C2履3713n(2^/133皿

,(一_甲，13)

8.已知/(二)是定義在R上的偶函數，且/(2)+2"也是偶函數，且/(a)</(2a-l),則實數0的范圍是()

/1、

A.(l,+oo)B.(一8W)

O

c.(卜)D-(-℃4)U(l,+oo)

o

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知x,y&R,152=3，15"=5，則()

A.y>xB.x+y>1C.xyD.y/x+y/y<V2

第1頁，共16頁

10.如圖，直四棱柱—的底面是梯形，AB//CD,

AD1DC，BC=CD=2,DD1^AB=1,P是棱CQ的中點，。是

棱G01上一動點(不包含端點)，貝!1()

A.AC與平面BPQ有可能平行

B.氏。1與平面AP。有可能平行

C.三角形BPQ周長的最小值為/行+，藥

2

D.三棱錐A-BPQ的體積為定值

11.已知函數/(6)=cos2/+|sin劍，則()

7F

A./(2)在(0,R上單調遞增

7T

B.13)關于直線對稱

Q

C./⑶的值域為

O

7T

D.關于x的方程/(乃=a在區間［0,用上有實根，則所有根之和組成的集合為｛主開為開｝

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

Q1

12.設/,3是一個隨機試驗中的兩個事件，若P(B)=屐P^A\B)=-,則P(AR)=.

7T

13.記△ABC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,若口=司，b=2，a2+c2=3ac，則△ABC的面

o

積為.

14.已知函數/(c)=(x-1)(2+3)(x2+ax+b)(a,be_R)關于直線x=—2對稱,則函數/(2)的所有零點之

和為,/(①)的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某公司推出一種新產品，為了解某地區消費者對新產品的滿意度，從中隨機調查了500名消費者，得到如

表:

滿意度

性別合計

滿意不滿意

男22030250

女23020250

合計45050500

第2頁，共16頁

(1)依據小概率值a=0.1的獨立性檢驗，能否認為消費者對新產品的滿意度與性別有關;

(2)若用頻率估計概率，從該地區消費者中隨機選取3人，用X表示不滿意的人數，求X的分布列與數學期

2=-ad-㈣2

X-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中？2=Q+6+c+d.

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

16.(本小題15分)

22

已知雙曲線。的方程為4—《=l(a>0,b>0)，虛軸長為2四，點42,3)在曲線C上.

a2b2

(1)求雙曲線。的離心率;

⑵過原點。的直線與雙曲線C交于S,T兩點，已知直線NS和NT的斜率存在.證明：直線NS和的斜

率之積為定值.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—48。。中，乙BAD=90°,△PAB,AD與△BCD均為等邊三角形.

(1)證明：PC1BD;

(2)求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

18.(本小題17分)

已知函數f㈤=ex—asincx(c>0),g[x)=by/x.

(1)求在(O"(O))處的切線；

⑵若/(/)與gQ)的圖象有交點.

①當a=0時，求6的取值范圍；

2P

②證明：a2+b2>——

第3頁，共16頁

19.(本小題17分)

對于數列｛廝｝,規定｛△o/為數列｛%｝的一階差分數列，其中△an=an+i-a/neN*),規定｛Naj為

2

數列｛廝｝的二階差分數列，其中Aan=Aan+1-△a￡nGN*).

(1)數列｛廝｝的通項公式為為=(n—l)3,試判斷數列｛△0n｝,｛/^廝｝是否為等差數列？請說明理由.

⑵正項等比數列｛6/的公比為q(q〉2),對于任意的neN*,都存在meN*,使得“除二臉，求4的

值；

(3)設金=\(/—n+2),｛g｝為數列1｝的一階差分數列，令%=上士上，其中聯力<3,證明：

223

n

1+1

￡yi<-(3"-3-")

i=l4

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：,.■1/={1,3,6,8,9},A={1,6},

.?」”!={3,8,9},又3={3,6,8},

(C(M)nB={3,8}.

