第十一章三角形

/■\

教學備注

11.1與三角形有關的線段

11.1.1三角形的邊

學習目標:1.認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形.

2.掌握三角形三邊的關系定理，能利用定理及其推論進行

簡單的證明.

3.了解三角形按邊分類的原則和結論.

重點：理解三角形三邊之間的不等關系.

學生在課前難點:運用三角形三邊之間的不等關系解題.

完成自主學

習部分V---------________t

自主學習

一、知識鏈接

在下面畫一個三角形，觀察回憶你所學過或知道的三角形的有關知識。

并寫出來.

二、新知預習

1.根據小學認識的三角形判斷,是三角形在括號內打“J”，不是三角形

打“X”.

A人幺」

()

2.自主歸納：

(1)三角形概念：由不在同一直線上的三條線段首尾________相連所組人

成的圖形./\

(2)三角形的構成:如圖，/\

邊：條，分別為線段、、;

nDZ―-----

頂點：一個，點A、B、C為三角形的三個頂點；

角：______個，分別為/A、NB、NC.ZA,ZB,NC是相鄰兩

邊組成

的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。

頂點是A,B,C的三角形記作:上

3.三角形按角分類，可以分為__________三角形________三角形和三角形.

三、自學自測

如圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形.

有_____個三角形,分別記作:.

課堂探究\<

一、要點探究

探究點1:三角形的相關概念

找一找：

(1)圖中有幾個三角形?用符號表示出這些三角形?

(2)以AB為邊的三角形有哪些？

(3)以E為頂點的三角形有哪些？

(4)以/〃為角的三角形有哪些？

(5)說出43CD的三個角和三個頂點所對的邊.

方法總結:數三角形的個數時，抓住不在同?，條直線上的三個點能組成一個三角形;再按

字母的順序去數.

探究點2:三角形的分類

問題1：觀察下列三角形，說一說，按照三角形內角的大小，三角形可以分為哪幾類?

問題2：如果以三角形邊的元素的不同，三角形該如何分類呢?觀察圖形作答.

\)

教學備注

4.探究點3新

知講授

(見幻燈片

17-22)

等腰n三角形和等邊三A角形的區別是什么？△

(1)

(2)從邊上來說,除了等腰三角形和等邊三角形還有什么樣的三角

形？

(3)根據上面的內容思考:怎樣對三角形進行分類？

三角形按角分類：

三角形

三角形按邊分類:

探究點3：三角形的三邊關系

1.做一做：

在A點的小狗,為了盡快吃到B點的香腸，它選擇A路線，而不選擇A

-C-8路線,難道小狗也懂數學？

C

答:理由是.

2.議一議：

(1)在同一個三角形中,任意兩邊之和與第三邊有什么大小關系？

(2)在同一個三角形中,任意兩邊之差與第三邊有什么大小關系？

(3)三角形三邊有怎樣的不等關系？

要點歸納:

三角形兩邊的和第三邊.

三角形兩邊的差________第三邊.

\_________7

典例精析

例1:判斷下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？教學備注

（1）3cm、8cm>4cm;（2）5cm>6cm、11cm;（3）5cm>6cm>10cm.配套PPT講授

方法總結:判斷三條線段是否可以組成三角形，只需說明兩條較短線段之和大于第三條線5.課堂小結

段即可.

例2：用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰二角形.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎?為什么？

方法總結:等腰三角形與三角形的三邊關系結合時，若腰和底不明確時,需要分類討論，再

檢驗是否符合三邊關系.

針對訓練一

1.下列每組數分別是三根木棒的長度，能用它們擺成三角形的是（）

6.當堂檢測

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cmD.13cm,12cm,20cm（見幻燈片

2.若一個三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊長可能是（）

23-26）

A.6B.3C.2D.11

3.三角形的三邊長分別為5,1+2x,8,則x的取值范圍是

4.等腰三角形的腰長是6,則底邊長3,周長為.

5.一根木棒長為7,另一根木棒長為2,那么用長度為4的木棒能和

它們拼成三角形嗎?長度為11的木棒呢?若不能拼成，則第三條邊

應在什么范圍呢？

三角形的定義圖形基本要素表示方法分類三邊的關系

由不在同一直邊△ABC（1）按角分i鄉任意

線上的三條線內角⑵按邊分葵

段首尾順次相頂點

AB

接所組成的圖“當任意

形叫做三角形兩邊之差小于

第三邊.

