初中數學競賽題匯編

江蘇省南通市2013年中考數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）

1.（3分）（2013?南通）下列各數中，小于-3的數是（）

A.2B.1C.-2D.-4

考點：有理數大小比較

分析：根據有理數的大小比較法則（正數都大于0,負數都小于0,正數都大于負數，兩個

負數，其絕對值大的反而小）比較即可.

解答：解：/、2>-3,故本選項錯誤；

B,1>-3,故本選項錯誤；

C、V|-2|=2,|-3|=3,

二-2>-3,故本選項錯誤；

D、'：\-4\=4,|-3|=3,

A-4<-3,故本選項正確；

故選D

點評：本題考查了有理數的大小比較法則的應用，注意：理數的大小比較法則是：正數都大

于0,負數都小于0,正數都大于負數，兩個負數，其絕對值大的反而小.

2.（3分）（2013?南通）某市2013年參加中考的考生人數約為85000人，將85000用科學

記數法表示為（）

A.8.5xl04B.8.5xl05C.0.85xl04D.0.85xl05

考點：科學記數法一表示較大的數

分析：科學記數法的表示形式為"10〃的形式，其中上同<10,〃為整數.確定〃的值是易

錯點，由于85000有5位，所以可以確定〃=5-1=4.

解答：解：85000=8.5x1()4.

故選4

點評：此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定。與〃值是關鍵.

3.（3分）（2013?南通）下列計算，正確的是（）

.436.32「34/3\26

A.x-x=xBD.x-x=xC.=xD.^xy）=xy

考點：同底數募的除法；合并同類項；同底數塞的乘法；嘉的乘方與積的乘方

專題：計算題.

分析：/、本選項不能合并，錯誤；

2、利用同底數募的除法法則計算得到結果，即可做出判斷；

C、利用同底數暮的乘法法則計算得到結果，即可做出判斷；

。、利用積的乘方與幕的乘方運算法則計算得到結果，即可做出判斷.

解答：解：/、本選項不能合并，錯誤；

B、x6^-x3=x3,本選項錯誤；

C、x?x3=x4,本選項正確；

D、（孫D2=x2y6,本選項錯誤.

故選C.

點評：此題考查了同底數嘉的乘除法，塞的乘方與積的乘方，以及二次根式的乘除法，熟練

掌握運算法則是解本題的關鍵.

4.（3分）（2013?南通）如圖所示的幾何圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數

考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形

分析：根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后解答即可.

解答：解：第一個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

第二個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

第三個圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；

第四個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

第五個圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；

綜上所述，第三個和第五個圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，共2個.

故選用

點評：本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重

合.

5.（3分）（2013?南通）有3c/，6cm,Scm,9cMy的四條線段，任選其中的三條線段組成一

個三角形，則最多能組成三角形的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

考點：三角形三邊關系

分析：從4條線段里任取3條線段組合，可有4種情況，看哪種情況不符合三角形三邊關系,

舍去即可.

解答：解：四條木棒的所有組合：3,6,8和3,6,9和6,8,9和3,8,9；

只有3,6,8和6,8,9；3,8,9能組成三角形.

故選：C.

點評：此題主要考查了三角形三邊關系，三角形的三邊關系：任意兩邊之和＞第三邊，任意

兩邊之差〈第三邊；注意情況的多解和取舍.

x+2

6.（3分）（2013?南通）函數飛K中，自變量X的取值范圍是（)

A.x>lB.x>lC.x>-2D.x>-2

考點：函數自變量的取值范圍

分析：根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0,分母不等于0,可以求

出X的范圍.

解答：解：根據題意得：x-1>0,

解得：x>1.

故選/.

點評：考查了函數自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮:

(1)當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；

(2)當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數表達式是二次根式時，被開方數非負.

7.(3分)(2013?南通)如圖，用尺規作出/O2尸作圖痕跡前是()

A.以點8為圓心，為半徑的圓B.以點8為圓心，DC為半徑的圓

C.以點E為圓心，為半徑的圓D.以點E為圓心，DC為半徑的圓

考點：作圖一基本作圖

分析：根據作一個角等于已知角的作法進行解答即可.

