專題02常用邏輯用語（十四大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01命題及其關系

?題型02充分條件與必要條件

?題型03全稱量詞與存在量詞

?題型04集合與充分條件'必要條件

?題型05復數與充分條件'必要條件

?題型06函數與充分條件、必要條件

?題型07三角函數與充分條件'必要條件

?題型08平面向量與充分條件'必要條件

?題型09統計'概率與充分條件、必要條件

?題型10立體幾何與充分條件、必要條件

?題型11平面解析幾何與充分條件'必要條件

?題型12數列與充分條件'必要條件

?題型13導數與充分條件'必要條件

?題型14高考新考法一新定義充分條件、必要條件綜合

?題型01命題及其關系

1.（2022高一上.全國.專題練習）下列語句中，命題的個數是（）

①空集是任何集合的真子集；②請起立；

③T的絕對值為1；④你是高一的學生嗎？

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根據命題的概念逐一判斷.

【解析】①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問句，不是命題.

故選：C.

2.（23-24高一上.陜西延安.階段練習）已知，:2+2=5應:322,則下列判斷中，正確的是（）

A.p為真,q為假B.p為假，q為真

C.p為真,q為真D.p為假，q為假

【答案】B

【分析】根據命題的真假即可判定.

【解析】p為假，q為真，

故選：B

3.（22-23高三上嚀夏?階段練習）已知命題P：對任意x?R,總有9一x+GO；q,若貝|。＜從

則下列命題為真命題的是（）

A.-p^qB.c.t，八rD.p^q

【答案】B

【分析】先判斷命題p,命題q的真假，在判斷選項的真假

13

【解析】由—尤+1=（X—彳）-+：＞。

24

所以命題P為真命題

令。=0,6=-1,則但是

所以命題q為假命題

故。八F為真

故選：B.

?題型02充分條件與必要條件

4.（2024高三.全國?專題練習）“尤為整數”是“2x+l為整數”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由當x為整數時，2x+l必為整數；當2x+l為整數時，x不一定為整數；即可選出答案.

【解析】當尤為整數時，2x+l必為整數；

當2x+l為整數時，x不一定為整數，

例如當2x+l=2時，%=-.

2

所以“x為整數”是“2x+1為整數”的充分不必要條件.

故選：A.

5.（2024高三?全國?專題練習）對于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a//b”的t）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若a+2b=0,則a=—2b,所以a〃b^a〃b,則a+2b=0不一定成立，故前者是后者的充分不

必要條件.故選A.

6.（2024?江蘇南通?模擬預測）在44BC中，已知NB=30。，c=2,則是“NC=45。”成立的（）

條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根據正弦定理以及“大邊對大角”即可判斷出結果.

bc貶_2

【解析】由正弦定理得二彳=」大，即丁一碇，

smBsmC

2

sinC=^~,又因為c>b,

2

;.C=45°或C=135°；

貝b=VI”是“NC=45°”成立的必要不充分條件.

故選：B.

7.（23-24高三下.河南周口.開學考試）若“x>是“x>l”的必要不充分條件，則實數。的取值范圍為（）

A.（-℃,1）B.（-8/C.（1,+℃）D.[l,+oo）

【答案】A

【分析】由題意可得卜|尤>“基｛x|x>“｝,再根據集合的包含關系求參即可.

【解析】因為“x>。”是“x>1”的必要不充分條件，

所有｛.尤>1｝星｛無卜>。｝,所以a<1,

即實數。的取值范圍為（-8,1）.

故選：A.

8.（23-24高一上.重慶渝北.階段練習）若不等式一〃。〈〃的一個充分條件為Ovxvl,則實數〃的取值范

圍是（）

A.0<a<\B.0<?<1C.a>lD.a>l

【答案】C

【分析】將充分條件轉化為集合間的關系，根據集合的包含關系即可求解.

【解析】由題意可得{x[O<x<l}a{R-a<x<a},

所以-aVO且解得a>l,

故選：C

?題型03全稱量詞與存在量詞

9.（2024高三.全國?專題練習）命題“X/xeZ,的否定是（）

A.BxeZ,x2>0B.BxgZ,x2<0

C.3xeZ,x2<0D.HrgZ,x2<0

【答案】C

【分析】根據命題“Vxe",p（x）”的否定是“FP（X）”直接得出結果.