故選：B.

由已知直接利用交、并、補集的混合運算得答案.

本題考查交、并、補集的混合運算，是基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：命題"Va?>0,/—32+2>0"的否定是：3a;>0,a?2—3a;+20.

故選：C.

任意改存在，將結論取反，即可求解.

本題主要考查命題的否定，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解:已知點4(2,1)在拋物線/=2朋(p>0)上，

則4=2。，

即p=2,

則[4巴=1+^=2.

故選：B.

由拋物線的方程，結合拋物線的定義求解.

本題考查了拋物線的方程，重點考查了拋物線的定義，屬基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：sin2a=cos[2(^—a)]=2cos2(a——1=2x-1=—g.

故選8.

利用誘導公式、二倍角公式即可得出.

本題考查了誘導公式、二倍角公式，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：180=22x32x5]，

故180的不同正因數的個數為(2+1)x(2+1)x(1+1)=18.

第5頁，共16頁

故選：D.

將180進行質因數分解，即可求解.

本題主要考查質因數分解定理，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：設/(X)=(1—2)5=即+aiX++…+&525，

則/(0)=L

即a。=1,

又…+04=9”2=16，

即。2+=16—1=15.

故選：C.

由二項式定理，結合賦值法求展開式的系數即可.

本題考查了二項式定理，重點考查了賦值法求展開式的系數，屬中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：由于點尸在直線22+39+1=0上，

不妨取點尸的坐標為(1,—1),

則稱=(],-]),又才=(2,3),

則加在我上的投影向量為：才=”2,3)=

故選：A.

根據直線方程，取點尸，再根據投影向量的概念即可求得.

本題考查投影向量的求法，屬基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：因為/(0是偶函數,所以/(—2)=/(2),

則尸(乃=—尸(T)，

又因為「(乃+2工是偶函數，所以「⑵+2"=/(―乃+2T.

聯立兩式可得=2；2,

令西)=/(2)+2，="；2)則gQ)在(0,+8)上單調遞增，

第6頁，共16頁

n—x_na;

由于戶(乃=g(°)_2c=一一，

當a:〉0時，f'(x)<0,

所以/(乃在(0,+oe)上單調遞減，在(—oo,0)上單調遞增，

由/(a)</(2a-1),且/(，)是偶函數，可得同〉|2a-l|,

解不等式得：<a<1,

因此實數a的范圍是($1).

故選：C.

結合導數與單調性關系判斷了(力的單調性，然后結合單調性及奇偶性即可求解不等式.

本題主要考查了函數的單調性及奇偶性在不等式求解中的應用，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：因為15,=3，15"=5，

所以/=logi53，V=logi55,

所以沙〉x,/正確；

因為,+V=logw3+logi55=log1515=1,8錯誤；

叼<(1)2=%。正確；

L1

(瘋+y/y9)=x+y+2y/xy=1+2y/xy<l+2x-=2,

故+楨<松，。正確.

故選：ACD.

由已知結合指數與對數的轉化檢驗選項/,結合對數運算性質檢驗選項8,結合基本不等式檢驗選項。D

本題主要考查了對數運算性質，基本不等式的應用，屬于基礎題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由題意知，DA,DC)兩兩垂直，

故以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

在直角梯形48co中，BC=CD=2>48=1，所以

AD=y/BC2-(CD-ABf=V3，

則4(遮,0,0)，5(^,1,0)，C(0,2,0),51(^3,1,1),01(0,0,1),

第7頁，共16頁

尸(0,2分,

設Q(O",1),力e(0,2),

選項a前=(—g,2,0),加=(—通,1g),F^=(0,t-2,1),

rrt-BG=—VSx+g+齊=0

12

{殖?PQ=(t—2)g-\--z=0

取沙=1,則工2=4-2力，所以求=(，^,1,4—2力)，

_3_t

若4。〃平面BP0,則前?布=(—通)?言+2=0,解得力=le(o,2),

所以NC與平面2PQ有可能平行，故選項/正確；

選項￡=(-\/3,-1,0).