解答：解：作尸的作法，由圖可知，

①以點。為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交射線分別為點C,D；

②以點8為圓心，以OC為半徑畫圓，分別交射線80、MB分別為點E,F；

③以點￡為圓心，以CD為半徑畫圓，交射前于點N,連接瓦V即可得出則

ZOBF=ZAOB.

故選D

點評：本題考查的是基本作圖，熟知作一個角等于已知角的基本步驟是解答此題的關鍵.

8.（3分）（2013?南通）用如圖所示的扇形紙片制作一個圓錐的側面，要求圓錐的高是4c/w,

底面周長是6萬57,則扇形的半徑為（）

考點：圓錐的計算

分析：首先根據圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑，然后根據勾股定理求得圓錐的母線長

就是扇形的半徑.

解答：解：..,底面周長是6%

二底面的半徑為3cm,

..,圓錐的高為4cm,

圓錐的母線長為：依+4。

...扇形的半徑為5cm,

故選反

點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是了解圓錐的母線、高及底面半徑圍成一個直角

三角形.

9.（3分）（2013?南通）小李與小陸從/地出發，騎自行車沿同一條路行駛到8地，他們離

出發地的距離S（單位：km）和行駛時間”單位：h）之間的函數關系的圖象如圖所示，根

據圖中提供的信息，有下列說法：

（1）他們都行駛了20初?；

（2）小陸全程共用了1.5〃；

（3）小李與小陸相遇后，小李的速度小于小陸的速度；

（4）小李在途中停留了0.5/z.

其中正確的有（）

sCkm)

A.4個D.1個

考點：一次函數的應用

專題：壓軸題.

分析：首先注意橫縱坐標的表示意義，再觀察圖象可得他們都行駛了20批；小陸從0.5時出

發，2時到達目的地，全程共用了：2-0.5=1.5/z；小李與小陸相遇后，他們距離目的

地有相同的路程，但是小陸到達目的地所用時間小于小李到達目的地所用時間，根據

速度=路程+時間可得小李的速度小于小陸的速度；小李出發0.5小時后停留了0.5小

時，然后根據此信息分別對4種說法進行判斷.

解答：解：（1）根據圖象的縱坐標可得：他們都行駛了20Q?，故原說法正確；

（2）根據圖象可得：小陸全程共用了：2-05=1.5力，故原說法正確；

（3）根據圖象可得：小李與小陸相遇后，他們距離目的地有相同的路程，但是小陸

用1個小時到2地，小李用1.5個小時到3地，所以小李的速度小于小陸的速度，故

原說法正確；

（4）根據圖象可得：表示小李的S-t圖象從0.5時開始到1時結束，時間在增多，

而路程沒有變化，說明此時在停留，停留了1-0.5R.5小時，故原說法正確.

故選

點評：此題主要考查了學生從圖象中讀取信息的數形結合能力.同學們要注意分析其中的

“關鍵點”，還要善于分析各圖象的變化趨勢.

10.（3分）（2013?南通）如圖.R/ANBC內接于。O,8c為直徑，AB=4,AC=3,。是靠的

中點，CD與AB的交點、為E,則變等于（）

DE

A.4B.3.5C.3D.2.8

考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質.

專題：壓軸題.

分析：利用垂徑定理的推論得出。AF=BF,進而得出。尸的長和

再利用相似三角形的性質求出即可.

解答：解：連接。O,交AB于點F,

是定的中點，

J.DOLAB,AF=BF,

VAB=4f

：.AF=BF=2,

???八?是△力5C的中位線，AC//DO,

??,5C為直徑，AB=4,AC=3,

:.BC=5,

:.DO=25,

:?DF=25-1.5=1,

U：AC//DO,

：.△DEFs/\CEA,

.CE=AC

"DEDF，

?*?CE_—3—-o3,

DE1

故選c.

點評：此題主要考查了垂徑定理的推論以及相似三角形的判定與性質，根據已知得出△。所

s^CEA是解題關鍵.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需要寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應位置上）

11.（3分）（2013?南通）若反比例函數尸K的圖象經過點/（1,2）,則依2.

x

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征

專題：壓軸題.

分析：根據反比例函數圖象上點的坐標特點可得41x2=2.

解答：解：：反比例函數尸工的圖象經過點/（1,2）,

X

；?k=lx2=2,

故答案為：2.

