第一章量子力學的誕生

1.1設質量為w的粒子在諧振子勢中運動，用量子化條件求粒子能量￡的可

能取值。

提示：利用fp-dx=nh,〃=1,2,…，p=yj2m[E-V(xy]V(x)

解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為

(1)

其中a由下式決定：E=—a0ax

由此得a=^2E!mar(2)

X=±4即為粒子運動的轉折點。有量子化條件

+a/+a

jp-dx=2jJ2M(￡——ma)2x2)dx=2ma)^飛a2-x2dx=2ma)a2?—=mcoKa2=nh

2

一/2_a

2nh2fm

得a=--------=——(3)

mCDTTmco

代入(2),解出

E“—rihco,n—1,2,3,-"(4)

__________________2

積分公式：[yla2-u1du=—yla2-u2+—arcsin—十c

J22a

1.2設粒子限制在長、寬、高分別為的箱內運動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。

解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內作自由運動。假設粒子與箱壁碰撞不引起內部激發，則碰

撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向為x,y,z軸方向，把粒

子沿尤,y,z軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有

,(%=1,2,3,…)

pxdx=nxh

即

px-2a=nxh(2a：一來一回為一個周期)

Px=nxh/2a,

同理可得,

py=%h/2b.pz=nzh!2c,

nx.nrnz=1,2,3,…

粒子能量

口_1/2223方昌

E-(/+〃、.+，-)=------不H-H—T-

"52mxyz2ma2b2c2

\/

nx,ny,n.=1,2,3,…

1.3設一個平面轉子的轉動慣量為/,求能量的可能取值。

提示：利用=〃=1,2,…，P"是平面轉子的角動量。轉子的能量￡=〃：/2/。

解：平面轉子的轉角（角位移）記為*。

它的角動量p夕=/Q（廣義動量），p0是運動慣量。按量子化條件

J：P.dx=2ip。=mh,m—1,2,3,--?

P1P=mh,

因而平面轉子的能量

&=〃；/2/=/方2/2/,

機=1,2,3,…

1.4有一帶電荷e質量帆的粒子在平面內運動，垂直于平面方向磁場是B,求粒子能量允許值.

（解）帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動，設圓半徑是r,線速度是也用

高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是：

Bev

⑴

c

又利用量子化條件，令〃=電荷角動量9=轉角。

Jpdq=￡mrvdp=2^mrv=nh（2）

即mrv=nh(3)

由⑴⑵求得電荷動能="2=粵

再求運動電荷在磁場中的磁勢能，按電磁學通電導體在磁場中的勢能

_磁矩*場強_電流*線圈面積*場強_ev*7rr2*Bv

J是電荷的旋轉頻率，U=『，代入前式

得

Behn

運動電荷的磁勢能二不一-(符號是正的)

2mc

Betin

點電荷的總能量=動能+磁勢能=E=——(n=1,2,3)

2mc

1.5,1.6未找到答案

1.7(1)試用Fermat最小光程原理導出光的折射定律

辦sio=〃2siQZ2

(2)光的波動論的擁護者曾向光的微粒論者提出下述非難：

如認為光是粒子，則其運動遵守最小作用量原理可pdl=0認為〃=機丫則可pdl=0這將導

得下述折射定律

凡sina,=幾sin/

Ev

這明顯違反實驗事實，即使考慮相對論效應，則對自由粒子:仍就成立，E是粒子能量,

從一種媒質到另一種媒質E仍不變，仍有3jp"/=0,你怎樣解決矛盾？

(解)甲法：光線在同一均勻媒質中依直線傳播，因此自定點A到定

點B的路徑是兩段直線：光程

1A+B

=riyQn2Q

設A,B到界面距離是a,b（都是常量）有

1asecbsec

=nal+n2a2

又AB沿界面的投影c也是常數，因而a，存在約束條件:

求⑴的變分，而將名,會看作能獨立變化的，有以下極值條件

&=幾aseca/gqda+幾2bsec22織C6"&=°⑶

再求(2)的變分asec2+Z?sec2=0

(3)與(4)消去［和dq1得

sinsin

na［=n2a2⑸

［乙法］見同一圖，取x為變分參數，取0為原點，則有:

/="1J-.+r+&+（C-X2）

求此式變分，令之為零，有：81=-產叫.一聆"'7叫=o

yla2+x2技+g—幻2

這個式子從圖中幾何關系得知，就是（5）.

