2025年初中學業水平考試適應性訓練數學2025.04（時間：120分鐘總分：120分）注意事項：1．答題前，請先認真瀏覽試卷；然后按要求操作；2．答題時，端正心態，認真審題，認真書寫，規范作圖，保持卷面整潔！一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項符合要求）1.下列各數：，，0，，其中比3大的數是（）A. B. C.0 D.2.剪紙是中國優秀的傳統文化．下列剪紙圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.截至2025年3月31下午15時00分，中國電影《哪吒2》在全球票房成績斐然，已斬獲154.68億的票房佳績，成功躋身全球電影票房榜第五名．數據154.68億元用科學記數法表示為（）A.元 B.元C.元 D.元4.不等式的解集是（）A. B. C. D.無解5.榫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結構方式，是我國工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫榫，凹進部分叫卯，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的俯視圖是（）A. B. C. D.6.如圖，在中，平分，交于點，，，．則的長是（）A. B. C. D.7.為了讓人工智能更好地理解情感，工程師設計了一套包含憤怒、高興、悲傷、平靜4種情緒的語音數據集．訓練階段，人工智能隨機播放一條語音，播放出表達高興或悲傷情緒語音的概率為（）A. B. C. D.18.如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數是（）A. B. C. D.9.如圖，中，，，．點P為內一點，且滿足．則的長度最小值為（）A.3 B. C. D.10.在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（）AB.若點P為“整點”，則點P的個數為3個C.若點P為“超整點”，則點P的個數為2個D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和小于10二、填空題（本題共1大題，5小題，每小題3分，共15分）11.（1）因式分解：__________（2）菱形中，對角線，則菱形的高為__________（3）若關于x的一元二次方程的一個根是，則a的值__________（4）直線：與x軸交于點A，將直線繞點A順時針旋轉，得到直線，則直線對應的函數表達式是__________（5）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發，沿折線勻速運動，到達點后停止，連接．設點的運動時間為，為．當動點沿勻速運動到點時，與的函數圖象如圖2．有以下四個結論：①；②當時，；③當時，；其中正確結論的序號是__________三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）12.（1）計算：；（2）當時，求代數式值．13.如圖1，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，．分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內交于點．作射線，過點作，交于點．（1）求證：是等腰三角形；（2）如圖2，若，連接，分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，．作直線，交的延長線于點．連接，交于點．求的值．14.某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作，并沿方向前進到點F，用皮尺測得的長為8米；③在點F處用測角儀測得，，；④用計算器計算得：，，，，，．請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求線段和的長度：（2）求底座的底面的面積．15.某中學九年級共有600名學生，從中隨機抽取了20名學生進行信息技術操作測試，測試成績（單位：分）如下：81908289999591839293879294889287100868596（1）請按組距5將數據分組，列出頻數分布表，畫出頻數分布直方圖：頻數分布表：成績分組____________________________劃記____________________________頻數____________________________（2）①這組數據的中位數是____________；②分析數據分布的情況（寫出一條即可）____________；（3）若85分以上（不含85分）成績為優秀等次，請預估該校九年級學生在同等難度的信息技術操作考試中達到優秀等次的人數．16.如圖，在直角坐標系中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝（k≠0）分別相交于第二、四象限內的A（m，4），B（6，n）兩點，與x軸相交于C點．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2對應的函數表達式；（2）求△AOB面積；（3）直接寫出當x＜0時，不等式ax+b＞的解集．17.如圖，在中，是直徑，是弦，點是弧上一點，弧弧，，交于點，點為延長線上一點，且．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的半徑長．18.綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應點為，連接并延長交于點，請判斷與的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．19.在平面直角坐標系中，直線經過拋物線的頂點．如圖，當拋物線經過原點時，其頂點記為．（1）求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標；（2）時，的最小值為，求的值；（3）當時．動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．