【解析】命題“VxeZ,/'。”的否定是“^^%,%2<0,5.

故選：C.

10.（2024高三.全國?專題練習）下列正確命題的個數為（）

①VxeR,X2+2>0；②VxeN.xll；③七eZ,d<l；@3xeQ,x2=3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用全稱量詞命題、存在量詞命題真假判斷方法逐一判斷各個命題即得.

【解析】VxeR,x2+2>2>0,①正確；當x=0時，/=0<1,②錯誤；

當x=0時，爐=0<],③正確；由于（±4）2=3,而-石,石都是無理數，④錯誤,

所以正確命題的個數為2.

故選：B

11.（2024?四川成都?模擬預測）命題*e[Tl],x+W<0的否定是（）

A.3xe[-l,l],x+|j：|>0

B.Vxe[-1,l],x+|x|>0

C.Vxe（-co,-l）u（l,+oo）,x+|x|>0

D.Vxw（—a?,-L）D（L+8）,x+W<0

【答案】B

【分析】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結果.

【解析】因為命題*e[-l,l],x+W<0,

則其否定為Vxe[T,l],x+WNO.

故選:B

12.（2024高三?全國?專題練習）若命題“現€]?芯-2%+根<0”為真命題，則實數的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,l]

C.（0,1）D.（1,+s）

【答案】A

【分析】由題意可得不等式f―2%+m<0在R上有解，結合A>0計算即可求解.

【解析】由題意可知，不等式f一2%+加<0在R上有解，

A=4-4m>0,解得機<1,

???實數機的取值范圍是（-8,1）.

故選：A.

13.（23-24高三上?山東濰坊?期中）若“*wR,sinxva”為真命題，則實數〃的取值范圍為（）

A.a>\B.a>lC.a>—lD.a>—l

【答案】D

【分析】只需sinx的最小值小于，即可.

【解析】3XGR,sinxva,只需sinx的最小值小于。即可，

由于sin光的最小值為-1,故

故選：D

?題型04集合與充分條件'必要條件

14.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習）給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇

補充到下面橫線上.

已知集合2={耳一14》<5},S=^x\2-m<x<3+2m^,存在實數使得"xwP"是"xeS”

的條件.

【答案】②，③

【分析】分別根據充要條件及充分不必要條件，必要不充分條件計算求解即可.

【解析】①"xe尸'是“xeS”的充要條件，則3+2m=5,此方程無解，故不存在實數沉，則不

符合題意；

②“xeP”是“xeS”的充分不必要條件時，2-mW—l,3+2祖25,2-m<3+2m；解得〃吐3,符合題意；

③“xwP”是“xeS”的必要不充分條件時，當S=0,2-m>3+2m,得機<；；

當S/0,需滿足2-加43+2〃?，3+2m<5,解集為-gwmVl；

綜上所述，實數機的取值范圍

故答案為：②，③.

?題型05復數與充分條件'必要條件

15.（2024.全國.模擬預測）已知復數Z1二2，則5=染是“同=團”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【分析】根據復數模長性質和充分不必要條件即可得到答案。

【解析】z：=Z；0Z；_Z；=0O（Z]-Z2）（&+Z2）=0O&=馬或Z[=-z2=>聞=闖。

因為忖|=區|*4=Z2或Z]=—2,

例如取Z1=#+^i,Z2=i,此時㈤=上|,不滿足閡=閆￥>Z]=z?或Z]=-z?,

故選：A.

?題型06函數與充分條件、必要條件

16.（23-24高三下?四川成都?階段練習）若a<x<3是不等式l°glx>T成立的一個必要不充分條件，則實

2

數。的取值范圍是（）

A.（-8,0）B.（-?,O]C.[0,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】求出不等式成立的充要條件，根據充分必要條件關系判斷.

2

[角軍析]log!X>Tolog[X>log[2oO<x<2,

222

因為a<x<3是10§1）>T成立的必要不充分條件，

2

所以〃W0.

故選：B.

17.（2024?湖南?一模）已知a/cR,且。＞0,6＞0,則瑟＞1是Ina-lnb〉。的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用不等式的性質、對數運算及充分、必要條件的定義判定即可.

