精選新課標高中數學必修二導

學案

目錄

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結構

1.1.1多面體的結構特

征...............................1

1.1.2旋轉體與簡單組合體的結構特

征6

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影

1.2.2空間幾何體的三視圖.............................10

1.2.3空間幾何體的直觀

圖.................................???15

§1.3空間幾何體的外表積與體積

第1課時柱體、錐體、臺體的外表積.........................19

第2課時柱體、錐體、臺體、球的體積與球的外表積...........???23

習題課空間幾何

體.................

-.......27

第二章點直線平面之間的位置關系

2.1.1平面.......................................29

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系.........................33

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關系

2.1.4平面與平面之間的位置關系...............................37

2.2.1直線與平面平行的判定

2.2.2平面與平面平行的判定...................................40

2.2.3直線與平面平行的性質...................................44

2.2.4平面與平面平行的性質...................................47

2.3.1直線與平面垂直的判定...................................50

2

2.3.2平面與平面垂直的判定...................................53

2.3.3直線與平面垂直的性質

2.3.4平面與平面垂直的性質...................................57

第二章復習課...................................60

第三章直線與方程

3.1.1傾斜角與斜率..................................64

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定................................67

3.2.1直線的點斜式方程........................................70

3.2.2直線的兩點式方程......................................73

3.2.3直線的一般式方程........................................76

3.3.1兩條直線的交點坐標

3.3.2兩點間的距離.......................................79

3.3.3點到直線的距離

3.3.4兩條平行直線間的距離...................................82

第四章圓與方程

4.1.1圓的標準方程.........................................85

4.1.2圓的一般方程...........................................88

4.2.1直線與圓的位置關系...................................91

4.2.2圓與圓的位置關系.....................................94

4.2.3直線與圓的方程的應用.................................97

4.3.1空間直角坐標系.......................................100

4.3.2空間兩點間的距離公式...........................103

章末復習...................................................106

3

4

第一章空間幾何體

§1.1空間幾何體的結構

第1課時多面體的結構特征

【學習目標】

L認識組成我們的生活世界的各種各樣的多

面體；

2,認識和把握棱柱、棱錐、棱臺的幾何結構

特征；

3,了解多面體可按哪些不同的標準分類，可

以分成哪些類別.

【知識梳理】

1.空間幾何體

(1)概念：如果只考慮物體的和，而不考慮

其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫

做空間幾何體.

⑵特殊的幾何體

①多面體：一般地，由假設干個圍成的

幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多

面體的—；相鄰兩個面的叫做多面體的棱；棱

與棱的叫做多面體的頂點.

②旋轉體：由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定

直線旋轉所形成的叫做旋轉體，這條定直

線叫做旋轉體的

0

2.多面體的結構特征

⑴棱柱的結構特征：一般地，有兩個面，其

余各面都是,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊

都，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

⑵棱錐的結構特征：一般地，有一個面是,

其余各面都是,由這些面所

圍成的多面體叫做棱錐.

⑶棱臺的結構特征：用一個—于棱錐底面的平面

去截棱錐，之間的局部，這樣的多面體

叫做棱臺.

思考探究

［情境導學］在我們周圍存在著各種各樣的物體，它

們都占據著空間的一局部.如果我們只考慮這些物體

的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體

抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.本節課我們

主要從結構特征方面認識最根本的空間幾何體.

探究點一空間幾何體的類型

思考1觀察以下圖片，你知道這圖片在幾何中分別

叫什么名稱嗎？

1

(9)(10)(11)(12)

(13)(14)(15)(16)

答：

思考2如果將這些幾何體進行適當分類，你認為可

以分成哪幾種類型？

答：

思考3觀察圖⑵⑸⑺⑼(13)(14)(15)(16)中組成幾

何體的每個面的特點，以及面與面之間的關系，你能

歸納出它們有何共同特點嗎？

答：

［小結］我們把由假設干個平面多邊形圍成的幾何

體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體

的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱

的公共點叫做多面體的頂點.

思考4觀察圖(1)⑶(4)(6)⑻(10)(11)(12)中組成幾何

體的每個面有何共同特點？

2

答:

［小結］由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定

直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體.這條定直

線叫做旋轉體的軸.

探究點二棱柱的結構特征

思考1我們把下面的多面體取名為棱柱，據此你能

給棱柱下一個定義嗎？

答:

思考2為了研究方便，我們把棱柱中兩個互相平行

的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面，相

鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱，側面與底面的公共

頂點叫做棱柱的頂點.你能指出上面棱柱的底面、側

面、側棱、頂點嗎？

答：

3

思考3棱柱上、下兩個底面的形狀大小如何？各側

面的形狀如何？

答：

思考4一個棱柱至少有幾個側面？一個N棱柱分

別有多少個底面和側面？有多少條側棱？有多少個

頂點？

答：

思考5有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊

形的多面體一定是棱柱嗎？

答：

［小結］在棱柱中，底面是三角形、四邊形、五邊

形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱;

思考1圖1中的六棱柱用各頂點字母可表示為棱柱

ABCDEF—AfBrC'D'E'F'.