若耳01〃平面第°,則瓦瓦?包=(—g)?覆—1=0,

解得力=4以0,2),

所以耳。1與平面3尸。不可能平行，故選項8錯誤;

選項C,三角形APQ周長為

BP+BQ+PQ=^3+1+^+J(0—通產+1―1J+(1—0)2+_2)2+(j)2

(t-2)2+(0--)2的幾何意義為動點G(t,0)到點M(l,2)與點N(2,。的距

其中

22

離和，

而點N(2,1)關于x的對稱點N'(2,—3,

所以GM+GN=GA/+GN'?MN'=J(?12)2T(2Z1y=m，當且僅當河，G,N,三點共線時，

等號成立,

的最小值為手,

即

所以三角形的。周長的最小值為手+學=叵產’故選項C正確;

選項。，由直棱柱的性質知，CrDj/CD/ZAB,

因為GBC平面/AP,43U平面NAP,所以GOi〃平面/AP,

又QeCD，所以點。到平面N3尸的距離等于點。1到平面尸的距離，

所以三棱錐4一BPQ的體積U=VQ-ABP=VC1-ABP,其底面積和高都是定值,

第8頁，共16頁

所以三棱錐4-BPQ的體積為定值，故選項。正確.

故選：ACD.

以。為原點建系，求得4D=g，并設tG(0,2),選項4求出平面3尸0的法向量前，由

前.布=0,解得力=16(0,2),即可判斷；選項3,由瓦引.記=0,解得力=每(0,2),即可判斷；選

項C,利用兩點間距離公式表示△BPQ的周長，再根據兩點間距離公式的幾何意義及直線中的對稱問題，

求其最小值即可；選項D,先證GA〃平面N3P,可知點。到平面/2尸的距離等于點G到平面尸的距

離，再根據等體積法，即可判斷.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握利用向量法證明線面平行，直線中的對稱問題，以及等體積法是

解題的關鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：由題意得/(a?)=1—2sin2x+|sin?=—2(|sinz［—：)2+?,

48

7T

當出e(Oq)時，|smx\=sine且單調遞增，

而函數沙=—2(|sin引—；)2+，(0,1)上單調遞增，在(；,；)上單調遞減，

7T

所以〃力)在(0,4)上不單調，故4錯誤；

因為/("—力)=COS(2TF—2力)+|sin(7r—x)|=cos2x+|sinx\=f(*,

7T

所以/(乃關于直線力=5對稱，故5正確；

因為一l4sin/4l,所以0<|sin劍(1,

所以當|sinx|=1時，/(2)min=0,

1Q

當|sin,|=z時,f(x)max=-,

9

故/(2)的值域為［0,高，故C正確；

O

7F

因為/(7T—2)=/(乃，所以/(乃的圖象關于直線對稱，

作出/(，)在［0,用上的圖象,如圖所示：

第9頁，共16頁

方程=a在區間［0,7r］上有4個根，且4根之和為27T；

當&=:時，方程/Q)=a在區間［0,用上有2根，且2根之和為7F；

當0<a<l時，方程/(2)=a在區間［0,可上有2個根，且2根之和為7T；

7T

當a=0時，方程〃2)=a在區間［0,用上有1個根，為］；

當a〉，或a<0時，方程/(2)=a在區間［0,用上無根.

O

綜上，所有根之和組成的集合為｛看/2叫，故。正確.

故選：BCD.

化簡得/(，)=-2(|sina;|-：)2+，，結合正弦函數及二次函數的性質，即可判斷/；

判斷了"-2)=/(乃是否成立，從而判斷5

由二次函數的性質判斷C；

作出函數在［0,加上的圖象，結合圖象判斷。.