點評：此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，關鍵是掌握反比例函數圖象上的點

Cx,y）的橫縱坐標的積是定值左，即盯=人.

12.（3分）（2013?南通）如圖，直線48,CD相交于點。，OELAB,ZBOD=20°,貝l]/COE

等于70度.

考點：垂線；對頂角、鄰補角

分析：根據對頂角相等求出//OC,根據垂直求出//OE,相減即可求出答案.

解答：解：VZBOD=20°,

：.ZAOC=ZBOD=20°,

'：OE±AB,

：.ZAOE=90°,

：.ZCOE=90°-20°=70°,

故答案為：70.

點評：本題考查了垂直定義，對頂角的應用，關鍵是求出N4OE和//OC的大小.

13.（3分）（2013?南通）一個幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖都是大小相同的圓，則這

個幾何體是球體.

考點：由三視圖判斷幾何體

分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

解答：解：球的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓，故答案為：球體.

點評：考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考

查.

14.（3分）（2013?南通）如圖，在比A48C中，CO是斜邊上的中線，已知CD=2,/C=3,

則sinB的值是

考點：銳角三角函數的定義；直角三角形斜邊上的中線

分析：首先根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出的長度，然后根據銳角三角函數

的定義求出sinB即可.

解答：解：：尺以/臺。中，CD是斜邊上的中線，CD=2,

：.AC=2CD=4,

則sinB=8=2

AB4

故答案為：3.

4

點評：本題考查了銳角三角函數的定義，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握直角三角形斜

邊上的中線定理和銳角三角函數的定義.

15.(3分)(2013?南通)已知一組數據5,8,10,x,9的眾數是8,那么這組數據的方差

是2.8.

考點：方差；眾數

分析：根據眾數的定義求出x的值，再根據平均數的計算公式求出這組數據的平均數，再根

據方差公式進行計算即可.

解答：解：：一組數據5,8,10,無，9的眾數是8,

?\x是8,

,這組數據的平均數是(5+8+10+8+9)+5=8,

.??這組數據的方差是：

1[(5-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(8-8)2+(9-8)勺=2.8.

5

故答案為：2.8.

點評：此題考查了眾數、平均數和方差，掌握眾數、平均數和方差的定義及計算公式是此題

的關鍵，眾數是一組數據中出現次數最多的數.一般地設〃個數據，X1，必，…的

s222

平均數為X，則方差5」](xi-X)+-X)+...+(xn-x)].

16.(3分)(2013?南通)如圖，經過點8(-2,0)的直線片依+6與直線y=4x+2相交于點

A(-1,-2),則不等式4x+2<fcr+6<0的解集為-2<x<-I.

考點：一次函數與一元一次不等式

分析：由圖象得到直線產依+6與直線產4x+2的交點/的坐標(-1,-2)及直線廣位+6

與x軸的交點坐標，觀察直線y=4x+2落在直線y=kx+b的下方且直線y=kx+b落在x

軸下方的部分對應的x的取值即為所求.

解答：解：?.?經過點5(-2,0)的直線尸而+6與直線y=4x+2相交于點4(-1,-2),

二?直線產而+b與直線y=4x+2的交點Z的坐標為(-1,-2),直線產上x+6與x軸的

交點坐標為8（-2,0）,

又?.,當x<-1時，4x+2<kx+b,

當x>-2時，kx+b<0,

不等式4x+2<kx+b<0的解集為-2<x<-1.

故答案為-2<x<-1.

點評：本題考查了一次函數與一元一次不等式的關系：從函數的角度看，就是尋求使一次函

數>=辦+6的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是

確定直線廠奴+6在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

17.（3分）（2013?南通）如圖，在％BCD中，AB=6cm,AD=9cm,/R4D的平分線交8c

于點E,交DC的延長線于點尸，BGLAE,垂足為G,BG=^cm,則EF+CF的長為5

cm.

考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質

專題：壓軸題.

分析：首先，由于4E1平分NB4D,那么由可得內錯角

ZBEA,等量代換后可證得即△/BE是等腰三角形，根據等腰三角形“三線

合一”的性質得出/￡=2/G,而在放△/BG中，由勾股定理可求得NG的值，即可求

得/￡的長；然后，利用平行線分線段成比例的性質分別得出斯，FC的長，即可得

出答案.