例1試判斷以下說法是否正確：

4

⑴棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面;

⑵棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形.

答：

［反思與感悟］概念辨析題常用方法：（1）利用常見幾

何體舉反例；（2）從底面多邊形的形狀、側面形狀及

它們之間的位置關系、側棱與底面的位置關系等角度

緊扣定義進行判斷.

跟蹤訓練1根據以下關于空間幾何體的描述，說出

幾何體名稱：

⑴由6個平行四邊形圍成的幾何體.

⑵由8個面圍成，其中兩個面是平行且全等的六邊

形，其余6個面都是平行四邊形.

答：

探究點三棱錐的結構特征

思考1我們把下面的多面體取名為棱錐，據此你能

給棱錐下一個定義嗎？

5

答:

思考2參照棱柱的說法，棱錐的底面、側面、側棱、

頂點分別是什么含義？你能作圖加以說明嗎？

答：

思考3類比棱柱的分類，棱錐如何根據底面多邊形

的邊數進行分類？如何用棱錐各頂點的字母表示思

考1中的三個棱錐？

答：

思考4一個棱錐至少有幾個面？一個N棱錐分別

有多少個底面和側面？有多少條側棱？有多少個頂

點？

答：

思考5用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截

面與底面的形狀關系如何？

6

答:

思考6棱柱、棱錐分別具有一些什么幾何性質?

答：

例2如圖，幾何體中，四邊形AA歸/

為邊長為3的正方形，CG=2,屋3%

CCi//AAlfCG〃BBi,請你判斷這個幾何體是棱柱

嗎？假設是棱柱，指出是幾棱柱.假設不是棱柱，請

你試用一個平面截去一局部,使剩余局部是一個側棱

長為2的三棱柱，并指出截去的幾何體的特征.在立

體圖中畫出截面.

答：

［反思與感悟］認識一個幾何體，要看它的結構特

征，并且要結合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關

系，分析它是由哪些幾何體組成的組合體，并能用平

面分割開.

7

跟蹤訓練2假設三棱錐的底面為正三角形，側面為

等腰三角形，側棱長為2,底面周長為9,求棱錐的

高.（過頂點向底面作垂線，頂點與垂足的距離）

答：

探究點四棱臺的結構特征

思考1用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底

面與截面之間的局部形成另一個多面體,這樣的多面

體叫做棱臺.那么棱臺有哪些結構特征？

答：

思考2仿照棱錐中關于底面、側面、側棱、頂點的

定義，如何定義棱臺的底面、側面、側棱、頂點呢？

答：

思考3根據三棱錐、四棱錐、五棱錐……的定義，

如何定義三棱臺、四棱臺、五棱臺……？如何用字母

表不棱臺？

答：

8

思考4既然棱柱、棱錐、棱臺都是多面體，它們在

結構上有哪些相同點和不同點？三者的關系如何？

當底面發生變化時，它們能否相互轉化？

答：

例3有以下三個命題：

①用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的局部

是棱臺；②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形

的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面

都是等腰梯形的六面體是棱臺.

其中正確的有（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

［反思與感悟］一個棱臺的根本特征是上、下底面平

行且相似，側棱延長后交于一點，這是判斷幾何體是

否為棱臺的依據.

跟蹤訓練3四棱臺的上底面、下底面分別是邊長

為4,8的正方形，各側棱長均相等，且側棱長為舊,

求四棱臺的高.

答：

9

【隨堂練習】

1.以下說法中正確的選項是（）

A.棱柱的面中，至少有兩個面互相平行

B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一條側棱就是棱柱的高

D.棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定

不是平行四邊形

2.以下說法中，正確的選項是（）

A.有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共

頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐

B.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的局

部是棱臺

C.棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四

邊形

D.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形

3.以下說法錯誤的選項是（）

A.多面體至少有四個面

B.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊

10

形

C.長方體、正方體都是棱柱

D.三棱柱的側面為三角形

4.對棱柱而言，以下說法正確的序號是.

①有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊

形.②所有的棱長都相等.③棱柱中至少有2個面的

形狀完全相同.④相鄰兩個面的交線叫做側棱.

【課堂小結】

1.在理解的根底上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定

義，能夠根據定義判斷幾何體的形狀.

2.對幾何體定義的理解要準確，另外，要想真正把

握幾何體的結構特征，必須多角度、全面地分析，多

觀察實物，提高空間想象能力.

第2課時旋轉體與簡單組合體的結構特征

【學習目標】1.認識組成我們生活的世界的各種各

樣的旋轉體；

2.認識和把握圓柱、圓錐、圓臺、球體的幾

何結構特征.

【知識梳理】

11

1.圓柱及其有關的概念

以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成

的面所圍成的旋轉體叫做.叫做圓柱的

軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的;

平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的;無

論旋轉到什么位置,不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面

的-

2.圓錐的概念

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余

兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做

3.圓臺的概念

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間

的局部叫做與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、

底面、側面、母線.

