第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《四邊形中的相似三角形綜合》專項檢測卷及答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖：在中，點是上的一點，與相交于點

(1)如圖（1），與相似嗎？請說明理由．(2)如圖（2），若點E為中點，那么與有怎樣的數量關系？請說明理由．(3)如圖（3），在（2）的條件下，延長交的延長線于點G，圖中共有幾對相似三角形？請寫出來．(4)在（2）（3）的條件下，請直接寫出的值．2．（1）九（I）班數學興趣小組認真探究了課本P91第13題：如圖1，在正方形中，E是的中點，F是上一點，且，圖中有哪幾對相似三角形？把它們表示出來，并說明理由．①小華很快找出，他的思路為：設正方形的邊長，則，，利用“兩邊分別成比例且夾角相等的兩個三角形相似”即可證明，請你結合小華的思路寫出證明過程；②小麗發現圖中的相似三角形共有三對，而且可以借助于與中的比例線段來證明與它們都相似．請你根據小麗的發現證明其中的另一對三角形相似；【拓展創新】（2）如圖2，在矩形中，E為的中點，交于F，連結．（）求證：.

3．如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E，F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE，PF分別交AC于點G，H．（1）求△PEF的邊長；（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由；（3）求證：PH﹣BE=1．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB．（1）寫出所有相似三角形;（2）若，，求的長.5．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．（1）在圖中找出一對相似三角形，并說明理由；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的長．6．如圖，E是?ABCD的邊CD延長線上一點，連接BE，交AC于點O，交AD于F．（1）圖中的相似三角形共有．A.7對；B.6對；C.5對；D.4對．（2）求證：OB2＝OE?OF．7．定義：若一個三角形的面積是另一個三角形面積的倍，就說這個三角形是另一個三角形的“倍三角形”，另一個三角形是這個三角形的“分之一三角形”．如圖1，的中線把三角形分成面積相等的兩部分，即和的面積都是面積的一半，所以是或的“2倍三角形”，和都是的“2分之一三角形”．(1)①如圖2，是的“2倍三角形”，那么是的“________分之一三角形”；②若點是的重心，連接，，則是的“________倍三角形”；(2)在中，，分別延長邊，到點，，連接．已知，是的“16倍三角形”．求證：與是相似三角形；(3)如圖3，在矩形中，，連接，過點作于點，點，分別是線段，上的動點，連接，．已知是的“4倍三角形”，求的最小值．8．小明和小剛走進教室，跟隨李老師探究“矩形折疊中的相似三角形”問題．請你一同作答：如圖，已知在矩形中，，，點E為邊上一點（不與點A、點B重合），先將矩形沿折疊，使點B落在點F處，交于點H．(1)【觀察發現】寫出圖1中一個與相似的三角形：．(2)【遷移探究】當與的交點H恰好是的中點時，如圖2．求陰影部分的面積．(3)【拓展應用】當點B的對應點F落在的中垂線上時，求的長．9．下面是小新同學在“矩形折疊中的相似三角形”主題下設計的問題，請你解答．如圖，已知在矩形中，點E為邊上一點（不與點A、點B重合），先將矩形沿折疊，使點B落在點F處，交于點H．(1)觀察發現：寫出圖1中一個與相似的三角形：______．（寫出一個即可）(2)遷移探究：如圖2，若，，當與的交點H恰好是的中點時，求陰影部分的面積．(3)如圖③，當點F落在邊上時，延長，與的角平分線交于點M，交于點N，當時，請直接寫出的值．10．【感知】（1）小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖①，在中，點D是的中點，點E是的一個三等分點，且．連結，交于點G，求值．小明發現，過點D作的平行線或過E作的平行線，利用相似三角形的性質即可得到問題的答案．請你根據小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程【嘗試應用】（2）如圖②，在中，D為上一點，，連結，若，交于點E、F．若，，，則的長為．【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形中，點E為的中點，點F為上一點，與、分別交于點G、M，若，若的面積為2，則的面積為．11．如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E，F（E在F左邊），以時為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE，PF分別交AC于點G，H．（1）求△PEF的邊長；（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形（不含全等形），并證明；（3）若△PEF的邊EF在線段BC上以每秒1個單位的速度移動．設BE的長為，PH的長為，請你寫出與的函數式，并指出函數自變量的取值范圍．12．小波在復習相似三角形一章時，溫故后進行了操作與拓展．請幫助他解決以下問題：（1）小波想作出一個內接于最大正方形．如圖1，在中，邊上的高為4．他先在邊上任取了一點，作出正方形，使在邊上，在內，請你在及其內部，以點B為位似中心作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）．（2）求（1）中作出的正方形的邊長．（3）在（2）的條件下，在射線上截取，連接（如圖2）．