高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省佛山市七校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列幾何體為棱柱的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)簡單組合體的概念知：選項A為簡單組合體；根據(jù)棱柱的概念可得選項B為棱柱；根據(jù)棱臺的定義知選項C為棱臺；根據(jù)棱錐的概念知選項D為棱錐.故選：B.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3.下列說法不正確的是（）A.正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形B.棱臺的各側(cè)棱延長線必交于一點(diǎn)C.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形【答案】C【解析】對于A，正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形，故A正確；對于B，根據(jù)棱臺的定義可得：棱臺的各側(cè)棱延長線必交于一點(diǎn)，故B正確；對于C，用一個平行棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺，故C錯誤；對于D，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故D正確.故選：C.4.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，若的周長為3，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】在已知條件中用正弦定理將角化邊得到，而的周長為3，故，所以，得.故選：A.5.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單位向量，滿足，所以，化簡得：，即或(舍去)，所以在上的投影向量為.故選：D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上單調(diào)遞增，又的最小正周期，則在處取得最小值，在處取得最大值，所以，即，又，所以.故選：D.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)M，N為直線與的圖象的兩個相鄰交點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圖可知，的最小正周期，所以，即，而是圖象的最高點(diǎn)，所以，從而，由于，故的橫坐標(biāo)一定位于的相鄰兩個零點(diǎn)之間，而，故到它們之間的對稱軸的距離都是，而對稱軸的橫坐標(biāo)一定滿足，所以.故選：A.8.如圖，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設(shè)初始正方形的邊長為2，則（）A.0 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】如圖，連接，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則由題意和圖形的對稱性，可知，且，由題意可知，.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.互為共軛復(fù)數(shù) B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，又，所以互為共軛復(fù)數(shù)，故A正確；，故B正確；，所以，故C正確；由于虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.的最小正周期為C.在上單調(diào)遞增 D.在上有6個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對于A，因為，其定義域為，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以B錯誤；對于C，令，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又因為在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，令，所以在上單調(diào)遞增，則，令，即，所以，又因為，，，所以，故有6個解，即函數(shù)在上有6個零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在梯形中，，分別為邊上的動點(diǎn)，且，則（）A.的最小值為 B.的最小值為9C.的最大值為12 D.的最大值為18【答案】AC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，且，得，因為，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)或點(diǎn)與點(diǎn)重合時，等號成立，則，所以的最大值為12，最小值為.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.若，則__________.【答案】3【解析】由，得，顯然，否則，矛盾，所以.故答案為：3.13.如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，在軸上，與軸垂直，且，則的面積為_____________．【答案】【解析】由于在軸上，在軸上，故在軸上，在軸上，且，，由于與軸垂直，而，結(jié)合知，所以，，這意味著.故答案為：.14.如圖，測量隊員在山腳處測得山頂仰角為，沿著傾斜角為的斜坡向上走400米到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫榕c在同一水平面上，四點(diǎn)在同一鉛垂面上，則山的高度OP為_____________米．【答案】【解析】過點(diǎn)作，垂足為，過作，垂足為，在直角中，，可得，在直角中，，可得：，直角中，，可得：，所以可得：，，即，所以，再由，再由圖中三個直角可知四邊形是矩形，所以，即0故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，．（1）若，求；（2）若向量，，求與的夾角的余弦值．解：（1）由，，有，而，故，所以，解得，這表明，所以.（2）由，知，而，，故，解得，從而，所以.16.已知．（1）求和的值；（2）求的值．解：（1），故，則，，由可得；由可得，兩式相加可得，故；.（2）由（1）知，，又，故，；.17.在中，角A，B，C的對邊分別為已知．（1）證明：．（2）證明：．（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）由余弦定理結(jié)合，可得，化簡得：，證畢.（2）由(1)結(jié)合正弦定理可得：，即，即，即，因為，，故或(舍去)，則，證畢.（3）由(2)可得，因為為銳角三角形，可得，即，解得：，即有，所以，即的取值范圍為.18.已知向量，，函數(shù)．（1）求圖象的對稱中心與對稱軸；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知有，所以圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)滿足，對稱軸的橫坐標(biāo)滿足，從而，，所以圖象的對稱中心是，對稱軸是.（2）若要單調(diào)遞增，則，即，而，故或，所以在范圍內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.（3）將的圖象向左平移個單位長度后，得到，由于在上遞增，在上遞減，，，故原命題等價于，關(guān)于的方程在上恰有一根，且不是根，設(shè)，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知命題等價于或，此即或，即，所以的取值范圍是.19.