4.球及其有關的概念

以半圓的直徑所在直線為,半圓面旋轉一周

形成的旋轉體叫做，簡稱球.半圓的圓心叫做

球的，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑

叫做球的-球常用表示球心的字母。表示.

5.簡單組合體

⑴概念：由組合而成的幾何體叫做簡單

組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、

12

球等幾何結構特征的物體組成的.

⑵根本形式：一種是由簡單幾何體而成，另一

種是由簡單幾何體—或一局部而成.

思考探究

［情境導學］舉世聞名的比薩斜塔是意大利的一個

著名景點.它的構造從外形上看是由八個圓柱組合成

的一個組合體，我們周圍的很多建筑物和它一樣，也

都是由一些簡單幾何體組合而成的組合體.本節我們

就來學習旋轉體與簡單組合體的結構特征.

探究點一圓柱的結構特征

思考1如下圖的空間幾何體叫做圓柱，那么圓柱是

怎樣形成的呢？與圓柱有關的幾個概念是如何定義

的？

答：

思考2如圖，平行于圓柱底面的截面，經過圓柱任

意兩條母線的截面分別是什么圖形？

答:

13

探究點二圓錐的結構特征

思考1類比圓柱的定義，結合以下圖你能給圓錐下

個定義嗎？

答：

思考2類比圓柱的軸、底面、側面、母線的定義，

如何定義圓錐的軸、底面、側面、母線？

答：

思考3經過圓錐的任意兩條母線的截面是什么圖

形？圓錐如何用字母表示？

答：

探究點三圓臺的結構特征

思考1用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截

面與底面之間的局部叫做圓臺.圓臺可以由什么平面

圖形旋轉而形成？

答：

14

思考2與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側

面、母線，它們的含義分別如何？圓臺如何用字母表

示？

答：

思考3圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉體，它們在結構

上有哪些相同點和不同點？三者的關系如何？當底

面發生變化時，它們能否互相轉化？

答：

例1用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓

錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1：16,截去

的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長.

答：

［反思與感悟］用平行于底面的平面去截柱、錐、臺

等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全等或相

似），同時結合旋轉體中的軸截面（經過旋轉軸的截面）

的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，列出相關

幾何變量的方程組而解得.

跟蹤訓練1將例1中“截去的圓錐的母線長是3

cm"改為“圓錐SO的母線長為16cli1〃其余條件不

15

變，那么結果如何？

答：

探究點四球的結構特征

思考類比圓柱、圓錐、圓臺的定義，球是如何定義

的？球心及球半徑是指什么？如何用字母表示球？

答：

例2判斷以下各命題是否正確：

⑴三棱柱有6個頂點，三棱錐有4個頂點；

⑵圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連

線都是圓柱的母線；

(3)一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的

曲面圍成的幾何體是圓臺；

(4)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截

面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；

⑸到定點的距離等于定長的點的集合是球.

答：

跟蹤訓練2以下表達中正確的個數是()

①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓

錐；

16

②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺；

③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.

A.0B.1C.2D.3

探究點五簡單組合體的結構特征

思考1現實生活中的物體多數是由柱體、錐體、臺

體、球體等簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做

簡單組合體.那么這些組合體是怎樣構成的？

答：

思考2觀察教材圖中(1)、⑶兩物體所示的

幾何體,你能說出它們各由哪些簡單幾何體組合而成

嗎？

答：

例3描述以下幾何體的結構特征.

(1)(2)

答:

17

跟蹤訓練3數學奧林匹克競賽中，假設你獲得第一

名，被授予如下圖的獎杯，那么，請你介紹一下你所

得的獎杯是由哪些簡單幾何體組成的？

Q.

答:

【隨堂練習】

1.以下圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（）

ABCD

2.以下說法正確的選項是（）

A.圓錐的母線長等于底面圓直徑

B.圓柱的母線與軸垂直

C.圓臺的母線與軸平行

D.球的直徑必過球心

3.下面幾何體的截面一定是圓面的是（）

A.圓臺B.球

C.圓柱D.棱柱

18

4.以下說法中：

①圓臺上底面的面積與下底面的面積之比一定小于

1.

②矩形繞任意一條直線旋轉都可以圍成圓柱.

③過圓臺側面上每一點的母線都相等.

正確的序號為.

5.如下圖的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形

分別是由哪些簡單幾何體組成的？

(1),(2)

【課堂小結】

(1)圓臺、棱臺可以看作是用一平行于底面的平面去

截圓錐、棱錐得到的底面與截面之間的局部；圓臺的

母線、棱臺的側棱延長后必交于同一點，假設不滿足

該條件，那么一定不是圓臺或棱臺.

19

⑵球面與球是兩個不同的概念，球面是半圓以它的

直徑所在直線為軸旋轉一周形成的曲面，也可以看作

與定點（球心）的距離等于定長（半徑）的所有點的集

合.而球體不僅包括球的外表，同時還包括球面所包

圍的空間.

§1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影1.2.2空間幾何體的三視圖

【學習目標】1.了解投影、中心投影和平行投影的

概念；

2.能畫出簡單幾何體的三視圖，能識別三視

圖所表示的立體模型.