解答：解：平分/A4D,

ZDAE=ZBAE；

又,：ADUBC,

：./BEA=NDAE=NBAE,

：.AB=BE=6cm,

EC=9-6=3(cm),

U：BGLAE,垂足為G,

：.AE=2AG.

在MZXABG中，ZAGB=90°,AB=6cm,BG=4近cm,

AG=7AB2-BG2=2(C，

.,.AE=2AG=4cm；

:EC〃AD,

?EF「EC_FC_3_1

,,亞麗75"西麗萬了

.EF_1FC_1

■*EF+4-3,FC+6下

解得：EF=2(cm),FC=3Cem),

：.EF+CF的長為5cm.

故答案為：5.

點評：本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識的掌握程

度和靈活運用能力，同時也體現了對數學中的數形結合思想的考查，難度適中.

18.（3分）（2013?南通）已知x=2加+〃+2和x=m+2〃時，多項式尤?+4x+6的值相等，且切-

〃+2加，則當x=3Cm+n+1）時，多項式d+4x+6的值等于3.

考點：二次函數的性質

專題：壓軸題.

分析：先將x=2冽+〃+2和X=/M+2〃時，多項式d+4x+6的值相等理解為x=2冽+〃+2和x=n?+2〃

時，二次函數y=f+4x+6的值相等，則拋物線的對稱軸為直線—的嗖建，又二次函

數y=f+4x+6的對稱軸為直線x=-2,得出3/%+2=-2,化簡得加+片-2,即可求

2

出當x=3（m+w+l）=3（-2+1）=-3時，X2+4X+6的值.

解答：解：,.?%=2加+〃+2和時，多項式f+4x+6的值相等，

.?.二次函數y=x2+4x+6的對稱軸為直線x=2"n+j+"2n=3irrt~y2,

又?二次函數尸2+以+6的對稱軸為直線尤=-2,

I/3n+2=_2,

2

.,.3〃z+3〃+2=-4,m+n=-2,

當x=3Qm+n+1）=3（-2+1）=-3時，

x?+4x+6=（-3）2+4X（-3）+6=3.

故答案為3.

點評：本題考查了二次函數的性質及多項式求值，難度中等.將％=2〃什〃+2和產切+2〃時，

多項式d+4x+6的值相等理解為x=2m+n+2和x=m+2?時,二次函數尸d+?+6的值

相等是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

19.（11分）（2013?南通）（1）計算：遍?后（兀-5.3）°-|-3b

2

（2）先化簡，再求代數式的值：（1——L）?里孕吐L,其中機=1.

2

"2m-4

考點：分式的化簡求值；零指數幕；二次根式的混合運算

分析：（1）本題涉及零指數累、絕對值、二次根式化簡三個考點.在計算時，需要針對每

個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果；

（2）先通分，然后進行四則運算，最后將加=1代入.

解答：解：（1）V6-V2-（兀-5.3）°~|-3|

-3

=V3-3；

2

r1\?ID+21TtI1

（1-3）丁—2—-

/21r/-4

=_nH_-_2__-__1?__（_i_r_H-_2_）___（__m_-__2__）_

時2（irH-1）2

「IT|-2

nH-1

當機=1時，原式=-

2

點評：(1)主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類

題目的關鍵是熟練掌握零指數累、絕對值、二次根式等考點的運算；

(2)解答此題的關鍵是把分式化到最簡，然后代值計算.

20.(9分)(2013?南通)在平面直角坐標系xOy中，已知4(-1,5),B(4,2),C(-1,

0)三點.

(1)點N關于原點O的對稱點4的坐標為(1,-5),點B關于x軸的對稱點夕的坐

標為(4,-2),點C關于丁軸的對稱點C的坐標為(1,0).

(2)求(1)中的△48。的面積.

考點：關于原點對稱的點的坐標；三角形的面積；關于x軸、y軸對稱的點的坐標

分析：(1)關于原點對稱的兩點的橫、縱坐標都是互為相反數；關于x軸對稱的兩點的橫

坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的兩點的橫坐標互為相反數，縱坐標相

同；

(2)根據點4(1,-5),B'(4,-2),C(1,0)在平面直角坐標系中的位置，

可以求得4c=5,B'D=3,所以由三角形的面積公式進行解答.

