數學九年級上冊教案

楊海崢

目錄

一、一元一次方程

二、命題定理與證明

三、解直角三角形

四、相似圖形

五、概率的計算

第1課時：建立一元二次方程模型

教學目標

1、在把實際問題轉化為一元二次方程的模型的過程中，形成對一元二次方程的感性認

識。

2、理解一元二次方程的定義，能識別一元二次方程。

3、知道一元二次方程的一般形式，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式，能寫出

一般形式的二次項系數、一次項系數和常數項。

重點難點

重點：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。

難點：把實際問題轉化為一元二次方程的模型。

教學過程

(-)創設情境

前面我們曾把實際問題轉化成一元一次方程和二元一次方程組的模型，大家已經感受到

了方程是刻畫現實世界數量關系的工具。本節課我們將繼續進行建立方程模型的探究。

1＞展示課本P.2問題一

引導學生設人行道寬度為xm,表示草坪邊長為35-2xm,找等量關系，列出方程。

(35-2x)2=900①

2、展示課本P.2問題二

引導思考：小明與小亮第一次相遇以后要再次相遇，他們走的路程有何關系?怎樣用他

們再次相遇的時間表示他們各自行駛的路程？

通過思考上述問題，引導學生設經過ts小明與小亮相遇，用s表示他們各自行駛的路程,

利用路程方面的等量關系列出方程2t+X0.01t2=3t,1②

3、能把①，②化成右邊為0,而左邊是只含有一個未知數的二次多項式的形式嗎？讓

學生展開討論，并引導學生把①，②化成下列形式：

4x2-140x+325=0.(3)0.01t2-2t=0?④

(二)探究新知

1、觀察上述方程③和④，啟發學生歸納得出：

如果一個方程通過移項可以使右邊為0,而左邊是只含有一個未知數的二次多項式，那

么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0,(a,b,c是已知數且aWO),

其中a,b,c分別叫作二次項系數、一次項系數、常數項。

2、讓學生指出方程③，④中的二次項系數、一次項系數和常數項。

(三)講解例題

例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次項系數、一次項系數和

常數項。

［解］去括號，得3x2+5x-12=x2+4x+4,化簡，得2x2+x-16=0?

二次項系數是2,一次項系數是1,常數項是-16。

點評：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a#0)具有兩個特征：一是方程的右邊為0,

二是左邊二次項系數不能為0。此外要使學生認識到：二次項系數、一次項系數和常數項都

是包括符號的。

例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)2x+3=5x-2(3)(x-1)(X-2)=X2+6；(4)(X+2)(3X-1)=(x-1)20

［解］方程(1),(3)是一元一次方程；方程(2),(4)是一元二次方程。

點評:通過一元一次方程與一元二次方程的比較，使學生深刻理解一元二次方程的意義。

(四)應用新知

課本P.4,練習第3題，

(五)課堂小結

1、一元二次方程的顯著特征是：只有一個未知數，并且未知數的最高次數是2。

2、一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0(a^0),一元二次方程的二次項系數、一次

項系數、常數項都是根據一般形式確定的。

3、在把實際問題轉化為一元二次方程模型的過程中，體會學習一元二次方程的必要性

和重要性。

(六)思考與拓展

當常數a,b,c滿足什么條件時，方程(a-l)x2-bx+c=0是一元二次方程？這時方程的二

次項系數、一次項系數分別是什么？當常數a,b,c滿足什么條件時，方程(a-l)x2-bx+c=0是

一元一次方程？

當aWl時是一元二次方程，這時方程的二次項系數是a-1,一次項系數是-b；當a=l,

bWO時是一元一次方程。

布置作業

課本習題11中A組第1,2,3題。

教學后記：

第2課時因式分解法、直接開平方法(1)