（2）按前述論點光若看作微粒則粒子速度v應等于光波的群速度Vc光程原理作VGdl=0,依

C，2C2

前題相速V=—,Wvc=—=cn,n是折射率，〃是波前陣面更引起的，而波陣面速度則是相速度

PVcVp

叫,,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.

可辿=0

前一非難是將光子的傳播速度v看作相速度v;,的誤解.

1.8對高速運動的粒子（靜質量機）的能量和動量由下式給出:

試根據哈密頓量H=E=，加2c4+c2P2（3）

及正則方程式來檢驗以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關系.計算速度并證明

它大于光速.

6H

（解）根據（3）式來組成哈氏正則方程式組：g=--，本題中q「叭p,二p,因而

“Pi

9I2~422-P

⑷

v=—Jm~c+c~p=-r

加yjm2c4+.2〃2

從前式解出〃（用u表示）即得到（2）.又若將⑵代入⑶，就可得到⑴式.

其次求粒子速度U和它的物質波的群速度Vg間的關系.運用德氏的假設:=方左于（3）式右方，又

用E=hco于（3）式左方，遍除h：

=+c21c2=a）（k）

按照波包理論，波包群速度VG是角頻率丟波數的一階導數：

最后一式按照（4）式等于粒子速度V,因而UG=V。

又按一般的波動理論，波的相速度是由下式規定

=uA.=—是頻率）

°k

利用（5）式得知

故相速度（物質波的）應當超過光速。

最后找出UG和V。的關系，將（1）（2）相除，再運用德氏波假設:

E_Tia>_c2_c2c2

(7)

PhkvvP=-

VgVG

補充：

1.1設質量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動,

co,x<0,x>a

V(x)=<

0,0<x<a

試用deBroglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。

解：據駐波條件，有

a=n-(〃=1,2,3,???)

:.九=2aIn(1)

又據deBroglie關系

p=hlA.(2)

而能量

E-p2/2m=h2/2m"

=h%2=病.〃2[=123…)

2m-4a2ImcrI，，，1

[1]試用量子化條件，求諧振子的能量[諧振子勢能V(x)='加。2X2

2

(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化條件式:，pdq=nh

A--->0BX、

-'_x」)

<——a—

在量子化條件中，令p=mx為振子動量,q=x為振子坐標，設總能量E

nilP?mco2x2fl~~~―mco2x2.

則E=—+——p=2m(E——--)

2m2V2

代入公式得：J^2m(E-^^)dx^nh

量子化條件的積分指一個周期內的位移,可看作振幅方的四倍，要決定振幅a,注意在A或B點動能

為iO,E=一“幻2〃2,⑴改寫為:

2

2(mco^a2-x2dx=nh(2)

J—a

積分得:mcocTTi=nh

、品工

遍乘-1--g得3

271

hco*

E=----=nno)

2萬

［乙法］也是利用量子化條件，大積分變量用時間f而不用位移x,按題意振動角頻率為。，直接寫出位移

無，用f的項表示：

q=x=asmcot

求微分:dq=dx=acocosaftdt(4)

求積分：p-mx-macDcoscot(5)

將(4)(5)代量子化條件：

Jpdq=mccco2^cos2cotdt=nh

T是振動周期,T=上，求出積分，得

(D

)

maxT7i-nhE=^-n=nho

2%

n—1,2,3正整數

#

⑵用量子化條件，求限制在箱內運動的粒子的能量，箱的長寬高分別為a,

(解)三維問題，有三個獨立量子化條件，可設想粒

子有三個分運動，每一分運動是自由運動.設粒子與器壁作彈性碰撞，則每碰一次時，與此壁正交方向的

分動量變號(如pT-〃、),其余分動量不變，設想粒子從某一分運動完成一個周期，此周期中動量與

位移同時變號，量子化條件：

Jp?q「rixh=2padx=2ap,(1)

§Pfq=n,h=2pfdy=2bp(2)

p,p、,〃都是常數，總動量平方p=J戍+/+〃；總能量是：

2i

E=土益心P；+舟

=4[(學-+(”>+(￥產]

2fn2a2b2c

=^-[(—)2+fe2+(—)2]

8/nabc

但小，即s=1,2,3正整數.

