江蘇省蘇州市昆山周市2024-2025學年高二下學期3月月考數學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從6名同學中選出正、副組長各1名，不同的選法種數是（）A.30種 B.11種 C.15種 D.35種【正確答案】A【分析】根據題意，從6名同學中選出正、副組長各1名是個排列問題，可得答案.【詳解】由題意可得不同的選法種數是種.故選：A.2.已知函數滿足，則（）A. B.1 C. D.2【正確答案】B【分析】求函數的導數即可得到結論.【詳解】由得，所以，解得.故選：B3.兩名輔導教師與3名獲獎學生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側，則不同的站法共有（）種．A.6 B.12 C.60 D.120【正確答案】B【分析】優先考慮特殊位置，先排輔導老師，再排學生即可.【詳解】由題意，2名教師分別站在兩側，則，再排學生，，則不同的站法共有種.故選：B4.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標為（）A. B.C.或 D.【正確答案】C【分析】由題設知處的切線斜率為2，應用導數幾何意義列方程求點的橫坐標則P點可求.【詳解】由題直線的斜率為，故曲線在處的切線斜率為2，而，所以，則，即，故點的坐標為或.故選：C.5.函數，的最小值是（）A. B. C.0 D.無最小值【正確答案】A【分析】求導，根據單調性即可求最值.【詳解】因為，，所以，，當，，在上單調遞增；當，，在上單調遞減，又，，，所以在上的最小值為.故選：A6.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數為（）A.240 B.192 C.96 D.48【正確答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數為.故選：B.7.已知函數在區間上單調遞減，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可知，對任意的，，由參變量分離法可得，利用導數求出函數在上的值域，即可得出實數的最小值.【詳解】由得，因為函數在區間上單調遞減，則對任意的，，可得，令，其中，則對任意的恒成立，所以，函數在上單調遞增，當時，，即，所以，，故的最小值為.故選：B.8.若存在實數，對任意，成立，則稱是在區間上的“倍函數”．已知函數和，若是在的“倍函數”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據“倍函數”定義可知，在上恒成立，構造函數并求出其在上的最小值即可得出的取值范圍是.【詳解】根據題意可得，存在實數，對于任意，恒成立，即在上恒成立，設，則；當，恒成立，所以在單調遞減，即，即即可所以的取值范圍是.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分9.如圖是函數的導函數的圖象，則以下說法正確的為（）A.是函數的極值點B.函數在處取最小值C.函數在處切線的斜率小于零D.函數在區間上單調遞增【正確答案】AD【分析】結合圖象，由導數的正負情況，再根據導數與單調性關系、極值點和最值定義以及導數幾何意義即可得解.【詳解】對于AD，由圖象可知，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以是函數的極小值點，故AD正確；對于B，由A可知，在時取到最小值，故B錯誤；對于C，由于，所以函數在處切線的斜率大于零，故C錯誤.故選：AD10.一個口袋內裝有大小相同的5個白球和2個黑球，下列說法正確的是（）A.從中取3個球，則不同的取法種數是；B.從中取2個球，則顏色不同的取法種數是10；C.從中取3個球，則顏色不同的取法種數是；D.從中取3個球，則顏色相同的種數是．【正確答案】ABD【分析】依題意由組合數公式及分步乘法原理計算可得.【詳解】根據題意，一個口袋內裝有大小相同的個白球和個黑球，共個球，從中取個球，則有種取法，A選項正確；從中取2個球，則顏色不同的取法種數是，B選項正確；從中取3個球，則顏色不同的取法種數是，C選項錯誤；從中取3個球，則顏色相同種數是，D選項正確.故選：ABD．11.2024年3月，中華人民共和國全國人民代表大會與中國人民政治協商會議在北京召開（以下簡稱“兩會”），兩會結束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是（）A.若A與B相鄰，則有48種不同站法B.若C與D不相鄰，則有24種不同站法C.若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D.若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法【正確答案】ACD【分析】利用捆綁法求A與B相鄰的排法數，判斷選項A；利用插空法求C與D不相鄰的排法數，判斷選項B；根據倍縮法求B在E的左邊的排法數，判斷選項C；優先考慮的位置，結合排列知識和兩大計數原理求A不在最左邊，D不在最中間的排法，判斷選項D.【詳解】若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不在最左邊，D不在最中間，當A排在最中間時，滿足條件的排法有種，當A不排在最中間時，滿足條件的排法有種，故共有種不同排法，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.將3張相同的消費券分給9個人，每人至多分到1張，則不同的分法共有_______種．【正確答案】84【分析】依題意可得9人中有3人各得1張消費券，利用組合數公式計算可得.【詳解】依題意可得9人中有3人各得1張消費券，則不同的分法共有種．故84.13.