1.圖中銳

角三角形的個數有（）

A.3個B.4個

C.5個D.6個

2.用木棒釘成一個三角架,兩根小棒分別是7cm和10cm,第三根小棒可取（）

A.20cmB.3cmC.11cmD.2cm

3.如圖,在△力Cf中，NCE力的對邊是.

4.已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm,3cm,則這個三角形的周長為_____.

5.若三角形的兩邊長分別是2和7,第三邊長為奇數，求第三邊的長.

拓展提升

6.已知：a、b、c為三角形的三邊長，化簡：Ib+c-aI+|b-c-a|-1c-a-b|—Ia-b+c|.

溫馨提示：配套課件及全冊導學案WORD版見光盤

或網站下載：（無須登錄，直接下載）

、

教學備注

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

學習目標：1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念,了解三

角形的穩定性.

學生在課前2.會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線.

完成自主學重點:三角形的高、中線與角平分線的特征.

習部分難點:三角形的高、中線與角平分線的應用.

自主學習

一、知識鏈接

1.如圖按要求作圖:

A

A0

B

(1)在左圖中，過點P作線段AB的垂線PD；作出線段AB的中點E.則

有=.

(2)在右圖中，作出NAOB的平分線，則有N.=Z

ZAOB.

二、新知預習

1.三角形的高：

(1)小學我們已經學過三角形的高,如圖①，過點A向它的對邊畫垂線，作

(2)自主歸納:

①從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間

的線段叫做三角

形的高線，簡稱三角形的高.

②一個三角形有條高，請在圖①中作出aABC的另外兩條高.

③三角形的高是一條.

2.(1)如圖②，連接aABC的頂點A和它的邊BC的中點D,類比三角形高

線的定義，

\_________則所得的線段AD應叫做4ABC的邊BC上的________線.并畫出^

ABC其他的兩條中線.

(2)自主歸納：X

教學備注

①在三角形中，連接一個頂點與它對邊

的中點的線段，叫做這個三角形的中線.

②一個三角形有條中線，每條中線都是一條.

3.三角形的角平分線：

(1)如圖③，你能用同樣的方法畫出任意一個三角形的一個內角的平分線嗎？

(2)自主歸納

三角形角平分線定義:_______________________________________________________

三角形的角平分線與角的平分線的區別是：

③一個三角形有條角平分線.

4.幾何語言表示三角形的高、中線、角平分線

幾何推理圖例

三角形的高：AD是△ABC的高，A.

A

.??①______±______,

②NADB=N________=。

BnC

三角形的中；CF是aABC的中線，

線:.①AF=____=AC.

②AC=____AF=____CF.

三角形的角???BE為△ABC的角平分線,

平分線①/1=N____=____ZABC.

②NABC=____Zl=_Z2.

配套PPT講授

三、自學自測

1.按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線.

1.復習引入

(見幻燈片

3-4)

2.探究點1新

知講授

畫中線AD,BE,CF畫高DG,EH,FM畫角平分線GM,HN,IP

(見幻燈片

四、我的疑惑

5-12)

z課堂探究《

二、要點探究

探究點1:三角形的高

做一做:請在下圖中畫出4ABC的高線.

B

教學備注

【歸納總結】三角形的高或其延長線相交于一點，銳角三角形的三條高的

3.探究點2新

交點在三角形的內部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的頂點上,

知講授

鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部.

（見幻燈片

典例精析

13-18）

例1：如圖所示，在△A8C中,AB=NC=5,8c=6,于點D,且A〃=4,

若點P在邊A。上移動，求BP的最小值.

方法總結:面積法的應用：若涉及兩條高求長度，一般需結合面積（但不求出

面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.

探究點2:三角形的中線

問題1:任意作一個三角形，畫出它的三條中線，觀察，有什么結論？

問題2：如圖，AD為^ABC的中線，猜想4ABD與4ACD的面積關系，并

證明.

【歸納總結】1.三角形的三條中線相交于一點.三角形三條中線的交點叫做

三角形的重心.

2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

典例精析

4.探究點3新

例2:如圖，在△ABC中是2C上的一點，280點。是AC的中點，設

知講授

△ABC4人〃下和48EF的面積分別為SA>WC,和SABEF,且SAABC=12,

（見幻燈片

求S^ADF-5*AfiKF的值.