本題考查了三角函數的圖象及性質，考查了二次函數的性質及數形結合思想、轉化思想及分類討論思想,

屬于中檔題.

12.【答案】:

4

Q1

【解析】解：若P(B)=.P(A|B)=-,

311

則P(4B)=P(B)P(4舊)=zXg=T

故答案為：

4

第10頁，共16頁

由P(AB)=,代入數據計算可得答案.

本題考查條件概率的計算，注意條件概率的計算公式，屬于基礎題.

13.【答案】迤

2

7TcCCC

【解析】解：已知6=不，b=2,a2+c2=3ac，根據余弦定理廿=Q?+c?一2QCCOS_B，

o

07T

將已知條件代入可得：2-=3ac-2accos-=3ac-ac,即ac=2,

o

由三角形面積公式S&ABC=^acsinB,

將ac=2,B代入可得：S^=-x2xsin-=

3AA"B。C232

故答案為：遛.

2

本題可利用余弦定理求出ac的值，再代入三角形面積公式求出△ABC的面積.

本題考查了余弦定理，屬于基礎題.

14.【答案】—8—16

【解析】解:由f(x)=(x-l)(x+3)(rc2+ax+b)=0,

得a?=1或n=-3或/+歐+6=o，

/(x)的圖象關于直線x=—2對稱，

,方程/+a/+b=0的兩個分別為一1,-5,

可得函數/(2)的所有零點之和為1—3—1—5=—8；

可得/(x)=(2—1)(2+3)(/+1)(/+5)=(/+4/—1)2—16.

.,.當a?+4c—1=0時，/(2)的最小值為一16.

故答案為：—8,—16.

由已知結合/(叫的圖象的對稱性求得函數的另外兩個零點，即可得到函數/(乃的所有零點之和；利用配方

法即可求解/Q)的最小值.

本題考查函數零點的判定及應用，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是中檔題.

15.【答案】解：(1)零假設瓦：消費者對新產品的滿意度與性格無關，

2n(ad-be)2500x(220x20-230x30)220、c_

*X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=-250x250x50x450-=3"<706一

...依據小概率值a=0.1的獨立性檢驗，不能認為消費者對新產品的滿意度與性別有關.

1

(2)從該地區消費者中隨機選取1人,對新產品不滿意的概率為5翡n=—1,

從該地區消費者中隨機選取3人，用X表示不滿意的人數，

第11頁，共16頁

則X的可能取值為0,1,2,3,且X?3（3,

則P(X=0)=(2)3=%,

''no7woo

P(X=l)=c^x—x(2)2=空,

\'3ioho7woo

P(X=2)=俏x(j)2x\=忌,

P(X=3)=?x點3=焉，

」.X的分布列為:

X0123

729243271

P

1000100010001000

13

E(X)=3x—=—.

v'1010

【解析】（1）利用公式求出x?，利用臨界值表進行判斷；

（2）先求出不滿意的概率，由二項分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式進行求解.

本題考查獨立性檢驗、二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

16.【答案】解：（1）因為點4（2,3）在雙曲線。上且虛軸長為2/9,

2b=2V3

所以二2=1

a2b2

a=1

解得

b=A/3'

又c2=Q2+昭=4,

解得c=2,

2C

所以雙曲線的方程7/=離心率e=—=2；

3Q

（2）證明：易知點S,T關于原點對稱，

設S?）用o），

此時T（—3一伏））,

設直線4s的斜率為比，直線47的斜率為切,

Z/o-3_加—3

因為比=----幻=

3—2_?)-2

所以公Jxyu—3=*-9

一必一2XQ—4：

第12頁，共16頁

因為點S(@),沙0)在雙曲線C上,

所以虜=1+晅，②

O

聯立①②，

,,_*一9_

解得比“2—--—3.

1+^-4

o

故直線AS的斜率和直線AT的斜率之積為定值3.

