全國高中數學賽課一等獎作品教學設計精品模板

（二）

目錄

全國高中數學褰課一等獎作品25教案：《直線的傾斜角和斜率》.doc

全國高中數學褰課工獎作品26然：《醴與圖的隰^》.doc

全國高中數學褰課T獎作品27教案：《直線與平面垂直的判定》.doc

全國高中數學褰課T獎作品28般:回歸分析.doc

全國高中數學賽課T獎作品29教案:《循斶構（二）》.doc

全國高中數學褰課T獎作品30教案：《數學歸納法及其應用舉例》.doc

全國高中數學賽課T獎作品31教案：《數學歸納法》.doc

全國高中數學賽課T獎作品32教案：《三角函數模型的簡單應用》.doc

全國高中數學褰課一等獎作品33教學設計:《數列極限》.doc

全國高中數學褰課工獎作品3瞰集：《三角函數的誘導公式》.doc

全國高中數學賽課T獎作品35教學設計：《三角函數的誘導公式》.doc

全國高中數學褰課T獎作品3儆學設計：《簡單的線聊劃問題》doc

全國高中數學褰課一等獎作品37教案:直線方程的概念與直線的斜率,doc

全國高中數學褰課工獎作品39蟾：《三角函數圖象》.doc

全國高中數學褰課工獎作品標：《同角云函數的基本痂》.doc

M全國高中數學褰課T獎作品然：彝不等式.doc

叵全國高中數學褰課碧獎作品教案及教學設計：《直線的豳角和斜率》.doc

全國高中數學賽課一等獎作品教案及說課：充分條件與必要條件.doc

全國高中數學褰課一等獎作品教案及說課稿：《空間中直線與直線的位置關系》doc

全國高中數學褰課一等獎作品^!^?課稿：等可能性耕的蜘oc

全國高中數學賽課一等獎作品教學骸：《函數的崎.doc

全國高中數學賽課一等獎作品教學設計：《假不同增長函數模型》.doc

全國高中數學賽課一等獎作品教學設計：《球面距離》.doc

全國高中數學褰課一等獎作品教學設計：《正弦定理》doc

全國高中數學褰課一等獎作品教學骸：簡單隨機抽樣.doc

教學設計：§7.1直線的傾斜角和斜率

（教材：人教版全日制普通高級中學（必修）數學第二冊（上）

教學

教齡

師校

將*授課

學科數學年級高二課題直線的傾斜角和斜率

本課是人教版數學必修第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內容的

開始。直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代

數表示，是平面直角坐標系內以坐標法（解析法）的方式來研究直線及其幾何性質（如直線

位置關系、交點坐標、點到直線距離等）的基礎。通過該內容的學習，幫助學生初步了解直

角坐標平面內幾何要素代數化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法?本課

教

有著開啟全章，奠定基調，滲透方法的作用。直線傾斜角是描述直線傾斜程度的幾何要素，

材

分課本結合具體圖形，在探索確定直線位置的幾何要素中給出直線傾斜角概念：當直線與X

析軸相交時，取X軸作基準，X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角，當直

線與X軸平行或重合時，規定它的傾斜角為零。

直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置

關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用。因此，正

確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵。“坐標法”思想與數形結合思想

是本課內容蘊含的核心思想。

授課班級中，大部分學生有一定的學習能力，數學基礎較好，部分學生喜歡學數學。雖

學

然學生能用數學語言表達自己的觀點，但是這種表述大多時候僅僅停留在感性層面，不嚴謹，

情

不完整，學生還沒有獨立抽象、概括出一個新概念的能力。在此之前，學生已經接觸過直線：

分

平面內，兩點確定一條直線；一次函數的圖象是不與x軸，y軸平行或重合的直線。同時他

析

們也接觸過坡度的概念。這些就為傾斜角和斜率概念的得出打下了基礎。

14、知識與技能：

正確理解直線的傾斜角和斜率概念，并能應用過兩點的直線的斜率公式解決簡單問題。

教

14、過程與方法：

學

通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角和斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能

目

力，運用數學表達能力，數學交流與評價能力。

標

14、態度情感與價值觀：

通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學

生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度。

教教

抽象概括直線的傾斜角和斜率概念，探究傾斜角概念形成，斜率概

學學

發現過兩點的直線的斜率公式。念的理解。

重難

點點

教學師生互動、引導學生主動

多媒體課件教學方法

手段發現探索

教學過程

教學

教學內容師生互動設計意圖

環節

生：相互討論設計意圖：通

完成引例.