19-23）

方法總結:三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積

5.課堂小結

的比等于底邊的比;底相等時，面積的比等于高的比.

探究點3:三角形的角平分線

例3:如圖，DC平分NACB,DE〃BC,NAED=80°,求NECD的度數.

\_________

A

教學備注

6.當堂檢測

（見幻燈片

24-30）

二、課堂小結

三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的線段.

三角

三角形的中線:在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段.三角形的中

形的

線把三角形分為面積相等的兩個三角形.

育辛

三角形的角平分線:三角形的一個角的平分線與

A!對邊相交，連接這個

角的頂點與交點的線段.

下列說法正確的是

（）

A.三角形三條高都在三角形內B.三角形三條中線相交于一點

C.三角形的三條角平分線可能在三角形內，也可能在三角形外

D.三角形的角平分線是射線

2.在△4BC中/D為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：?ZBAD^ZCAD;@ZA

3.如圖，△/8（7中/。=90。，CD_LA?圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

4.畫△/5C中AB邊上的高,下列畫法中正確的是（）

ABCD

5.(1)：BE是aABC的角平分線，

???—_—1——>

2\>

(2)-CF是△ABC的角平分線,

ZACB=2=2.第5題圖第6題

圖

6.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線,S△他^=3cm2,則S△祝=.

7.在4/1a'中，。〃是中線，已知叱4廣5的△%C的周長為25cm,求的周長.

溫馨提示酒已套課件及全冊導學案WORD版見光盤

或網站下載：(無須登錄，直接下載)

第十一章三角形

教學備注

11.1.3三角形的穩定性

學習目標：1.了解三角形的穩定性.

2.了解四邊形的不穩定性.

3.了解三角形穩定性和四邊形的不穩定性在實際生活中的

應用.

重點:了解三角形穩定性在生產、生活中實際應用，領會三角形的穩

定性.

學生在課前完難點:準確使用三角形穩定性與四邊形的不穩性與生產生活之中.

成自主學習部課前準備:小木條8個，小釘若干.

分

自主學習

一、知識回顧

1.什么叫三角形？

2.三角形的三邊關系是

3.你能用小木條做一個三角形嗎?試一試

配套PPT講授

1.情景引入

（見幻燈片3）課堂探究

2.探究點1新知

講授一、要點探究

（見幻燈片探究點1：三角形的穩定性

活動

4-13）1:

1.用三根木條用釘子釘成一個三角形木架,然后扭動它,它的形狀會改

變嗎?探索思考.

\.

教學備注

2.用四根木條用釘子釘成一個四邊形木架,然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

3.從上面實驗過程你能得出什么結論？與同伴交流交流。

三角形木架形狀改變,四邊形木架形狀改變(填"會”或“不會”)

3.探究點2新

4.結論：

知講授

三角形具有穩定性，四邊形沒有穩定性。

(見幻燈片

5.舉出生活中利用三角形穩定性的實例：

14-23)

針對訓練

1.不是利用三角形穩定性的是()

A.自行車的三角形車架B.三角形房架

C.照相機的三腳架D.矩形門框的斜拉條

2.下列圖形中哪些具有穩定性.

zvmfiOQ送

(1)(2)(3)(4)<5>(?>

探究點2:四邊形不穩定性的應用

1.想一想：四邊形的不穩定性是我們常常需要克服的，那么四邊形的不穩定性在生活中有

沒有應用價值呢？如果有，你能舉出實例嗎？

將四邊形木架上再釘一根木條,將它的一對頂點連接起來,然后再扭動它，這時木架的

形狀還會改變嗎？

例1：要使四邊形木架不變形，至少要釘上一根木條,把它分成兩個三角形使它保持形狀，那

么要使五邊形，六邊形木架，七邊形木架保持穩定該怎么辦呢？

教學備注

【方法總結】為了使多邊形具有穩定性，一般需要用木條將多邊形固定成

由一個一個的

5.課堂小結三角形組成的形式.