當時，猜想的度數，并嘗試證明．13．如圖，在中，，，．在它的內部作一個矩形，使得在邊上，、分別在邊、上．設，矩形的面積為．(1)寫出圖中的一對相似三角形；(2)寫出關于的函數關系式；(3)若、是平面直角坐標系中的兩個點，判斷線段與（2）中函數圖象的交點情況，并求出對應的取值范圍．14．下面是李老師在“矩形折疊中的相似三角形”主題下設計的問題，請你解答．如圖，已知在矩形中，，點E為邊上一點（不與點A、點B重合），先將矩形沿折疊，使點B落在點F處，交于點H．(1)觀察發現寫出圖1中一個與相似的三角形：．(2)遷移探究當與的交點H恰好是的中點時，如圖2．①設，請判斷的數量關系，并說明理由；②求陰影部分的面積．(3)拓展應用當點B的對應點F落在矩形的對稱軸上時，直接寫出的長．15．在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點，連接、、，發現和為定值．（1）①__________；②__________；③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關系，請你按他的思路證明①②．（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：①__________（用k的代數式表示）②__________（用k、的代數式表示）參考答案1．(1)相似，理由見解析(2)，理由見解析(3)圖中共有6對相似三角形，，，，(4)【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質和平行四邊形的性質．（1）結論：．利用平行四邊形的性質得，再根據相似三角形的判定即可證明．（2）結論：．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．（3）根據平行四邊形的性質和相似三角形的判定即可得出結論．（4）由（2）知，則，再證明，得，即可求解．【詳解】（1）解：理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，．（2）解：，理由：是BC中點，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，由（1），，．（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，即，，∴；，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，即，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴．∴圖中共有6對相似三角形，，，，．（4）解：由（2）知：，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴，，是BC中點，，∴，∴，∴．2．（1）①見解析；②見解析；（2）①見解析；②存在，當a＝時，△AEF與△BFC相似【分析】對于（1）①，根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”得出答案；對于②，找出相似的三角形，再證明即可；對于（2）①，結合矩形的性質根據同角的余角相等得，進而得出，再根據，可得，得出答案；對于②，先根據，得，表示，，先根據,得，判斷取值；再根據，得，求求出答案即可.【詳解】（1）①證明：設正方形的邊長，則，，∴，，∴．∵四邊形是正方形，∴，∴；②解：圖中還有，，下面證明，∵，∴，.∵E是的中點，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴；②存在a值，使得與相似，理由如下：由題意得：，，，由①知，∴，即，解得，∴.若,則，即，此時方程無解，這種情況不存在；若，則，即，解得，∴當時，與相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，矩形的性質，正方形的性質等，靈活選擇相似三角形的判定定理是解題的關鍵．3．（1）2；（2）△APH∽△CFH；（3）見解析【詳解】解：（1）過P作PQ⊥BC于Q．∵矩形ABCD中，∠B=90°，即AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ=AB=，∵△PEF是等邊三角形，∴∠PFQ=60°．在Rt△PQF中，PF===2，∴△PEF的邊長為2；（2）△APH∽△CFH．理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH；（3）在Rt△ABC中，AB=，BC=3，∴AC==2，∴∠ACB=30°，∵△PEF是等邊三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°，∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+FC=3﹣EF=3﹣2=1，∴PH﹣BE=1．4．（1）△DEF∽△DAB∽△BCD；（2）10.【分析】（1）根據平行的性質即可得出相似的三角形；（2）證明△DEF∽△DAB，根據相似三角形的性質即可得出AB的長度，又CD=AB，即得出CD的長度．【詳解】（1）△DEF∽△DAB∽△BCD理由如下：∵在平行四邊形ABCD中，EF∥AB∴EF∥AB∥CD∴△DEF∽△DAB∽△BCD（2）∵DE：EA=2：3，∴DE：DA=2：5又∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB（2）【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定定理以及平行四邊形的性質，熟練掌握判定定理與性質是解題的關鍵．5．