【解析】若。=6,。=1,符合0。＞1,但此時lna-lnZ?=0,不滿足充分性，

若“=e-=6,符合lna-lnb＞0,但是他＜1,不滿足必要性.

故選：D

?題型07三角函數與充分條件'必要條件

18.（2024?全國?模擬預測）“函數y=tanx的圖象關于伉,0）中心對稱”是“sin2%=0”的—條件.

【答案】充分必要

【分析】先由函數〉=12成的圖象關于5,0）中心對稱求得吃的值，再解方程sin2x°=0求得/的值，進而得

到二者間的邏輯關系.

【解析】函數y=t皿圖象的對稱中心為

所以由“函數尸tawv的圖象關于（砧0）中心對稱”等價于“%=g,%eZ”.

因為sin2%=。等價于―"Z,即寸

所以“函數》=tanx的圖象關于5,0）中心對稱”是“sin2x0=0”的是充分必要條件.

故答案為：充分必要

19.（23-24高三下?浙江金華?階段練習）設ae（0,兀），條件°:sina=；，條件"：Cosa=立，貝Up是g的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據必要不充分條件的定義，結合同角三角函數基本關系，即可求解.

【解析】由于ae（O,兀），

若sina='，貝ljcosa=±Jl-sin2a=士3,充分性不成立，

22

若cosa=—,則sina=/-cos2a,必要性成立，

22

故p是q的必要不充分條件.

故選：B.

?題型08平面向量與充分條件、必要條件

20.(2024?全國?模擬預測)已知向量方=(4,間，5=(777-2,2),則“加=4”是“商與B共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由，〃=4,可得￡與B共線，充分性成立；由￡〃B，可得利=-2或機=4,必要性不成立，可得結

論.

【解析】由機=4,得2=(4,4),5=(2,2),所以￡與1共線,

所以“m=4”是“是￡與石共線”的充分條件；

由可得機(〃?-2)=8,解得機=一2或機=4,

“，〃=4”是匕與石共線”成立的不必要條件，

故“祖=4”是“日與加共線”的充分不必要條件.

故選：A.

21.(2024?四川成都.三模)在AABC中，ACB是鈍角”是“|再+行通卜的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】C

【分析】先將|目+國通|等價變形為|①+國卜|國-西兩邊平方后得以.甘＜0,且AB,C三點不

共線，即可做出判斷.

【解析】“屈+詞＜網”等價于“陛+畫＜|麗-常”，

所以W+可=CA+2CACB+CB＜\CB-C^=CA-2CACB+CB,

UUUUUUL

從而C4-CB＜0，

在AABC中，顯然A民C三點不共線，即兩個向量巨,而不能方向相反，則—ACB是鈍角，則必要性成立，

若NACB是鈍角,則為甚＜0,則"+詞＜|畫,則充分性成立，

則“/ACS是鈍角”是“向+詞<網”的充要條件.

故選：C.

?題型09統計、概率與充分條件、必要條件

22.（2024?河北?二模）已知隨機變量X服從正態分布N（2,/）（cr>0）,則“=1”是

“P（XNm2）+尸（X>m+2）=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據正態曲線的性質及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【解析】因為X~N（2,/），則P（X<1）=P（X>3）,P（X>4）=P（X<0）,

若%=1則P（X31）+P（X>3）=尸（X31）+P（X<1）=1,

即尸（XN〃?2）+p（x>〃7+2）=l,故充分性成立，

若P（X27/）+P（X>m+2）=l,^rrr+m+2=2x2,

解得巾=1或帆=-2,故必要性不成立，

所以“〃7=1”是“P（XN療）+P（X>:w+2）=l”的充分不必要條件.

故選：A

?題型10立體幾何與充分條件'必要條件

23.（2024?廣西賀州,一模）已知m,n為不同的直線，a,j3為不同的平面，若兀_1■⑸///”,則"a』用”是“加〃°”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【分析】由給定條件可得〃?再利用面面垂直的判定、性質，結合充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解析】由〃，四加〃〃，得機，￡，

若a，尸,則成/a或mua,“a_L#"不是“血/0”的充分條件;

若m/la,則存在過直線加的平面/與平面a相交，令交線為/,則/〃m，而機_L6，

于是Z」/,又lua,因此&_L￡,即是“〃z//c”的必要條件，

所以“a，#”是“〃z〃e”的必要不充分條件.

