2024—2025學年度高二4月聯考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.4名同學去3個十字路口作交通協管志愿者，每名同學可自由選擇1個十字路口，不同選擇方法的種數是（）A.81 B.64 C.24 D.12【答案】A【解析】【分析】由題意，根據分步乘法原理，可得答案.【詳解】根據題意，每名同學可自由選擇3個十字路口中的任意一個，所以每名同學有3種選擇方法，由分步計數原理知，4名同學共有種選擇方法.故選：A．2.曲線在點處的切線斜率為（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據導數的幾何意義求解即可.【詳解】因為，，所以，所以，即曲線在點處的切線斜率為，故選：C．3.設函數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據乘法的求導公式直接求導，進而得解.【詳解】因為，所以，所以，故選：B．4.體育課上，四組同學進行籃球訓練．現將7個籃球進行分配，每個組都分到籃球的分配方法有（）A.23種 B.22種 C.21種 D.20種【答案】D【解析】【分析】利用隔板法即可求得結果.【詳解】將7個籃球分配給4組學生，每個組都分到籃球，即把7個籃球分成4組，每組至少有1個籃球，用隔板法．將7個籃球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空中選3個插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個組都分到籃球的分配方法有20種．故選:D．5.已知函數，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數導數求出函數的單調性，由單調性求出函數的最值即可.【詳解】由，得．令，得．當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得極小值也是最小值．即的最小值為，故選：D．6.投擲一枚正方體骰子兩次，則在第一次正面朝上點數為奇數的條件下，第二次正面朝上的點數大于4的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件概率得，由即可求解.【詳解】記事件“第一次正面朝上的點數為奇數”，事件“第二次正面朝上的點數大于4”．投擲一枚正方體骰子兩次，所有的樣本點（x為第一次正面朝上的點數，y為第二次正面朝上的點數）共36個，其中事件A包含的樣本點有18個事件AB包含的樣本點有6個，,所以.故選：C．7.在規定時間內，甲、乙、丙能正確解答某道題的概率分別為0.5，0.6，0.4，且這三人是否能按時正確解答該題相互獨立．記甲、乙、丙三人中能按時正確解答該題的人數為X，則（）A.1.8 B.1.7 C.1.6 D.1.5【答案】D【解析】【分析】根據題意的取值為0，1，2，3，再利用相互獨立事件概率乘法公式以及數學期望相關知識可解．【詳解】記事件A，B，C分別為甲、乙、丙能按時正確解答該題，由題意得，，，則，，．由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以.故選：D．8.設函數，若函數的圖象與直線有三個交點，則實數b的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，先畫的圖像，求導得到其單調性以及極值，然后再畫的圖像，結合函數的圖像，即可得到結果.【詳解】當時，，則．由得，所以在上單調遞減；由得，所以在上單調遞增．當時，，當時，，當時，，當時，取得極小值，．又當時，，所以函數的大致圖象如圖．由圖可知，當時，函數的圖象與直線有三個交點，所以實數b的取值范圍是，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.現有牌面互不相同的五張撲克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3張和方塊有2張．從中不放回地抽取2次，每次抽取一張，則下列說法正確的有（）A.第二次抽到黑桃的概率為B.在抽取過程中，至少有一次抽到方塊的概率為C.若已知第二次抽到的是方塊，則第一次也抽到方塊的概率為D.設抽到黑桃的次數為【答案】ACD【解析】【分析】利用古典概型的概率計算，分類計數、正難則反、條件概率以及離散型分布列計算數學期望，可得答案.【詳解】第二次抽到黑桃的概率為，故A正確；因為兩次都抽到黑桃的概率為，所以至少有一次抽到方塊的概率為，故B錯誤；第二次抽到方塊的概率為，兩次都抽到方塊的概率為，所以已知第二次抽到的是方塊，則第一次也抽到方塊的概率為，故C正確；X可能取值為0，1，2，，，，故，故D正確．故選：ACD．10.下列說法中，正確的有（）A.的展開式中，的系數是60B.，則C.用數字0，1，2，3，4組成的無重復數字的四位數中，偶數的個數為48D.隨機變量X的分布列為，，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據二項式定理寫出展開式通項，由題意，可得其正誤；對于B，利用賦值法，分別賦值為，相減可得其正誤；對于C，根據分類加法原理，結合四位數且為偶數的性質，可得其正誤；對于D，根據數學期望以及方差的計算公式，可得其正誤.【詳解】的展開式的通項為，，1，2，3，4，5，6，令，則的展開式中的系數為，故A正確；在中，令，得，所以；再令，得，即．所以，故B正確；由題意，若四位數為偶數，則其個位數字為0，2或4．當個位數字為時，四位數有個；當個位數字為2或4時，四位數分別有個．由分類加法計數原理，得偶數的個數為，故C錯誤；由題意得，，所以，故D正確．故選：ABD．11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.若曲線在點處的切線方程為，則B.若，則函數在上單調遞增C.若，則函數在上的最小值為D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據函數的導數性質，如切線斜率與導數的關系、利用導數判斷函數單調性、求函數最值等知識，對每個選項逐一進行分析判斷.【詳解】首先對函數求導，可得，所以.已知切線方程為，其斜率為，所以，解得，故選項錯誤.當時，，當時，，則，即.所以函數在上單調遞增，故選項正確.當時，.，令，即，解得.