#

[3]平面轉子的轉動慣量為I,求能量允許值.

(解)解釋題意:平面轉子是個轉動體，它的位置由一坐標(例如轉角尹)決定，它的運動是一種

剛體的平面平行運動.例如雙原子分子的旋轉.按剛體力學，轉子的角動量

1,

I勿,但。=夕是角速度,能量是￡'=21/~

利用量子化條件，將p理解成為角動量,q理解成轉角夕，一個周期內的運動理解成旋轉一周，則有

Jpdq-￡\cod(p-2TACD-nh(1)

(1)說明0是量子化的

nhnh?c-

⑵co=—=—(〃=1,2,3.....)(2)

241I

1Triti772方2

(3)代入能量公式，得能量量子化公式:E=-lco2=-(―)2=?一(3)

22I21

第二章：函數與波動方程

P69當勢能丫(不)改變一常量C時，即V(刃+c,粒子的波函數與時間無關部分變否?能

量本征值變否？

12o

(解)設原來的薛定謬方程式是駕+警[E-V(x)]〃=O

dx-tr

將方程式左邊加減相等的量C”得：駕+萼{[E+C]—[V(x)+C]}“=0

dxh

這兩個方程式從數學形式上來說完全相同，因此它們有相同的解〃(x),

從能量本征值來說，后者比前者增加了Co

設粒子勢能的極小值是vmill證明En>Vmin

(證)先求粒子在某一狀態中的平均值能量后

_4.2

E=V2+V(r)]^J3x

其中動能平均值一定為正：

7=(一萼力)〃'

JJJ2m

=一^—+▽河T

用高斯定理:=一工?曲+工

BT

中間一式的第一項是零，因為-假定滿足平方可積條件，因而T>0因此E=T+V>V,能讓能量

平均值.因此E〉V.

，minymin

令”=(本征態)則豆=￡“而E?>Vmin得證

2.1設一維自由粒子的初態”(x,0)=/皿",求〃(x,/)。

解：小一/"

2.2對于一維自由運動粒子，設〃(x,0)=5(x)求帆(x,t)/。

(解)題給條件太簡單，可以假設一些合理的條件，既然是自由運動，可設粒子動量是p,能

量是E,為了能代表一種最普遍的一維自由運動，可以認為粒子的波函數是個波包(許多平面波的

疊加)，其波函數：

-(px-Ei)

Mp)Hdp(1)

這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令，=0應有

(2)

但按題意，此式等于5（x）。但我們知道一維3函數一種表示是:

3(x)=—reikKdk(3)

27C

將（2）（3）二式比較：知道k=K,并且求得°（p）=-4=,于是（1）成為

力J21力

1產-(px-Ei)

^,0=——ehdp(4)

2刀■方力=。

2

這是符合初條件的波函數，但p,E之間尚有約束條件E=2（因為是自由粒子，總能量

2m

等于動能），代入（4）

W(x,t)=-Lf(5)

2萬力〃=田

將此式變形成高斯積分，容易得到所需結果:

1imx12

兀

1?石2mti

2%力it

寫出共輛函數（前一式i變號）:

1bnx2

2mh兀

叭x,t)」一e2初

2萬力—it

1兀

帆x2mh—__m__

(2)方-_________t____2疳it

本題也可以用Fresnel積分表示，為此可將（6）式積分改為:

用、申+八一見”（X"）1八一、\mh7T

用課本公式得*=——（l+z）J----e2t",兩者相乘，可得相同的結果。

W（x,02疝Vt

2.2設一維自由粒子的初態〃(x,O)=*x),求

4oO-KO________

提示：利用積分公式Jcos(g2卜自=Jsin("bg=后紜

+00

Jexp[七2kg=V^exp[i;r/4]0

或

—oo

12

解:作Fourier變換:〃(x，0)=Jo(Pp“~P’

+00[+C0

小)=看J0(x,0、_S"dx=-j==j8(x)e-'ipx/r'dx=

[+00

打薪JaP"i)"'即(E=p112nl)