2025年初中學業水平考試適應性訓練數學2025.04（時間：120分鐘總分：120分）注意事項：1．答題前，請先認真瀏覽試卷；然后按要求操作；2．答題時，端正心態，認真審題，認真書寫，規范作圖，保持卷面整潔！一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項符合要求）1.下列各數：，，0，，其中比3大的數是（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查有理數大小比較，熟知有理數的比較大小的法則是解答的關鍵．先求解，再比較即可．【詳解】解：∵，∴，∴比3大的數為，故選：A．2.剪紙是中國優秀的傳統文化．下列剪紙圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩邊的部分互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形，即可判斷，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．【詳解】解：、不是軸對稱圖形，該選項不符合題意；、是軸對稱圖形，該選項符合題意；、不是軸對稱圖形，該選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，該選項不符合題意；故選：．3.截至2025年3月31下午15時00分，中國電影《哪吒2》在全球票房成績斐然，已斬獲154.68億的票房佳績，成功躋身全球電影票房榜第五名．數據154.68億元用科學記數法表示為（）A.元 B.元C元 D.元【答案】D【解析】【分析】此題考查了正整數指數科學記數法，對于一個絕對值大于10的數，科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為比原數的整數位數少1的正整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【詳解】解：154.68億元元．故選D．4.不等式的解集是（）A. B. C. D.無解【答案】C【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，以及求不等式組解集的公共部分，先分別解兩個不等式，再確定兩個解集的公共部分，即可得出答案．【詳解】解：先分別解兩個不等式為，其公共解為：．故答案為：C．5.榫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結構方式，是我國工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫榫，凹進部分叫卯，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查三視圖，熟練掌握三視圖的畫法，是解題的關鍵．根據俯視圖是從上向下觀察到的圖形，進行判斷即可，注意，主視圖中存在的線段，在俯視圖中被遮住或是看不到的線段要用虛線表示．【詳解】解：由題意，得：“卯”的俯視圖為：．故選A．6.如圖，在中，平分，交于點，，，．則的長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據平行四邊形的性質和角平分線的定義可得，根據勾股定理的逆定理可得，再根據平行四邊形的性質可得，，根據勾股定理可求的長．【詳解】解：∵平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，，在中，，即，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質和角平分線的定義，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的判定，關鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等．7.為了讓人工智能更好地理解情感，工程師設計了一套包含憤怒、高興、悲傷、平靜4種情緒的語音數據集．訓練階段，人工智能隨機播放一條語音，播放出表達高興或悲傷情緒語音的概率為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了概率公式，根據憤怒、高興、悲傷、平靜4種情緒的語音數據集，以及播放出表達高興或悲傷情緒語音的結果有種，代入概率公式進行計算，即可作答．【詳解】解：∵工程師設計了一套包含憤怒、高興、悲傷、平靜4種情緒的語音數據集．∴播放出表達高興或悲傷情緒語音的概率為，故選：B8.如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質．先根據垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質即可求解．【詳解】解：∵半徑，∴，∴，，∵，∴，∴，故選：C．9.如圖，中，，，．點P為內一點，且滿足．則的長度最小值為（）A3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查動點的線段最值問題、點與圓的位置關系和隱形圓問題，屬于動態幾何綜合題型，中檔難度．解題的關鍵是找到動點P的運動軌跡，即隱形圓．由題意知，又長度一定，則點P的運動軌跡是以中點O為圓心，長為半徑的圓弧，所以當B、P、O三點共線時，最短，再進一步求解即可．【詳解】解：取中點O，并以O為圓心，長為半徑畫圓，則點P在上運動，由題意知：當B、P、O三點共線時，最短，而，，∵，，∴的長度最小值為．故選：B10.在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（）A.B.若點P為“整點”，則點P的個數為3個C.