解答：解：(1)VA(-1,5),

.??點/關于原點。的對稱點4的坐標為(1，-5).

,:B(4,2),

.??點8關于x軸的對稱點9的坐標為(4,-2).

VC(-1,0),

.??點C關于y軸的對稱點C的坐標為(1,0).

故答案分別是：(1,-5),(4,-2),(1,0).

(2)如圖,-：A'(1,-5),B'(4,-2),C(1,0).

：.A'C'=\-5-0|=5,B'D=\4-1|=3,

...SA?B，C，=L'C”'D=L<5X3=7.5,即(1)中的△N'8'C'的面積是7.5.

22

點評：本題考查了關于原點、X軸、y軸對稱的點的坐標，三角形的面積.解答（2）題時,

充分體現了“數形結合”數學思想的優勢.

21.（8分）（2013?南通）某水果批發市場將一批蘋果分為B,C,。四個等級，統計后

將結果制成條形圖，已知/等級蘋果的重量占這批蘋果總重量的30%.

回答下列問題：

（1）這批蘋果總重量為4000彼;

（2）請將條形圖補充完整；

（3）若用扇形圖表示統計結果，則。等級蘋果所對應扇形的圓心角為90度.

考點：條形統計圖；扇形統計圖

分析：（1）根據/等級蘋果的重量肥等級蘋果的重量占這批蘋果總重量的30%,求得這批

蘋果總重量；

（2）求得C等級蘋果的重量，補全統計圖；

（3）求得。等級蘋果的百分比，然后計算其所占的圓心角度數.

解答：解：（1）1200-30%=4000（kg）.

故這批蘋果總重量為4000館；

(2)4000-1200-1600-200=1000(kg),

將條形圖補充為：

（3）工毀X360°=90°.

4000

故C等級蘋果所對應扇形的圓心角為90度.

故答案為：4000,90.

點評：本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中

得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇

形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

22.（10分）（2013?南通）在不透明的袋子中有四張標著數字1,2,3,4的卡片，小明、

小華兩人按照各自的規則玩抽卡片游戲.

小明畫出樹狀圖如圖所示:

第一次

第二^

小華列出表格如下:

第一次1234

第二次

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)①(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

回答下列問題:

（1）根據小明畫出的樹形圖分析，他的游戲規則是，隨機抽出一張卡片后不放回（填“放

回”或“不放回”），再隨機抽出一張卡片；

（2）根據小華的游戲規則，表格中①表示的有序數對為（3,2）；

（3）規定兩次抽到的數字之和為奇數的獲勝，你認為誰獲勝的可能性大？為什么？

考點：列表法與樹狀圖法

分析：（1）根據小明畫出的樹形圖知數字1在第一次中出現，但沒有在第二次中出現可以

判斷;

（2）根據橫坐標表示第一次，縱坐標表示第二次可以得到答案；

（3）根據樹狀圖和統計表分別求得其獲勝的概率，比較后即可得到答案.

解答：解：（1）觀察樹狀圖知：第一次摸出的數字沒有在第二次中出現，

???小明的實驗是一個不放回實驗，

（2）觀察表格發現其橫坐標表示第一次，縱坐標表示第二次，

（3）理由如下：

???根據小明的游戲規則，共有12種等可能的結果，數字之和為奇數的有8種，

.?.概率為：-1=2.

123

?.?根據小華的游戲規則，共有16種等可能的結果，數字之和為奇數的有8種，

.?.概率為：_1=1,

162

.?.-2--^--1--

33

二小明獲勝的可能性大.

故答案為不放回；（3,2）.

點評：本題考查了列表法和樹狀圖法，利用列表法或樹狀圖法展示某一隨機事件中所有等可

能出現的結果數％再找出其中某一事件所出現的可能數"7,然后根據概率的定義可

計算出這個事件的概率=匹.

:用>0

23.（8分）（2013?南通）若關于x的不等式組，23恰有三個整數解,

、3x+5a+4>4(x+1)+3a

求實數。的取值范圍.