某鎮(zhèn)為了拓展旅游業(yè)務(wù)，把一塊形如的空地(如圖所示)改造成一個旅游景點(diǎn)，其中.現(xiàn)擬在中間挖一個人工湖，其中M，N都在邊AB上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).（1）當(dāng)時，求防護(hù)網(wǎng)的總長度.（2）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，試問當(dāng)多大時，的面積最小?最小面積是多少?解：（1）在中，，，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，則，所以，又，所以，即為正三角形，則的周長為9，即防護(hù)網(wǎng)的總長度為.（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積最小，且最小值為.廣東省佛山市七校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列幾何體為棱柱的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)簡單組合體的概念知：選項A為簡單組合體；根據(jù)棱柱的概念可得選項B為棱柱；根據(jù)棱臺的定義知選項C為棱臺；根據(jù)棱錐的概念知選項D為棱錐.故選：B.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3.下列說法不正確的是（）A.正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形B.棱臺的各側(cè)棱延長線必交于一點(diǎn)C.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形【答案】C【解析】對于A，正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形，故A正確；對于B，根據(jù)棱臺的定義可得：棱臺的各側(cè)棱延長線必交于一點(diǎn)，故B正確；對于C，用一個平行棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺，故C錯誤；對于D，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故D正確.故選：C.4.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，若的周長為3，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】在已知條件中用正弦定理將角化邊得到，而的周長為3，故，所以，得.故選：A.5.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單位向量，滿足，所以，化簡得：，即或(舍去)，所以在上的投影向量為.故選：D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上單調(diào)遞增，又的最小正周期，則在處取得最小值，在處取得最大值，所以，即，又，所以.故選：D.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)M，N為直線與的圖象的兩個相鄰交點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圖可知，的最小正周期，所以，即，而是圖象的最高點(diǎn)，所以，從而，由于，故的橫坐標(biāo)一定位于的相鄰兩個零點(diǎn)之間，而，故到它們之間的對稱軸的距離都是，而對稱軸的橫坐標(biāo)一定滿足，所以.故選：A.8.如圖，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設(shè)初始正方形的邊長為2，則（）A.0 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】如圖，連接，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則由題意和圖形的對稱性，可知，且，由題意可知，.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.互為共軛復(fù)數(shù) B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，又，所以互為共軛復(fù)數(shù)，故A正確；，故B正確；，所以，故C正確；由于虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.的最小正周期為C.在上單調(diào)遞增 D.在上有6個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對于A，因為，其定義域為，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以B錯誤；對于C，令，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又因為在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，令，所以在上單調(diào)遞增，則，令，即，所以，又因為，，，所以，故有6個解，即函數(shù)在上有6個零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在梯形中，，分別為邊上的動點(diǎn)，且，則（）A.的最小值為 B.的最小值為9C.的最大值為12 D.的最大值為18【答案】AC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，且，得，因為，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)或點(diǎn)與點(diǎn)重合時，等號成立，則，所以的最大值為12，最小值為.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.若，則__________.【答案】3【解析】由，得，顯然，否則，矛盾，所以.故答案為：3.13.如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，在軸上，與軸垂直，且，則的面積為_____________．【答案】【解析】由于在軸上，在軸上，故在軸上，在軸上，且，，由于與軸垂直，而，結(jié)合知，所以，，這意味著.故答案為：.14.如圖，測量隊員在山腳處測得山頂仰角為，沿著傾斜角為的斜坡向上走400米到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫榕c在同一水平面上，四點(diǎn)在同一鉛垂面上，則山的高度OP為_____________米．【答案】【解析】過點(diǎn)作，垂足為，過作，垂足為，在直角中，，可得，在直角中，，可得：，直角中，，可得：，所以可得：，，即，所以，再由，再由圖中三個直角可知四邊形是矩形，所以，即0故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，．（1）若，求；（2）若向量，，求與的夾角的余弦值．解：（1）由，，有，而，故，所以，解得，這表明，所以.（2）由，知，而，，故，解得，從而，所以.16.已知．（1）求和的值；（2）求的值．解：（1），故，則，，由可得；由可得，兩式相加可得，故；.（2）由（1）知，，又，故，；.17.在中，角A，B，C的對邊分別為已知．（1）證明：．（2）證明：．（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）由余弦定理結(jié)合，可得，化簡得：，證畢.（2）由(1)結(jié)合正弦定理可得：，即，即，即，因為，，故或(舍去)，則，證畢.（3）由(