第4講算法、推理與證實(shí)、計(jì)數(shù)原理1/36考情分析2/36總綱目錄考點(diǎn)一

程序框圖（滲透數(shù)學(xué)文化）考點(diǎn)二合情推理考點(diǎn)三排列與組合考點(diǎn)四二項(xiàng)式定理（高頻考點(diǎn)）3/36考點(diǎn)一

程序框圖(滲透數(shù)學(xué)文化)兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu):在執(zhí)行了一次循環(huán)體后,對(duì)條件進(jìn)行判斷,假如條件不

滿足,就繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體,直到條件滿足時(shí)終止循環(huán).當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu):在每次執(zhí)行循環(huán)體前,對(duì)條件進(jìn)行判斷,當(dāng)條件滿足時(shí),執(zhí)

行循環(huán)體,不然終止循環(huán).4/36經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,8,5分)下面程序框圖是為了求出滿足3n-2n>10

00最小偶數(shù)n,那么在

和

兩個(gè)空白框中,能夠分別填入(

)

A.A>1000和n=n+1

B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1

D.A≤1000和n=n+25/36(2)(課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)下邊程序框圖算法思緒源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b分別

為14,18,則輸出a=

()

A.0

B.2

C.4

D.146/36解析(1)本題求解是滿足3n-2n>1000最小偶數(shù)n,可判斷出循環(huán)結(jié)

構(gòu)為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),即滿足條件要執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件要輸出結(jié)果,

所以判斷語(yǔ)句應(yīng)為A≤1000,另外,所求為滿足不等式偶數(shù)解,所以

中語(yǔ)句應(yīng)為n=n+2,故選D.(2)開始:a=14,b=18,第一次循環(huán):a=14,b=4;第二次循環(huán):a=10,b=4;第三次循環(huán):a=6,b=4;第四次循環(huán):a=2,b=4;第五次循環(huán):a=2,b=2.此時(shí),a=b,退出循環(huán),輸出a=2.答案(1)D(2)B7/36方法歸納1.解答程序框圖(流程圖)問(wèn)題方法(1)首先要讀懂程序框圖,要熟練掌握程序框圖三種基本結(jié)構(gòu),尤其是

循環(huán)結(jié)構(gòu),在累加求和、累乘求積、屢次輸入等有規(guī)律科學(xué)計(jì)算中,

都有循環(huán)結(jié)構(gòu).(2)準(zhǔn)確把握控制循環(huán)變量,變量初值和循環(huán)條件,搞清在哪一步結(jié)

束循環(huán);搞清循環(huán)體和輸入條件、輸出結(jié)果.(3)對(duì)于循環(huán)次數(shù)比較少可逐步寫出,對(duì)于循環(huán)次數(shù)較多可先依次

列出前幾次循環(huán)結(jié)果,找出規(guī)律.2.程序框圖與古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》結(jié)合命題是高考熱點(diǎn),本例

(2)程序框圖算法思緒源于《九章算術(shù)》中計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)最大

條約數(shù)“更相減損術(shù)”.8/36跟蹤集訓(xùn)1.(課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,7,5分)執(zhí)行下面程序框圖,為使輸出S值小于91,

則輸入正整數(shù)N最小值為

()A.5

B.4

C.3

D.2答案

D要求是最小值,觀察選項(xiàng),發(fā)覺選項(xiàng)中最小為2,不妨將2

代入檢驗(yàn).當(dāng)輸入N為2時(shí),第一次循環(huán),S=100,M=-10,t=2;第二次循環(huán),S=90,M=1,t

=3,此時(shí)退出循環(huán),輸出S=90,符合題意,故選D.9/362.(太原模擬試題)執(zhí)行如圖程序框圖,已知輸出s∈[0,4].若輸入

t∈[0,m],則實(shí)數(shù)m最大值為

()

A.1

B.2

C.3

D.410/36答案

D由程序框圖得s=

圖象如圖所表示.由圖象得,若輸入t∈[0,m],輸出s∈[0,4],則m最大值為4,故選D.