W(x，"2=m

2萬初

2.3設一維自由粒子初態為〃(x,0),證明在足夠長時間后

〃(x")=p[—a/4)expimji

~2ht

1+°o

式中q\k\=—j=f”(無,0)e-"2x是”(x,0)的Fourier變換提示：利用

證：根據平面波的時間變化規律

eikxei(kx-M),co=E/ti=hk2/2m,

任意時刻的波函數為

必"）=弓=，二中付式101*々叫卜

(1)

當時間足夠長后（所謂f—oo）,上式被積函數中的指數函數具有6函數的性質，取

(2)

參照本題的解題提示，即得

小號愣⑷

物理意義：在足夠長時間后，各不同k值的分波已經互相分離，波群在X處的主要成分為

k=mxfht，即x=hktlm,強度x.（左『，因子m/tit描述整個波包的擴散，波包強度工中。

設整個波包中最強的動量成分為方心，即左=心時『最大，由（4）式可見，當，足夠大以

后，忸『的最大值出現在機必初=心處，即％=方/〃加處，這表明波包中心處波群的主要成分為&。

2.4——1.7

2.5設質量為m的粒子在勢場V（r）中運動。

（）證明粒子的能量平均值為?卬

aE=Jw=-^―V/+“V—（能量密度）

2m

dw力2(aj°

（b）證明能量守恒公式—+V.J=O,s（能流密度）

dt2mIdtdt

證：（a）粒子的能量平均值為（設獷已歸一化）

方2、--

----V2+V〃八=T+v(1)

2m)

V=Jd'/y收

>=-轟J，市-(p*V沙)一(V/)-(V〃)]

T=--V2(2)

2m

其中T的第一項可化為面積分，而在無窮遠處歸一化的波函數必然為0。因此

f=—(3)

2mJ

力2**

結合式(1)、(2)和(3),可知能量密度w=---Vi//?▽/+收Vy/,(4)

2m

且能量平均值E=Jj3r-wo

（b）由（4）式，得

dw有2Ka+萼…吟

——(一V/)?▽獷+▽—”?(一V-)

~dt2m[_dtdt

+警V"喈

=7*+E型(p:幾率密度)

dt

=-V-s（定態波函數，幾率密度p不隨時間改變）

所以一+V-5=0o

dt

粒子滿足含時間薛定謂方程及其共挽方程式:

加?生=_乙力5+廠5-hi^—=__V2T*+VT*

dt2mdt2m

_力2分甲*aq/

又設S三——[-----VT+—V^*]則有

2mdtdt

dWd甘W洶STM*c-

dtdtdtdtdt

公式⑵得證。

2.6考慮單粒子的Schrodinger方程

i*火,i)=VV(r,/)+[V,(r)+，匕。加(八。(1)

乂與匕為實函數。

(a)證明粒子的幾率(粒子數)不守恒。

(b)證明粒子在空間體積r內的幾率隨時間的變化為

=一金0M"v--四〃)而+與JJpV^V

證：(a)式(1)取復共粗，得

-ih—y/*=---VV+(V.-1V,V*(2)

d"2m”—火

，x(1)-“x(2),得

訪,標”")=-^—Q*V2▼一物2域)+2MVw=一〃一四7)+2iVw*w

￡/h

^fV

及v金v-Q*v材—火“")+M(</V)(3)

V

“

一

即+

八

一

比

此即幾率不守恒的微分表達式。

利用高斯定理將右方第一項變形：

與=JJJ{--—v2、+-職/*)}/x+2"J

-JJJ/-.（/*▽/—內卜*）?dM+4“J（3）

a2mitiq

如果粒子的運動范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠處盧―()，▽獷?￥z*fO,

因而(3)式的面積分等于0。

■［"J*匕⑴而x⑷

=*不守恒，因為筲

這證明總幾率尸w0。

(b)式(3)對空間體積丁積分，得

3

JJJ"-白川-河“V：JJJdrV2(t/>)