若點P為“超整點”，則點P的個數為2個D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和小于10【答案】D【解析】【分析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內點的特征求出a的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利用“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，∴，故選項A錯誤；∵點為“整點”，，∴整數a為，，0，1，∴點P的個數為4個，故選項B錯誤；∴“整點”P為，，，，∵，，，∴“超整點”P為，故選項C錯誤；∵點為“超整點”，∴點P坐標為，∴點P到兩坐標軸的距離之和，故選項D正確，故選：D．二、填空題（本題共1大題，5小題，每小題3分，共15分）11.（1）因式分解：__________（2）菱形中，對角線，則菱形的高為__________（3）若關于x的一元二次方程的一個根是，則a的值__________（4）直線：與x軸交于點A，將直線繞點A順時針旋轉，得到直線，則直線對應的函數表達式是__________（5）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發，沿折線勻速運動，到達點后停止，連接．設點的運動時間為，為．當動點沿勻速運動到點時，與的函數圖象如圖2．有以下四個結論：①；②當時，；③當時，；其中正確結論的序號是__________【答案】①.②.③.2④.⑤.①②【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式法進行因式分解即可；（2）根據菱形的性質，利用勾股定理結合等積法求出菱形的高即可；（3）把代入方程，結合，求出的值即可；（4）根據題意可求得與坐標軸的交點A和點B，可得，結合旋轉得到，則，求得，即得點C坐標，利用待定系數法即可求得直線的解析式．（5）由圖知當動點沿勻速運動到點時，，作于點，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當時，證明是等邊三角形，即可判斷②；當時，且時，最小，求出最小值即可判斷③．【詳解】解：（1）原式；故答案：；（2）設，的交點為，∵四邊形是菱形，∴，且，∴，設邊上的高為，則：，即：，∴∴菱形的高為．故答案為：．（3）∵關于x的一元二次方程的一個根是，∴，解得：；故答案為：2；（4）解：依題意畫出旋轉前的函數圖象和旋轉后的函數圖象，如圖所示∶設與y軸的交點為點B，令，得；令，即，∴，，∴，，即∵直線繞點A順時針旋轉，得到直線，∴，∴，則點，設直線的解析式為，則，解得，那么，直線的解析式為，故答案為：．（5）由圖知當動點沿勻速運動到點時，，作于點，是等邊三角形，點在邊上，，，，，，，，故①正確；當時，，，，是等邊三角形，，，故②正確；當時，且時，最小，，，，最小為，即能取到，故③錯誤；綜上所述，正確的有①②，故答案為：①②．【點睛】本題考查了因式分解，一元二次方程的解，一次函數圖象的變換，菱形的性質，二次函數綜合，等邊三角形性質，解直角三角形，勾股定理，動點的圖象問題等知識點，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）12（1）計算：；（2）當時，求代數式的值．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本題考查的是分式的化簡求值，含特殊角的三角函數值的混合運算；（1）先計算負整數指數冪，代入特殊角的三角函數值，化簡絕對值，零次冪，再合并即可；（2）先計算括號內分式的減法運算，再計算除法運算，得到化簡的結果，再把代入計算即可．【詳解】解：（1）；（2）；當時，原式．13.如圖1，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，．分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內交于點．作射線，過點作，交于點．（1）求證：是等腰三角形；（2）如圖2，若，連接，分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，．作直線，交的延長線于點．連接，交于點．求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據角平分線和平行線證明即可；（2）先證明是等邊三角形，設，然后求出的長，再證即可求出的值．【小問1詳解】解：由題意知平分，∴．∵，∴．∴．∴．∴是等腰三角形；【小問2詳解】解：由題意知垂直平分，∴．∵，∴為等邊三角形．∴．∵，設，∴．∴．由（1）知，，，∴，．∴．∴．【點睛】本題考查了尺規作圖：作角平分線，作線段的垂直平分線，考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，等邊三解形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正確理解尺規作圖的原理是解本題的關鍵．14.某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作，并沿方向前進到點F，用皮尺測得的長為8米；③在點F處用測角儀測得，，；④用計算器計算得：，，，，，．請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求線段和的長度：（2）求底座的底面的面積．【答案】（1）米；米（2）72平方米【解析】【分析】本題主要考查解三角形的應用，理解題意，結合圖形求解是解題關鍵．（1）根據題意得，即可確定長度，再由得出米，即可求解；（2）過點A作于點M，繼續利用正切函數確定米，即可求解面積．【小問1詳解】解：∵，的長為8米，，∴，∴米；∵，∴米，∴米；【小問2詳解】解：過點A作于點M，如圖所示：∵，∴，∵米，∴米，∴米，∴底座的底面的面積為：平方米．15.某中學九年級共有600名學生，從中隨機抽取了20名學生進行信息技術操作測試，測試成績（單位：分）如下：81908289999591839293879294889287100868596（1）請按組距為5將數據分組，列出頻數分布表，畫出頻數分布直方圖：頻數分布表：成績分組____________________________劃記____________________________頻數____________________________（2）①這組數據的中位數是____________；②分析數據分布的情況（寫出一條即可）____________；（3）若85分以上（不含85分）成績為優秀等次，請預估該校九年級學生在同等難度的信息技術操作考試中達到優秀等次的人數．