（1）△ADF∽△DEC，見解析；（2）6【分析】（1）根據∠AFE=∠B且四邊形ABCD是平行四邊形得出∠AFD=∠C，再根據平行得出∠ADF=∠DEC，從而證明△ADF∽△DEC；（2）由（1）的相似對應邊成比例計算出DE，再根據勾股定理計算AE的長度．【詳解】（1）△ADF∽△DEC理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF與△DEC中，，∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE=．在Rt△ADE中，AE=【點睛】本題是一道平行四邊形與相似綜合的題目，難度一般，掌握相關的線段與角度之間的轉化是解題關鍵．6．（1）B；（2）見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，AB∥DC，根據相似三角形的判定方法即可得解；（2）由AB∥CD可得△AOB∽△COE，即可得到OE：OB＝OC：OA，由AD∥BC可得△AOF∽△COB，即可得到OB：OF＝OC：OA，進而可得到OB2＝OF?OE．【詳解】解：（1）∵ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AB∥DC，∵△ABO∽△CEO，△AOF∽△COB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五對，還有一對特殊的相似即△ABC≌△ADC，∴共6對，故選B；（2）∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．∴OE：OB＝OC：OA；∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴OB：OF＝OC：OA．∴OB：OF＝OE：OB，即OB2＝OF?OE．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質．解題的關鍵是掌握證線段的乘積相等，通常轉化為成比例式形式，再證明所在的三角形相似．7．(1)①3；②3(2)見解析(3)【分析】（1）①首先根據題意得到的面積是面積的3倍，然后根據“分之一三角形”的概念求解即可；②根據題意畫出圖形，設，求出，然后根據三角形重心的性質和中線的性質表示出，進而根據“倍三角形”的概念求解即可；（2）根據題意畫出圖形，連接，根據三角形中線的性質和“倍三角形”的性質得到，進而求出，然后得到，，進而得到，結合即可證明出；（3）作點C關于的對稱點，點Q關于的對稱點，連接，，，根據題意得到的面積是面積的4倍，的面積是面積的3倍，然后證明出，得到，求出，然后得到，，然后證明出當點E，P，三點共線時，有最小值，即的長度，當時，最小，然后求出，，然后利用特殊角的三角函數值求解即可．【詳解】（1）①∵是的“2倍三角形”，∴的面積是面積的2倍，∴的面積是面積的3倍，∴是的“3分之一三角形”；②如圖所示，點D是的中點，點O是是的重心∵點D是的中點∴設∴∵點O是的重心∴∴∴∴∴是的3倍∴是的“3倍三角形”；（2）如圖所示，連接，∵∴∴∵是的“16倍三角形”∴∴∴∴∴，即∵，∴∴，∴又∵∴；（3）如圖所示，作點C關于的對稱點，點Q關于的對稱點，連接，，∵是的“4倍三角形”，∴的面積是面積的4倍∴的面積是面積的4倍∴的面積是面積的3倍∵∴∵∴∴，即∴∵的面積是面積的3倍∴∴∵點C關于的對稱點∴∵點C關于的對稱點，點Q關于的對稱點∴∴∴當點E，P，三點共線時，有最小值，即的長度，∴當時，最小∵，，∴∴由對稱性質可得，∴∴．∴的最小值為，∴的最小值為．【點睛】此題考查了矩形的性質，相似三角形的性質和判定，解直角三角形，軸對稱性質，三角形重心的性質等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線求解．8．(1)或（寫出一個即可）(2)(3)【分析】（1）根據矩形的性質和對頂角相等可得出相似的三角形為或；（2）由題意結合勾股定理可求出，即可求出．易證，即得出，代入數據即可求出的長，最后根據三角形面積公式計算即可；（3）畫出圖形，易求出，即得出，從而可求出，再根據折疊可求出．最后根據，即可求解．【詳解】（1）解：∵矩形沿折疊，使點B落在點F處，交于點H，∴．∵，∴，∴，∴，故與相似的三角形為或（寫出一個即可）（2）解：∵點H是的中點，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，即，∴，∴，即陰影部分的面積為；（3）解：如圖，點F在的中垂線上，∵，，，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質，矩形的性質，折疊的性質，含特殊角的直角三角形三邊的關系，勾股定理等知識．掌握矩形和折疊的性質，三角形相似的判定定理和性質定理是解題關鍵．9．(1)或（寫出一個即可）(2)陰影部分的面積是(3)的值為【分析】（1）由，，可得，故，從而；（2）根據折疊及矩形的性質，結合點是的中點，得，，由折疊可知，故，證明，可得，，根據三角形面積公式得陰影部分的面積是；（3）由折疊及矩形的性質可知，，，過點作，由角平分線的性質可得，易證，得，由，得，再證，得，設，，可得，，，，則，可得，解得，再根據，，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形沿折疊，使點落在點處，交于點，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：或（寫出一個即可）；（2）由折疊可知，，∵四邊形是矩形，，，∴，，，∵點是的中點，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴陰影部分的面積是；（3）由折疊可知，∵四邊形是矩形，∴，，過點作，∵平分，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，設，，∴，，，，∴，則，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查折疊的性質，矩形的性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，全等三角形的判定及性質，角平分線的性質等知識點，添加輔助線構造得線段之間的數量關系是解決問題的關鍵．10．（1）3（2）7（3）10【分析】（1）過點D作交于H，則，而，所以，則，所以，由，得，所以，可證明，得，可推導出，則；（2）取的中點H，連結，由，于點E，得，則，可證明，得，所以，求得，于是得到問題的答案；（3）設的面積為，求出，，過點作交于點，證明，得，，再證明，得，由列式求出的值即可得出的面積【詳解】解：解：如圖①，過點D作交于H，則，