【知識梳理】

投影

⑴投影的定義

由于光的照射,在不透明物體后面的屏幕上可以留下

這個物體的,這種現象叫做投影.其中，我們

把光線叫做，把留下物體影子的屏幕叫

做-

⑵投影的分類

20

①中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做

中心投影.中心投影的投影線交于-

②平行投影：在一束光線照射下形成的投影，

叫做平行投影.平行投影的是平行的.在平

行投影中，投影線正對著投影面時，叫做，

否那么叫做_______一

2.三視圖

(1)三視圖的分類

①正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到

投影圖，這種投影圖叫做幾何體的

②側視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影，得到

投影圖，這種投影圖叫做幾何體的

③俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影，得到

投影圖，這種投影圖叫做幾何體的

(2)三視圖的畫法要求

①三視圖的正視圖、俯視圖、側視圖分別是從物體

的、、看到的物體輪廓線的正投

影圍成的平面圖形.

②一個物體的三視圖的排列規那么是:俯視圖放在正

視圖的，長度與的長度一樣，側視圖放

在正視圖的右邊，高度與的高度一樣，寬度

與的寬度一樣.

21

③在繪制三視圖的時候,分界線和可見輪廓線都用實

線畫出，被遮擋局部用虛線畫出.

思考探究

［情境導學］從不同角度看廬山，有古詩：“橫看成

嶺側成峰，遠近上下各不同；不識廬山真面目，只緣

身在此山中.〃對于我們所學幾何體，從不同方向看

到的形狀也各有不同，我們通常用三視圖和直觀圖來

把幾何體畫在紙上.

探究點一中心投影與平行投影

導引在建筑、機械等工程圖中，需要用平面圖形反

映空間幾何體的形狀和大小，在作圖技術上這也是一

個幾何問題，要想知道這方面的根底知識，請先閱讀

教材第11頁，然后思考以下問題.

思考1什么是投影、投影線、投影面嗎？

答：

思考2不同的光源發出的光線是有差異的，其中燈

泡發出的光線與手電筒發出的光線有什么不同？

答：

22

［小結］我們把光由一點向外散射形成的投影叫做

中心投影；把在一束平行光線照射下形成的投影叫做

平行投影.

思考3用燈泡照射物體和用手電筒照射物體形成

的投影分別是哪種投影？

答：

思考4用燈泡照射一個與投影面平行的不透明物

體，在投影面上形成的影子與原物體的形狀、大小有

什么關系？當物體與燈泡的距離發生變化時,影子的

大小會有什么不同？

答：

思考5用手電筒照射一個與投影面平行的不透明

物體，在投影面上形成的影子與原物體的形狀、大小

有什么關系？當物體與手電筒的距離發生變化時，影

子的大小會有變化嗎？

答：

思考6一個與投影面平行的平面圖形，在正投影和

斜投影下的形狀、大小是否發生變化？一個與投影面

不平行的平面圖形，在正投影和斜投影下的形狀、大

23

小是否發生變化?

答：

例1如下圖，在正方體ABCO-AiBGOi中，E、

尸分別是A4、GOi的中點，G是正方形3CGH的

中心，那么四邊形AGbE在該正方體的各個面上的

投影可能是圖中的.(填序號)

①②③

［反思與感悟］畫出一個圖形在一個平面上的投影

的關鍵是確定該圖形的關鍵點，如頂點等，畫出這些

關鍵點的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上

的投影.如果對平行投影理解不充分，做該類題目容

易出現不知所措的情形，防止出現這種情況的方法是

依據平行投影的含義，借助于空間想象來完成.

跟蹤訓練1如圖(1)所示，￡、F分別為正方體面

ADD'A'、面BCC'B'的中心，那么四邊形

BFD'E在該正方體的各個面上的投影可能是圖⑵

中的.

24

D'

A4

lc

A----------B①②③④

⑴（2）

探究點二柱、錐、臺、球的三視圖

導引把一個空間幾何體投影到一個平面上,可以獲

得一個平面圖形.從多個角度進行投影就能較好地把

握幾何體的形狀和大小，通常選擇三種正投影，即正

面、側面和上面.

思考1如圖，設長方體的長、寬、高分別為4、氏

C,那么其三視圖分別是什么？

答：

思考2三視圖，分別反映物體的哪些關系（上下、左

右、前后）？哪些數量（長、寬、高）？

答：

［小結］一般地，一個幾何體的正視圖、側視圖和俯

視圖的長度、寬度和高度的關系為：正側等高，正俯

等長，側俯等寬.

思考3圓柱、圓錐、圓臺的三視圖分別是什么？

答：

25

思考4球的三視圖是什么？以下三視圖表示一個

什么幾何體？

答:

俯視圖

探究點三簡單組合體的三視圖

思考1在簡單組合體中，從正視、側視、俯視等角

度觀察，有些輪廓線和棱能看見，有些輪廓線和棱不

能看見，在畫三視圖時怎樣處理？

思考2如下圖，將一個長方體截去一局部，這個幾

何體的三視圖如何畫出？（標出字母）

正上方/「NIB

答:

26

例2如圖，設所給的方向為物體的正前

方，試畫出它的三視圖.（單位：cm）

答：正贏

［反思與感悟］（1）在畫三視圖時，務必做到正（視圖）

側（視圖）高平齊，正（視圖）俯（視圖）長對正，俯（視圖）

側（視圖）寬相等.（2）習慣上將正視圖與側視圖畫在同

一水平位置上，俯視圖在正視圖的正下方.