故選：B

?題型U平面解析幾何與充分條件、必要條件

24.(23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習)已知直線/1：〃zx—y—3=0,/2：(〃L2)x—y+l=0,則“%=1”是%皿”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】當，〃=1時可得無能=-1,即乙，/2；當時可得〃7=1，結合充分、必要條件的定義即可求解.

【解析】當〃?=1時，4"-y-3=O,4：-x-y+l=O,

BPll:y=x-3,l2:y=-x+l,則%的=，即6,4；

當4_1_，2時，m(m—2)+(—1)x(—1)=0,解得機=1.

所以"=1”是“k工4”的充要條件.

故選：C

25.(2024?四川成都?三模)己知圓C：x2+/=l,直線/：x-y+c=0,則“c=交”是“圓C上恰存在三個

2

點到直線/的距離等于的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用圓C上恰存在三個點到直線/的距離等于1,等價于。(0,0)到直線/：x-y+c=0的距離為g,

從而利用點線距離公式與充分必要條件即可得解.

【解析】因為圓C：/+,2=1的圓心。(0,0),半徑為廠=1,

當圓C上恰存在三個點到直線/的距離等于g時，

則。(0,0)到直線/：尤-y+c=o的距離為g

所以P7td=：,解得c=±Y2,即必要性不成立；

V1+122

當c=［時，由上可知0(0,0)到直線/：x-y+c=0的距離為，

此時圓C上恰存在三個點到直線/的距離等于3,即充分性成立；

所以“c=變”是“圓C上恰存在三個點到直線/的距離等于!”的充分不必要條件.

22

故選：A.

?題型12數列與充分條件'必要條件

26.（2024?北京東城?一模）設等差數列｛%｝的公差為d,貝『'。<《<小’是"｛2｝為遞增數歹『'的（）

n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用等差數列通項公式求出％,再利用單調數列的定義，結合充分條件、必要條件的意義判斷即

n

得.

【解析】由等差數列｛q｝的公差為d,得a“=%-d+”d,則?=用?+”,

當。<%<1時，q-d<0,而工>々，貝|色心〈幺二g，因此義<白，｛巴4為遞增數列；

當｛與為遞增數列時，則&<白，即有生心<四二￡,整理得4<d,不能推出0<%<d,

nnn+1nn+1

所以"0<G<d”是“｛%｝為遞增數列”的充分不必要條件.

n

故選：A

27.（2024?青海?模擬預測）記數列｛%｝的前〃項積為（，設甲：｛%｝為等比數列，乙：［李｝為等比數歹U,

則（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用等比數列通項公式、等比數列定義，結合充分條件、必要條件的定義判斷得解.

【解析】若｛%｝為等比數列，設其公比為q,則an=a@T,T=a何"2…<"T="匐暝，

當4工1時，不是常數,

此時數列l才j不是等比數列，則甲不是乙的充分條件；

若圖為等比數列，令首項為4，公比為乙則務么"T,7；=2*(2p)"T,

于是當小時’”>籌黑二2,而…=2%

當々wp時，｛%｝不是等比數列，即甲不是乙的必要條件,

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

故選：D

28.(2024.江蘇揚州?模擬預測)設｛風｝是公比不為1的無窮等比數列，則”｛七｝為遞增數列”是“存在正整數時,

當〃〉N。時，%>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】借助充要條件的定義，分別驗證充分性與必要性，結合等比數列、遞增數列的定義，借助反證法

證明即可得.