考點：一元一次不等式組的整數解

分析：首先利用。表示出不等式組的解集，根據解集中的整數恰好有3個，即可確定。的值.

解答：解：解工+史1>0,得%>-2；

235

解3%+5。+4>4(x+1)+3a,得x〈2a,

不等式組的解集為-2<X<2°.

5

W總>0

:關于x的不等式組<23恰有三個整數解，

X.3x+5a+4>4(x+l)+3a

：.2<2a<3,

解得1<°W.

2

點評：本題考查不等式組的解法及整數解的確定.求不等式組的解集，應遵循以下原則：同

大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

24.(8分)(2013?南通)如圖，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且/BAD=/CAE.

求證：四邊形BCDE是矩形.

考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質

專題：證明題.

分析：求出/A4―/C4D,證△比推出BE=CD,得出平行四

邊形BCDE,根據平行線性質得出/BEZ)+/CDE=18O。，求出/BE。，根據矩形的判

定求出即可.

解答：證明：VZBAD=ZCAE,

：.ZBAD-ZBAC=ZCAE-ZBAC,

：.ZBAE=ZCAD,

;在△B4E1和△C4。中

AE=AD

,ZBAE=ZCAD

LAB=AC

/.ABAE^/\CAD(SAS),

；./BEA=NCDA,BE=CD,

;DE=BC,

：.四邊形BCDE是平行四邊形,

;AE=AD,

：.ZAED=ZADE,

ZBEA=ZCDA,

：.ZBED=ZCDE,

四邊形BCDE是平行四邊形,

J.BE//CD,

/CDE+NBED=18Q°,

：.ZBED=ZCDE=90°,

二四邊形8CDE是矩形.

點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質和判定，平行線的性質全等三角形的性質

和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，注意：有一個角是直角的平

行四邊形是矩形.

25.（8分）（2013?南通）如圖，ZX/BC內接于。。，N3是。。的直徑，ZBAC=2ZB,QO

的切線4P與。。的延長線相交于點尸，若PA=*^cm,求/C的長.

考點：切線的性質

分析：根據直徑求出乙4。2=90。，求出/2=30。，NA4c=60。，得出A4OC是等邊三角形，

得出//OC=60。，OA=AC,

在瓦△（?/尸中，求出CM,即可求出答案.

解答：解：是。。直徑，

ZACB=9Q°,

'：ZBAC=2ZB,

：.Z5=30°,NA4c=60。，

OA=OC,

：./\AOC是等邊二角形，

ZAOC=60°,AC=OA,

:我是。O切線，

ZOAP=9Q°,

在瓦△O4P中，PA=6\13cm,ZAOP=60°,

：.OA=—!A_=^^=6,

tan60°V3

：.AC=OA=6.

點評：本題考查了圓周角定理，切線的性質，解直角三角形，等邊三角形的性質和判定的應

用，主要考查學生的推理能力.

26.（8分）（2013?南通）某公司營銷/、8兩種產品，根據市場調研，發現如下信息：

信息1：銷售4種產品所獲利潤共萬元）與銷售產品x（噸）之間存在二次函數關系在

x=l時，y=1.4；當x=3時，y=3.6.

信息2：銷售B種產品所獲利潤y（萬元）與銷售產品x（噸）之間存在正比例函數關系尸0.3x.

根據以上信息，解答下列問題；

（1）求二次函數解析式；

（2）該公司準備購進/、2兩種產品共10噸，請設計一個營銷方案，使銷售工、2兩種產

品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？

考點：二次函數的應用

分析：（1）把兩組數據代入二次函數解析式，然后利用待定系數法求解即可；

（2）設購進/產品〃7噸，購進8產品（10-切）噸，銷售/、8兩種產品獲得的利

潤之和為沙元，根據總利潤等于兩種產品的利潤的和列式整理得到少與m的函數關

系式，再根據二次函數的最值問題解答.

解答：解：（1）當x=l時，尸1.4；當x=3時，y=3.6,

.（a+b=l.4

l9a+3b=3.6

解得產一°，1,

[b=l.5

所以，二次函數解析式為尸-0.1X2+I.5X；

（2）設購進/產品冽噸，購進2產品（10-加）噸，銷售/、8兩種產品獲得的利

潤之和為沙元，

則W=-0.1〃，+1.5機+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（.m-6）2+6.6,

：-0.K0,

當根=6時，少有最大值6.6,

,購進/產品6噸，購進2產品4噸，銷售/、8兩種產品獲得的利潤之和最大，最

大利潤是6.6萬元.