跟蹤訓練2某幾何體的正視圖和側視圖均如下圖，

那么該幾何體的俯視圖不可能是（）

ABD

27

探究點四將三視圖復原成幾何體

思考以下圖是簡單組合體的三視圖，想象它們表示

的組合體的結構特征，并畫出其示意圖.

答:正視圖側視圖

俯視圖

例3說出下面的三視圖表示的幾何體的

結構特征.

答：

［反思與感悟］通常要根據俯視圖判斷幾何體是多

面體還是旋轉體，再結合正視圖和側視圖確定具體的

幾何結構特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合

體.

跟蹤訓練3以下圖是一個物體的三視圖，試說出物

28

體的形狀.

正視圖側視圖

俯視圖

答:

【隨堂練習】

1.如下圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N

分別是的中點，那么圖中陰影局部在平面

4DD1A1上的正投影是（）

2.某幾何體的三視圖如下圖，那么這個幾何體是

()

正視圖側視圖

俯視圖

A.三棱錐B.四棱錐

C.四棱臺D.三棱臺

3.將正方體（如圖⑴所示）截去兩個三棱錐，得到如

29

圖⑵所示的幾何體，那么該幾何體的側視圖為（）

4.一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體可以

是（）

正視圖側視圖

俯視圖

5.如圖，四棱錐的底面是正方形，頂點在底面上的

射影是底面正方形的中心，試畫出其三視圖.

【課堂小結】

1.三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖是分別從幾何

體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓

線，畫幾何體的要求是正視圖、俯視圖長對正，正視

圖、側視圖高平齊，俯視圖、側視圖寬相等，前后對

30

應，畫出的三視圖要檢驗是否符合“長對正、高平齊、

寬相等〃的根本特征.

2.幾何體的三視圖的畫法為：先畫出兩條互相垂直

的輔助

坐標軸，在第二象限畫出正視圖；根據“正、俯兩圖

長對正〃的原那么，在第三象限畫出俯視圖；根據

“正、側兩圖高平齊〃的原那么，在第一象限畫出側

視圖.

3.看得見局部的輪廓線畫實線，看不見局部的輪廓

線畫虛線.

1.2.3空間幾何體的直觀圖

目標1.掌握斜二測畫法的作圖規那么；2.會用斜二

測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖.

【知識梳理】

1.畫平面圖形直觀圖的步驟

⑴在圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于

點。.畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸與，軸,

兩軸交于點。,，且使N7Ofyr=45。（或135。），

它們確定的平面表示水平面.

⑵圖形中平行于“軸或y軸的線段，在直觀圖中分

別畫成平行于W軸或<軸的線段.

⑶圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長

31

度一，平行于y軸的線段，長度為原來的.

2.立體圖形的直觀圖的畫法

畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面

NOfyf垂直的軸O'z'.且平行于O'z的線段長

度-其他同平面圖形的畫法.

思考探究

［情境導學］空間幾何體除了用三視圖表示外，更多

的是用直觀圖來表示.空間圖形能否在平面中畫出

來，使得既富有立感，又能表達出圖形各主要局部的

位置關系和度量關系呢？這就是空間幾何體的直觀

圖.本節我們就來研究這個問題.

探究點一水平放置的平面圖形的畫法

導引用來表示空間圖形的平面圖叫空間圖形的直

觀圖，要畫空間幾何體的直觀圖，先要學會水平放置

的平面圖形的畫法.

思考1把一個矩形水平放置，從適當的角度觀察，

給人以平行四邊形的感覺，如圖.比擬兩圖，其中哪

些線段之間的位置關系、數量關系發生了變化？哪些

沒有發生變化？

答:

32

思考2把一個直角梯形水平放置得其直觀圖如下，

比擬兩圖，其中哪些線段之間的位置關系、數量關系

發生了變化？哪些沒有發生變化？

答：

思考3閱讀教材16頁中的例1,然后自主作出水平

放置的正六邊形的直觀圖.

答：

［小結］上述畫水平放置的平面圖形的直觀圖的方

法叫做斜二測畫法，斜二測畫法的根本步驟和規那

么：

⑴建坐標系，定水平面；

⑵與坐標軸平行的線段保持平行；

(3)水平線段等長，豎直線段減半.

思考4斜二測畫法可以畫任意多邊形水平放置的

直觀圖，如果把一個圓水平放置，看起來像什么

33

圖形？畫出水平放置的圓的直觀圖.

答:

例1用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正

三角形的直觀圖.

答：

［反思與感悟］此類問題的解題步驟是：建系、定點、

連線成圖.要注意選取恰當的坐標原點，能使整個作

圖變得簡便.

