第頁，共頁重慶市第十一中學校高2026屆（下）數學試卷2025.04一、單選題：本題共8題，每小題5分，共40分.在每題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.3名男生和2名女生排成一隊照相，要求女生相鄰，共有排法（）種A.120 B.24 C.48 D.96【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可得答案.【詳解】將兩名女生當成一個元素和3名男生全排列得種排法，兩名女生排序有種排法，所以共有種排法.故選：C.2.設，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二項式的展開式求出結果．【詳解】根據二項式展開式：，；故當時，展開式中的系數為，故．故選：D．3.函數（）的單調遞增區間是（）A. B.C. D.和【答案】B【解析】【分析】求導可得，求即可得解.【詳解】（），令，解得，故在上單調遞增，故選：B．4.如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”．現提供4種顏色給“弦圖”的5個區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（）A.48種 B.72種 C.96種 D.144種【答案】B【解析】【分析】區域與其他區域都相鄰，從開始分步進行其它區域填涂可解【詳解】解：根據題意，如圖，假設5個區域依次為，分4步分析：①，對于區域，有4種涂法，②，對于區域，與相鄰，有3種涂法，③，對于區域，與相鄰，有2種涂法，④，對于區域，若其與區域同色，則有2種涂法，若區域與區域不同色，則有1種涂法，則區域有2+1＝3種涂色方法，則不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72種；故選：B．【點睛】本題考查兩個計數原理的綜合問題使用兩個計數原理進行計數的基本思想：對需用兩個計數原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個“既不重復也不遺漏”的類，再對每類中的計數問題分成若干個“完整的步驟”，求出每個步驟的方法數，按照分步乘法計數原理計算各類中的方法數，最后再按照分類加法計數原理得出總數．5.北山中學在學校“236”發展目標的引領下，不斷推進教育教學工作的高質量發展，學生社團得到迅猛發展．現有高一新生中的五名同學打算參加“地理行知社”“英語ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數為（）A.72 B.108 C.180 D.216【答案】C【解析】【分析】根據甲參加的社團分類，分甲參加的社團只有1人和參加的社團有2人，由分步和分類計數原理可得．【詳解】根據題意分析可得，必有2人參加同一社團.首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個社團，則有（種）情況；若甲是單獨1個人參加一個社團，則有（種）情況．則除甲外的4人有（種）參加方法．故不同的參加方法的種數為故選：C6.已知函數，則的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過特殊點的函數值，用排除法選擇正確選項.【詳解】，，，排除選項ABD.故選：C.7.在的展開式中，項的系數為（）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B【解析】【分析】先求的通項公式為，再求出的通項公式，結合條件列式即可得解.【詳解】在的展開式中，通項公式為，對于，通項公式為，，，r、k，令，可得，故，，故項的系數為，故選：B.8.設，，，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別令、、，利用導數可求得，，，由此可得大小關系.【詳解】令，則，在上單調遞增，，即，則；令，則，在上單調遞減，，即，則；，即；令，則，在上的單調遞增，，即，則，即；綜上所述：.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，將問題轉化為函數值的大小關系的比較問題，通過導數求得函數的單調性后，即可得到函數值的大小.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.[多選題]下列說法正確的是（）A.可表示為B.若把英文“hero”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有23種C.10個朋友聚會，見面后每兩個人握手一次，一共握手45次D.老師手里有3張參觀游園的門票分給7人中的3人，則分法有種【答案】ABC【解析】【分析】由排列數公式可判斷A；由排列定義可判斷B；由組合定義可判斷CD．【詳解】A項，，正確；B項，h，e，r，o的全排列為（種），正確的有1種，故可能出現的錯誤共有（種），正確；C項，10個朋友，兩個人握手一次，共握手（次），正確；D項，3張門票屬于相同元素，故應有種分法，D不正確．故選：ABC.10.已知函數在上是單調函數，則實數a的值可以是（）A. B.C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】由題意得在上恒成立，由判別式小于等于0求出參數即可.【詳解】因為為二次函數，開口向下，總會存在負值，由題意得在上恒成立，則，解得．故選：ABC.11.函數有兩個極值點，則下列結論正確的是（）A.若，則有3個零點 B.過上任一點至少可作兩條直線與相切C.若，則只有一個零點 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據三次函數性質，對參數的正負進行分類討論畫出其大致圖象可知當，則有3個零點，即A正確；顯然在極值點處只能作一條直線與相切，可知B錯誤；若，結合的正負進行分類討論可知只有一個零點，即C正確；利用三次函數的對稱中心以及導函數零點可得，所以D正確.