廣東省東莞市翰林實驗學(xué)校2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月份月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共4小題）1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（）A． B． C． D．2．在中，若，，，則邊（

）A． B． C． D．3．若是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（

）A． B．C． D．4．在中，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解二、多選題（本大題共1小題）5．關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則三、單選題（本大題共3小題）6．平行四邊形三個頂點坐標(biāo)分別為，，，則頂點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．中，、、分別是內(nèi)角、、的對邊，若且，則的形狀是（

）A．有一個角是的等腰三角形B．等邊三角形C．三邊均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形8．邊長為2的正三角形的內(nèi)切圓上有一點P，已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．四、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C． D．10．已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．的最大值為 B．若，則C．若是與共線的單位向量，則 D．當(dāng)取得最大值時，11．已知的內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，其中a為定值．若的面積，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．周長的最小值為D．的取值范圍是五、填空題（本大題共3小題）12．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則．13．如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為.14．如圖，已知為等邊三角形，點是的重心．過點的直線與線段交于點，與線段交于點．設(shè)，且．設(shè)的周長為，的周長為，設(shè)，記，則的值域為．

六、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)滿足，是虛數(shù)單位.(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.16．已知向量，，，且，．(1)求向量、；(2)若，，求向量，的夾角的大小.17．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.18．如圖，已知兩條公路，的交匯點處有一學(xué)校，現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠，在兩公路旁，異于點處設(shè)兩個銷售點，且滿足，千米，千米，設(shè).(1)試用表示，并寫出的范圍；(2)當(dāng)為多大時，工廠產(chǎn)生的噪聲對學(xué)校的影響最小即工廠與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)注：19．通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對看作一個向量，記，稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運算法則，對于，我們有如下運算法則：①；②；③；④.(1)設(shè)，求和；(2)類比平面向量數(shù)量積滿足的運算律，得出復(fù)向量的一個相關(guān)結(jié)論，判斷其是否正確并說明理由；(3)設(shè)，集合.求的最小值；并證明當(dāng)取最小值時，對于任意的.

參考答案1．【答案】D【詳解】由題，，故，故選D2．【答案】A【詳解】因為，，所以，則，即，解得，故選A.3．【答案】D【詳解】對于A選項，，所以共線，不能作為基底；對于B選項，，所以共線，不能作為基底；對于C選項，，所以共線，不能作為基底；對于D選項，易知不共線，可以作為基底.故選D.4．【答案】B【詳解】由正弦定理可得，，，，，，得，可能為銳角，也可能為鈍角，B有兩個值，故選:B.5．【答案】BC【詳解】A選項，向量的模相等，可能方向不相等，所以A選項錯誤.B選項，兩個向量互為相反向量，則這兩個向量平行，所以B選項正確.C選項，非零向量，，若，，則成立，所以C選項正確.D選項，向量不能比較大小，所以D選項錯誤.故選BC.6．【答案】A【詳解】由題意，設(shè)，四邊形為平行四邊形，，則，即，解得，故.故選A.7．【答案】D【詳解】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點O，則O是BC邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選D8．【答案】D【詳解】如圖，以正三角形的高為軸，以內(nèi)切圓圓心為原點，建立直角坐標(biāo)系，

因為正三角形邊長為2，根據(jù)三角形面積公式得到，所以內(nèi)切圓半徑為，則設(shè)，，則，因為，即，所以，解得，則，因為，則，則，所以.故選D9．【答案】AC【詳解】設(shè)對于A，，故選項A正確；對于B，因為，則，則或，所以中至少有一個0，故選項B不正確；對于C，由復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)可知，，=故選項C正確；對于D，當(dāng)，則，，所以故選項D錯誤.故選AC.10．【答案】AD【詳解】∵，∴是單位向量，設(shè)，，則，當(dāng)，方向相反，即時取等號，∴的最大值為，故A正確；等價于即，即，∴，故B錯誤；與共線的單位向量為，故C錯誤；最大，當(dāng)且僅當(dāng)向量在向量上的投影最大，即向量與同向，亦即，此時，故D正確.故選AD11．【答案】ACD【詳解】，，∴，設(shè)邊上的高為，對于A，根據(jù)余弦定理，，，，，當(dāng)時，即時，等號成立，所以兩邊平方可得,所以的最大值為，故A正確.對于B，,當(dāng)時，等號成立，由A可知，所以，則的最小值為，故B錯誤；對于C，周長為，當(dāng)時，等號成立，，所以周長的最小值為，故C正確；對于D，兩邊同時除以，，計算可得的取值范圍是，故D正確；故選ACD.1.邊的范圍或最值方法：根據(jù)邊角的各自特點，利用正（余）弦定理進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，在利用三角函數(shù)的范圍或基本不等式進(jìn)行求解；2.周長范圍或最值方法：周長問題可看作邊長問題，解決周長問題可類同求邊的范圍或最值；3.角的范圍或最值方法：可借助三角函數(shù)的有界性，或利用正（余）弦定理把三角轉(zhuǎn)化成邊，在結(jié)合不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；4.面積的范圍或最值方法：通常利用面積公式，將其轉(zhuǎn)化為同一類元素，然后三角函數(shù)的有界性或者實數(shù)的不等式求解12．【答案】5【詳解】由（1+i）z=1﹣7i，得，則|z|=．13．【答案】7【詳解】∵四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,14．【答案】【詳解】

延長，交于，因為為的重心，所以，為中點，所以，，所以，，得，整理得，，設(shè)的邊長為1，則，，在中，由余弦定理得，，所以，，因為，所以，因為，，所以，，，又，則有，因為，所以，，因為，，所以的最小值為，最大值為，所以，單調(diào)遞增，則，所以，，即的值域為15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，若是純虛數(shù)，則有，所以.（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：因為，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）解：設(shè)向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因為，所以．17．【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4.【詳解】試題分析：（Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，設(shè)===k（k>0）．則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin"C，所以sinAsinB=sinC．（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4．考點：余弦定理的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理18．【答案】(1)(2)當(dāng)時，工廠產(chǎn)生的噪聲對學(xué)校的影響最小【詳解】（1