第一章空間幾何體1/42本章概覽一、地位作用本章充分注意到對學生數學思維能力培養,在本章,學生將從對空間幾何體整體觀察入手,認識空間圖形,了解一些簡單幾何體表面積與體積計算方法,在歷年高考中,突出了對空間想象能力考查.二、內容要求1.利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形,認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體結構特征,并能利用這些特征描述現實生活中簡單物體結構.2.會用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合)直觀圖.2/423.了解球、棱柱、棱錐、臺表面積和體積計算公式(不要求記憶公式).三、關鍵素養

本章從詳細實物入手,加強從實物模型到圖形,再由圖形到實物訓練,提升學生畫圖、識圖和解釋圖水平,幫助學生逐步形成空間想象能力,有序建立圖形、文字、符號語言表示聯絡,幫助學生達成直觀想象、邏輯推理等數學關鍵素養.3/421.1空間幾何體結構1.1.1柱、錐、臺、球結構特征1.1.2簡單組合體結構特征4/42目標導航課標要求1.了解多面體、旋轉體以及簡單組合體概念及特征.2.了解棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺以及球概念.3.概括并掌握柱體、錐體、臺體、球概念及結構特征,并能利用這些特征來判斷、描述現實生活中實物模型.素養達成經過多面體、旋轉體以及簡單組合體學習,使學生借助空間認識事物位置關系,增強空間想象思索問題意識,形成直觀想象.5/42新知探求課堂探究6/42新知探求·素養養成點擊進入情境導學知識探究1.空間幾何體分類多面體旋轉體由若干個圍成幾何體由一個平面圖形繞一條定直線旋轉所形成.平面多邊形它所在平面內封閉幾何體7/42面:圍成多面體各個.棱:相鄰兩個面.頂點:公共點.軸:形成旋轉體旋轉所繞.多邊形公共邊棱與棱定直線8/422.柱體結構特征柱體結構特征圖形表示法有兩個面相互,其余各面都是,而且每相鄰兩個四邊形公共邊都相互,由這些面所圍成多面體叫做棱柱.棱柱中,面叫做棱柱底面,簡稱底;叫做棱柱側面;相鄰側面.叫做棱柱側棱;側面與底面叫做棱柱頂點.用表示各頂點字母表示,如上、下底面分別是四邊形A′B′C′D′、四邊形ABCD四棱柱,可記為棱柱..平行四邊形平行兩個相互平行其余各面公共邊公共頂點ABCD-A′B′C′D′9/42圓柱以所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉形成面所圍成旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱;邊旋轉而成圓面叫做圓柱底面;邊旋轉而成曲面叫做圓柱側面;不論旋轉到什么位置,不垂直于軸邊都叫做圓柱側面,圓柱和棱柱統稱為.用表示它軸字母表示,如左圖中圓柱表示為.矩形一邊軸垂直于軸平行于軸母線柱體圓柱OO′10/423.錐體結構特征錐體結構特征圖形表示法有一個面是,其余各面都是有一個公共頂點,由這些面所圍成多面體叫做棱錐.這個叫做棱錐底面或底;有公共頂點各個叫做棱錐側面;各側面叫做棱錐頂點;相鄰側面叫做棱錐側棱.用頂點和底面各頂點字母表示,如左圖中棱錐可表示為棱錐.多邊形三角形多邊形面三角形面公共頂點公共邊S-ABCD11/42圓錐以直角三角形所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉形成面所圍成旋轉體叫做圓錐.圓錐軸、底面、側面和母線如右圖.棱錐與圓錐統稱為.圓錐用表示它軸字母表示,左圖中圓錐表示為.一條直角邊錐體圓錐SO12/42探究1:依據以下對幾何體結構特征描述,說出幾何體名稱.(1)由八個面圍成,其中兩個面是相互平行且全等正六邊形,其它各面都是矩形;(2)由五個面圍成,其中一個面是正方形,其它各面都是有一個公共頂點全等三角形.答案:(1)該幾何體有兩個面是相互平行且全等正六邊形,其它各面都是矩形,可滿足每相鄰兩個面公共邊都相互平行,故該幾何體是六棱柱.(2)該幾何體其中一個面是四邊形,其余各面都是三角形,而且這些三角形有一個公共頂點,所以該幾何體是四棱錐.13/424.臺體結構特征臺體結構特征圖形表示法用一個平面去截棱錐,底面與截面之間部分叫做棱臺.原棱錐和分別叫做棱臺下底面和上底面.上、下底面分別是四邊形A′B′C′D′、四邊形ABCD四棱臺,可記為棱臺..平行于棱錐底面底面截面ABCD-A′B′C′D′14/42圓臺用平面去截圓錐,底面與之間部分叫做,與圓柱和圓錐一樣,圓臺也有軸、底面、側面、母線.棱臺與圓臺統稱為臺體.圓臺用表示它軸字母表示,左圖中圓臺表示為.平行于圓錐底面截面圓臺圓臺OO′15/425.球結構特征球體結構特征圖形表示法球以半圓所在直線為旋轉軸,半圓面旋轉一周形成旋轉體叫做,簡稱.半圓圓心叫做球,半圓半徑叫做球,半圓直徑叫做球.用表示球心字母表示,左圖中球表示為.直徑球體球球心半徑直徑球O16/426.簡單組合體結構特征(1)簡單組合體:由