11/363.(云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))公元263年左右,我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓

內(nèi)接正多邊形面積去迫近圓面積求圓周率π.他從圓內(nèi)接正六邊形

算起,令邊數(shù)一倍一倍地增加,即12,24,48,…,192,…,逐一算出正六邊形,

正十二邊形,正二十四邊形,…,正一百九十二邊形…面積,這些數(shù)值逐

步地迫近圓面積,劉徽一直計(jì)算到正一百九十二邊形,得到了圓周率π

準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后兩位近似值3.14.劉徽稱這個(gè)方法為“割圓術(shù)”,而且

把“割圓術(shù)”特點(diǎn)概括為“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不

可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”.劉徽這種想法可貴之處于于用已

知、可求來(lái)迫近未知、要求,用有限來(lái)迫近無(wú)限.這種思想極

其主要,對(duì)后世產(chǎn)生了巨大影響.如圖是利用劉徽“割圓術(shù)”思想設(shè)

計(jì)一個(gè)程序框圖.若運(yùn)行該程序,則輸出n值為

()12/36(參考數(shù)據(jù):

≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)

A.48

B.36

C.30

D.24答案

D第一次循環(huán):S=

<3.10,n=12;第二次循環(huán):S=3<3.10,n=24;第三次循環(huán):S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056>3.10,退出循環(huán),輸出n=

24.故選D.13/36考點(diǎn)二

合情推理兩種合情推理思維過(guò)程(1)歸納推理思維過(guò)程:試驗(yàn)、觀察→概括、推廣→猜測(cè)普通結(jié)論(2)類比推理思維過(guò)程:試驗(yàn)、觀察→聯(lián)想、類推→猜測(cè)新結(jié)論14/36經(jīng)典例題(新疆第二次適應(yīng)性檢測(cè))當(dāng)x≠1且x≠0時(shí),數(shù)列{nxn-1}前n項(xiàng)和Sn=

1+2x+3x2+…+nxn-1(n∈N*)能夠用數(shù)列求和“錯(cuò)位相減法”求得,也可

以由x+x2+x3+…+xn(n∈N*)按等比數(shù)列求和公式,先求得x+x2+x3+…+xn

=

,兩邊都是關(guān)于x函數(shù),兩邊同時(shí)求導(dǎo),得(x+x2+x3+…+xn)'=

',從而得到Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=

,按照一樣方法,請(qǐng)從二項(xiàng)展開式(1+x)n=1+

x+

x2+…+

xn出發(fā),能夠求得Sn=1×2×

+2×3×

+3×4×

+…+n(n+1)×

(n≥4)值為

.(請(qǐng)?zhí)顚懽詈?jiǎn)結(jié)果)15/36解析依題意,對(duì)(1+x)n=1+

x+

x2+

x3+…+

xn兩邊同時(shí)求導(dǎo),得n(1+x)n-1=

+2

x+3

x2+…+n

xn-1,①取x=1,得

+2

+3

+…+n

=n·2n-1,②②×2得,2

+2×2

+2×3

+…+2n

=n·2n,③再對(duì)①式兩邊同時(shí)求導(dǎo),得n(n-1)(1+x)n-2=1×2

+2×3

x+…+n(n-1)

xn-2,取x=1,得1×2

+2×3

+…+n(n-1)

=n(n-1)·2n-2,④③+④得1×2

+2×3

+3×4

+…+n(n+1)

=n·2n+n(n-1)·2n-2=n(n+3)·2n-2.答案

n(n+3)·2n-2

16/36方法歸納合情推理解題思緒(1)在進(jìn)行歸納推理時(shí),要先把已知部分個(gè)體適當(dāng)變形,找出它們之間聯(lián)絡(luò),從而歸納出普通結(jié)論.(2)在進(jìn)行類比推理時(shí),要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)推理過(guò)程,然后經(jīng)過(guò)

類比,推導(dǎo)出類比對(duì)象性質(zhì).(3)歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律,類比推理關(guān)鍵是看共性.17/36跟蹤集訓(xùn)觀察以下等式;1-