教學目標

1、進一步體會因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一

元二次方程。2、會用因式分解法解某些一元二次方程。3、進一步讓學生體會“降次”化

歸的思想。

重點難點

重點：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。

難點：用因式分解法將一元二次方程轉化為一元一次方程。

教學過程

(-)復習引入

1、提問：

(1)解一元二次方程的基本思路是什么？

(2)現在我們已有了哪幾種將一元二次方程“降次”為一元一次方程的方法？

2、用兩種方法解方程：9(1-3X)2=25

(二)創設情境

說明：可用因式分解法或直接開平方法解此方程。解得不=,1

99

1、說一說：因式分解法適用于解什么形式的一元二次方程。

歸納結論：因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一元二

次方程。

2、想一想：展示課本1.1節問題二中的方程0.0什2-2=0,這個方程能用因式分解法解

嗎？

(三)探究新知

引導學生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答課本1.1節問題二。

把方程左邊因式分解，得t(0.01t-2)=0,由此得出t=0或0.01t-2=0

解得tj=0,t2=200o

t!=0表明小明與小亮第一次相遇；t2=200表明經過200s小明與小亮再次相遇。

(四)講解例題

I、展示課本P.8例3。

按課本方式引導學生用因式分解法解一元二次方程。

2、讓學生討論P.9“說一說”欄目中的問題。

要使學生明確：解方程時不能把方程兩邊都同除以一個含未知數的式子，若方程兩邊同除以

含未知數的式子，可能使方程漏根。

3、展示課本P.9例4。

讓學生自己嘗試著解，然后看書上的解答，交換批改，并說一說在解題時應注意什么。

(五)應用新知

課本P.10.練習。

(六)課堂小結

1、用因式分解法解一元二次方程的基本步驟是：先把一個一元二次方程變形，使它的一邊

為0,另一邊分解成兩個一次因式的乘積，然后使每一個一次因式等于0,分別解這兩個一

元一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解。

2、在解方程時，千萬注意兩邊不能同時除以一個含有未知數的代數式，否則可能丟失方程

的一個根。

(七)思考與拓展

用因式分解法解下列一元二次方程。議一議：對于含括號的守霜露次方程，應怎樣適當變形,

再用因式分解法解。

(1)2(3x-2)=(2-3x)(x+l)；(2)(x-l)(x+3尸12。

［解］(1)原方程可變形為2(3x-2)+(3x-2)(x+l尸0,

(3x-2)(x+3)=0>3x-2=0>或x+3=0,所以x『三，X2=-3

(2)去括號、整理得X2+2X-3=12,X2+2X-15=0.

(x+5)(x-3)=0,x+5=0或x-3=0,所以X|=-5,x2=3

先讓學生動手解方程，然后交流自己的解題經驗，教師引導學生歸納：對于含括號的一元二

次方程，若能把括號看成一個整體變形，把方程化成一邊為0,另一邊為兩個一次式的積，

就不用去括號，如上述(1)；否則先去括號，把方程整理成一般形式，再看是否能將左邊分

解成兩個一次式的積，如上述(2)。

布置作業

教學后記：

第3課時因式分解法、直接開平方法(2)