【解析】若｛4｝為遞增數列，

當且0<q<l時，有=%(q_l)q"T>0,

此時｛?｝為遞增數列，當對任意“eV<。，

故"｛q｝為遞增數列”不是“存在正整數N。，當心乂時，凡>1”的充分條件；

若存在正整數N。，當"〉乂時，an>\,

此時an+l=atq">1,故%>0,q>0,

假設存在使得則有?「卬產/何―

貝又4>0且qwl,故

則當,時，見=44力-0,與條件矛盾，

故不存在根〉乂，使冊+iWa,",即a“+i＞%在（乂,+功上恒成立，

即%+1-%=%（4-l）q"T＞0,又％＞0,q＞0,故4＞1,

即對任意的〃cN+,。”+1—%（q—1）4"?＞。，

即｛。“｝為遞增數列，

故"｛4｝為遞增數列”是“存在正整數N。，當〃〉N。時，%＞1”的必要條件；

綜上所述，“｛4｝為遞增數列”是“存在正整數N。，當〃＞乂時，凡＞:'的必要不充分條件.

故選：B.

?題型13導數與充分條件、必要條件

29.（23-24高三下?貴州?階段練習）已知命題加。=2,命題0：函數〃x）=x（x-a）2有極小值點2,則。是3

的條件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.

【答案】充要

【分析】

利用充分條件、必要條件的定義，結合由極值點求出參數，再判斷即可.

【解析】當4=2時，函數/（x）=x（x-2）2=V-4/+4x,求導得/''（X）=3x?-8x+4=（3x-2）（無一2）,

22

顯然當或尤＞2時，r（x）＞0,當（＜x＜2時，r（x）＜0,因此2是/（元）的極小值點，

當函數/（工）=%（工一。）2有極小值點2時，fXx）=3x2-4ax+a2=（3%-〃）（％-〃），

顯然/⑵=0,貝!J〃=6或。=2,

當4=6時，尢＜2有廣（犬）〉0,2不是極小值點，不符合題意，

22

當。=2時，當或%＞2時，/V）＞o,當*%＜2時，r（x）＜0,因此2是/⑺的極小值點，即。=2,

所以P是4的充要條件.

故答案為：充要

?題型14高考新考法一新定義充分條件、必要條件綜合

30.（2024?廣東.模擬預測）設X,￥為任意集合，映射了:XfL定義：對任意若占片々，則

〃玉）可Q）,此時的/為單射.

（1）試在RfR上給出一個非單射的映射;

(2)證明：/是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合Z與映射g,〃：ZfX,若對任意zeZ,有

f(g(z))=f(h(z)),則g=/?；

⑶證明：/是單射的充分必要條件是：存在映射夕:y->X,使對任意xeX,有9(/(元))=尤.

【答案】⑴=Y(答案不唯一)

(2)證明過程見解析

(3)證明過程見解析

【分析】

(1)結合單射的定義舉出符合條件的例子即可；

(2)結合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；

(3)結合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.

【解析】(1)由題意不妨設〃力=必，當和%(為，%非0)互為相反數時，/&)=〃％)滿足題意；

(2)一方面若/是單射，且/(g(z))=/(〃(z)),則g(z)=/?(z),即g=/z(否則若g(z)j(z),有

〃g(z))wf(/z(z)),矛盾)，

另一方面，若對任意zeZ,由f(g(z))=/(/7(z))可以得到g=/7,

我們用反證法證明/是單射，

假設/不是單射,即存在不z)￥/z(z),有/(g(z))=f(〃(z)),

又由“g(Z))=/(坂z))可以得到g=/7,即g(z)=/z(z),這就產生了矛盾,

所以/是單射，

綜上所述，命題得證；

(3)一方面若/是單射，則由占R%可得〃為)/〃吃)，

同理存在單射。，使得〃玉/(^)^/(x2),有夕(/(再=夕(/(%)),

另一方面，若存在映射。:yfX,使對任意xeX,有。"(無))=》，

我們用反證法來證明f是單射，

若一不是單射，即存在占R%，有〃％)=〃％),

又若〃芯)片“9),則由題意夕(/(尤］))=再=%=0(/(尤2))，這與王力馬產生矛盾，

所以此時/是單射，

綜上所述，命題得證.

【點睛】

關鍵點點睛：后面兩問的關鍵是結合單射的定義、反證法從兩方面來說明，由此即可順利得證.

31.(2024?廣東?模擬預測)已知集合A中含有三個元素x，y，z,同時滿足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z

為偶數，那么稱集合A具有性質尸.已知集合S”={1,2,3,...,2科("eN*,心4),對于集合S,的非空子集B,

若S”中存在三個互不相同的元素”涉,c,使得a+仇Hc,c+a均屬于B,則稱集合B是集合S”的“期待子集”.