例2:1.牧民阿其木家用于圈羊的木柵門,由于年久失修已經變成如圖

甲，為什么會變

形？

2.為了恢復成原樣圖乙，而且要保持形狀不變，他該怎么做呢？

6.當堂檢測

《見婦好.井

24-27)77777

【針對練習】

1.蓋房子時,在窗框未安裝好之前，工人師傅常常先在窗框上斜釘一根木

條,為什么要這樣做呢？

2.釘子架容易轉動，怎樣做可以使它穩定?在圖中畫一畫.

二、課堂小結:

三角形具有穩定性,四邊形沒有穩定性。它們都有一定的實用價值。

1

(

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.下列關于三角形穩定性和四邊形不穩定性的說法正確的是（）

A.穩定性總是有益的，而不穩定性總是有害的

B.穩定性有利用價值，而不穩定性沒有利用價值

C.穩定性和不穩定性均有利用價值

D.以上說法都不對

3.如圖，工人師傅砌門時，常用木條EF固定門框ABCD,使其不變形，這種做法的根據

是（）

A.兩點之間線段最B.三角形兩邊之和大于第三邊

C.長方形的四個角都是直角D.三角形的穩定性

第3題圖第4題圖第5題圖

4.如圖，橋梁的斜拉鋼索是三角形的結構，主要是為了（）

A.節省材料,節約成本B.保持對稱

C.利用三角形的穩定性D.美觀漂亮

5.用六條鋼管連接成的鋼架,為使這一鋼架穩固，用三條鋼管連接使它不變

形，你能想出辦法解決這個問題嗎?多多益善.

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第十一章三角形

教學備注

11.2與三角形有關的角

11.2.1三角形的內角

第1課時三角形的內角和

學習目標：1.掌握三角形的內角和定理.

2.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于

180°.

學生在課前3.能運用三角形的內角和定理進行簡單的證明或計算.

完成自主學重點：三角形的內角和定理.

習部分難點:三角形的內角和定理的推導過程.

___________>/自主學習二

一、知識鏈接

1.三角形按照角的大小分類，可以分為

2.分別用量角器量出下面三個三角形的內角度數，并填表.

三角形形狀每個內角的度數三個內角的和

銳角三角形

教學備注

直角三角形

配套PPT講授

鈍角三角形

1.情景引入

B（見幻燈片

二、新知預習

3-4）

如圖，在中，

1.4ABCZA+ZB+ZC=_____2.探究點1新

知講授

（見幻燈片

2.在小學我們通過拼接、測量就已經知道三角形的內角和為與其形狀、大小5-10）

（填“有關”或“無關”）.

三、自學自測

在△ABC中，若/A=35。，/B=65。，則/C=.

四、我的疑惑

/課堂探究

三、要點探究

探究點1:三角形內角和定理的證明

活動：在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起.

三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.

問題1：觀測的結果不一定可靠，還需要通過數學知識來說明.從上面的操作過程，你能

發現證明的思路嗎？

已知:如圖,△ABC,

求證:/A+NB+/C=180。。

證明1:延長BC到D,過點C作CE〃BA,

\）

教學備注

3.探究點2新

已知:如圖,△ABC,

知講授

求證:/A+/B+/C=180°。

（見幻燈片

證明2：過點A作/〃BC,

11-21）

問題2:將自己剪下來的內角拼合在一起，除了上面兩種拼接方式，你

還能想到其他的拼法嗎?用這種拼法你能證明三角形的內角和定理

嗎？

要點歸納:借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.

三角形的內角和為。

探究點2:三角形內角和定理的應用

典例精析

例1（教材例1變式題）如圖，CD是/ACB的平分線,DE〃BC,/A=

50°,ZB=70°,求NEDC,/BDC的度數.

方法總結:平行線、角平分線與三角形的內角和定理相結合時，找到相等的角

,是關犍.-

例2在4ABC中，ZA的度數是NB的度數的3倍，ZC比/B大

15°,求/A,ZB,/C的度數.

\_________7

r教學備注

方法總結：在題中出現了角度的倍分、和差、比例關系時，通常會運用到方程思想，先設配套PPT講授

未知數，再運用三角形的內角和定理列方程求解.

4.課堂小結（見

幻燈片28）

例3（教材例2變式題）如圖,B島在A島的南偏西40。方向，C島在A島的南偏東15。

方向，C島在B島的北偏東80。方向，求從C島看A,B兩島的視角nACB的度數.