TTT

=一2￥(“▽W—四W)?癡+|jJJ^VV2t/V

上式右邊第一項代表單位時間內粒子經過表面進入體積T的幾率(=-Hj?曲),而第二項代表

體積7中“產生”的幾率，這一項表征幾率(或粒子數)不守恒。

2.7--1.8

2.8在非定域勢中粒子的薛定謂方程式是：

o4-23

hi^(x,/)=--V2^,z)+jv(x,r}p(x,,t)dx'(1)

X

求幾率守恒對非定域勢的要求。此時，只依賴于波函數中在空間一點的幾率波是否存在？

［解］按題意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個條件尋出V(x,x')應當遵守的要求。幾

率守恒的條件是:

或（2）

與［13］題類似,可寫出［1］的共輾方程式:

-fti—T*（x,Z）=--V2xP*（x,Z）+［［fV*（x,1加*但，￡卜34⑴

dt2mJJJx，

將［1］和［刃中的"和匕想等同的式子代入到⑵式中去，就得到如下的條件：

dtdt

Z3

^J||（￥VV-￥W*）/X+^7

2fHiatil

JJJ/”，z）JJJv（x,。-n焉。5'**G'，t）d3xd3x'=Q

aI.X，y.

將前式等號左方第一項變成面積分［高斯定理］,第二項變成六重積分：

--匚口伊》/一叩/）而+1

mis1（4）

加附個f）V（x,x'）P（x',°一/（焉》*（土，x'^Xx1,t）］d3xd3x'=0

Qx'

前式等號左方第一項由于波函數平方可積條件（5*-0,甲（x）f0當Xf8時）可消去，因

5（右f）和中（元'，/）形式相同,XX’對易，XfX對易：

億°卜國F）-V*G'，初卜（F，。卜5/3/=0（5）

Qx'

這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數為零，即：

V（x,x'）=V*（jCf元'）

因此^（元，元’）必須是總亍實函數。

2.9設N個粒子的哈密頓量為：

N力2N

方=-麻-動⑴

1=1i=l

甲日弓…&,f）是它的任一態函數，定義：

「（元。=工與（元/）⑵

1C,t）=Zjig）⑶

0/J）=］＜…J"3qd3r3…43小甲*甲

求證：織+▽?］=（）（4）

dt

[證明]按定義:翳公爾》）

=訂獷4恭"

=刀……心心噂+三中）

iJJdtdt

2我"。）⑸

多粒子的體系的狀態中缶弓…“，。應當滿足多粒子薛定得方程式，寫出這個方程式和其共輛方程

式：訪曹=2（-工匕3+?.一⑥）

ak乙mjk

#W*ti2

-價等=Z（-六V/）*+?產*（6b）

6t-2mV

將前二式等式右方的式子代替左方S的T"，—ST*,代進式⑸

dtdt

繪=J.Jd\：/如片.匯_4（""_叩.）

+J…J/4.3%/3心…工_4（中”力中—中山￥*）

jklh

=-J…J4心…d3kzm（+Y沖—+▽/%*）

JJk2im

=-fI九-d*屋0…屋G.?（/Y￥-訴匿）⑺

A2〃〃

又待證的公式的等號左方第二項是：

▽三!；▽，?!＞；。，/）=（x+3+...▽,???）4（%，/）+??/&，/）+???]

ii

=%.7苗,￡）+匕。2（5工）+???▽,??]&"）…=IX"G，。

/

=言ZJ…[.屋小匕.（/Yw-卬，）（8）

翳￡普=EJT內,??—也/*）（9）

將⑼式兩個求和合一，注意到iHZ的項不存在，因而⑻⑼等值異號。

k

2.10*設在曲線坐標（q'q2q3）中線元ds表為=g，kdcfdq,寫出這曲線坐標中的薛定譚方程

式，寫出球面坐標系中的薛定謂方程式。

（解）dx=^dqx+^-dq2+^dq3同樣關于y,z有類似的二式。（這里為書寫方便q的上標

的2的3

改成下標。)

*參看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11

dxdxdydydzdz~\,.