教學目標

1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方程。

2、學會用因式分解法和直接開平方法解形如(ax+b)2-k=0(k20)的方程。

3、引導學生體會“降次”化歸的思路。

重點難點

重點：掌握用因式分解法和直接開平方法解形如(ax+b)2-k=0(k20)的方程。

難點：通過分解因式或直接開平方將一元二次方程降次為一元一次方程。

教學過程

(-)復習引入

1、判斷下列說法是否正確

(1)若p=l,q=l,貝!Ipq=l()?若pq=L則p=l,q=l()；

⑵若p=0,g=0,則pq=O(),若pq=O,則p=0或q=0()；

(3)若x+3=0或x-6=0,則(x+3)(x-6尸0(),

若(x+3)(x-6)=0,則x+3=0或x-6=0()；

(4)若x+3=或x-42,則(x+3)(x-6尸1(),

若(x+3)(x?6尸1,貝x+3=或1-6=2()o

￡

答案：(1)X。(2)V,Vo(3)V,Vo(4)V,Xo

2、填空：若x?=a；則x叫a的,x=；若x?=4,則x=；

若x?=2,則x=。

答案：平方根，土,士石土。同

(二)創設情境

前面我們已經學了一元一次方程和二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是

什么？(消元、化二元一次方程組為一元一次方程)。由解二元一次方程組的基本思路，你能

想出解一元二次方程的基本思路嗎？

引導學生思考得出結論：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元

一次方程。

給出1.1節問題一中的方程：(35-2x)2-900=0。

問：怎樣將這個方程“降次”為一元一次方程？

(三)探究新知

讓學生對上述問題展開討論，教師再利用“復習引入”中的內容引導學生，按課本P.6那

樣，用因式分解法和直接開平方法，將方程(35-2x)2-900=0“降次”為兩個一元一次方程來

解。讓學生知道什么叫因式分解法和直接開平方法。

(四)講解例題：展示課本P.7例1,例2。

按課本方式引導學生用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程。

引導同學們小結：對于形如(ax+b)2-k=0(k》0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直

接開平方法解。

因式分解法的基本步驟是：把方程化成一邊為0,另一邊是兩個一次因式的乘積(本節

課主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一個一次因式等于0,分別解兩個一元

一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解。

直接開平方法的步驟是：把方程變形成(ax+b)2=k(k20),然后直接開平方得ax+b=和

ax+b=-?\分別解這/訃一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。

注意：(1)因式分解法適用于一邊是0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一元二次

方程；(2)直接開平方法適用于形如(ax+b六k(k20)的方程，由于負數沒有平方根，所以規

定k20,當k<0時，方程無實數解。

(五)應用新知：課本P.8,練習。

(六)課堂小結

1、解一元二次方程的基本思路是什么？

2、通過“降次”，把一元二次方程化為兩個一元一次方程的方法有哪些？基本步驟是什么？

3、因式分解法和直接開平方法適用于解什么形式的一元二次方程？

(七)思考與拓展

不解方程，你能說出下列方程根的情況嗎？

(1)-4X2+1=0；(2)X2+3=0；(3)(5-3x)2=0；(4)(2x+l)2+5=0?

答案：(1)有兩個不相等的實數根；(2)和(4)沒有實數根；(3)有兩個相等的實數根

通過解答這個問題，使學生明確一元二次方程的解有三種情況。

布置作業

教學后記:

第4課時因式分解法'直接開平方法(3)

考標要求：

1體會因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式的乘積的一元二次方

程；2會用因式分解法解某些一元二次方程。

重點：用因式分解法解一元二次方程。

難點：用因式分解把一元二次方程化為左邊是兩個一次二項式相乘右邊是零的形式。

-填空題(每小題5分，共25分)

1解方程(2+x)(x-3尸0,就相當于解方程()

A2+x=0,Bx-3=0C2+x=0且x-3=0,D2+x=0或x-3=0

2用因式分解法解一元二次方程的思路是降次，下面是甲、乙兩位同學解方程的過程：

(1)解方程：Y=2x,小明的解法是：解：兩邊同除以x得：x=2;

⑵解方程：(x-1)(x-2尸2,小亮的解法是：解：x-l=l,x-2=2或者x-l=2,x-2=l,或者，x-l=

%

-l,x-2=-2,或者x-l=-2,x-2=-l,*1=2,尤2=4,無3=3,4=0

其中正確的是()

A小明B小亮C都正確D都不正確

3下面方程不適合用因式分解法求解的是()

3-2x92222

A2-32=0,B2(2x-3)-()=0,(^+)=4(2x-1)5Dx-2x+3=0

4方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()

552

2X

Ax=,Bx=3C%=2,2=3Dx=5

5定義一種運算“※得其規則為：aXb=(a+l)(b+1),根據這個規則，方程xX(x+l尸0的解

是()Ax=0Bx=-lC%1=0,%2=-l,DX'=-\X2=-2

二填空題(每小題5分，共25分)

6方程(1+^2)x2.(1.V2)x=o解是％=，無2=

4x2+5x

7當乂=時，分式尤+1值為零。

8若代數式0一X)與代數式4(x-3)的值相等，則*=

9已知方程(x-4)(x-9)=0的解是等腰三角形的兩邊長，則這個等腰三角形的周長=.

