2023-2024學年高一數學第二學期5月月考卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若復數對應的點在第四象限，則m的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由復數表示的點在第四象限，可得實部為正且虛部為負即得.【詳解】由可得，又m為整數，所以.故選：B.2.某射擊運動員7次的訓練成績分別為:86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數為（）A.88.5 B.89 C.91 D.89.5【答案】B【解析】【分析】根據百分位數的定義進行求解即可.【詳解】7次的訓練成績從小到大排列為：85，86，87，88，88，89，90，，所以第80百分位數為從小到大排列的數據中的第個數據，即89，故選：B3.已知向量滿足，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據得，進而得，即可得.【詳解】因為，所以，故.故選：B4.設l是直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】舉例說明判斷ACD；利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理判斷D.【詳解】對于A，若相交，令，當，且時，滿足，，顯然不平行，A錯誤；對于B，，則存在直線，使得，而，則，因此，B正確；對于C，若，令，當且時，滿足，而與不平行，C錯誤；對于D，若，令，當，時，有，此時或，與不垂直，D錯誤．故選：B5.已知和是兩個不共線的向量，若，，，且，，三點共線，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三點共線可得，列出方程組即可得解.【詳解】因為，且，，三點共線，所以存在實數，使得，即，則，解得.故選：B6.在正方體中，E是的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意分析可得異面直線DE與AC所成角為（或的補角），在中利用余弦定理運算求解.【詳解】取的中點，連接，因為//，且，則為平行四邊形，可得//，又因為分別為的中點，則//，所以//，故異面直線DE與AC所成角為（或的補角），設正方體的棱長為2，則，在中，由余弦定理，所以異面直線DE與AC所成角余弦值是.故選：D.7.已知三棱錐中，，，平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據面面垂直的性質定理可證得面，從而可得，在上取一點，使得，則為球心，在中，由勾股定理即可求出外接球的半徑，再由球的表面積公式即可得到答案．【詳解】如圖，取的中點，連接，，則，又平面平面，平面平面，平面，所以面，又平面，所以，在上取一點，使得，則為球心，設球的半徑為，因為，所以為直角三角形，又為的中點，所以，又，又在中，，即，解得.所以外接球表面積為.故選：C.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球表面積的求法，考查空間想象力，屬于中檔題．8.在銳角中，若，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可得，當時，不妨設，可得，由及銳角三角形中可得，從而可得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，.當時，不妨設，則，所以，即，所以，因為銳角三角形中，，則，故，而，則，所以，綜上所述，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，下列結論正確的有（）A. B.若，則C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用共軛復數的定義判斷選項A；由復數的乘法運算以及實數0的含義判斷選項B；由復數模的運算性質判斷選項C；由復數的乘法運算及共軛復數的概念判斷選項D.【詳解】設，對于A，，，故選項A正確；對于B，因為，則，則或，所以中至少有一個0，即或，故選項B不正確；對于C，由復數模的運算性質可知，，=，所以，故選項C正確；對于D，當，則，可得，解得，即，所以，故選項D正確.故選：ACD.10.如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點是圓周上異于、的任一點，則下列結論中正確的是（）A. B.C平面 D.平面平面【答案】BD【解析】【分析】利用線面垂直的性質可判斷B選項；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項；利用反證法可判斷AC選項.【詳解】因為平面，平面，所以，，因為點是以為直徑的圓上且異于、的任一點，，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，平面平面，B對D對；因為平面，平面，則，則為銳角，即與不垂直，故與平面不垂直，C錯；若，又因為，，、平面，所以，平面，與C選項矛盾，A錯.故選：BD.11.中，下列說法正確的是（）A.若，則為銳角三角形．B.若，則點的軌跡一定通過的內心．C.若為重心，則D.若點滿足，則【答案】BCD【解析】【分析】根據可確定角為銳角，但不一定為銳角三角形，可判定A；根據單位向量、共線向量的概念可判斷B；根據向量的加法運算可確定C；根據向量的數量積以及向量模的運算可確定D．【詳解】選項A：若，則，因此角為銳角，但不一定為銳角三角形，故A錯誤；選項B：因為分別表示方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致．若，則的方向與的角平分線一致，所以點的軌跡一定通過的內心，故B正確；選項C：若為的重心，設邊的中點為，則，故C正確；選項D：設的中點為，若點滿足，則點為外心，于是有．又，則，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為，母線長為10，則圓臺的體積為____________.【答案】【解析】【分析】根據題意，列出方程求得上，下底面半徑以及高，再由圓臺的體積公式，即可得到結果.【詳解】設上底面半徑為，則下底面半徑為，高為，因為母線長為10，所以，解得，所以下底面半徑為，高，則體積.故答案為：13.某工廠年前加緊手套生產，設該工廠連續天生產的手套數依次為（單位：萬只）．若這組數據的方差為，且，則該工廠這天平均每天生產手套___________萬只．【答案】【解析】【分析】由可直接求得結果.【詳解】，.故答案為：.14.如圖，在中，已知，點是邊中點，且，直線與相交于點，則__________．【答案】【解析】【分析】根據平面向量基本定理和三點共線知識可得，然后根據數量積運算律求解可得.【詳解】因為三點共線，且，點是邊的中點，所以存在實數x滿足，又因為三點共線，所以，所以，而，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）根據頻率分布直方圖估計本次評測分數的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，并精確到0.1）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據頻率和為1運算求解；（2）根據平均數公式運算求解.【小問1詳解】由題意可得：，解得.【小問2詳解】估計本次評測分數的平均數.16.已知向量.（1）求；（2）設的夾角為，求的值；（3）若向量與互相垂直，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接利用向量的坐標運算求解即可；（2）利用向量夾角的坐標公式求解即可；（3）利用向量垂直的坐標運算列式求解即可.【小問1詳解】因為，所以；【小問2詳解】的夾角為，則；【小問3詳解】因為，所以，，由向量與互相垂直得，，所以，化簡得，解得.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點，.（1）求的大小；（2）若，，求BC的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，整理可得，然后根據余弦定理即可求得，進而根據角的范圍，即可得出答案；（2）在以及中，分別根據余弦定理，結合，整理化簡可得.在中，根據余弦定理推出.聯立兩個方程，即可得出答案.【小問1詳解】由正弦定理以及已知可得，，整理可得，.由余弦定理可得，.又，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理可得，.在中，由余弦定理可得，.又，所以，即，整理可得.因為，在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，.聯立可得.所以，.18.如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點.（1）求證：B，C，H，G四點共面；（2）求證：平面；（3）若底面邊長為2，，求三棱錐體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）借助三角形的中位線，證明，可得B，C，H，G四點共面；（2）證明，平面，（3）由，求三棱錐的體積.【小問1詳解】∵G，H分別是，的中點，∴GH是的中位線，∴，又在三棱柱中，，∴，∴B，C，H，G四點共面．【小問2詳解】∵在三棱柱中，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.【小問3詳解】由題意，知．19.如圖，已知菱形所在平面與矩形所在平面相互垂直，且，是線段的中點，是線段上的動點．（1）與所成的角是否為定值，試說明理由；（2）若二面角為，求四面體的體積．【答案】（1）與所成角為定值，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可證明平面，由線面垂直證明線