組合而成幾何體叫做簡單組合體.(2)簡單組合體組成有兩種基本形式:①由簡單幾何體

而成;②由簡單幾何體

一部分而成.簡單幾何體拼接截去或挖去17/42探究2:如圖所表示,將一個直角三角形繞其一邊旋轉,得到幾何體是什么?答案:如圖所表示.繞任一直角邊旋轉,都將得到一個圓錐,不過底面半徑不一樣,分別是BC,AB,母線長都是斜邊AC.繞其斜邊AC旋轉,得到是一個組合體,由兩個同底面圓錐組成.18/42拓展延伸:特殊棱柱棱錐、棱臺結構特征(1)特殊棱柱側棱與底面垂直棱柱叫做直棱柱,底面是正多邊形直棱柱叫做正棱柱;底面是平行四邊形棱柱叫做平行六面體,側棱與底面垂直平行六面體叫做直平行六面體,底面是矩形直平行六面體是長方體,棱長都相等長方體是正方體.(2)特殊棱錐假如棱錐底面是正多邊形,且它頂點在過底面中心且與底面垂直直線上,則這個棱錐叫做正棱錐.正棱錐各側面都是全等等腰三角形;等腰三角形底邊上高叫做棱錐斜高,正棱錐是一個特殊棱錐,判斷一棱錐是正棱錐必須滿足下面兩個條件:一是底面是正多邊形,二是底面水平放置時,它頂點與底面正多邊形中心都在鉛垂線上.這也是掌握正棱錐定義兩個關鍵點.(3)特殊棱臺得棱臺叫做正棱臺.正棱臺各側面都是全等等腰梯形,這些等腰梯形高叫做棱臺斜高.19/42自我檢測1.(簡單幾何體結構特征)以下幾何體是棱柱有(

)(A)5個 (B)4個 (C)3個 (D)2個D2.(多面體結構特征)以下四個命題中,正確有(

)①棱柱中相互平行兩個面叫做棱柱底面;②各個面都是三角形幾何體是三棱錐;③有兩個面相互平行,其余四個面都是等腰梯形六面體是棱臺;④四棱錐有4個頂點.(A)0個 (B)1個 (C)3個 (D)4個A20/423.(簡單組合體結構特征)如圖是由哪個平面圖形旋轉得到(

)D21/424.(旋轉體結構特征)以下命題中正確是(

)①在圓柱上、下兩底面圓周上各取一點,則這兩點連線是圓柱母線;②圓錐頂點與底面圓周上任意一點連線是圓錐母線;③在圓臺上、下兩底面圓周上各取一點,則這兩點連線是圓臺母線;④圓柱任意兩條母線相互平行.(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)②④D5.(棱錐結構特征)假如一個棱錐側面都是正三角形,則該棱錐最多是

棱錐.

答案:五22/426.(組合體結構特征)如圖,長方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,則剩下幾何體是

,截去幾何體是

.