已知函數f(x)＝lnx－ax存在最大值0，則a＝________.【正確答案】【分析】先求函數的導函數，利用導函數正負確定函數的單調性，然后分類討論，根據單調性確定出函數在處取得最值，構造出關于a的方程，求出a的值.【詳解】當a≤0時，恒成立，即函數f(x)單調遞增，不存在最大值；當a＞0時，令，解得當時，f′(x)＞0，函數f′(x)單調遞增；當時，f′(x)＜0，函數f′(x)單調遞減.即：解得：故答案：本題考查了利用函數單調性求解函數中參數值的問題，屬于簡單題，其中分類討論思想是解題的關鍵，注意分類標準的確定.14.已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，且當時，，則不等式的解集為_________．【正確答案】或【分析】由題意構造，進而在上是增函數，根據奇偶函數的定義判斷的奇偶性，原不等式等價于，結合函數的奇偶性和單調性解不等式即可.【詳解】令，則，由當時，，所以，即在上是增函數，由題意是定義在上的偶函數，所以，所以，所以是偶函數，在遞減，所以，，即不等式等價為，所以，解得或．故或四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）解不等式：．（2）求證：．【正確答案】；證明見解析【分析】（1）根據排列數公式化簡不等式，解不等式即可求解；（2）根據組合數公式證明即可.【詳解】（1）因為所以，，由，得：，化簡得：，令，解得，，所以不等式的解集為，又因為，所以或，所以不等式：的解集為.（2）根據組合數性質有：，所以左邊右邊，等式得證.16.為了某次航天任務，準備從8名預備隊員中（其中男4人，女4人）中選擇4人作為航天員參加該次任務．（1）若參加此次航天任務的航天員要求有男性也有女性，共有多少種選法？（結果用數字作答）（2）若選中的4名航天員需分配到A，B，C三個實驗室去，其中每個實驗室至少一名航天員，共有多少種選派方式？（結果用數字作答）【正確答案】（1）（2）【分析】（1）航天員要求有男性也有女性，先根據人數分類，再結合組合數公式用分步計數原理求解；（2）先選4名航天員，然后分為2，1，1的三組，然后分配到A，B，C實驗室即可.【小問1詳解】由題意，分成3種情況討論：有1名女性，3名男性，共有種選法，有2名女性，2名男性，共有種選法，有3名女性，1名男性，共有種選法，所以共有種選法，即參加此次航天任務有男性也有女性的選法，共有68種選法；【小問2詳解】由題意，先選4名航天員，然后分為2，1，1的三組，然后分配到A，B，C實驗室，共有種方法.所以每個實驗室至少一名航天員，共有2520種選派方式.17.某學校高二年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某“著名品牌”系列進行市場銷售量調研，通過對該品牌的系列一個階段的調研得知，發現系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關系式，其中，為常數.已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.【正確答案】（1）；（2）當銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.【詳解】分析：（1）根據題意已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設該商場每日銷售系列所獲得利潤為，然后根據利潤計算式得出具體表達式，然后根據導數求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當時，，即，解得，所以.（2）設該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，令，得或（舍去），所以當時，為增函數；當時，為減函數，故當時，函數在區間內有極大值點，也是最大值點，即時函數取得最大值.所以當銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.點睛：考查函數表示，導函數最值的應用，正確理解題意，寫出具體表達式，然后借助導數分析思維求解是解題關鍵，做此類題要有耐心，認真審題，讀懂題意，屬于中檔題.18.已知函數（1）若函數在處取得極小值，求實數a，b的值；（2）求的單調區間；（3）已知，且函數的極大值是1，討論函數的零點個數．【正確答案】（1）；（2）答案見詳解；（3）答案見詳解.【分析】（1）求導，由題意可知，解得a，b，并驗證即可；（2）求導，分，，三種情況討論即可；（3）由（2）可求出函數的極值，通過討論極值即可判斷零點個數.【小問1詳解】因為，所以，因為函數在處取得極小值，所以，解得，此時，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以當時，取到極小值，符合題意.所以.【小問2詳解】，令，則或，當時，，所以在上單調遞增；當，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；當，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.【小問3詳解】由（2）可知，當，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，當時，函數取到極大值，即，所以，當時，函數取到極小值，即，當即時，有1個零點；當即時，有2個零點；當即時，有3個零點.19.已知函數.（1）若函數在點處的切線與直線平行，求函數的極值；（2）若，對于任意，當時，不等式恒成立，求實數m的取值范圍.【正確答案】（1）極小值為，極大值為（2）【分析】（1）首先根據導數的幾何意義，列式求參數，再利用導數判斷函數的單調性，即可求解函數的極值；（2）首先不等式變形