=

,1-

+

-

=

+

,1-

+

-

+

-

=

+

+

,……據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為

.18/36解析規(guī)律為等式左邊共有2n項(xiàng)且等式左邊分母分別為1,2,…,2n,分子

為1,奇數(shù)項(xiàng)為正、偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),即為1-

+

-

+…+

-

;等式右邊共有n項(xiàng)且分母分別為n+1,n+2,…,2n,分子為1,即為

+

+…+

,所以第n個(gè)等式可為1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.答案1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

19/36考點(diǎn)三

排列與組合名稱排列組合相同點(diǎn)都是從n個(gè)不一樣元素中取m(m≤n)個(gè)元素,元素?zé)o重復(fù)不一樣點(diǎn)①排列與次序相關(guān);②兩個(gè)排列相同,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列元素及其排列次序完全相同①組合與次序無(wú)關(guān);②兩個(gè)組合相同,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合元素完全相同20/36經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人最少

完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不一樣安排方式共有

()A.12種

B.18種

C.24種

D.36種(2)(天津,14,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多

有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)四位數(shù),這么四位數(shù)一共有

個(gè).(用數(shù)字

作答)21/36答案(1)D(2)1080解析

(1)第一步:將4項(xiàng)工作分成3組,共有

種分法.第二步:將3組工作分配給3名志愿者,共有

種分配方法,故共有

·

=36種安排方式,故選D.(2)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)四位數(shù)有

=960個(gè);沒有偶數(shù)四位數(shù)有

=120個(gè).故這么四位數(shù)一共有960+120=1080個(gè).22/36方法歸納求解排列、組合問(wèn)題思緒:排組分清,加乘明確;有序排列,無(wú)序組合;

分類相加,分步相乘.解排列、組合應(yīng)用題,通常有以下路徑:(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素要求,再考慮其它元素.(2)以位置為主體,即先滿足特殊位置要求,再考慮其它位置.(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求排列

或組合數(shù).23/36跟蹤集訓(xùn)1.(鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))將數(shù)“124467”重新排列后得到不一樣

偶數(shù)個(gè)數(shù)為

()A.72

B.120

C.192

D.240答案

D將數(shù)“124467”重新排列后為偶數(shù),則末位數(shù)字應(yīng)為偶數(shù).

(1)若末位數(shù)字為2,因?yàn)楹?個(gè)4,所以有

=60種情況;(2)若末位數(shù)字為6,同理有

=60種情況;(3)若末位數(shù)字為4,因?yàn)橛袃蓚€(gè)相同數(shù)字4,所以共有5×4×3×2×1=120種情況.綜上,共有60+60+120

=240種情況.24/362.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名組員同時(shí)搶4個(gè)紅包,每人最多

搶一個(gè),且紅包被全部搶光,4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元,兩個(gè)3元(紅包中金額

相同視為相同紅包),則甲、乙兩人都搶到紅包情況有

()A.35種

B.24種

C.18種

D.9種答案

C若甲、乙搶是一個(gè)2元和一個(gè)3元紅包,剩下2個(gè)紅包,被

剩下3名組員中2名搶走,有

=12種情況;若甲、乙搶是兩個(gè)2元或兩個(gè)3元紅包,剩下兩個(gè)紅包,被剩下3名組員中2名搶走,有

=6種情況.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,甲、乙兩人都搶到紅包情況共有12+6=18(種).25/36考點(diǎn)四

二項(xiàng)式定理(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.利用通項(xiàng)求展開式特定項(xiàng).2.利用通項(xiàng)求展開式中項(xiàng)系數(shù).3.由已知條件求參數(shù)值.1.通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)Tk+1=

an-kbk(k=0,1,2,…,n),其中

叫做二項(xiàng)式系數(shù).【注意】

Tk+1是展開式中第k+1項(xiàng),而不是第k項(xiàng).2.各二項(xiàng)式系數(shù)之和(1)

+

+

+…+

=2n.(2)

+

+…=

+

+…=2n-1.26/36經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,6,5分)

