2o15浙江高考數(shù)學理科試卷及答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+m，若f(x)的值域為[-1,+∞)，則實數(shù)m的值為（）A.3B.1C.5D.7答案：C2.若復數(shù)z滿足|z-i|=2，則z對應的點在復平面上的軌跡是（）A.以(0,1)為圓心，2為半徑的圓B.以(0,-1)為圓心，2為半徑的圓C.以(0,1)為圓心，2為半徑的圓的一部分D.以(0,-1)為圓心，2為半徑的圓的一部分答案：D3.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，若存在不共線的向量c=(x,y)，使得a，b，c共面，則x+y的值為（）A.0B.1C.2D.-2答案：B4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2，n∈N，則a5的值為（）A.97B.121C.169D.196答案：A5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，x∈R，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.(-∞,-1)和(1,+∞)B.(-∞,1)和(1,+∞)C.(-∞,-1)和(1,+∞)D.(-∞,1)和(-1,+∞)答案：A6.已知函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1(a∈R)，若f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A.[-1,1]B.[-3,1]C.[-3,3]D.[3,+∞)答案：D7.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+m在區(qū)間[2,3]上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.(-5,-1]B.(-5,5]C.(-1,5]D.(-5,5)答案：A8.已知函數(shù)f(x)=x^3+bx^2+cx+d，若f(x)的導數(shù)為f'(x)=3x^2+2bx+c，且f'(-1)=0，f'(1)=0，則b+c的值為（）A.-4B.-3C.-2D.-1答案：C9.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的圖象關于點(π/3,0)對稱，且在區(qū)間[π/12,5π/12]上為增函數(shù)，則ω的值為（）A.2B.4C.6D.8答案：A10.已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x，則雙曲線C的離心率為（）A.2B.√3C.√6/3D.2√3答案：B二、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）11.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1+a2+a3=9，S3=9，則a1的值為______。答案：112.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，x∈R，若f(x)在區(qū)間[-1,1]上恰有兩個零點，則f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為______。答案：213.已知函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1(a∈R)，若f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為[3,+∞)，此時f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為______。答案：-214.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的圖象關于點(π/3,0)對稱，且在區(qū)間[π/12,5π/12]上為增函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[π/12,5π/12]上的最大值為______。答案：215.已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x，則雙曲線C的離心率為√3，此時雙曲線C的漸近線方程為______。答案：y=±√3x三、解答題（本題共6小題，共90分）16.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，x∈R。（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)的極值。解：（1）f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)>0，得x<-1或x>1，令f'(x)<0，得-1<x<1，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）由（1）可知，f(x)在x=-1處取極大值f(-1)=2，在x=1處取極小值f(1)=-2。17.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1(a∈R)，若f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減。（1）求a的取值范圍；（2）若f(x)在區(qū)間[-1,1]上恰有一個零點，求出該零點。解：（1）f'(x)=2x+2a，∵f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減，∴f'(x)≤0在區(qū)間[-1,1]上恒成立，即2x+2a≤0在區(qū)間[-1,1]上恒成立，∴a≤-x在區(qū)間[-1,1]上恒成立，∴a≤-1；（2）∵f(x)在區(qū)間[-1,1]上恰有一個零點，∴f(-1)f(1)≤0，即[(-1)^2+2a(-1)+1][1^2+2a(1)+1]≤0，即(2-2a)(2+2a)≤0，解得a≥1或a≤-1，又由（1）知a≤-1，∴a=-1，此時f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2，∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上的零點為x=1。18.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的圖象關于點(π/3,0)對稱，且在區(qū)間[π/12,5π/12]上為增函數(shù)。（1）求ω和φ的值；（2）若f(x)的圖象向左平移π/2個單位后，求所得圖象的對稱軸方程。解：（1）∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的圖象關于點(π/3,0)對稱，∴2sin(ωπ/3+φ)=0，∴ωπ/3+φ=kπ，k∈Z，又∵f(x)在區(qū)間[π/12,5π/12]上為增函數(shù)，∴2π/ω≥5π/6，∴0<ω≤12/5，∵|φ|<π/2，∴-π/2<ωπ/3+φ<π/2，∴-π/2<kπ<π/2，∴k=0，∴φ=-ωπ/3，∴0<ω≤12/5，-π/2<-ωπ/3<π/2，∴0<ω≤12/5，∴ω=2，φ=-2π/3；（2）f(x)的圖象向左平移π/2個單位后所得圖象對應的函數(shù)解析式為g(x)=2sin(2x+5π/6)，由2x+5π/6=kπ+π/2，k∈Z，得x=kπ/2+π/12，k∈Z，∴所得圖象的對稱軸方程為x=kπ/2+π/12，k∈Z。19.（本題滿分12分）已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x。（1）求雙曲線C的離心率；（2）若雙曲線C的一條漸近線方程為y=√3x，且雙曲線C的離心率為√3，求雙曲線C的方程。解：（1）∵雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x，∴b/a=√3，∴c^2=a^2+b^2=4a^2，∴雙曲線C的離心率為√3；（2）∵雙曲線C的離心率為√3，∴c=√3a，∴b=√2a，∴雙曲線C的方程為x^2/a^2-y^2/2a^2=1。20.（本題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2，n∈N。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。解：（1）由an+1=3an+2，得an+1+1=3(an+1)，∴{an+1}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴an+1=2?3^(n-1)，∴an=2?3^(n-1)-1；（2）Sn=(2?3^0-1)+(2?3^1-1)+(2?3^2-1)+…+(2?3^(n-1)-1)=2(3^0+3^1+3^2+…+3^(n-1))-n=2?(3^n-1)/(3-1)-n=3^n-n-1。21.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，x∈R。（1）求f(x)