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文檔簡介

線性代數——行列式的概念和性質排列把1,2,3，…，n按某種次序排成一列,稱為這n個不同元素的一個全排列,簡稱排列．所有排列的種數用Pn表示，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=

n!如1,2,3三個數的排列總數P3=3!=3·2·1=6分別是：123，231，312，132，321，213逆序規定n個不同的自然數由小到大依次排列的順序稱為標準次序.并稱這個排列為標準排列．如：12345．逆序在n個元素的一個排列中，若較大的數排在了較小的數字之前，就稱這兩個數構成一個逆序．如：

21345．逆序數規定一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數．逆序數為奇（偶）數的叫做奇（偶）排列．逆序數的計算方法設p1p2…pn是1，2，…，n的一個排列，用τi表示元素

pi的（i=1，2，…，n）逆序數，即排在pi前面并比pi大的元素有τi個，則該排列的逆序數為：例求排列32514的逆序數解：3

2

514對換對換在排列中，將任意兩個元素對調，而其余元素不動，得到一個新排列，則稱這種變換為對換．相鄰相鄰兩個元素的對換，叫做相鄰對換．對換如將排列4321中的元素2,4對換，得到新排列2341．τ(4321)=6

τ(2341)=3定理：一個排列中任意兩個元素對換，改變排列的奇偶性．推論：奇（偶）排列變成標準排列的對換次數為奇（偶）數．01二階行列式用消元法解二元線性方程組方程組的四個系數所確定交叉相乘再相減二階行列式定義數表把四個系數a11

，a12，a21，a22按在方程組中的位置排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列)的數表數aij（i=1，2；j=1，2）稱為行列式的元素或元．（1）aij

的第一個下標i

稱行標，表示該元素在第

i

行；aij

的第二個下標j

稱列標，表示該元素在第j

列．如：a12

表示行列式中位于的第1行第2列的元素．計算-----對角線法則（2）注：二元線方程組的解系數行列式二元線性方程組的解為則當系數行列式三階行列式定義：設有9個數排成3行3列的數表是數表（4）所確定的三階行列式.記計算—對角線法則注(1)紅線上三元素乘積前為正號（列標的逆序數為偶數）；(2)藍線上三元素乘積前為負號（列標的逆序數為奇數）；(3)對角線法則只適用于二階與三階行列式．解按對角線法則，有觀察三階行列式規律：（1）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積；（2）每項行指標都是標準排列123，列指標的排列是1,2,3的某個排列，記p1p2p3，這樣的排列共有3！=6種；（3）每項前的正負號由τ(P1P2P3)的奇偶性確定．如列標排列的τ(312)=1+1=2列標排列的τ(132)=1+0=1所以，三階行列式可以寫成其中表示對1、2、3的所有排列p1p2p3求和.n階行列式的定義的項共有n!項．所有這n!項的代數和由于p1p2…pn的排列共有n!個，因而形如稱為n階行列式，記作：從而有下面等式成立：注(1)n階行列式是n！項的代數和;(2)每個乘積都取自位于不同行不同列的n個元素；(3)

p1p2…pn為自然數1,2,3

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