過對已有知識

1、在初中，不與坐標軸平行的直線可以用一次函數來表示，師：引導學

及思想方法的

這樣就把對圖形的研究轉化為對函數的研究，這里溝通數生分析歸納概

回憶，尋找新

形關系的橋梁是坐標系。這種以坐標系為橋梁，把幾何問括得出結論.

的知識“生長

導題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方

點”，引導學生

法，叫坐標法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，

用“坐標法”

入它是17世紀法國數學家笛卡兒和費馬創立的。

師生：共同的思想來思考

2、問題：直線上點的坐標與方程的解之間有什么關系？

總結出直線方新的問題。

程的概念。同時使學生明

問題：如何用代數的方法表示平面中簡單圖形一一直線？

確本課學習的

內容。

問題：如圖1,對于平面直角坐標系內的一直線1,你認明確思維方

為它的位置由哪些條件確定？向，探索確定

一指定學生回直線位置的幾

答，教師給與何要素。

探

補充、糾正

圖1

究

引導學生發現

問題:如圖2,在直角坐標系中，過點P的不同直線的區

新師生：引導學過定點的不同

別在W明里？

生發現：兩點直線，其傾斜

知確定一條直程度不同。從

線，過一點不而發現直線上

能確定一條直一點和直線的

圖2線。傾斜程度也能

確定一條直

線。

生：觀察圖形，探索描述直線

相互討論，但的傾斜程度的

概

是在傾斜角定幾何要素，由

問題：在直角坐標系中，任何一條直線與軸都有一個相

X義得出時會有此引出傾斜角

念對傾斜度，可以用一個什么幾何量來反映一條直

困難。的概念。

線與X軸的相對傾斜程度呢？

形

師：給學生鼓讓學生明確傾

依傾斜角的定義，傾斜角的范圍是什么？

勵、引導，師斜角的取值范

成

生共同得出傾圍是0°Wa

斜角概念。<180°

告知目標，明

從實例入手，確思維的方

才'X引出用傾斜角向，將幾何要

的正切值表示素代數化。

1

圖3斜率。

1、問題：我們己經給出了確定平面直角坐標系中一條直

線位置的幾何要素，那么如何用代數的語言描述上述幾何

要素呢？

在日常生活中，我們有沒有碰到過表示傾斜程度的量？

組2、問題：（1）觀察圖中樓梯，我們發現坡越陡，坡面與

地平面所成的角越大，你認為這個角的變化與圖中哪個數師：引導學生基于學生的客

織量變化有關？坡面與地平面所成的角不變的情況下，升高在生活中舉觀現實，結合

量和前進量都在變化，那么你認為這個角的變化與升高量例，山坡,樓已有的生活經

探和前進量之間究竟是怎樣的關系？能不能用一個數學式子梯等，教師樓驗尋找幾何要

來表示它們之間的關系？梯的教學情素代數化的方

究景。法。

上：

探索描述直線

------------------1BAD

A圖5D3圖6生：探索、交的傾斜程度的

流。用數學語代數表示，由

言表達自己的此引出斜率概

發現。念

圖7ED

3,問題：從上面的討論，我們發現，如果使用“傾斜角”

