第頁四川天地人教育資料出品新高考2卷——2025屆高考數學4月模擬預測卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．若復數z滿足，則()A. B. C.i D.11．答案：A解析：因為，所以，所以.故選A.2．[2025屆·全國·模擬考試]已知集合，集合，則()A. B. C. D.2．答案：A解析：由，得，所以，又，所以.故選A.3．已知拋物線的焦點為F，點為拋物線上一點，則()A.2 B.3 C.4 D.53．答案：B解析：因為點在拋物線上，所以，解得，則.4．函數的大致圖象為()A. B.C. D.4．答案：B解析：易得函數的定義域為，且，故為偶函數，所以的圖象關于y軸對稱，故排除C.又，所以排除A，D.故選B.5．[2024秋·高三·江蘇南京·開學考試?？糫若非零向量a，b滿足，則在b方向上的投影向量為()A. B.b C. D.5．答案：C解析：由，可得，所以，整理得，則在b方向上的投影向量為.6．已知角滿足，則()A. B.或 C. D.6．答案：C解析：由，得，由題知，所以，解得或（舍去），所以，故選C.7．已知正項數列的前n項和為，，且，則()A.4049 B.4047 C.2025 D.20247．答案：A解析：由，且得，，即.因為數列為正項數列，所以.又，所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，即，則，當時，，所以.故選A.8．已知球O是正三棱錐的外接球，，，點E在線段BD上，且.過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是()A. B. C. D.8．答案：A解析：如圖，是點A在底面的射影，則為的外接圓圓心，球心O在直線上.易得的外接圓半徑.在中，易得.設球O的半徑為R，在中，由，即，解得，所以.在中，，，則，所以，所以在中，可得.當截面垂直于OE時，截面面積最小，此時截面半徑為，截面面積為.二、多項選擇題9．[2025屆·全國·模擬考試]函數（，）的部分圖象如圖所示，其中軸，則下列說法正確的是()A.的最小正周期B.C.在上單調遞增D.將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則為偶函數9．答案：ABC解析：因為軸，所以圖象的一條對稱軸為直線，所以，所以，故A正確.易得，則，所以.因為的圖象過點，所以，所以，，所以，，因為，所以，故B正確.易得，由，得，則，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故C正確.將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，易知為奇函數，故D錯誤.故選ABC.10．已知函數的定義域為R，若為奇函數，為偶函數，則()A. B.C. D.10．答案：AC解析：選項A：由為奇函數可得，得，故A正確.選項B：由為偶函數可得，即，即，令，得，故B錯誤.選項C：由為奇函數可得，即，即，由可得，故，可得，故，故C正確.選項D：由可得，故，即，故D錯誤.11．[2025屆·全國·模擬考試]在信道內傳輸A，B，C信號，信號的傳輸相互獨立，發送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩種字母的信號的概率均為.輸入五個相同的信號AAAAA，BBBBB，CCCCC的概率均為.記事件，，分別表示“輸入AAAAA”“輸入BBBBB”“輸入CCCCC”，事件表示“輸出AAAAA”，事件D表示“輸出AACBB”，事件E表示“輸出BBBBB”，則()A.若輸入信號AAAAA，則輸出的信號只有三個A的概率為B.C.D.11．答案：CD解析：對于A，當輸入A時，收到A的概率為，收到B，C的概率分別為，故收到的信號字母變的概率為.又信號的傳輸相互獨立，從而當輸入AAAAA時，輸出的信號只有三個A的概率為，故A錯誤.對于B，，故B錯誤.對于C，，故C正確.對于D，，，所以，故D正確.故選CD.三、填空題12．的展開式中第三項和第四項的二項式系數相等且最大，則的展開式中的系數為___________.12．答案：45解析：由題意得的展開式中共有6項，則，故，其展開式的通項.令，解得，故的展開式中的系數為.13．已知函數若函數有5個零點，則實數m的取值范圍為___________.13．答案：解析：若，則當時，可得，解得；當時，可得，則，解得.