圖①∵D是的中點，∴，∵，∴∴∴，∵E是的一個三等分點，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值為3；（2）如圖②，取的中點H，連結，則，∵于點E，，∴，∴為的中點，∴為的中位線，∴∴，∴，∴，∴，∴故答案為：7．（3）如圖③，設的面積為，∴，∵原來的中點，∴且，連接，則∵，∴，過點作交于點，∴，∴∴∴∵∴，又∴∵∴，∴∴，∵，∴，解得：，∴，∴的面積為10，故答案為：10【點睛】本題主要考查等腰三角形的“三線合一”、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．11．（1）2；（2）△AHP∽△CHF，證明見解析；（3），其中．【詳解】試題分析：（1）由題意知，等邊△EFP的高與矩形的AB邊相等從而根據三角函數即可求得其邊長；（2）根據已知及相似三角形的判定方法即可證得相似三角形；(3)易證PH=AP，AP=BM，從而得y與x的函數式.試題解析：（1）過P點作PM⊥BC，垂足為M，則PM=AB=．∵△PEF為等邊三角形,∴∠PEF=60°．在Rt△PEM中，，△PEF的邊長為2．（2）△AHP∽△CHF，證明如下：∵ABCD為矩形,∴AD∥BC，∴∠PAH=∠FCH．又∵∠AHP=∠CHF，∴△AHP∽△CHF．（3）在等邊△PEF中，PM⊥BC．由三線合一知EM=EF=1．在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴∠ACB=30°．又△FHC的外角∠BFH=60°，∴∠FCH=∠FHC=30°，則∠PAH=∠PHA，∴PH=AP．易知ABMP為矩形，AP=BM，∴AP=BM=BE+EM=BE+1．即，其中．考點：1.相似三角形的判定；2.等邊三角形的性質；3.矩形的性質．12．（1）畫圖見解析；（2）作出的正方形PQMN的邊長為；（3）猜想∠QEM的度數為，證明見解析．【分析】（1）連接并延長交AC于N,過N作MN⊥BC于M,過N作NP//BC交AB于P,過P作PQ⊥BC于Q即可；（2）利用相似三角形的性質構建方程解答即可；（3）先證明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ=∠BME，由∠BME+∠EMN=90°，可得∠BEQ+∠NEM=90°即可解答．【詳解】（1）如圖：正方形即為所求；（2）如圖：過A作AD⊥BC，垂足為D∵PQMN是正方形∴AE=AD-ED=AD-PN∵PN//BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，解得PN=;（3）∠QEM=，證明如下：證明：如圖：由，則可設MN=3k，BM=4k，則BN=5k，BQ=k，BE=2k，∴∴∵∠QBE=∠EBM∴△BQE∽△BEM∴∠BEQ=∠BME∵NE=NM∴∠NEM=∠NME∵∠BME+∠EMN=90°∴∠BEQ+∠NEM=90°∴∠QEM=90°．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質和判定、相似三角形的判定和性質等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．13．(1)△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB(2)(3)當時，此時MN與拋物線沒有交點；當時，MN與拋物線有2個交點；當或或時，MN與拋物線只有一個交點．【分析】（1）只需要證明△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB即可；（2）根據相似三角形的性質求出即可得到答案；（3）利用二次函數圖象的性質求解即可.【詳解】（1）解：∵四邊形DEFG是矩形，∴∠ADG=∠BEF=∠C=90°，，∴∠A=∠CGF，∠B=∠CFG，∴△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB；（2）解：∵在中，，，，∴∵△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB，∴，∴，∵四邊形DEFG是矩形，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴拋物線頂點坐標為（5，12），∵、，∴MN與x軸平行，當，即時，此時MN與拋物線沒有交點；當，即時，此時MN與拋物線只有一個交點，當，即時，令，，解得或（舍去），∴當時，MN與拋物線有2個交點，時，MN與拋物線只有一個交點，當時，MN與拋物線只有一個交點，綜上所述，當時，此時MN與拋物線沒有交點；當時，MN與拋物線有2個交點；當或或時，MN與拋物線只有一個交點．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，矩形的性質，勾股定理，二次函數與幾何的應用，熟知相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．14．(1)或(2)①，理由見解析；②(3)或【分析】（1）根據折疊的性質可得，可證明，從而得到，進而得到，即可；