\ci~—2al+Jb-2=02

10如果II，則關于x的一元二次方程a》+bx=0的解是

三解答題(每小題10分，共50分)

11解方程

22(X—(X+1V

(1)X+2x+l=0(2)4-v-12x+9=0(3)25、)=9、>(4)7x(2x-3)=4(3-2x)

12解方程(2"3)=32)M一4)

2

13已知k是關于x的方程4kx-8x-k=0的一個根，求k的值。？

14解方程：尤2_2卜1+1=0

15對于向上拋的物體，在沒有空氣阻力的情況下，有如下關系：h=vt-2g/,其中卜是上升

到高度，V是初速度，g是重力加速度，(為方便起見，本題中g取10米/秒t是拋出后

所經過的時間。如果將一物體以每秒25米的初速向上拋，物體多少秒后落到地面

參考答案：31.21因式分解法，直接開平方法(2)

5

x

1D2D3D4C5D二6%=0,無2=2及一3,7%=0,尤2=_48i=3,無2=7

33

92210玉=0,々=_211(1)x\=x2=.i(2)玉=Z=2(3)%=2,^=9

3_43_3

(4)玉=2，無2=712=113匕=0,&=2，匕=2,14無1，"2=-1達

t=5

第5課時配方法（1）

教學目標

1、理解“配方”是一種常用的數學方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，

讓學生進一步體會化歸的思想方法。

2、會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程。

重點難點

重點：會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程。

難點：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程。

教學過程

（-）復習引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用兩種方法解方程（x+3p5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（-）創設情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“復習引入”中的內容引導學生思考，得知：反過來把方程X2+6X+4=0化成（X+3）2-5=0

的形式，就可用前面所學的因式分解法或直接開平方法解。

2、怎樣把方程X2+6X+4=0化成（X+3/-5=0的形式呢？讓學生完成課本P.10的“做一

做”并引導學生歸納：當二次項系數為“1”時，只要在二次項和一次項之后加上一次項系

數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平方式里，這種做法叫作配

方.將方程一邊化為0,另一邊配方后就可以用因式分解法或直接開平方法解了，這樣解一

元二次方程的方法叫作配方法。

（四）講解例題

例1（課本P.11,例5）

［解］（1）X2+2X-3（觀察二次項系數是否為"I”）

=X2+2X+12-12-3（在一次項和二次項之后加上一次項系數一半的平方，再減去

這個數，使它與原式相等）

=（X+1）2-4。（使含未知數的項在一個完全平方式里）

用同樣的方法講解（2）,讓學生熟悉上述過程，進一步明確“配方”的意義。

例2引導學生完成P.11?P.12例6的填空。

(五)應用新知

1、課本P.12,練習。

2、學生相互交流解題經驗。

(六)課堂小結

1、怎樣將二次項系數為“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？

(七)思考與拓展

解方程：(1)X2-6X+10=0；(2)x2+x+=0；(3)x2-x-l=0o

4

說一說一元二次方程解的情況。

［解］(1)將方程的左邊配方，得(X-3)2+1=0,移項，得(X-3)2=-1,所以原方程無解。

(2)用配方法可解得X|=X2=-o￡

(3)用配方法可解得x產1-X=1+3

~2~~2

一元二次方程解的情況有三種「尢實數解，如方柱(1);有兩個相等的實數解，如方程(2)；

有兩個不相等的實數解，如方程(3)。

課后作業

課本習題

教學后記：

第6課時配方法（2）

教學目標

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步驟。

2、會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程。

3、進一步體會化歸的思想方法。

重點難點

重點：會用配方法解一元二次方程.

難點：使一元二次方程中含未知數的項在一個完全平方式里。

教學過程

（-）復習引入

1、用配方法解方程x2+x-l=0,學生練習后再完成課本P.13的“做一做”.