跟蹤訓練1將例1中三角形放置成如下圖，那么直

觀圖與例1中的還一樣嗎？

34

c

答:

探究點二空間幾何體的直觀圖的畫法

例2用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、3cm、

2cm的長方體AKCD—A，B'CDf的直觀圖.

答：

［反思與感悟］直觀圖中應遵循的根本原那么：

⑴用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平

行于X軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成

平行于N軸、（軸、/軸的線段；

⑵平行于X軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變,

35

平行于y軸的線段長度變為原來的今

跟蹤訓練2如以下圖，是一個空間幾何體的三視

圖，請用斜二測畫法畫出它的直觀圖.

q

Q

正視圖

答:

例3如圖，一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀

圖是一個等腰梯形，它的底角為45。，兩腰和上底邊

長均為1,求這個平面圖形的面積.

B

36

答:

［反思與感悟］解答此類題目的關鍵是首先要能夠

將水平放置的平面圖形的直觀圖復原為原來的實際

圖形，其依據就是逆用斜二測畫法，也就是使平行于

%軸的線段的長度不變，而平行于y軸的線段長度變

為原來的2倍.

跟蹤訓練3AABC的平面直觀圖B'C是

邊長為a的正三角形，那么原的面積為（）

【隨堂練習】

37

1.一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有

一邊長為4,那么此正方形的面積為（）

A.16B.64

C.16或64D.無法確定

2.利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀

圖，正確的選項是圖中的（）

3O1.501-5/ZZ7

3333

ABCD

3.兩個圓錐，底面重合在一起（底面平行于水平面）,

其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm,另一個圓

錐頂點到底面的距離為3cm,那么其直觀圖中這兩

個頂點之間的距離為（）

A.2cmB.3cm

C.2.5cmD.5cm

4.如下圖，XNB'C是水平放置的平面圖形的

斜二測直觀圖，將其復原成平面圖形.

答:

38

【課堂小結】

1.斜二測畫法是聯系直觀圖和原圖形的橋梁，可根

據它們之間的可逆關系尋找它們的聯系；在求直觀圖

的面積時，可根據斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確

定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖復原

為原圖形.

2.在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行,

所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所

畫夾角大小不一定是其真實夾角大小.

39

§1.3空間幾何體的外表積與體積

第1課時柱體、錐體、臺體的外表積

目標1.通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、

臺體的外表積的求法；2.了解柱、錐、臺體的外表積

計算公式；能運用柱、錐、臺的外表積公式進行計算

和解決有關實際問題；3.培養空間想象能力和思維能

力.

【知識梳理】

1.棱柱、棱錐、棱臺的外表積

棱柱、棱錐、棱臺是由多個圍成的多面體,

它們的外表積就是各個面的面積的-

2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖

圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別

是一、—、-

3.旋轉體的外表積

名稱圖形公式

底面積：5底=_

圓柱側面積：S側=____

外表積：s=

底面積：3底=____

圓錐側面積：S側=____

外表積：s=_____

40

上底面囿積：S上底=_

下底面面積：S下底=—

圓臺

險側面積：S側=__

外表積：s=______

思考探究

［情境導學］是圓柱的軸截面，AAi=a,AB

=b,P是的中點；一小蟲沿圓柱的側面從Ai爬

到P,如何求小蟲爬過的最短路程？要解決這個問題

需要將圓柱的側面展開，本節我們將借助幾何體的側

面展開圖來研究幾何體的外表積.

探究點一棱柱、棱錐、棱臺的外表積

思考1在初中我們已經學過正方體和長方體的外

表積，以及它們的展開圖，你知道正方體和長方體的

展開圖的面積與正方體和長方體的外表積的關系

嗎？

答：

思考2幾何體的外表積等于它的展開圖的面積，那

么，棱柱，棱錐，棱臺的側面展開圖是怎樣的？如何

求棱柱，棱錐，棱臺的外表積？

答：

41

例1棱長為〃，各面均為等邊三角形的四面體

S—ABC,求它的外表積.

［反思與感悟］在解決棱錐、棱臺的側面積、外表積

問題時往往將條件歸結到一個直角三角形中求解，為

此在解此類問題時，要注意直角三角形的應用.

跟蹤訓練1棱長為5,底面為正方形，各側面均為

正三角形的四棱錐5—A3CD,求它的外表積.

答：

例2正四棱臺（上、下底是正方形，上底面的中心

在下底面的投影是下底面中心）上底面邊長為6,高和

下底面邊長都是12,求它的側面積.

答：

42

［反思與感悟］解決有關正棱臺的問題時，常用兩種

解題思路：一是把根本量轉化到直角梯形中去解決；

二是把正棱臺復原成正棱錐，利用正棱錐的有關知識

來解決.

跟蹤訓練2在本例中，把棱臺復原成棱錐，你能利

用棱錐的有關知識求解嗎？

答:

43

探究點二圓柱、圓錐、圓臺的外表積的求法

思考1如何根據圓柱的展開圖，求圓柱的外表積?