5.當堂檢測

（見幻燈片

22-27）

針對訓練

1.在aABC中，NA=35°,NB=43°,則/C=

2.在aABC中，NA:ZB:/C=l:2:3,貝！l/XABC是—三角形.

3.在△ABC中，NA=ZB+10°,ZC=ZA+10°,則/A=,ZB=

ZC=.

二、課堂小結

三角形的內角和為180°.

當堂檢測

1.求出下列各圖中的x值.

3.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上，NA+NADE=180°,ZB=78°,ZC=60°,

求NEDC的度數.

\7

A,

BEC

4.如圖，在△ABC中,NB=42°,/C=78°,AD平分NBAC.求/ADC的度數.

拓展提升

5.如圖，在△ABC中，BP平分NABC,CP平分/ACB.

(1)若NBAC=60°,求NBPC的度數.

(2)你能直接寫出NBPC與/A之間的數量關系嗎？

溫馨提示：配套課件及全冊導學案WORD版見光盤

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第十一章三角形

/■\

教學備注

11.2與三角形有關的角

11.2.1三角形的內角

第2課時直角三角形的性質和判

定

學習目標：1.了解直角三角形兩個銳角的關系.

.掌握直角三角形的判定.

學生在課前2

完成自主學3.會運用直角三角形的性質和判定進行相關計算.

重點：掌握直角三角形的性質和判定.

習部分

難點：運用直角三角形的性質和判定進行相關計算.

-----------＞》自主學習R

一、知識鏈接

1.三角形的內角和為.

2.直角三角形有什么特點？

二、新知預習

1.如圖①，在△ABC中，已知NC=90°.

(l)AABC叫做,用符號表示為；

(2)NA+/B+/C=°,ZA+ZB=°一NC=

結論：直角三角形的兩個銳角

2.如圖②，在△ABC中，已知NA+NB=90°°-(Z

A+ZB)=

所以△ABC是.

結論：有兩個角的三角形是直角三角形.

三、自學自測

1.在R3ABC中，zB=90。/C=50。,則NA=.

2.在△ABC中，若NA=35。，zC=55°,則AABC是三

角形.

四、我的疑惑

教學備注

配套PPT講授

1.情景引入

（見幻燈片

3-4）

/課堂探究2.探究點1新

知講授

四、要點探究

（見幻燈片

探究點1:直角三角形的兩銳角互余

活動：如下圖所示是我們常用的一副三角板,量一量自己手上三角板的兩銳角的度數之5-12）

和為多少度？

問題:在任意RtaABC中，NC=90°,兩銳角的和等于多少呢？

要點歸納：

直角三角形的兩個銳角.

典例精析

例1（1）如圖①,NB=NC=90°,AD交BC于點0,NA與ND有什么關系？

（2）如圖②，/B=/D=90°,AD交BC于點O,/A與NC有什么關系?請說明理由.

例2（教材例1變式題）如圖，ZlsABC中,CDJ_AB于D,BE_LAC于E,CD,BE相交于點

F,NA與NBFC又有什么關系?為什么？

\）

方法總結:兩個直角三角形的兩個銳角為對頂角，則另一對銳角也相等

針對訓練

1.三角形三個內角中，最多有個直角，最多有一個鈍角,至少有個

銳角.

2.在△ABC中，zC=90°,zA:zB=1：2,則NA=.

3.如圖，BD平分NABC,CD_LBD,D為垂足/C=55。，則NABC的度數

教學備注是（）

3.探究點2新

知講授

（見幻燈片

13-16）

探究點2：有兩個角互余的三角形是直角三角形

典例精析

例3如圖,NC=90°,Zl=ADE是直角三角形嗎?為什么？

例4如圖,CE_LAD,垂足為E,ZA=ZC,Z\ABD是直角三角形嗎？為

什么？

教學備注

配套PPT講

授

4.課堂小結

（見幻燈片

21）

\_________7

方法總結：判斷一個三角形是否是直角三角形，只需說明兩個銳角互余即可.

二、課堂小結

性質：直角三角如圖，若aABC為直角三角

C

直角三角形兩銳角互余.形，且NA為直角，則NB+

K

形俵ZC=90°.

示:Rt判定：有兩個角如圖,若NB+NC=90°

△)互余的三角形則△ABC為直角三角形.1B

為直角三角形.

教學備注

配套PPT講

當堂檢測授

1.如圖,一張長