2、用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的基本步驟是什么？

（二）創設情境

現在我們已經會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程，而對于二次項系數不為1

的一元二次方程能不能用配方法解？

怎樣解這類方程：2X2-4X-6=0

（三）探究新知

讓學生議一議解方程2X2-4X-6=0的方法，然后總結得出：對于二次項系數不為1的一

元二次方程，可將方程兩邊同除以二次項的系數，把二次項系數化為1,然后按上一節課所

學的方法來解。讓學生進一步體會化歸的思想。

（四）講解例題

1、展示課本P.14例8,按課本方式講解。

2、引導學生完成課本P.14例9的填空。

3、歸納用配方法解一元二次方程的基本步驟：首先將方程化為二次項系數是1的一般

形式；其次加上一次項系數的一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平

方式里；最后將配方后的一元二次方程用因式分解法或直接開平方法來解。

（五）應用新知

課本P.15,練習。

（六）課堂小結

1、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么?

2、配方法是一種重要的數學方法，它的重要性不僅僅表現在一元二次方程的解法中，

在今后學習二次函數，高中學習二次曲線時都要經常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的過程要進行較繁瑣的運算，在解

一元二次方程時，實際運用較少。

4、按圖1—1的框圖小結前面所學解

一元二次方程的算法。

(七)思考與拓展

不解方程，只通過配方判定下列方程解的

情況。

(1)4X2+4X+1=0；(2)X2-2X-5=0；

(3)-X2+2X-5=0；

［解］把各方程分別配方得

⑴(x+1)2=0；

2

(2)(x-l)z=6；

(3)(X-1)2=-4

由此可得方程(1)有兩個相等的實數根，方程(2)有兩個不相等的實數根，方程(3)沒有實

數根。

點評：通過解答這三個問題，使學生能靈活運用“配方法”，并強化學生對一元二次方

程解的三種情況的認識。

布置作業

教學后記:

第7課時配方法(3)

教學內容

間接即通過變形運用開平方法降次解方程.

教學目標

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題.

通過復習可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解法，

引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點關鍵

1.重點：用配方法解一元二次方程的步驟.

2.難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與

技巧.

學習過程

一、復習反思

直接寫出下列方程的根：

(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9

二、自主學習，解讀目標

針對目標自學教材31—34頁內容，自學后要求能講清問題2方程的建立過程，會用例1解

決問題的方法解一元二次方程，并通過演練34頁練習題檢查自己是否達到自學要求，然后

在小組交流。

三、總結反思，鞏固提高

總結自己學習新知情況，解決疑難問題后，強化訓練，鞏固提高：

鞏固訓練：

1.將二次三項式x2Yx+l配方后得().

A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3

2.已知1x2-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().

A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1

C.x2+8x+42=lD.x2-4x+4=-ll

3.方程x2+4x-5=0的解是

4.解下列關于x的方程

(1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-l=0

5.如圖，在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂

直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2,道路的寬為多

少？

x~-x—2

的值為則的值為

應用拓展6.代數式f-l0,X

7.如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°，AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B兩點出發

分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是lm/s,幾秒后APCQ的面積為Rt

△ACB面積的一半.

8.己知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長.

9.如果x2-4x+y2+6y+正+2+13=0,求(xy)z的值.

教學后記:

第8課時配方法(4)

教學任務分析

教1、會用開平方法解形如X2=p或(mx+n)2=p(p20)的一元二次方程。

學2、能根據具體問題的實際意義檢驗結果是否合理，并對其進行取舍。

目

標

教學過程

問題與情景師生活動設計意圖

一、知識回顧：第一題為口答

題，復習平方根，

1、求出或表示出下列各數的平方根。

旨在引出第二

9

(1)25(2)0.04(3)0(4)7(5)16(6)題，培養學生探

121究的興趣。

2、求出下列各式中的x.對與第2題要結

(1)X2=49(2)9X2=16(3)x2=6(4)x2=-合平方根的意

9義，看能否求取

X.的值

二、自主學習：

自學課本P30-—P31思考下列

問題：

1、教材問題1中由X2=25得

x=±5依據是什么？

老師點評：

2、問題1中所列的方程是一

1、同學們在交流中體會利用平學生通過自學經

元二次方程嗎？有幾個根？

方根的意義來解一元二次方歷思考、討論、

它們都符合問題的實際意義程的方法。分析的過程，最

嗎？為什么？2、在自學的基礎上，教師要重終形成把一個一

點對問題4、及問題7點撥，元二次方程“降

3、請你總結一下問題1解方

幫助學生更好的理解、學習，次”，轉化為兩個

程的過程。

讓學生真正明白“降次”思一元一次方程.