答：

思考2如何根據圓錐的展開圖，求圓錐的外表積?

答：

思考3如何根據圓臺的展開圖，求圓臺的外表積?

答：

思考4圓柱、圓錐、圓臺三者的外表積公式之間有

什么關系？

答：

例3—圓臺形花盆，盆口直徑20cm,盆底直徑15

cm,底部滲水圓孔直徑1.5cm,盆壁長15cm,為美

化外表而涂油漆，假設每平方米用100毫升油漆，涂

100個這樣的花盆需要多少油漆？m取3.14,結果精

44

確到1毫升）

答：

［反思與感悟］解決臺體的問題通常要還臺為錐，求

面積時要注意側面展開圖的應用，上、下底面圓的周

長是展開圖的弧長.

跟蹤訓練3圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和

20cm.它的側面展開圖扇環的圓心角為180。，那么圓

臺的外表積是多少？（結果中保存加）

答：

45

【隨堂練習】

1.一個幾何體的三視圖（單位長度：cm）如下圖，那

么此幾何體的外表積是（）

T

4

—

一

俯視圖

A.（80+16A/2）cm2B.84cm2

C.（96+16^2）?112D.96cm2

2.某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖是個半圓,

那么該幾何體的外表積為（）

46

正視圖側視圖

俯視圖

A?乃B.九+小

D.|TT+A/3

3.一個高為2的圓柱，底面周長為2九該圓柱的外表

積為.

4.外表積為37r的圓錐,它的側面展開圖是一個半圓,

那么該圓錐的底面直徑為.

5.一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外

表積為.

!inr-n-

：i

—*-i~F2—~i———?os〉2.|o.5一

【課堂小結】

1.多面體的外表積為圍成多面體的各個面的面積之

47

和.棱柱的外表積等于它的側面積加底面積；棱錐的

外表積等于它的側面積加底面積；棱臺的外表積等于

它的側面積加兩個底的面積.

2.有關旋轉體的外表積的計算要充分利用其軸截面，

就是說將條件盡量歸結到軸截面中求解.而對于圓臺

有時需要將它復原成圓錐，再借助相似的相關知識求

解.

3.S圓柱表-;S圓錐表7rr(rIS圓臺表=兀(戶

+rl+Rl+R2).

第2課時柱體、錐體、臺體、球的體積與球的外表積

目標

1.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用

它們求有關幾何體的體積；

2.了解球的外表積與體積公式，并能應用它們

求球的外表積及體積；

3.會求簡單組合體的體積及外表積.

【知識梳理】

1.柱體、錐體、臺體的體積

幾何體體積

48

V柱體=一（S為底囿面積，人為圖），

柱體V圓柱=______（r為

底面半徑）

V錐體=______S為底面面積，無

為高），

錐體

V圓錐=

（r為底面半徑）

V臺體一;（S+"sS+Sr）h（Sf,S

分別為上、下底面面積，無為高），

臺體

V圓臺一3兀入&'2+rrz+戶）（/,r

分別為上、下底面半徑）

2.球的體積

球的半徑為K,那自它的體積V=

3.球的外表積S=

球的半徑為R,那么它的外表積5=

思考探究

［情境導學］上一節我們學習了幾何體的外表積，一

般地，面積是相對平面圖形來說的，對于空間圖形需

要研究它們的體積，本節我們就來研究柱體、錐體、

臺體、球的體積和球的外表積問題.

49

探究點一柱體、錐體、臺體的體積

思考1我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓

錐的體積計算公式，它們的體積公式如何表示？

答：

思考2根據正方體、長方體、圓柱的體積公式，推

測柱體的體積計算公式？

答：

思考3等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關系如

何？等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關系如何？

答：

思考4根據圓錐的體積公式，推測錐體的體積計算

公式？

答：

思考5臺體的上底面積，下底面積S,高兒

那么臺體的體積是怎樣的？圓臺的體積公式如何用

上下底面半徑及高表示？

答：

例1如下圖的三棱錐P—ABC的三條側棱兩兩垂

50

直，且PB=1,PA=BPC=?,求其體積.（一

直線和一平面內兩相交直線垂直,那么直線與平面垂

直）

答：/X

［反思與感悟］三棱錐的任一側面都可以做為底面

來求其體積；在三棱錐的體積時，可用等體積法求點

到平面的距離.在本例中有VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC

=Vc-PAB?

跟蹤訓練1一空間幾何體的三視圖如下圖，那么該

幾何體的體積為（

A.2冗+2勺3B.4加+243

C.2加+苧D.4九+學

51

探究點二球的體積和外表積

思考球既沒有底面，也無法像柱、錐、臺體一樣展

成平面圖形，怎樣求球的外表積和體積呢？就目前我

們學過的知識還不能解決，我們不妨先記住公式.設

3

球的半徑為R,那么它的體積：V=1nRf它的外表

積5=4加火2,現在請大家觀察這兩個公式，思考它們

都有什么特點？

答：

例2如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直

徑.求證：

⑴球的體積等于圓柱體積的余2

⑵球的外表積等于圓柱的側面積.