詳解】根據題意可得，且；當時，易知時，；時，；此時在和上單調遞增，在上單調遞減；且當趨近于時，也趨近于；當趨近于時，也趨近于；利用三次函數性質可知，當，其函數圖象如下圖所示：此時由圖象可知有3個零點；同理當時，易知在和上單調遞減，在上單調遞增；且當趨近于時，也趨近于；當趨近于時，也趨近于；利用三次函數性質可知，當，其函數圖象如下圖所示：此時由圖象可知有3個零點；所以若，則有3個零點，即A正確；由題意知，所以過或有且僅有一條直線與相切，且切線為水平直線，所以B錯誤；當時，由選項A易知在處取得極大值，在處取得極小值，且；若，則，即；此時其圖象如下圖所示：由圖可知，只有一個零點；同理當時，易知在處取得極小值，在處取得極大值，且；若，則，即；此時其圖象如下圖所示：由圖可知，只有一個零點；綜上可知，若，則只有一個零點，即C正確；由三次函數性質可知，函數關于成中心對稱，所以滿足，又是方程的兩根，則滿足；所以，即，所以D正確；故選：ACD【點睛】方法點睛：研究三次函數性質時，需要記憶三次函數圖象的幾種常見模型以及對稱中心坐標的表達式，結合極值、極值點等概念綜合考慮可判斷結論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的導函數為，且滿足，則______.【答案】##【解析】【分析】對原函數求導，將代入求即可.【詳解】由題設，則.故答案為：13.已知集合，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是______．【答案】6【解析】【分析】根據題意，可得所取的橫坐標為負數，縱坐標為正數，結合所給集合列舉分析即可得答案【詳解】因為兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，且該點表示第二象限內的點，所以所取的橫坐標為負數，縱坐標為正數，若橫坐標為-2，則縱坐標可為5、6，即點為，若橫坐標為-4，則縱坐標可為1、3，即點為，若橫坐標為-7，則縱坐標可為1、3，即點為，所以點的個數為6.故答案為：614.關于x的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令，則有，應用導數研究函數的單調性，將問題化為恒成立，再應用導數求右側最大值，即可得參數范圍.【詳解】由題設，令，則，且，令，則，當，，則在上單調遞減，當，，則在上單調遞增，則，即在R上單調遞增，所以且，故恒成立，令，則，當，，則在上單調遞增，當，，則在上單調遞減，則，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知是函數的一個極值點.（1）求的單調區間；（2）求在區間上的最大值.【答案】（1）減區間為，增區間為（2）76【解析】【分析】（1）求導后根據極值點的定義與滿足的關系式求解即可；（2）分析區間內的極大值點與左端點再判斷大小即可【小問1詳解】，是函數的一個極值點，，，令，解得或；令，解得.所以函數的減區間為，增區間為.【小問2詳解】由（1），又在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減函數在的極大值為，又，函數在區間上的最大值為.16.已知展開式中的第二項、第三項、第四項的二項式系數成等差數列.（1）求n的值；（2）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）利用第二項、第三項、第四項的二項式系數為等差數列可求；（2）根據二項展開式的通項可得展開式中共有3項有理項，利用插空法和古典概型的概率計算公式可求概率.【小問1詳解】因為第二項、第三項、第四項的二項式系數分別為、、，由題意可知：，即，顯然，整理可得，解得或（舍去），所以．【小問2詳解】由（1）可知展開式的通項為，可知展開式共8項，當為有理項，共3項，所以由插空法可得有理項不相鄰的概率．17.已知，，過原點作圖像的切線，切點為M，已知（1）求的解析式；（2）若的圖像與的圖像有一條通過原點的公切線，求a的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】(1)根據導數的幾何意義列方程求出切點橫坐標，再根據求；(2)由(1)可得與曲線相切，由此可求a的值．【小問1詳解】設切點，∵，∴，∴，∴，又；∴，∴【小問2詳解】此公切線即為（1）中的切線，∵，∴切線為，設與的圖像切于點，又∵，∴，解得，∴18.已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對任意恒成立，求實數最大值；（3）證明：.（參考數據：）【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數求曲線在切點處的切線方程；（2）求出函數在時的值域，可求實數的最大值；（3）依題意，構造函數，利用導數證明即可.【小問1詳解】，，在處的切線為.【小問2詳解】，，則，所以，在上單調遞減，時，，因對任意恒成立，所以，則，的最大值為.【小問3詳解】設，，在上單調遞增，，，使，上單調遞減，在上單調遞增，，，，.【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.19.帕德近似是法國數學家亨利?帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法.給定兩個正整數，函數在處的階帕德近似定義為：且滿足：.注：.已知函數在處的階帕德近似.（1）求的表達式；（2）記，當時，證明不等式；（3）當，且時，證明不等式.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據的定義，即可利用求導以及待定系數求解系數，進而可求解，（2）構造函數，求導得單調性，即可求解最值求解，（3）根據（2）的結論，可得，由放縮法得，即可裂項相加，結合對數運算求解.【小問1詳解】由題意，.因為，所以，所以.因，且，所以.因為，且，所以.所以.【小問2詳解】因為，所以.記，則，因