點評：本題考查了二次函數的應用，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的

最值問題，比較簡單，（2）整理得到所獲利潤與購進N產品的噸數的關系式是解題的

關鍵.

27.（13分）（2013?南通）如圖，在及△4BC中，ZACB=90°,AC=^3,BC=3,ZXDE尸是

邊長為a（a為小于3的常數）的等邊三角形，將△￡>￡尸沿NC方向平移，使點。在線段

AC±,DE//AB,設△。斯與△NBC重疊部分的周長為7.

（1）求證：點E到NC的距離為一個常數；

（2）若ND二，當a=2時，求7的值；

4

（3）若點。運動到/C的中點處，請用含a的代數式表示T.

考點：相似形綜合題

分析：（1）解直角三角形，求得點E到/C的距離等于17,這是一個定值；

2

（2）如答圖2所示，作輔助線，將四邊形MOEN分成一個等邊三角形和一個平行四

邊形，求出其周長；

（3）可能存在三種情形，需要分類討論：

①若0<°辿，△￡>￡尸在△/8C內部，如答圖3所示；

2

②若丫5<把舊，點E在△N8C內部，點尸在△N8C外部，在如答圖4所示；

2

③若泥<a<3,點E、尸均在△NBC外部，如答圖5所示.

解答：解：（1）由題意得：口〃/=?區=衛個巧，

ACM

：.ZA=60°.

'JDE//AB,

ZCDE=ZA=60°.

如答圖1所示，過點E作EHLAC于點H,

答圖1

則EH=DEsinZCDE=a-->L2=^a.

22

.?.點E到AC的距離為一個常數.

（2）若4D=工,當a=2時，如答圖2所示.

4

A

答圖2

設AB與DF、跖分別交于點必N.

/\DEF為等邊三角形，，ZMDE=6Q°,

由(1)知/CD￡=60。，

/4DAM80。-ZMDE-ZCDE=6Q°,

又：ZA=60°,

.,.△ADM為等邊三角形，

：.DM=AD=^.

4

過點M作MG〃/C,交于點G,則/DMG=/4D任60。,

.?.△DMG為等邊三角形，

：.DG=MG=DM=^.

4

/.GE=DE-DG=2-工J.

44

VZMGD=ZE=60°,C.MG//NE,

又,：DE〃AB,

四邊形MGEN為平行四邊形.

：.NE=MG=-,MN=GE=1.

44

T=DE+DM+MN+NE=2+1+1+1-=H.

4444

(3)若點。運動到NC的中點處，分情況討論如下：

①若0<°且1在△/8C內部，如答圖3所示：

2

A

答圖4

設與DF、跖分別交于點必N,過點M作MG〃/。交于點G.

與(2)同理，可知均為等邊三角形，四邊形MGEN為平行四邊形.

/.DA^DG=NE=AD=^,MN=GE=DE-DG=a-返

22

T=DE+DM+MN+NE=a+^+(a-

2

③若如<a<3,點、E、尸均在△NBC外部，如答圖5所示:

設AB與DF、斯分別交于點M、N,BC與DE、斯分別交于點尸、Q.

在中，CZ>=1NCD尸=60°,/DPC=30°,

_2

PC=CD-tan60°&^xJ^=&.

22

VZEPQ=ZDPC=3O°,ZE=60°,：,ZPQE=90°.

由⑴知，點me的距離為多*浮亳

：.QE=PQ-tan3Q0=（近q-衛）-近，PE=2QE=a-聰.

-22322~

由②可知，四邊形MDEN的周長為2°+1

2_

，7=四邊形MDEN的周長-PE-QE+PQ=（2a+近）-（a-眄）-（L-近）+

-222

苧-力等+2?逐

綜上所述，若點。運動到NC的中點處，7的關系式為:

3a（0<a<9）

T=2a岑哼<a（《）

%+]a+2?--|（?<a<3）

點評：本題考查了運動型綜合題，新穎之處在于所求是重疊部分的周長而非面積.難點在于

第（3）問，根據題意，可能的情形有三種，需要分類討論，避免漏解.