答：

52

［反思與感悟］(1)球與正方體的六個面均相切，那么

球的直徑等于正方體的棱長.

⑵球與正方體的12條棱均相切，那么球的直徑是正

方體的面對角線.

⑶球與圓柱的底面和側面均相切，那么球的直徑等

于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

(4)球與圓臺的底面和側面均相切，那么球的直徑等

于圓臺的高.

跟蹤訓練2球與圓臺的上、下底面及側面都相切，

且球面面積與圓臺的側面積之比為3：4,那么球的

體積與圓臺的體積之比為()

A.6：13B.5：14

C.3：4D.7：15

探究點三簡單組合體的外表積和體積

例3如圖，梯形中，AD//BC,ZABC=90°,

AD=a,BC=2afZDCB=60°,在平面4BCD內過

點。作以/為軸旋轉一周.求旋轉體的外表

積和體積.

B三莖三B，

答:

53

［反思與感悟］求組合體的外表積或體積，首先應弄

清它的組成，其外表有哪些底面和側面，各個面應該

怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相

加或相減.求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾

何體的體積，然后再相加或相減.

跟蹤訓練3如下圖，在多面體ABCDEF中，面

3

A8CO是邊長為3的正方形，EF//AB,EF=^fEF

與面ABCD的距離為2,求該多面體的體

積.

答:

54

【隨堂練習】

L高為3的棱柱ABC—AiBiCi的底面是邊長為1的

正三角形（如圖），那么三棱錐Bi-ABC的體積為

（）

Bq

6D里

2.設正六棱錐的底面邊長為1,側棱長為小，那么

它的體積為（）

A.64B.5C.2小D.2

3.假設一個圓錐的側面展開圖是面積為27r的半圓

面，那么該圓錐的體積為.

4.如圖，在三棱柱中，D,E,F分

55

另I」是A&AC,AAi的中點，設三棱錐F-4DE的體

積為Vi,三棱柱AiBiCi-ABC的體積為V2,那么

V1：V2=.

【課堂小結】

1.柱體、錐體、臺體的體積之間的內在關系為

V柱體=S/i-J—V臺體+s')-5V■錐

體=}Sh.

2.在三棱錐A-BCD中，假設求點A到平面BCD

3V

的距離h,可以先求VA-BCD,h=~.

3△BCD

這種方法就是用等體積法求點到平面的距離，其中V

一般用換頂點法求解，即VA-BCD-VB-ACD-VC-ABD

=VD-ABC,求解的原那么是V易求，且△3CD的面

積易求.

56

3.求幾何體的體積，要注意分割與補形.將不規那

么的幾何體通過分割或補形將其轉化為規那么的幾

何體求解.

4.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的

半徑可構成直角三角形，進行相關計算.

5.解決球與其他幾何體的切接問題，通常先作截面，

將球與幾何體的各量表達在平面圖形中，再進行相關

計算.

習題課空間幾何體

結構圖

L|多面體卜-4H

-T圓柱I

-I圓錐I

—T旋轉體I—

T圓臺I

一匿］

E三視圖I

I空間幾何體1—

?I平行投影II投影線平行I—

L-1宜觀圖|

?I投影|—

中心投影H投影線交于二國

I表面積H

―T錐體

T度量I—I

,I體積I-T臺體I

類型題

題型一三視圖與直觀圖

三視圖是從三個不同的方向看同一個物體而得到的

三個視圖，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長

和寬，正視圖反映它的長和高，側視圖反映它的寬和

57

高.

例1某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體

積為()

/[4O

A8九「cC10冗C/

A.yB.371C.~^~D.67rJiI-2__2—

'J正視圖側視圖

O

俯視圖

跟蹤訓練1一幾何體的三視圖如下圖.

(1)說出該幾何體的結構特征并畫出直觀圖；

⑵計算該幾何體的體積與外表積.

58

題型二柱體、錐體、臺體的外表積和體積

幾何體的外表積及體積的計算是現實生活中經常能

夠遇到的問題,在計算中應注意各數量之間的關系及

各元素之間的位置關系，特別是特殊的柱、錐、臺體,

要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖

形的應用.

例2圓柱有一個內接長方體AG,長方體對角線長

是圓柱的側面展開平面圖為矩形，此矩形

的面積是100加cn?,求圓柱的體積.

答：

跟蹤訓練2正四棱柱的對角線長為3cm,它的外表

積為16cm2,求它的體積.

答：

59

題型三幾何體中的有關最值問題

有關旋轉體中某兩點外表上的長度最小問題,一般是

利用展開圖中兩點的直線距離最小來求解;有關面積

和體積的最值問題,往往把面積或體積表示為某一變

量的二次函數的形式,然后利用二次函數的知識求最

值.

例3如圖，在底面半徑為1,高為2的圓柱A。

上A點處有一只螞蟻,它要圍繞圓柱由A點爬/

到3點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？〃匕

答：

跟蹤訓練3有一根長為3兀cm,底面半徑為1cm

的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使

鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,求鐵絲

的最