綜上，x的值為或1.令，可得或，即或.由題意可知的圖象與直線，共有5個交點.作出的圖象，如圖所示.由圖可得或解得，所以實數m的取值范圍為.14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P在C上且在第二象限，，點Q在的平分線上，滿足且（O為坐標原點），則C的離心率為__________.14．答案：解析：延長OQ交于點A，設，.因為，所以，又，所以.因為O為的中點，所以點A為的中點，.因為點Q在的平分線上，所以，所以，從而，因為，所以，又由橢圓的定義可得，所以結合以上兩式可得.在中，，得，化簡得，故C的離心率.四、解答題15．[2025屆·全國·模擬考試]已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求B；（2）若，求b的最小值.15．答案：（1）（2）解析：（1）因為，所以由正弦定理得，所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）得，，所以，所以，當且僅當時取等號，所以，所以b的最小值為.16．某校為推進科技進校園活動組織了一次科技知識問答競賽，組委會抽取了100名學生參加，并將得到的競賽成績分為7組：，，，，，，，作出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知競賽成績在的學生有20人.（1）求a，b的值，并估計本次競賽學生成績的中位數（結果保留一位小數）；（2）從競賽成績在與的學生中任取3人進行問卷調查，記這3名學生競賽成績在內的人數為X，求X的分布列與數學期望.16．答案：（1），；中位數為81.7（2）分布列見解析，數學期望為解析：（1）因為競賽成績在的學生有20人，所以，所以，得.設本次競賽學生成績的中位數為x，因為，，所以，所以，所以，即本次競賽學生成績的中位數為81.7.（2）由題意知，競賽成績在的學生人數為（人），競賽成績在的學生人數為（人）.易知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.17．如圖，在三棱柱中，，D是AB的中點，E是上一點，平面.（1）證明：平面；（2）若，，E是的中點，二面角的大小為，求AB.17．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）連接CD，因為，D是AB的中點，所以.因為平面，平面ABE，所以，.因為平面，，所以平面CDE，因為平面CDE，所以.因為，，所以，因為平面，，所以平面.（2）在平面中，過點D作，交于點M，易知平面ABE，又，故以D為坐標原點，以DB，DE，DM所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，可得，所以，，，所以，.設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以.又平面ABE的一個法向量為，所以，得，所以，所以.18．已知雙曲線（，）過點，且焦距為4.（1）求C的方程.（2）設A為C的右頂點，B為C左支上一點，求面積的最小值.（3）若過點的直線與C的左、右兩支分別交于點E，F，直線上是否存在不同于點D的點Q，使得DQ平分？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.18．答案：（1）（2）（3）存在點解析：（1）由題意可得，得，，故C的方程為.（2）由（1）可得，故，直線AP的斜率，則直線AP的方程為.設過點B且平行于直線AP的直線l的方程為，則當直線l與雙曲線C的左支相切時，直線l與直線AP之間的距離最小，此時的面積最小.由，得，令，解得，當時，直線l與雙曲線C的左支相切，符合題意；當時，直線l與雙曲線C的右支相切，不符合題意.故直線l與直線AP之間的距離的最小值為，所以面積的最小值為.（3）由題意可知，過點的直線EF的斜率存在，設其方程為，，，由，得，其判別式，所以，.假設直線上存在不同于點D的點Q，使得DQ平分，，因為，所以，因為，，，所以，，由題知，，，所以，整理得，則，所以，解得，因此直線上存在點，使得DQ平分.19．已知函數，.（1）證明：曲線是中心對稱圖形；（2）當時，討論函數的單調性；（3）設數列滿足，，證明：.19．答案：（1）證明見解析（2）函數在和上單調遞增，在上單調遞減（3）證明見解析解析：（1）由得，故的定義域為，，所以曲線關于點中心對