4、在“問題1”解方程的過

想。我們把這種思想

程中，仔細體會(2x-l)2=5

3、形如x2=a(a20)得S稱為“降次轉化

與X2=25相同點是什么？結

思想”.

即直接開平方法。

合X2=25的解法，嘗試解

(2x-l)2=5。4、師生共同交流教材歸納中

x2=p或(mx+n)2=p(p20)為什

5、舉例說明，什么是一元二

么p20。

次方程的“降次”？

6、觀察方程x?+6x+9=2,請

你把它化為與方程(2x-l>=5

相同的形式

為_____________;

進行降次(開平方)

得___________;方程的兩根

X1=_______X2=________0

由應用直接開平方法解形

7、以上方程在形式和解法上

如x2=p(p20),那么X=±

有什么類似的地方，可歸納

轉化為應用直接開平

為怎樣的步驟？

方法解形如(mx+n)2=p(p

20),那么mx+n=±J^,

達到降次轉化之目的.

三、例題學習：

例：解下列方程

(1)(1+X)2-2=0牢牢把握通過根

(2)(2X+3)2+3=0教師最好書寫一個完整的據平方根的意義

解題過程，給學生以示范作解形如x2=n,知

(3)4X2-4X+1=0

用。在直接開平方時注意符識遷移到根據平

(4)9(X-1)2-4=0

號，這是易錯之處。方根的意義解形

如(x+m)2=n(n

20)的方程.

四、課堂練習：通過練習加深學

生對直接開平方

1、(教材P31練習)解下列

法解一元二次方

方程：

(讓學生分組板演，教師點

程的方法。

(1)2x2-8=。評)

(2)9X2-5=3

(3)(X+6)2-9=0(4)3(X-1)2-6=0

2

(5)X-4X+4=5

(6)9X2+6X+1=4

五、布置作業1、教材P42習題22.2第1

題

六、總結反思：(針對學習目標)可由學生自己完成，教師作適當補充。

1、用直接開平方解一元二次方程。

2、理解“降次”思想。

3、理解x2=p或(mx+n>=p(p2O)為什么p20。

4、對照目標，自查完成情況。

教學后記:

第9課時配方法(5)