【解析】(1)根據題目所給信息以及a,b,c之間的關系列出等式求解即可;

(2)設出S,T的坐標和直線/S,NT的斜率，結合斜率公式以及點在曲線上即可得證.

本題考查雙曲線的方程，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：過尸作P0,平面/BCD,垂足為。，

由△PAB,△PAO都是等邊三角形知：PA=PB=PD,

所以。4=。3=。0，又NB4D=90°，所以。為中點，

又46=40,A0VBD,又△口。。為等邊三角形，

所以。OLB。，

所以N,O,C三點共線，

即ACLBD,又POLBD,

所以平面尸/C，又ACU平面P/C,

所以BD_LPC；

(2)以。為原點建系，如圖，

不妨取AB=2，由題意知40=松，P0=BD=2\/2＞。。=述,

則40,-3,0)，5(^2,0,0),0(0,n,0)，D(-\/2,0,0).P(0,0,y2)，

甫=(0,-松,一2)，=(V2,0,-\/2),m=(0,通,—四)，力=(―四,0,—四)，

設平面尸48的一個法向量為療=(x,g,z),

則|元?瓦1=00J-V2y-V2z=0

\[V2x-V2z=0'

取2—z—1,y=-1,

即近=(1,-1,1),

設平面PCD的一個法向量為求=(x,y,z),

第13頁，共16頁

記.就=00V6y—V2z=0

則

求?無=0—V2x—yflz=0

取工=—\/3,y—1,z—\/3，

即南=(―，^,1,通)，

.一南?方-A/3-1+\/3后

cos<m,n>=mi=-------7=---7=—=一一三】，

HH^IA/3xA/721

所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為且.

21

【解析】(1)先證6。，平面尸NC,再利用線面垂直的性質定理即可得證；

(2)以。為原點建系，分別求出平面尸43和平面PCD的一個法向量，利用向量法求解即可.

本題考查線線垂直的判定，以及向量法的應用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)尸(力)=/一cacosc力，

故/'(0)=1—QC,又/(0)=e°-asinO=1,

故在(0J(0))處的切線方程為？/-1=(1-QC)C,

即(1—ac)x—y+1=0；

⑵①當Q=0時，f(x)=ex,由/(0)rg(0),故出〉0,

￡

由由6)=g⑺今卜=三

設“為==，

則也)叫標-初)e，1

2)=-—=而('-5)

函數貼)在(0,1)上單調遞減，在(1,+oo)單調遞增,

所以/〉o時，酬/)的最小值為風》=，蘢,

所以6的取值范圍［在,+8);

②證明：由題意，存在/o〉O,使得/(3)=g(?))今-asinc?)=

今asinCXQ+=exO,

設Q=1COS%b=tsin9,力〉0,

則tsinCXQCOS0+ty/x^sin0=ex°

當e'°4力，3+sin2cx()

第14頁，共16頁

e'°

，力0+sin2CXQ

由3〉0,故sin2CXQ<|sinCXQ\<CXQ，

e^o1洲

>---/---——,—

所以9

V力o+smCXQ+C)/0y/l+cS/XQ

e'°.

由①知^二》V2e,

V^o

1泊1

故[〉/[?/—》/[?任,

\\+c\/^0\\+c

故。2+&2=￡2〉二￡,即證.

1+C

【解析】⑴先求導，得出尸(0)=1—QC,又/(0)=e°—Qsin0=l,代入直線的點斜式方程即可求解；

(2)①由/(力)=9(乃今6=高，構造函數/1(/)=高，利用導數求最值即可求解；

②設Q=力cos。,b=力sin9，力〉0，則

tsinCXQCOS0+ty/xosin0=ex°ex°ty/x^+sin2exor-2f再利用放縮法即可得證.

V^o+smCXQ

本題考查導數的應用，屬于難題.

32

19.【答案】解：(l)Aan=an+i—an=n?—[n—I)=3n—3n+1,

△電=1,、Q2-7,Ad3=19,則'Q?—Adi=6r—A