28.（13分）（2013?南通）如圖，直線尸質+6（6>0）與拋物線產」x2相交于點43,為），

8

B（X2,竺）兩點，與x軸正半軸相交于點。，與V軸相交于點C,設△OCD的面積為S,

且上S+32=0.

（1）求6的值;

（2）求證：點（力，”）在反比例函數尸畫的圖象上;

（3）求證：x\*OB+y29OA=Q.

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題.

分析：（1）先求出直線廣位+6與x軸正半軸交點。的坐標及與歹軸交點。的坐標，得到△

卜2

OCD的面積S=-邑，再根據左S+32=0,及6>0即可求出6的值；

2k

（2）先由y=kx+8,得x=-再將x=———^代入y=—x2,整理得/-（16+8A:2）^+64=0,

kk-8

然后由已知條件直線尸fcr+8與拋物線產2x2相交于點/（xi，yi）,B（如y2）兩點，

8

知力，”是方程J-（16+8后）>+64=0的兩個根，根據一元二次方程根與系數的關系

得到％少2=64,即點（%，處）在反比例函數尸型的圖象上；

22

（3）先由勾股定理，得出O/=xj+y；，OB=x^+y2,AB=（XJ-X2）2+（%-?）

2,由（2）得為6=64,又易得修?歷=-64,貝IJ042+052=452,根據勾股定理的逆定

理得出//。8=90。.再過點/作軸于點￡,過點8作8x軸于點尸，根據兩

角對應相等的兩三角形相似證明△/￡OsZ\oEg,由相似三角形對應邊成比例得到

里即可證明尤廣08+乃?。4=0.

BOBF

解答：（1）解：???直線尸船+6。>0）與x軸正半軸相交于點。，與>軸相交于點C,

.,.令x=0,得尸6；令y=0,x=--

：.AOCD的面積5=1（-也）5=-也;

2k2k

vm32=o,

卜2

：.k(-E-)+32=0,

2k

解得4±8,

'：b>0,

6=8；

（2）證明：由（1）知，直線的解析式為y=fcc+8,即x=￡_§,

將X=T代入凸2,得工（口）2,

k-8-8k

整理，得丁-（16+8〃）產64=0.

二?直線>=而+8與拋物線y=ax2相交于點/3，歹1），B（必，>2）兩點,

8

?二乃，歹2是方程9-（16+8必）y+64=0的兩個根，

???歹1>2=64,

???點（力，為）在反比例函數廠型的圖象上；

(3)證明：由勾股定理，得

22

"=x；+y；,O5=x2+y2,燉2=(修-M)+(力-歹2)\

由(2)得乃?72=64,

同理，將y=kx+S代入y=~^29

得kx+S=—x2,即f-8Ax-64=0,

8

.*.Xi*X2=-64,

2

.,.^5=x2+x2+y2+y2_2x^x2-2ji?j2=x2+x2+y2+y2(

又■.Q2+032=xj+y；+x"；,

/.OA2+OB2=AB2,

.?.△048是直角三角形，ZAOB=90°.

如圖，過點N作NE_Lx軸于點E,過點8作8b，x軸于點尸.

ZAOB=90°,

：.ZAOE=90°-ZBOF=ZOBF,

又：ZAEO=ZOFB=90°,

：.△AEOS^OFB,

■OA^OE

,?而麗’

*.*OE=-Xi,BF=y29

.OA^-X1

..而y2

,\x\*OB+y2*OA=0.

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數、反比例函數圖象上點

的坐標特征，三角形的面積，一次函數與二次函數的交點，一元二次方程根與系數的

關系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度適中.求

出△OCQ的面積S是解第（1）問的關鍵；根據函數與方程的關系，得到乃，”是方

程歹2-（16+8左之）＞+64=0的兩個根，進而得出力?及=64是解第（2）問的關鍵；根據

函數與方程的關系，一元二次方程根與系數的關系，勾股定理及其逆定理得出N

405=90。，是解第（3）問的關鍵.

2012年廣東省初中數學競賽初賽試題

考