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13/133.1直線的傾斜角與斜率3.1.3直線的傾斜角與斜率、平行與垂直的應(yīng)用(梁波)一、教學(xué)目標(biāo)(一)核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課學(xué)習(xí),加深數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,靈活的運(yùn)用斜率公式,定義,與其它知識(shí)融合,提升數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力.(二)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.深化傾斜角和斜率的關(guān)系變化. 2.靈活運(yùn)用兩點(diǎn)連線的斜率公式,提升數(shù)形結(jié)合思想. 3.結(jié)合其它函數(shù),三角知識(shí),提高數(shù)學(xué)能力.(三)學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1.?dāng)?shù)形結(jié)合的思想和方法. 2.公式的熟練應(yīng)用. 3.綜合性問題的解題途徑和策略的學(xué)習(xí).(四)學(xué)習(xí)難點(diǎn) 1.?dāng)?shù)學(xué)結(jié)合思想的實(shí)際應(yīng)用. 2.多內(nèi)容融合后的分析問題的方法. 3.幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)等式的能力.二、教學(xué)設(shè)計(jì)(一)課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù) (1)回顧前兩節(jié)的知識(shí),填空: 直線l的傾斜角的范圍是. 我們把一條直線的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即:. 經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的斜率. 當(dāng)直線l1,l2的斜率存在時(shí),. 當(dāng)直線l1,l2的斜率存在時(shí),.2.預(yù)習(xí)自測(cè)(1)如果直線沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位再沿軸正方向平移個(gè)單位后,又回到原來的位置,那么直線的斜率是()A. B.C. D.【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜率.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】結(jié)合圖形,通過畫圖平移直線【思路點(diǎn)撥】從圖形入手【答案】A(2)若三點(diǎn)共線則的值為()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率.【解題過程】三點(diǎn)共線則任意兩點(diǎn)間連線的斜率相等,建立方程求解.【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率的關(guān)系建立方程【答案】A(3)已知點(diǎn),若直線過點(diǎn)與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是()A. B. C. D.【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】先求出與兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率,再?gòu)膱D形得到范圍.【思路點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合得答案【答案】C(二)課堂設(shè)計(jì)1.問題探究探究一復(fù)習(xí)傾斜角和斜率的定義,公式,應(yīng)用●活動(dòng)①回顧知識(shí) 請(qǐng)?jiān)诠P記本上分別畫出一條傾斜角為銳角、直角、鈍角的直線,默寫斜率公式.【設(shè)計(jì)意圖】回憶已有知識(shí),加強(qiáng)知識(shí)的記憶.●活動(dòng)②例題解答,加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.例1.某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示(收支差額=車票收入-支出費(fèi)用),由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩條建議:建議(Ⅰ)不改變車票價(jià)格,減少支出費(fèi)用;建議(Ⅱ)不改變支出費(fèi)用,提高車票價(jià)格,下面給出的四個(gè)圖形中,實(shí)線和虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系,則A.①反映了建議(Ⅱ),③反映了建議(Ⅰ)B.①反映了建議(Ⅰ),③反映了建議(Ⅱ)C.②反映了建議(Ⅰ),④反映了建議(Ⅱ)D.④反映了建議(Ⅰ),②反映了建議(Ⅱ)【知識(shí)點(diǎn)】直線的關(guān)系,直線的斜率.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】從題目意義理解,建議(Ⅰ)不改變車票價(jià)格,減少支出費(fèi)用,則所得射線與原射線平行;建議(Ⅱ)不改變支出費(fèi)用,提高車票價(jià)格,則所得射線與原射線起點(diǎn)相同,斜率更大.【思路點(diǎn)撥】從實(shí)際問題的意義去理解【答案】B【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際問題的分析,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,加深對(duì)直線斜率的理解.●活動(dòng)③例題解答,加深對(duì)知識(shí)的理解和技巧的掌握.例2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=8,當(dāng)2≤x≤3時(shí),求的最大值與最小值.【知識(shí)點(diǎn)】斜率與坐標(biāo)的關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】的幾何意義是過M(x,y),N(0,0)兩點(diǎn)的直線的斜率∵實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=8,且2≤x≤3,∴設(shè)該線段為AB且A(2,4),B(3,2).∵kNA=2,kNB=,∴的最小值為,最大值為2.【思路點(diǎn)撥】聯(lián)想斜率公式.【答案】的最小值為,最大值為2.【設(shè)計(jì)意圖】通例題的解答,加強(qiáng)對(duì)斜率的坐標(biāo)公式的理解和掌握.●活動(dòng)=4\*GB3④變式練習(xí),加深對(duì)知識(shí)的理解和技巧的掌握,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力.變式一.過原點(diǎn)引直線EQ,使與連接和兩點(diǎn)間的線段相交,則直線的傾斜角的取值范圍是.【知識(shí)點(diǎn)】斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,傾斜角與斜率的關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】A(1,1),B(1,-1).