⑴試判斷集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性質p,并說明理由；

(2)若集合3={3,4,a}具有性質尸，證明：集合B是集合S4的“期待子集”；

(3)證明：集合M具有性質P的充要條件是集合M是集合S”的“期待子集”.

【答案】(1)不具有，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)分取到的三個元素都是奇數和有偶數2,兩種情況比較三個條件，即可判斷；

(2)首先根據性質P,確定集合8,再根據“期待子集”的定義，確定集合8是集合￡的“期待子集”；

(3)首先證明充分性，存在三個互不相同的。,瓦。，使得a+6,5+c,c+a均屬于M

證明滿足性質P的三個條件；再證明必要性，首先設滿足條件的再證明a+瓦》+c,c+a均屬于

即可證明.

【解析】(1)集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性質p,理由如下：

(i)從集合A中任取三個元素羽y，z均為奇數時，x+y+z為奇數，不滿足條件③

(ii)從集合A中任取三個元素羽有一個為2,另外兩個為奇數時，不妨設y=2,x<z,

則有z-x1,即z-xNy,不滿足條件②，

綜上所述，可得集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性質尸.

(2)證明：由3+4+a是偶數，得實數。是奇數，

當a<3<4時，由。+3>4,得即。=2,不合題意，

當3<4<a時，由3+4>a,得4<a<7,即a=5,或。=6(舍)，

因為3+4+5=12是偶數,所以集合8={3,4,5},

令〃+人=3,b+。=4,。+〃=5,解得a=2,Z?=1,c=3,

顯然a.AceS」={1,2,3,4,5,6,7,8},

所以集合B是集合S4的“期待子集”得證.

(3)證明：

先證充分性：

當集合M是集合S”的“期待子集”時，存在三個互不相同的使得a+6,5+c,c+a均屬于M,

不妨設a<8<c,令x=a+b,y=a+c,z=b+c,貝!|x<y<z,即滿足條件①，

因為尤+y_z=m+8)+(a+c)-(6+c)=2a>0,所以x+y>z,即滿足條件②，

因為無+y+z=2(a+6+c),所以x+y+z為偶數，即滿足條件③，

所以當集合M是集合S”的“期待子集”時，集合M具有性質P.

再證必要性：

當集合M具有性質尸，則存在無,％z,同時滿足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z為偶數，

令b=c=^±p…則由條件①得a<"c,

由條件②得。=土產一z=葉尸>。，

由條件③得a”，c均為整數，

所以0<a</?<c<z,且a,4c均為整數,

所以a,6,ceS",

因為。+6=x,a+c=y,6+c=z,

所以a+Z>,》+c,c+a均屬于M,

所以當集合M具有性質P時，集合M是集合S”的“期待子集”.

綜上所述，集合M是集合S.的“期待子集”的充要條件是集合“具有性質？

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用“性質P”和“期待子集”的定義

02模擬精練

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預測)已知命題p:V%￡Z,%220,則/為()

A.3xeZ,x2<0B.gZ,x2<0

C.BxeZ,x2<0D.gZ,x2<0

【答案】C

【分析】根據題意，結合全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.

【解析】由題意，全稱命題的否定是特稱命題，可得：

命題6VxeZ,/N0的否定為：為mxeZ,尤2<0.

故選：C.

2.(2024?浙江寧波?二模)己知平面=貝1]“/_L是“a_L7且￡_L7”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據線面垂直即可求證面面垂直，即可說明充分性，根據面面垂直的性質可得線面垂直，即可利

用線面垂直的判斷求證必要性.

【解析】由于所以/ua,/u￡,

若Z±y,則05,故充分性成立，

若e_L/,/3,設4|"|7=機，PV\Y=n,

則存在直線au7,使得。j_/”，所以。_La,由于/ua,故。

同理存在直線bu%使得所以6_1_￡,由于/u〃，故

由于不平行，所以a,b是平面/內兩條相交直線，所以/，人故必要性成立，

故選：C

3.(2024?陜西咸陽?三模)已知p:ln(a+l)>0,q:*20,2x+l^a,貝”是F的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】分別求得P為真時，?>0,F為真時，a<2,可得結論.