教學任務分析

教1、能說出用配方法解一元二次方程的基本步驟；知道“配方法”是一種常用的數學

學方法。

目2、會用配方法解數字系數的一元二次方程。

標

教學過程

問題與情景師生活動設計意圖

一、溫故知新：

1、填上適當的數，使下列各式成立，并總結其中的規律。

(1)x2+6x+___________=(x+3)2(2)X2+8X+

=(x+_____了

第一題為口

(3)x2-12x+=(x-_________)2(4)x2-5+答題，復習

=(X-______)2完全平方公

式，旨在引

(5)a2+2ab+_______=(a+_______)2(6)a2-2ab+_______

出配方法，

=(a-_______)2

培養學生探

2、用直接開平方法解方程：X2+6X+9=2

究的興趣。

二、自主學習：

自學課本P3L-P32思考下列

問題：

交流與點撥：

1、仔細觀察教材問題2,所列出

重點在第2個問題，可以互相交

的方程X2+6X-16=0利用直接

流框圖中的每一步，實際上也是

開平方法能解嗎？

第3個問題的討論，教師這時對

2、怎樣解方程X2+6X-16=0?看框圖中重點步驟作講解，特別是學生通過自

教材框圖，能理解框圖中的每兩邊加9是配方的關鍵，使之配學經歷思

一步嗎？(同學之間可以交成完全平方式。利用a2±考、討論、

流、師生間也可交流。)6.分析的過

2ab+b2=(a±b)2o注意9=(2)2,

3、討論：在框圖中第二步為什么程，最終形

而6是方程一次項系數。所以得

方程兩邊加9?加其它數行成把一個一

出配方是方程兩邊加上一次項

嗎？元二次方程

系數一半的平方，從而配成完全

4、什么叫配方法？配方法的目配成完全平

平方式。

的是什么？方式形式來

5、配方的關鍵是什么？解方程的思

想

三、例題學習：交流與點撥：

例(教材P33例1)解下列方用配方法解一元二次方程的一

程：般步驟：

牢牢把握通

(1)X2-8X+I=0(1)將方程化成一般形式并把過配方將原

(2)2X2+1=-3X二次項系數化成1；(方程兩邊方程變為

都除以二次項系數)(x+k)2=a的

(3)3X2-6X+4=0

形式方法。

(2)移項，使方程左邊只含有

教師要選擇例題書寫解題

二次項和一次項，右邊為常數

過程，通過例題的學習讓學生

項。

仔細體會用配方法解方程的

一般步驟。(3)配方，方程兩邊都加上一

次項系數一半的平方。

(4)原方程變為(x+k)2=a的形

式。

(5)如果右邊是非負數，就可

用直接開平方法求取方程的解。

四、課堂練習：通過練習加

深學生用配

1、教材P34練習1（做在課

方法解一元

本上，學生口答）

對于第二題根據時間可以分兩

二次方程的

2、教材P34練習2組完成，學生板演，教師點評。

方法。

五、布置作業1、教材P42習題22.2第3題

六、總結反思：（針對學習目標）可由學生自己完成，教師作適當補充。

1、理解配方法解方程的含義。

2、要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，

3、掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯點。

4、配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次。

第10課時配方法（6）

一、教學目標：

（一）使學生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0,）可以轉化為適合于直接開平方法

的形式（x+m）2=n;

（二）記住配方的關鍵是“添加的常數項等于一次項系數一半的平方”；

（三）在數學思想方法方面，使學生體會“轉化”的思想和掌握配方法。

二、教學重點和難點

重點：掌握用配方法配一元二次方程。

難點：湊配成完全平方的方法與技巧。

三、教學指導：

1.從逆向思維啟發學生，關鍵在于把方程左邊構造出一個完全平方式.

2.通過練習加深學生對“添一次項系數一半的平方”這句話的認識和理解.

四、教學過程：

（一）復習

1.一元二次方程的一般形式是什么樣的?（注意a#0）

2.對于一元二次方程ax2=0（a翔）和ax2+c=0值知）,我們已經學會了它們的解法。

例如解方程：（x-3『=4（讓學生說出過程）。

解：方程兩邊開方，得x-3=±2,移項，得x=3±2。

所以X,=5,X2=1.（并代回原方程檢驗，是不是根）

3.其實（x-3）2=4展開、整理為一元二次方程。（把這個展開過程寫在黑板上）

（X-3）2=4,①

X2-6X+9=4,②

X2-6X+5=0.③

（二）新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①一方程②一方程③的變形逆轉過來，可以發現，對于一個的一元二

次方程，不妨試試把它轉化為（x+m）2=n的形式。這個轉化的關鍵是在方程左端構造出一個

未知數的一次式的完全平方式（x+m）?。

2.通過觀察，發現規律

問：在x?+2x上添加一個什么數，能成為一個完全平方（x+?），（添一項+1）

即(X2+2X+1)=(X+1)2.

3.練習：填空：

X2+4X+()=(X+/；y2+6y+()=(y+)2.

算得X2+4X=2X-2,所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3,所以添3的平方。

總結規律：對于x?+px,再添上一次項系數一半的平方，就能配出一個含未知數的一個次式的

完全平方式。即22.④

(讓學生對④式的右邊展開，體會括號內第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次項，

括號內第二項的平方，恰是配方時所添的常數項)

總結：左邊的常數項是一次項系數一半的平方。

問：如果左邊的一次項系數是負數，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

4.鞏固練習(填空配方)

x2-bx+()=(x-/；x2-(m+n)x+()=(x-)2.