(1+x)6展開式中x2系數(shù)為

()A.15

B.20

C.30

D.35(2)(浙江,13,5分)已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則

a4=

,a5=

.答案(1)C(2)16;4解析(1)對(duì)于

(1+x)6,若要得到x2項(xiàng),能夠在

中選取1,此時(shí)(1+x)6中要選取含x2項(xiàng),則系數(shù)為

;當(dāng)在

中選取

時(shí),(1+x)6中要選取含x4項(xiàng),即系數(shù)為

,所以,展開式中x2項(xiàng)系數(shù)為

+

=30,故選C.(2)設(shè)(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,則a4=b2c2+b3c1=

×12×22+13×

×2=16,a5=b3c2=13×22=4.27/36方法歸納1.在應(yīng)用通項(xiàng)Tk+1=

an-kbk時(shí),要注意以下幾點(diǎn):(1)它表示二項(xiàng)展開式任意項(xiàng),只要n與k確定,該項(xiàng)就隨之確定;(2)Tk+1是展開式中第k+1項(xiàng),而不是第k項(xiàng);(3)公式中a,b指數(shù)和為n且a,b不能隨便顛倒位置;(4)對(duì)二項(xiàng)式(a-b)n展開式通項(xiàng)要尤其注意符號(hào)問(wèn)題.2.在二項(xiàng)式定理應(yīng)用中,“賦值法”是處理系數(shù)問(wèn)題慣用方法.28/36跟蹤集訓(xùn)1.(鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)a=

sinxdx,則

展開式中常數(shù)項(xiàng)是

()A.-160

B.160

C.-20

D.20答案

A依題意得,a=-cosx

=-(cosπ-cos0)=2,

=

展開式通項(xiàng)Tr+1=

·(2

)6-r·

=

·26-r·(-1)r·x3-r.令3-r=0,得r=3.所以

展開式中常數(shù)項(xiàng)為

×23×(-1)3=-160,故選A.29/362.(合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知(ax+b)6展開式中含x4項(xiàng)系數(shù)

與含x5項(xiàng)系數(shù)分別為135與-18,則(ax+b)6展開式中全部項(xiàng)系數(shù)之和

為

()A.-1

B.1

C.32

D.64答案

D由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式可知含x4項(xiàng)系數(shù)為

a4b2,含x5項(xiàng)系數(shù)為

a5b,則由題意可得

解得a+b=±2,故(ax+b)6展開式中全部項(xiàng)系數(shù)之和為(a+b)6=64,故選D.30/363.(鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知冪函數(shù)y=xa圖象過(guò)點(diǎn)(3,9),則

展開式中x系數(shù)為

.答案112解析因?yàn)?a=9,所以a=2,所以

展開式通項(xiàng)Tk+1=

(-

)k=

(-1)k28-k

,令

k-8=1,得k=6,所以

展開式中x系數(shù)為

(-1)628-6=112.31/361.(鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))平面內(nèi)凸四邊形有2條對(duì)角線,凸五邊形有

5條對(duì)角線,依次類推,凸十三邊形對(duì)角線條數(shù)為()A.42

B.65

C.143

D.169隨堂檢測(cè)答案

B依據(jù)題設(shè)條件能夠經(jīng)過(guò)列表歸納分析得到:所以凸n邊形有2+3+4+…+(n-2)=

條對(duì)角線,所以凸十三邊形對(duì)角線條數(shù)為

=65,故選B.凸多邊形四五六七八對(duì)角線條數(shù)22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+632/362.(鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))要計(jì)算1+

+

+…+

結(jié)果,下面程序框圖中判斷框內(nèi)能夠填

()

A.n<2017

B.n≤2017C.n>2017

D.n≥2017答案

B題中所給程序框圖中循環(huán)結(jié)構(gòu)為當(dāng)型循環(huán),累加變量初

始值為0,計(jì)數(shù)變量初始值為1,要計(jì)算S=0+1+

+

+…+

值,共需要計(jì)算2017次,故選B.33/363.(沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這

樣一道算術(shù)題:“今有物