∵kOA=1,kOB=,結(jié)合圖形∴,聯(lián)系傾斜角【思路點(diǎn)撥】先求斜率范圍,再聯(lián)系傾斜角與斜率的關(guān)系求傾斜角范圍.【答案】.【設(shè)計(jì)意圖】通例題的解答,加強(qiáng)對(duì)斜率與傾斜角關(guān)系的理解和掌握.●活動(dòng)=5\*GB3⑤思考與總結(jié):傾斜角的變化與斜率變化的規(guī)律探究二復(fù)習(xí)兩直線平行,垂直的關(guān)系與應(yīng)用●活動(dòng)①回顧知識(shí)請(qǐng)?jiān)诠P記本上默寫兩條直線相互垂直的條件和兩直線平行的條件.【設(shè)計(jì)意圖】回憶已有知識(shí),加強(qiáng)知識(shí)的記憶.●活動(dòng)②例題解答,加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.例3.已知直線:和直線:.(1)若,,求的值;(2)若,則的最小值.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線的平行、垂直關(guān)系.【解題過程】,,則得到;則,得到【思路點(diǎn)撥】用平行與垂直的關(guān)系的關(guān)系建立等式【答案】(1)(2)2【設(shè)計(jì)意圖】通過例題的解答,加深兩條直線的平行、垂直關(guān)系理解和掌握.●活動(dòng)③變式練習(xí),加深對(duì)知識(shí)的理解和技巧的掌握,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力.變式二:若點(diǎn)A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三點(diǎn)共線,則a-b的最小值等于()A.4 B.2C.1 D.0【知識(shí)點(diǎn)】斜率與坐標(biāo)的關(guān)系.【解題過程】∵A、B、C三點(diǎn)共線,∴kAB=kAC,即eq\f(b-0,0-a)=eq\f(-1-0,1-a),∴eq\f(1,a)-eq\f(1,b)=1.∴a-b=(a-b)(eq\f(1,a)-eq\f(1,b))=2-eq\f(b,a)-eq\f(a,b)=2+[(-eq\f(b,a))+(-eq\f(a,b))]≥2+2=4.(當(dāng)a=-b=2時(shí)取等號(hào)).【思路點(diǎn)撥】先建立關(guān)系,再求范圍.【答案】A.【設(shè)計(jì)意圖】通學(xué)生動(dòng)手練習(xí),加強(qiáng)對(duì)斜率公式理解和掌握.●活動(dòng)=4\*GB3④例題解答,加深對(duì)知識(shí)的理解和技巧的掌握.例4.設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng),則直線xsinA+ay+c=0 與bx﹣ysinB+sinC=0的位置關(guān)系是() A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直【知識(shí)點(diǎn)】解三角形,兩條直線的平行、垂直關(guān)系.【解題過程】a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)則,則,所以兩直線垂直.【思路點(diǎn)撥】利用正弦定理尋找關(guān)系【答案】A【設(shè)計(jì)意圖】通過例題的解答,加深兩條直線的平行、垂直關(guān)系理解和掌握.【答案】A3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理整理與記憶前兩節(jié)公式. 直線l的傾斜角的范圍是. 我們把一條直線的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即. 經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的斜率. 當(dāng)直線l1,l2的斜率存在時(shí),. 當(dāng)直線l1,l2的斜率存在時(shí),.重難點(diǎn)歸納公式應(yīng)用的過程中數(shù)形結(jié)合.(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,則直線AB的傾斜角和斜率分別是()A.45°,1 B.135°,-1C.90°,不存在 D.180°,不存在【知識(shí)點(diǎn)】?jī)A斜角與斜率的概念,關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,傾斜角為90°,斜率不存在.【思路點(diǎn)撥】?jī)A斜角與斜率的概念,關(guān)系判斷.【答案】C.2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成60°角,則l的傾斜角為()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【知識(shí)點(diǎn)】?jī)A斜角的概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】直線l可能有兩種情形,如圖所示,故直線l的傾斜角為30°或150°.【思路點(diǎn)撥】畫圖了解.【答案】C.3.直線l過點(diǎn)A(1,2),且不過第四象限,則直線l的斜率k的最大值是()A.0 B.1C.eq\f(1,2) D.2【知識(shí)點(diǎn)】斜率定義.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】如圖,kOA=2,kl′=0,只有當(dāng)直線落在圖中陰影部分才符合題意,故k∈[0,2].故直線l的斜率k的最大值為2.【思路點(diǎn)撥】畫圖.【答案】D.4.已知直線與,則“”是“”的()條件.A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分又不必要【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行的關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】,【思路點(diǎn)撥】【答案】B.5.已知三條直線,,不能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)的取值集合為()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】直線間的關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】不能構(gòu)成三角形,則有三種可能,即第三條直線分別于兩條已知直線平行或者三條直線交于一點(diǎn),得到.【思路點(diǎn)撥】考慮各種情況.【答案】D.6.已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為:,.若,則實(shí)數(shù)的值為()A.-10B.-2C.0D.8【知識(shí)點(diǎn)】直線間的關(guān)系.【解題過程】,,所以.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)系求值.【答案】A.能力型師生共研7.已知點(diǎn)A(1,2),在坐標(biāo)軸上求一點(diǎn)P使直線PA的傾斜角為60°.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)A斜角與坐標(biāo)關(guān)系,解方程.【數(shù)學(xué)思想】方程思想【解題過程】(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),設(shè)點(diǎn)P(a,0),∵A(1,2),∴kPA=eq\f(0-2,a-1)=eq\f(-2,a-1).又∵直線PA的傾斜角為60°,∴tan60°=eq\f(-2,a-1),解得a=1-eq\f(2\r(3),3).∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),設(shè)點(diǎn)P(0,b).同理可得b=2-eq\r(3),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2-eq\r(3)).【思路點(diǎn)撥】.利用斜率與坐標(biāo)的關(guān)系建立方程【答案】或(0,2-eq\r(3)).8.已知直線l1的傾斜角α1=15°,直線l1與l2的交點(diǎn)為A,把直線l2繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線l1重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角為60°,則直線l2的斜率的值為________.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)A斜角的定義.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)直線l2的傾斜角為α2,則由題意知:180°-α2+15°=60°,α2=135°,k2=tanα2=-tan45°=-1.【思路點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線則斜率相等.【答案】-1.探究型多維突破9.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),C(2,eq\r(3)+1).(1)求直線AB、BC、AC的斜率和傾斜角;(2)若D為△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn),求直線CD斜率k的變化范圍.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)結(jié)合,傾斜角斜率的綜合運(yùn)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】(1)由斜率公式得kAB=eq\f(1-1,1-(-1))=0,kBC=eq\f(\r(3)+1-1,2-1)=eq\r(3).kAC=eq\f(\r(3)+1-1,2-(-1))=eq\f(\r(3),3).傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.又∵tan0°=0,∴AB的傾斜角為0°.tan60°=eq\r(3),∴BC的傾斜角為60°.tan30°=eq\f(\r(3),3),∴AC的傾斜角為30°.(2)如圖,當(dāng)斜率k變化時(shí),直線CD繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)直線CD由CA逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到CB時(shí),直線CD與AB恒有交點(diǎn),即D在線段AB上,此時(shí)k由kCA增大到kCB,所以k的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\r(3))).【思路點(diǎn)撥】利用k=eq\f(y2-y1,x2-x1)及k=tanα求解.【答案】(1)30°;(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\r(3)))10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),試求eq\f(y+3,x+2)的最大值和最小值.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)結(jié)合,用幾何意義解釋數(shù)學(xué)等式.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】如圖所示,由eq\f(y+3,x+2)的幾何意義可知,它表示經(jīng)過定點(diǎn)P(-2,-3)與曲線段 AB上任一點(diǎn)(x,y)的直線的斜率k,由圖可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,1),B(-1,5).則kPA=eq\f(1-(-3),1-(-2))=eq\f(4,3),kPB=eq\f(5-(-3),-1-(-2))=8.∴eq\f(4,3)≤k≤8,∴eq\f(y+3,x+2)的最大值為8,最小值為eq\f(4,3).【思路點(diǎn)撥】用幾何意義解釋數(shù)學(xué)等式.【答案】最大值為8,最小值為eq\f(4,3).自助餐1.下列說法正確的是()A.一條直線和x軸的正方向所成的正角,叫做這條直線的傾斜角B.直線的傾斜角α的取值范圍是銳角或鈍角C.與x軸平行的直線的傾斜角為180°D.每一條直線都存在傾斜角,但并非每一條直線都存在斜率【知識(shí)點(diǎn)】?jī)A斜角,斜率的概念.【解題過程】A成立的前提條件為直線和x軸相交,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B中傾斜角α的范圍是0°≤α<180°,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C中與x軸平行的直線,它的傾斜角為0°,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)D 中每一條直線都存在傾斜角,但是直線與y軸平行時(shí),該直線的傾斜角為90°,斜率不存 在,故正確.【答案】D.2.已知直線與垂直,則的值是()A.或B.C.D.或【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直時(shí)的斜率的關(guān)系.【解題過程】,當(dāng)時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)不符條件.【思路點(diǎn)撥】建立斜率的等式.【答案】C.3.光線從點(diǎn)A(-2,eq\r(3))射到x軸上的B點(diǎn)后,被x軸反射,這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)C(1,2eq\r(3)),則光線BC所在直線的傾斜角為________.【知識(shí)點(diǎn)】入射光與反射光的斜率互為相反數(shù).【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】A(-2,eq\r(3))關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(-2,-eq\r(3)),由物理知識(shí)知kBC=kA′C=eq\f(2\r(3)-(-\r(3)),1-(-2))=eq\r(3),所以所求傾斜角為60°.【思路點(diǎn)撥】入射光與反射光的之間的關(guān)系.【答案】60°.4.若直線與直線平行,則實(shí)數(shù)的值為_______.【知識(shí)點(diǎn)】平行直線間的斜率關(guān)系.【解題過程】由題意可得【思路點(diǎn)撥】.畫圖得到傾斜角的范圍【答案】1.5.直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(m,1),B(-3,4),直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(1,m),D(-1,m+1),當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時(shí),分別求實(shí)數(shù)m的值.【知識(shí)點(diǎn)】平行直線,垂直直線間的斜率關(guān)系.【解題過程】當(dāng)l1
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