的概念，“坡度”實際就是“傾斜角a的正切值”，由此你

認為還可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度？

組

學生自己完成溝通數形關

織

然后教師組織系，充分利用

同桌間互相交正切函數的圖

探4、任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定

流，共同得出象，加深概念

不相同嗎？

結論。理解。明確可

究是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？

以用斜率表示

（傾斜角與斜率一一對應嗎？）

教師指定學生直線的傾斜程

強調易犯的錯度。但根據正

誤切函數的定義

域，并非所有

的直線都有斜

率

J兀

/圖8

組

織5、推導過兩點的直線的斜率公式：

問題：兩點確定一條直線，直線確定，傾斜角也就確定，

讓學生自己推

探斜率也就確定了，那么直線的斜率可以用直線上兩點指定學生回

導出過兩點的

Pl(XlM),P2(X2,以)(其中X1#X2)的坐標來表示,你能自己答，如果有錯

直線的斜率公

究導出它們的關系嗎？誤，教師組織

式。

學生糾正。

問題：當直線與坐標軸平行或重合時,上述結論還成立嗎？師生：總結兩通過自己的探

點式斜率計算索，完善兩點

八1P公式：式斜率公式

TD___________上—/2-/1

?12--1

k=心-勺

h-八

「X°\(EWX2),檢

TH圖12圖11（xiH及）o驗得到公式與

P\,2兩點的順

序無關。

【例1】判斷下列命題的真假：

1.任何一條直線都有傾斜角，所以任何一條直線都有斜

率；

幫助學生鞏固

2.直線的傾斜角與直線的斜率一一對應；

學生回答基本概念，發

3.直線的傾斜角為a，貝Using20；

練現易錯點。

4.直線的傾斜角越大，則直線的斜率也越大；

習5.直線斜率的范圍是(-8,+?)

鞏

固

【例2】已知4(3,2),8(-4,1),C(0,-1)，求直線

AB,BC,。的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是設計意圖：根

據斜率的定義

鈍角？

式，結合圖象，

3萬熟悉傾斜角和

變式L直線的斜率為k,傾斜角為a,若4Va<4,斜率的關系。

則"的范圍是(

)根據斜率的定

A.(-1,1)B.(-8-1)U(1,+8)C.[-1,1]D.義式，結合圖

練(-8,-1]U[1,+8)師：引導學生象，熟悉傾斜

充分利用正切角和斜率的關

習函數的圖象解系。

變式2.設直線的斜率為k,傾斜角為a,若TCAQ,則a決問題，數形

鞏的取值范圍是()結合。

固萬萬。my丸

(-,4,)B.