【解析】P為真時，可得所以。>0,

r

4為真時，a>(2+l)min,又無W0,所以丁+122°+1=2,所以。22,

所以F為真時，a<2,

所以P是F的即不充分又不必要條件.

故選：D.

4.（2024?江西南昌二模）已知集合人=｛知11遙。｝,8=｛用工2｝,則“xeA”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解集合中的不等式，得到這兩個集合，由集合的包含關系，判斷條件的充分性和必要性.

【解析】不等式InxVO解得0<xVl,則A=（O,l]；

不等式2,42解得貝=

（°』（叫，

所以“xeA”是“xe3”的充分不必要條件

故選：A

5.（2024?江蘇南通?模擬預測）若命題：“弘，beR,使得a-cosAW》-cosa”為假命題，貝。“，b的大小

關系為（）

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

【答案】B

【分析】由命題的否定為真命題，轉化為a+cosa>b+cosb成立，構造函數利用導數判斷單調性即可得解.

【解析】由題意，命題的否定“Va,beR,使得a-cos6>6-cosa”為真命題，

即a+cosa>b+cosb,

設f（x）=x+cosx,貝！J/'（x）=l_sinx、0,

所以/（x）為增函數，

所以由可知

故選：B

6.（2024.陜西西安.模擬預測）設函數〃尤）=加_2?，命題“土42,6],〃無）<—2。+3”是假命題，則實

數4的取值范圍是（）.

3

A.+0B.（3,+oo）C.（2,+oo）D.—oo—

r02

【答案】A

【分析】根據特稱名為假命題可得ax?-2依+2°-3>0,對以42,61恒成立，h(x^ax2-2ax+2a-3,

利用二次函數的性質列不等式求解即可得結論.

【解析】因為命題“上82,6],〃司<-24+3”是假命題，所以Vxe[2,6],〃x)>—2a+3恒成立，

貝|]加一2依+2°一3>0,對Vxw[2,6卜恒成立，

令〃(%)=加-2依+2a-3,則二次函數的對稱軸為直線尤=1,

要使得Vxe[2,6],〃(x)>0恒成立,則置廠::一解得

所以實數a的取值范圍是(I，+sj.

故選：A.

7.(2024.四川成都.三模)已知圓C:/+y2=i,直線/：%-y+c=0,貝『七對”是“圓C上任取一點(x,y),

使x-y+cVO的概率小于等于丫的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】由事件從圓C上任取一點(X,y),使x-y+cVO的概率小于等于求c的范圍，結合充分條件和

必要條件的定義判斷結論.

【解析】直線尤-y+c=。的斜率為1,在x軸上的截距為-c,在y軸上的截距為。，

當c>0時，如圖，圓c上不存在點(x,y),使x-y+cWO,

所以事件圓C上任取一點(x,y),使尤-y+C40的概率為0,

當,=應時，如圖，圓C上有且僅有一個點(x,y),使尤-y+c40,

所以事件圓C上任取一點（元,y）,使尤-y+C40的概率為0,

若O<c<0，如圖，圓C上滿足條件x-y+c40點為劣弧AB（含AB）上的點,

設劣弧的長度為乙貝1」0<二<兀,

若c=0,如圖，圓C上滿足條件x-y+cw。點為直線/上方的半圓上的點,

所以事件圓C上任取一點（x,y）,使x-y+cWO的概率P=g=:，

2兀2

若-0<c<O,如圖，圓C上滿足條件尤-y+c4O點為優弧。（含C,￡>）上的點,

設優弧。的長度為S,則兀<5<2兀,

所以事件圓C上任取一點（X,y）,使x-y+cWO的概率P=I>2,

2兀2

若cW-0，如圖，圓C上所有點滿足條件x-y+cWO,

27r

所以事件圓C上任取一點(元,y),使x-y+cWO的概率P=丁=1,

所以“圓C上任取一點(x,y),使尤-y+c40的概率小于等于!”等價于“北0”，

所以“CO”是“圓C上任取一點(x,y),使x-y+cW0的概率小于等于!”的充要條件，

故選：C.