+J2----------+————+-----------dq、dq,

dq]dq2dqidq2西dq2~

.dxdxdydydzdz,,

+2----------+————+----------dq、dq、

dq2切dq2dq3dq2dqyJ-

cdxdxdy8ydzdz

+2----------+-—+----------

_的3的1的3的I風的1

QxSx

令g,”=Z（令華）為坐標變換系數:

型oq.dqk

設沿曲線坐標等勢面的單位矢量是用，a2,2則

,D“四:a*ST

^rad￥T/=VT=-1H------/H------kF

dxdydz

a.中a,

=---------5---T-----1----a--,------d--------1----------V----T----

g|[的I§22%2833的3

=-------------------14](g22g33+)+…]

g"g22g33的

\/2+=dMgm劉)=——-——{_L[g22g33科]

gllg22g33BqIg[]的1

『。叩])

?a[g33g“?e[gg22(1)

的2g22%2d43533的3

代入直角坐標薛定謂方程式:

方2

r3「g22g33dgug33"

t-----L-----------------JH-------[-----------------J

2機g“g22g33a<71g”的2的2g22^2

+5合啜止加W或如）

(2)

但闖2%。M0%%)，z(0%%)t}

v'=v{M4%%)…}

在球坐標情形尤=rsinOcos"，y=rsin^sin^,z=rcos。式正交坐標系

力26+'dsine空

力陷{—Ir2sin6>

dtImr2sirr86rIdr*拓de

d(1OP

+——}+V'(r,0,德中'

a-lsin。di//

化簡得

一合乎,力2建1dsin巫

Til-----=---------{—H----------------

dt2mrdrdrsin。80de

IdfN，

+sin20di//\di//+V'(r,6,”)P

2.11------1.3

2.11寫出動量表象中的不含時Schrodinger方程。

解：經典能量方程七=［二+丫。）

2m

在動量表象中，只要作變換p-p,r^ih—

dp

所以在動量表象中，Schrodinger為:

什(p)=￡“p)。

2.11寫出動量表象中的薛定謗方程式?

解：本題可有二種：A：含時間薛定謂方程式，B:定態薛定謗方程式。

A：寫出含時間薛氏方程式：

aw方2

ih-=-----+（1）

dt2m

為將前式變換成動量表象，可寫出含時間的表象變換式：

火君嚴萬，小id”⑵

心,‘）=篇嚴吸向調…心⑶

為了能用（3）變換（1）式，將（1）式遍乘4,一不大/h對空間積分:

（2成尸2，

=若小十1”'（?產'"底'

左方變形

(4)

等號右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標量：

計算（5）的x部分分部積分法:

JJJ亭e&Kp，y+p6"，dxdydz=JJb(空)'Mf

zyxzyx)

=JJ詈/仇…""力「a”?一半川等建聲…口,

=一幺JJk力火力必

zyx

ip/（PE+Py,+P=z）/方

「d”z+（幺）2JJJJSZdxdydz

°°zyx

2

=一與。Je'S+z"""2M'dz

力zyx

八2o2

關于匕,匕的積分按同法計算，（5）式的結果是

dy2dz2

2,2,

_1_Px+〃v+P:

-^/hdxdydz

（27th）

甲（X,戊

=勺〃仿，/）

2m

再計算（4）式右方第二積分

忌而a）+（焉產”'〃，

i,i,>x,3

=島肝位肝依ty^"-dp}e-"dx

=扇啊八岬（立…心”

=JJJG（小辦尹（"，（7）

%

但最后一個積分中

G/刃三贏JJM4"）”"心

7指坐標空間，環指動量相空間，最后將（4）（6）（7）綜合起來就得到動量表象的積分方程式如

下:

訪金，（小'）=O+JJJG（小fV”，(8)

ot2m"J

Tp

若要將定態薛定用方程式從坐標表象變成動量表象，運算步驟和上面只有很少的差別，設粒子能量

為E,坐標表象的薛氏方程：

力2

—V2T（X）+[E-V（X）]T（X）=0

2m

動量表象方程也是積分方程式,其中G（小廣）是這個方程式的核（Kernel）

-金"仿）仿）一川萬"（尸，p，=0（9）

Tp

2.12,2.13,沒找到

第二章：一維定態問題

P86設粒子處在二維無限深勢阱中，

v（x,y）=.0,0VxV。，0<y<b

00,其余區域

求粒子的能量本征值和本征波函數。如，能級的簡并度如何？

解：能量的本征值和本征函數為

一江匡+力2.7mx.加、y

%小=廠Jins