A.c.(o,Z)要求學生畫給學生創造一

圖，體驗數形個動手探究、

K3>10,小佟，萬結合的思想方學以致用的機

[4)14J

U(2,4)D.法。會，要求學生

畫圖，體驗數

形結合的思想

方法。熟練應

［例3］在平面直角坐標系中,畫出經過原點且斜率分別用兩點式斜率

為1,-1,和2的直線。公式。直接利

用斜率定義式

求解，熟悉斜

率公式，并體

Ph驗斜率與傾斜

角之間的關系

1

教師根據課堂

【練習】對斜率進一步

實際時間，確

3鞏固。

已知直線的傾斜角為a,若sina=5,求此直線的斜率。定練習與否

學生思考，回

答讓學生歸納

出刻畫直線傾

提問：斜程度的兩種

方法：傾斜角

（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？他們之間有什

（形）和斜率

么關系？總結本課所學

課（數）。利用確

知識，培養學

堂（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？定直線的兩種

生歸納知識能

小方法，歸納出

⑶從傾斜角（形）能刻畫直線的傾斜程度,到斜率（數）、力及反思的習

結求斜率的兩個

慣。

也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現了什么數計算公式。在

學思想？傾斜角和斜率

相互轉化的過

程中體現了數

形結合的數學

思想。強調“坐

標法”是解決

解析兒何問題

的基本方法。

通過訓練，鞏

1.已知直線片xsin求該直線傾斜角范圍。固本課所學知

識，檢測運用

作2.在x軸上有一點夕與。（2,招）傾斜角為150”,求點〃所學知識解決

業問題的能力。

坐標。學生獨立完成

擴

展3.求證：點A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一條訓練學生應用

直線上。基礎知識的能

力，培養學生

探究的興趣，

加深學生思

考。

課題三、直線的斜率

練習

一、直線方程

小結

板

書四、斜率公式

設二、直線的傾斜角

作業

計

§2.3直線與圓的位置關系

教材分析：

"直線與圓的位置關系”是北師大版必修（ID第二章第二節《直線與圓，圓與圓的位置

關系》第一課時。

學生在初中的學習中已了解了直線與圓的位置關系，并知道可以利用直線與圓交點的

個數以及圓心到直線距離d與圓的半徑r的關系判斷直線與圓的位置關系，但是在初中學習

時，這兩種方法卻以結論性的形式呈現。在高一學習了解析幾何以后，要求學生掌握如何用

直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系的方法，解決問題的方法主要是解析法。其中一種

判斷方法是初中學習的基礎上結合高中所學的點到直線的距離公式，求出圓心的到直線的距

離d后，與圓的半徑r比較，從而做出判斷；另一種方法是類比求兩條直線交點的方法，聯

立直線與圓的方程，通過解方程組，根據方程組解的個數判斷直線與圓的位置關系。由于考

慮到圓這個圖形性質的特殊性，以及滲透給學生解決問題盡力選擇簡捷途徑。課堂師生著力

解決用圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小比較來判斷直線與圓的位置關系。由于前面學

生學習了用解方程的思想求兩條直線交點的方法，也為后續學習直線與圓錐曲線的位置關系

奠定基礎，也為了進一步培養學生自主探究的能力，所以把聯立方程組，判斷方程組解的個

數，來確定直線與圓的位置關系，留給學生自主探究，教師做適當的點撥總結。

這樣處理教材，既符合學生的認知結構特征，也抓住了教材重點內容，強化了學生用

解析法解決問題的意識，也起到逐步轉變學生學習方式的作用。

§2.3.直線與圓的位置關系

三維目標：

（―）知識目標

1.理解直線與圓的位置關系.

2.掌握用圓心到直線的距離d與圓的半徑r比較，以及通過方程組解的個數來判斷直

線與圓的位置關系的方法.

（二）能力目標

1.通過兩種方法的判斷直線與圓位置關系，進一步培養學生用解析法解決問題的能力.

2.通過兩種方法的比較，進一步培養學生分析問題和靈活應用所學知識解決問題的能

力.

（三）情感與價值觀

通過探索直線與圓的位置關系的過程，體驗數學活動充滿著探索與創造，使學生在學

習活動中獲得成功的體驗.鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

教學重點：用解析法研究直線與圓的位置關系.

教學難點：學生體會和理解用解析法解決問題的數學思想.

課時安排：1課時

教具準備：多媒體課件

教學過程：

（一）創設問題情境，導入新課

［問題1］：初中我們已學習了直線與圓的位置關系，請同學們回顧直線與圓有哪幾種

位置關系？并畫圖表示。

［學生活動］:回顧交流，并動手作圖。

［教師明晰］:直線與圓有三種位置關系，分別是相交、相切、相離，如圖：

（相交）（相切）（相離）

［問題2］：對上述直線和圓的三種不同位置關系，你將用怎樣的方法判斷是哪一種

位置關系呢？試說說.

［師生概括］:

①定義法：看直線與圓公共點的個數;

公共點的個數012

位置關系相離相切相交

②比較法：圓心到直線的距離d與圓的半徑r作比較;

d與r的比較d>rd=rd<r

位置關系相離相切相交

［說明］:師生共同討論后，教師利用多媒體課件給出上述表格，以實現對直線與圓

位置關系的歸納小結。

（二）遷移問題情境，探究新知

［提出問題］：如果將上述圖形置于直角坐標系中，對直線與圓位置關系的判斷你是否有

新的想法呢？（教師利用多媒體課件給出引例）

引例已知直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=i,判斷它們的位置關系.