2

8.(2024?四川?模擬預測)已知命題“V無e[l,4],e*-1-加20”為真命題，則實數"?的取值范圍為()

A.(f,e-2]B.^-<?,e4C.[e-2,+oo)D.e"—；,+(?]

【答案】A

【分析】分離參數mWe'-：,求函數〃到=/-：/€[1,4]的最小值即可求解.

29

【解析】因為命題"Vxe[l,4]e-l-根上0”為真命題，所以Vxe[l,4],相-7

令/⑴=[1,4],y=e"與尸-1在[1,4]上均為增函數，

故/(%)為增函數，當元=1時，”力有最小值e-2,即根We-2,

故選：A.

二、多選題

9.(2024.云南楚雄.模擬預測)下列命題為真命題的是(

1<1

A.VxeR,x+—>2B.VxeR,

xdx2+1

C.3XGR,ln(|x|+l)=0D.3xGR,f+x+1W0

【答案】BC

【分析】運用全稱和特稱量詞的命題的知識分析即可.

【解析】對A,當x=0時，尤+!無意義，故A錯誤;

X

對B,易得VxeR,x2+l>l,則6+121，可得了故B正確；

對C,當x=0時，ln（|x|+1）=0成立，故C正確；

對D,A=l-4=—3<0,可得―+彳+1>0,故D錯誤.

故選：BC

10.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）已知集合4={,<3},集合2={小〈根+1},能使4門3=4成

立的充分不必要條件有（）

A.m>0B.zz7>1C.m>3D.m>4

【答案】CD

【分析】由=A成立的充要條件求出對應的參數加的范圍，結合充分不必要條件的定義即可得解.

【解析】=&當且僅當A是5的子集，當且僅當m+123,即根22,

對比選項可知使得力22成立的充分不必要條件有相>3,m>4.

故選：CD.

11.（2023?遼寧?模擬預測）已知數列{玉}滿足玉=2,X2=HN（"eN*）.給出以下兩個命題：命題P：對任

意“cN*,都有l<x,+i<x,；命題g:方e（0』），使得對4人+1成立.（）

A.P真B.P假c.q真D.q假

【答案】AD

【分析】對于命題P,利用數學歸納法和作差法可判斷，對于命題4,利用反證法進行分析判斷.

【解析】對于命題P,先利用數學歸納法證明匕>1,

當〃=1時，須=2>1,不等式成立，

假設當”=上時不等式成立，即4>1,則

xk+l=^2xk-1>A/2X1-1=1,

所以當〃=左+1時，不等式也成立，

綜上，%>1,

2

因為￥+1-X：=2%-l-無：=~（xn-I）<0,所以%+]<￥,

因為斗>1,所以1〈尤向<七，所以命題P為真命題，

對于命題0,假設存在re（0,1）,使得對尸+1,

%—12

由己知可得片+「1=2(兌-1),得？立丁=:)，

Xn-{Xn+1+1

222

所以招+「]=———~-7-----Z7，

%+1x3+l斗Ji

2222"

所以r"2---------------……--------=---------------------------------

r+2八2r"+2(r+2)(產+2)??…(r"+2)

所以&+2)(/+2)…(r"+2)>

所以V(r+2)(r2+2)……(r"+2)>-,

r

由基本不等式推廣可得&+幻+(/+0+…+(/'+2)>]0+2)(戶+2)…(k+2),

n

所以(r+2)+(八2)+…+L+2)」,所以士上W+2」,

nrnr

廠(1一/)22n(l-r)2

所以:--+2>-,所以廠(1—k)>一———,

n(l-r)rr

因為rw(O,l),所以r>r(l-r"),

所以，〉所以"T占］這與VN*相矛盾,

所以命題q為假命題,

故選：AD

三、填空題

12.(2024?遼寧大連?一模)“函數/(x)=or?-sinx是奇函數”的充要條件是實數a=.

【答案】0

【分析】結合三角函數奇偶性、幕函數奇偶性以及奇偶性的定義即可運算求解.

【解析】若函數/(x)="c2-sinx是奇函數，

則當且僅當/(無)=涼-sinx=-［a(-x)2-sin(-x)J=-/(-x),

也就是20V2=0恒成立，從而只能a=0.

故答案為：0.

13.(2024?遼寧?模擬預測)命題P：存