答案:五棱柱三棱柱23/42題型一簡單幾何體結構特征【思索】1.有兩個面相互平行,其余各面是平行四邊形幾何體是棱柱嗎?課堂探究·素養提升提醒:不一定.如圖所表示幾何體中,平面ABC與平面A′B′C′相互平行.其余各面是平行四邊形,但它不是棱柱.反之,若一個幾何體是棱柱,則它有兩個面相互平行,其余各面均是平行四邊形是正確.24/422.若一個幾何體有兩個面相互平行,其余面均為梯形,那么它一定是棱臺嗎?提醒:不一定.因為棱臺是由棱錐得到,其側棱延長應相交于一點,若側棱延長后不相交于一點,則它不是棱臺.25/42【例1】(1)(·嘉興市一中期中)以下命題中,正確命題是(

)①有兩個面相互平行,其余各個面都是平行四邊形多面體是棱柱②四棱錐四個側面都能夠是直角三角形③有兩個面相互平行,其余各面都是梯形多面體是棱臺④四面體都是三棱錐.(A)②④ (B)①② (C)①②③ (D)②③④解析:(1)①錯誤;反例:將兩個相同斜平行六面體疊放;②正確,在長方體中能夠截出;③錯誤,側棱可能無法聚成一點;④正確.故選A.26/42(2)以下敘述正確是(

)(A)直角三角形圍繞一邊旋轉而成幾何體是圓錐(B)用一個平面截圓柱,截面一定是圓面(C)圓錐截去一個小圓錐后,剩下是一個圓臺(D)經過圓臺側面上一點有沒有數條母線解析:(2)直角三角形繞斜邊所在直線旋轉形成是兩個對底圓錐,為組合體,故A錯;用平行于底面平面去截圓柱,截面才是圓面,故B錯.經過圓臺側面上一點有且只有一條母線,故D錯.C正確.選C.方法技巧準確了解幾何體定義,把握幾何體結構特征,而且學會經過舉反例進行辨析.27/42即時訓練1-1:(1)以下說法中正確是(

)(A)頂點在底面上射影到底面各頂點距離相等三棱錐是正棱錐(B)底面是正三角形,各側面是等腰三角形三棱錐是正三棱錐(C)底面三角形各邊分別與相正確側棱垂直三棱錐是正三棱錐(D)底面是正三角形,而且側棱都相等三棱錐是正三棱錐解析:(1)選項A,到三角形各頂點距離相等點為三角形外心,該三角形不一定為正三角形,故A錯;選項B,如圖所表示,△ABC為正三角形,若PA=PB=AB=BC=AC≠PC,△PAB,△PBC,△PAC都為等腰三角形,但它不是正三棱錐,故B錯;選項C,頂點在底面面上射影為底面三角形垂心,底面為任意三角形皆可,故C錯;選項D,頂點在底面上射影是底面三角形外心,又底面三角形為正三角形,所以,外心即中心,故D正確.故選D.28/42(2)以下命題正確是(

)(A)圓柱軸是經過圓柱上、下底面圓圓心直線(B)圓柱母線是連接圓柱上底面和下底面上一點直線(C)矩形較長一條邊所在直線才能夠作為旋轉軸(D)矩形繞任意一條直線旋轉,都能夠圍成圓柱解析:(2)由圓柱定義和相關概念可知,A正確;圓柱母線必須在側面上且垂直于底面,所以B不正確;矩形任意一條邊所在直線都能夠作為旋轉軸,C錯誤;矩形繞任意直線旋轉不一定形成圓柱,所以D錯誤,故選A.29/42題型二折疊與展開問題【例2】(·江西省九江市一中月考)如圖所表示平面圖形沿虛線折起后,①為

,②為

,③為

.

解析:由圖①知幾何體各側面是矩形,底面為四邊形.該幾何體是四棱柱;由圖②知幾何體各側面是三角形,底面是三角形,該幾何體是三棱錐;由圖③知幾何體側面是三角形,底面為四邊形,故該幾何體是四棱錐.答案:四棱柱三棱錐四棱錐30/42方法技巧(1)對于所給展開圖發揮空間想象力,若想象力不足,應該動手折紙做試驗.(2)對于給出幾何體展開圖,應該給頂點標上字母,先把底面畫出來,再依次畫出側面,還原出幾何體形狀.31/42即時訓練2-1:(·湖南師大附中高一測試)如圖底面半徑為1,高為2圓柱,在A點有一只螞蟻,現在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點,則螞蟻爬行最短距離是

.

32/4233/42題型三簡單組合體結構特征【例3】(1)如圖所表示幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉而形成(

)解:(1)A.34/42解:(2)旋轉后圖形草圖分別如圖(1),(2)所表示.其中圖(1)是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3,O3O4組成;圖(2)是由一個圓錐O5O4、一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去一個圓錐O2O1組成.(2)如圖所表示圖形繞虛線旋轉一周后形成立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成?35/42變式探究:(1)(變換條件)若將典例(1)選項B中平面圖形旋轉一周,想象并說出它形成幾何體結構特征.36/42解:(1)①