［分析處理］:引例我先只給出圖形

1、觀察圖形，你能判斷出直線

與圓是那種位置關系嗎？

2、當學生得出結論后，教師反-0

問：你的結論可靠嗎？依據是什

么？如果不可靠那又該如何準確判斷呢?

3、在上述直角坐標系中，直線與圓都有他們的方程（課件給1

那么能否利用方程準確判斷他們的位置關系呢？

4、讓學生自主探索，討論交流，并闡述自己的解題思路。

［教師點撥］:1、當已知了直線與圓的方程之后，圓心坐標和半徑r易得到，問題的關鍵

是如何得到圓心到直線的距離d,他的本質是點到直線的距離，那么

我們可以直接利用點到直線的距離公式求d（學生通過計算得出結

論）。

2、類比前面所學利用直線方程求兩直線交點的方法，聯立直線與圓的方

程，組成方程組，通過方程組解得個數確定直線與圓的交點個數，進

一步確定他們的位置關系。

［概括總結］:1、學生明確兩種解題思路后，教師讓學生對比兩種解法，那種更簡捷，明

確本節課主要用比較d與r的關系來解決這類問題，對用方程組解的個

數的判斷方法，要求學生課外做進一步的探究，下一節課匯報。

2、師生回到本環節開始提出的問題，共同分析，總結解決同類問題的一

般方法。

（三）、例題示范，鞏固應用

教師用多媒體課件給出例5,對第（1）問明確解題思路后，教師板書解題過程，以規

范學生的解題步驟；對第（2）問學生獨立完成。

解；已知圓的圓心為半徑/'=1.

點C到直線X-y-2=0的距離為

d=

因為d>r,所以直線與圓相離.

［課堂訓練］:已知直線/：x+2y-l=0,圓C：(x—1)2+(y_1)2=1,判斷直線/與圓C的

位置關系.

解：已知圓的圓心為C(l,l),半徑r=l.

點C到直線x+2y-l=0的距離為

,|l+2xl-l|2A/5

a=——.=

V12+225

因為d<r,所以直線與圓相交。

(四)變式探究，強化方法

［變式1］：圓C的方程為(x-l)2+()，-1)2=〃2(/>0),直線/的方程為x-y-2=0,當r

為何值時，直線/與圓C相交、相切、相離？

［處理方法］:①教師讓學生獨立思考，自主探究，并與小組同學探討；

②教師積極參與學生討論中，鼓勵學生尋求解決問題的方法。

［概括總結］:①讓學生展示自己探究的過程、結論，并及時鼓勵；

②教師概括總結解題方法、技巧，用多媒體課件展示解題過程。

解：已知圓的圓心為半徑r.

圓心c到直線/的距離d==拉，

.?.當r>"=五時，直線/與圓C相交；

...當r=4=五時，直線/與圓C相切；

當廠<4=拒時，直線/與圓C相離；

［變式2］：已知圓C的方程為：(x-1產+(y-1/=1,直線/的方程為氣一了一2=0,

火為何值時，直線/與圓C相交、相切、相離？

［處理方法］:同變式1。

［概括總結］:同變式1

解：已知圓的圓心為C(l,l),半徑r=l.

K-l-2||^-3|

圓心C到直線/的距離4=

.?.當《=華3<1時,即々>3時，直線/與圓C相交;

7F7T3

.?.當d=^H=i時,即k=d時，直線/與圓C相切;

7F7T3

.?.當時，即A<△時，直線/與圓C相離；

（五）課堂練習

見課本P83（1）（2）

（六）課堂小結

通過本節課的學習，同學們有哪些收獲？

（1）我們共同探究了直線與圓的位置關系的新的判斷方法一一解析法.

（2）解析的方法給我們表示、研究、解決幾何問題的新視角，開辟了新途徑.

（3）事物是相互聯系的.

（七）作業

必做題：P85A組6

選做題：P86B組1,2

（八）板書設計

直線與圓的位置關系

解：己知圓的圓心為C（l,l），半徑r=1.