5.用配方法解一元二次方程(先將左邊化為(x土)2形式)

例1解方程：X2-8X-9=0.

解：移項，得X2-8X=9,

兩邊都加一次項系數一半的平方，

x2-8x+42=q+42,

配方，得(x-4)-=25,

解這個方程，得x-4=±5,

移項，得x=4±5.

即xl=9,x2=-l.

例2解方程：X2-8X-8=0.

解：原方程移項，像X2?8X=8,方程左邊配方添一次項系數一半的平方，方程右邊也添

一次項系數一半的平方

X2-8X+(X-4)2=8+(-4)2,

2

(X，4)=24,

x-4=±26,

所以Xi=4+26,X2=4?26.

例3解方程：X2-8X+18=0.

解:移項，得X2-8X=-18.

方程兩邊都加(-4)2,得

x2-8x+(-4)2=-l8+(-4)2,

(X-4)2=-2.

因為平方不能是負數，x-4不存在，所以x不存在，即原方程無解.

例4解方程x2+2mx+2=0,并指出n?取什么值時，這個方程有解.

分析：由例3可見，在方程左邊配方后，方程右邊式子的值決定了此方程是否有解,

當方程右邊式子的值是正數或零，此方程有解，當方程右邊式子的值是負數，此方程無解.

解：移項，Wx2+2mx=-2.

配方，兩邊加n?,得

x2+2mx+m2=m2-2,

(x+m)2=m2-2,

當m2-2K),即m一2時,

X+W=±J”12-2,

所以m2>2,原方程有解0=一加+」x2=Jm2-2.

例5解方程：3X2+2X-3=0.

提問：二次項系數不是1,怎么辦？

五、課堂練習

1.用配方法解方程：X2-4X-3=0.

2.用配方法解法程：2X2+5X-1=0.

六、小結

1.填空:X2+px+()=(x4-)2.

2.用語言說出對于x2+px添上什么，才能成為一個完全平方？

3.用配方法解一元二次方程的步驟是：

(1)化二次項系數為1:

(2)移項，使方程左邊只有二次項及一次項；

(3)在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；

(4)變形為(x+m、的形式，如果n>0,得x+m=±Vn>,x=-m士J”..所以

X|=-m+Jn、X2=-m-J”、

七、達標檢測

用配方法解方程：

(l)x2-10x+24=0;(2)X2+2X-99=0;

(3)/+5丫+2=0;(4)3X2-1=4X;(5)ax2+x-2=0(a>0)；

第11課時配方法（7）

教學目標

1、理解“配方”是一種常用的數學方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，

讓學生進一步體會化歸的思想方法。

2、會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程。

重點難點

重點：會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程。

難點：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程。

教學過程

（-）復習引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用兩種方法解方程（x+3p5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（-）創設情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“復習引入”中的內容引導學生思考，得知：反過來把方程X2+6X+4=0化成（X+3）2-5=0

的形式，就可用前面所學的因式分解法或直接開平方法解。

2、怎樣把方程X2+6X+4=0化成（X+3/-5=0的形式呢？讓學生完成課本P.10的“做一

做”并引導學生歸納：當二次項系數為“1”時，只要在二次項和一次項之后加上一次項系

數一半的平方，再減去這個數，使得含未知數的項在一個完全平方式里，這種做法叫作配

方.將方程一邊化為0,另一邊配方后就可以用因式分解法或直接開平方法解了，這樣解一

元二次方程的方法叫作配方法。

（四）講解例題

例1（課本P.11,例5）

［解］（1）X2+2X-3（觀察二次項系數是否為"I”）

=X2+2X+12-12-3（在一次項和二次項之后加上一次項系數一半的平方，再減去

這個數，使它與原式相等）

=（X+1）2-4。（使含未知數的項在一個完全平方式里）

用同樣的方法講解（2）,讓學生熟悉上述過程，進