當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以在處取得最小值，，故C選項正確.當時，，，不滿足；當時，，則，在上單調遞增.當時，，，不滿足.當時，令，得.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以在處取得最小值.令，對其求導得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以在處取得最大值.要使，則，所以，故選項正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的單調增區間為________．【答案】【解析】【分析】先對函數求導，再由，即可求出結果.【詳解】因為，所以，由得：，因為，所以，解得，所以單調遞增區間為.故答案為【點睛】本題主要考查導數在函數中的應用，通常需要對函數求導，通過解導函數所對應的不等式求單調區間，屬于基礎題型.13.某學校組織乒乓球比賽，采取3局2勝制．甲、乙兩同學進行淘汰賽，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結果相互獨立．則在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】根據條件概率公式求解.【詳解】設甲獲勝為事件A，甲第一局獲勝為事件B，則，，所以在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率．故答案為：14.設函數，，若對任意，恒成立，則的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】構造函數，可知，函數在內單調遞增，則在上恒成立．參變分離得出，求出函數最小值，即可求出實數的取值范圍.【詳解】對任意的，，可得，可得，構造函數，則，所以函數在內單調遞增，即在上恒成立．因為，即在上恒成立．分離參數有，當時，取最小值，所以，即.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數的圖象在點處的切線方程是．（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調區間．【答案】（1）（2）的單調增區間為和，單調減區間為【解析】【分析】（1）由函數解析式求導，利用切點橫坐標求得切線斜率，由切線方程求得切點縱坐標，從而建立方程組，可得答案；（2）由（1）可得函數的解析式，求導，根據導數與函數單調性的關系，可得答案.【小問1詳解】因為，所以．已知函數圖象在點處的切線方程是，即，所以，．解得，，所以函數的解析式為．【小問2詳解】由（1）可知，，所以．令，解得或，所以函數在和上單調遞增；令，解得，所以函數在上單調遞減．綜上，的單調增區間為和，單調減區間為．16.某次物理考試后，學校隨機抽取了100名參加本次考試的學生的成績（單位：分），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）為進一步調查學生每天學習物理的時間，從樣本采用比例分層抽樣從成績在，內的學生中抽取13人，再從中任選3人進行調查，求抽到成績在內的人數X的分布列和數學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用小長方形面積和建立方程，求解即可.（2）由題意得X可取值，再求得相應的概率，列出分布列，然后求解期望即可.【小問1詳解】由題意，得，解得．【小問2詳解】由題意，抽取的13人，成績在，的學生人數分別為，，則X的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以X的數學期望17.2024年國慶假期期間，某超市舉辦了購物抽獎活動．設置甲、乙、丙三個抽獎箱，每次從其中一個抽獎箱中抽取一張獎券，已知甲箱每次抽取中獎的概率為，乙和丙箱每次抽取中獎的概率均為，中獎與否結果互不影響．（1）已知某顧客有三次抽獎機會，現有兩種抽獎方案供選擇：方案一：從甲、乙、丙中各抽取一次，中獎三次獲得金額50元的代金券，中獎兩次獲得金額20元的代金券，其它情況沒有獎勵．方案二：從甲中抽取三次，中獎三次獲得金額70元的代金券，中獎兩次獲得金額30元的代金券，其它情況沒有獎勵．計算獲得代金券金額的期望，分析該顧客選擇哪個方案比較合適？（2）若一位顧客有一次抽獎機會，他等可能的選擇甲、乙、丙三個抽獎箱中的一個抽獎，已知該顧客抽取中獎，求該顧客選擇乙抽獎箱的概率．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分別計算兩方案中獎三次和中獎兩次的概率，從而求得獲得代金券金額的期望，比較期望選擇較大的方案；（2）設事件A為“顧客選擇甲抽獎箱”，事件B為“顧客選擇乙抽獎箱”，事件C為“顧客選擇丙抽獎箱”，事件D為“抽取的獎券中獎”，利用全概率公式即可求解，再利用貝葉斯公式即可求解.【小問1詳解】方案一中，中獎三次的概率為，中獎兩次的概率為，所以獲得代金券金額的期望為；方案二中，中獎三次的概率為,中獎兩次的概率為，所以獲得代金券金額的期望為，因為，所以該顧客選擇方案一比較合適.【小問2詳解】設事件A為“顧客選擇甲抽獎箱”，事件B為“顧客選擇乙抽獎箱”，事件C為“顧客選擇丙抽獎箱”，事件D為“抽取的獎券中獎”，由題意得，，,，,,所以已知該顧客抽取中獎，求該顧客選擇乙抽獎箱的概率.18.已知函數（1）當時，求的極值；（2）若，求在區間的最小值．【答案】（1）極大值，極小值；（2）時，最小值為；時，最小值為.【解析】【分析】（1）利用導函數求函數的單調性和極值；（2）利用導函數，分類討論求函數的單調性和最小值.【小問1詳解】當時，的定義域為，且，所以，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以，在處取得極大值，在處取得極小值.【小問2詳解】由題意，，令，解得或.因為，所以當或時，；當時，，單調遞減.所以，當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，則在區間的最小值為.當即時，在上單調遞減，則在區間的最小值為.綜上所述，時，在區間的最小值為；時，則在區間的最小值為.19.已知函數（）．（1）若，求函數的極值；（2）求證：．【答案】（1）當時，函數取得極小值，，無極大值.（2）證明見解析【解析】【分析】(1)利用導數求出函數的極大值和極小值即可，（2）求出函數的導數，令，對進行求導