【答案】（1）見解析（2）①；②測試成績分布在的較多（不唯一）；（3）估計該校九年級學生在同等難度的信息技術操作考試中達到優秀等次的人數約為480人．【解析】【分析】（1）根據極差和組距，可以判斷組數，確定分點后，列頻數分布表進行統計即可；再將頻數分布表中的數據用頻數分布直方圖表示出來，最后從圖表中觀察整體的情況，得出結論；（2）①根據中位數的定義求解即可；②根據頻數分布直方圖即可解答；（3）用樣本估計總體即可求解．【小問1詳解】解：數據從小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100最大值是100，最小值為81，極差為，若組距為5，則分為4組，頻數分布表成績分組劃記頻數4673頻數分布直方圖，如圖；小問2詳解】解：①中位數是；故答案為；②測試成績分布在的較多（不唯一）；【小問3詳解】解：（人），答：估計該校九年級學生在同等難度的信息技術操作考試中達到優秀等次的人數約為480人．【點睛】本題考查頻數分布直方圖、頻數分布表、用樣本估計總體，求中位數等知識點，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．16.如圖，在直角坐標系中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝（k≠0）分別相交于第二、四象限內的A（m，4），B（6，n）兩點，與x軸相交于C點．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2對應的函數表達式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出當x＜0時，不等式ax+b＞的解集．【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3【解析】【分析】（1）根據OC＝3，tan∠ACO＝，可求直線與y軸的交點坐標，進而求出點A、B的坐標，確定兩個函數的關系式；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，進行計算即可；（3）由函數的圖象直接可以得出，當x＜0時，不等式ax+b＞的解集．【詳解】解：（1）設直線y1＝ax+b與y軸交于點D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即點D（0，2），把點D（0，2），C（0，3）代入直線y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直線的關系式為y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函數的關系式為y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．（3）由圖象可知，當x＜0時，不等式ax+b＞的解集為x＜﹣3．【點睛】本題考查一次函數、反比例函數的圖象和性質，把點的坐標代入是常用的方法，線段與坐標的相互轉化是解決問題的關鍵．17.如圖，在中，是直徑，是弦，點是弧上一點，弧弧，，交于點，點為延長線上一點，且．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的半徑長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）圓周角定理推出，根據，結合三角形的內角和定理，推出，即可證明是的切線；（2）連接，易得，根據直徑所對的圓周角為直角，得到，勾股定理求出的長，再結合三角函數求出的長，即可解題．【小問1詳解】證明：，，，，，即，，是直徑，是的切線；【小問2詳解】解：連接，，，，是直徑，，，，，，，解得，的半徑為．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，三角函數，直徑所對的圓周角為直角，三角形的內角和定理，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．18.綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應點為，連接并延長交于點，請判斷與的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．【解析】【分析】（1）如圖，分別延長，相交于點P，根據平行四邊形的性質可得，根據平行線的性質可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據全等三角形的性質可得，根據直角三角形斜邊中線的性質可得，即可得；（2）根據折疊性質可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根據等腰三角形的性質可得∠FDC′=∠FC′D，根據三角形外角性質可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，根據平行四邊形的面積可求出BH的長，根據折疊的性質可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據平行四邊形的性質可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進而可證明△A′NH∽△CBH，根據相似三角形的性質可得A′H、NH的長，根據NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據相似三角形的性質可求出MQ的長，根據S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【詳解】（1）．如圖，分別延長，相交于點P，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，,∵為的中點，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即為的中點，∴，∵，∴，∴，∴．（