點C至鎮線x—y—2=0的距離為

（1）兩個公共點一個公共點無公共點

又r=l,

(2)(dvr)(d=r)(d>r)

g：Ax+By+C=O圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2所以可知直線與圓相離

圓心C(a,b)到I的距離

|nA+bB+C|

a=-----.--

y/A2+B2

教學反思：

本節課是在初中學習了直線與圓的位置關系的基礎上進行的，也為后續學習直線與圓

錐曲線的位置關系奠定了基礎，本節的主題是直線與圓的位置關系，在解析幾何中，直線與

圓的位置關系的判斷方法是一個非常重要的知識，可以對學生的思維有一個很好的鍛煉，也

將解析法這種重要的數學思想傳輸給學生.首先，一開始的復習提問全面又突出重點，特別

是''初中學習的如何判斷直線與圓的位置關系？”這個問題，為學生思考提供了很好的引導.

其次對于例題的選擇有很高的要求，好的例題是一個好教案的重要保證，在例題設計方面，

由淺入深，從思維容量上層層遞進，對學生的思考和分析都有很好的引導作用，通過例5、課

堂練習，對直線與圓的三種位置關系判斷方法作了鞏固，是每個學生都必須也能掌握的，但

這兩個題是基礎題也并不是平淡無奇的題，它不但印證了判斷直線與圓的位置的方法，而且

同時又強化了利用解析法解題思想方法，變式題型是進一步強化了學生對直線與圓的位置關

系的判斷方法，又培養了學生的應用意識，讓學生通過具體的練習，通過自主的思考、研究,

進一步來體會解析法對我們解題和研究的作用，例題，變式題的設計都給學生留下了足夠的

討論思考交流空間，組織學生一起思考起來，對應用的加強更是體現了“分類活動，激發潛

能”的基本要求.

課題：直線與平面垂直的判定（一）

【教學目標】

知識與技能目標：通過本節課的學習，使學生理解直線與平面垂直的定義和

判定定理，并能對它們進行簡單的應用；

過程與方法目標：通過對定義的總結和對判定定理的探究，不斷提高學生的

抽象概括和邏輯思維能力；

情感態度與價值觀目標：通過學習，使學生在認識到數學源于生活的同時，

體會到數學中的嚴謹細致之美，簡潔樸實之美，和諧自然之美，從而使學生更加

熱愛數學，熱愛生活.

【教學重點及難點】

教學重點：直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應用.

教學難點：對直線與平面垂直的定義的理解和對判定定理的探究.

【教學方法】

教法：啟發誘導式

學法：合作交流、動手試驗

【教具準備】

計算機、多媒體課件、三角形卡紙

【教學過程】

一、直線與平面垂直定義的構建

1、聯系生活一一提出問題在復習了直線與平面的三種位置關系后，給出幾幅

現實生活中常見的圖片，讓學生思考其中旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、大

橋的橋柱與水面之間的位置關系屬于這三種情況中的那一種，它們還給我們留下

了什么印象？從而提出問題：什么是直線與平面垂直？

設計意圖：使學生意識到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情

況并引出本節課的課題.另外這樣設計也吸引了學生的注意力，激發了學生的好

奇心，使其主動參與到本節課的學習中來.

2、創設情境一一分析感知播放動畫，引導學生觀察旗桿和它在地面上影子的

位置關系，使其發現：旗桿所在直線/與地面所在平面。內經過點B的直線都是

垂直的.進而提出問題：那么直線/與平面a內不經過點B的直線垂直嗎？

設計意圖：在具體的情境中，讓學生去體會和感知直線與平面垂直的定義.

3、總結定義一一形成概念由學生總結出直線與平面垂直的定義，即如果直線

/與平面c內的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直.引導

學生用符號語言將它表示出來.然后提出問題：如果將定義中的''任意一條直線”

改成“無數條直線”，結論還成立嗎？

設計意圖：讓學生通過思考和操作（用三角板和筆在桌面上比試），加深對定

義