武漢市部分重點中學學年度下學期期中聯考高一數學命題單位：武漢六中數學學科組審題單位：圓創教育研究中心武漢市第一中學本試卷共4頁，題滿分分考試用時分鐘.考試時間：年4月日下午：：★祝考試順利★注意事項：．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.答題卡上的非答題區域均無效.．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共85分在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據誘導公式求值.【詳解】.故選：A2.已知，，則在上的投影向量為（）第1頁/共16頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據投影向量公式求解即可.【詳解】由題意，在上的投影向量為.故選：A3.如圖，已知，，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據向量的三角形法則和數乘運算法則即可求出．【詳解】由，得，而，所以.故選：B4.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由正弦和余弦的二倍角公式進行化簡計算.【詳解】因為，所以，故，，第2頁/共16頁又因為，所以.故選：A.5.若（，i的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據復數模的計算公式及三角函數性質可得解.【詳解】由已知，則，則，其中滿足，則，當且僅當時，等號成立，即的最大值為，故選：C.6.已知圓錐的軸截面為正三角形，外接球的半徑為，則圓錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，外接球半徑即為軸截面等邊三角形的外接圓半徑，利用正弦定理求出圓錐的底面半徑為，進而求出圓錐的高，再利用錐體的體積公式可求得結果.接圓半徑，第3頁/共16頁由正弦定理可得，則，易知該圓錐的高為，故該圓錐的體積為.故選：A.7.已知函數，若在區間內恰好有2025個零點，則n的取值為（）A.2025B.1012C.1350D.1348【答案】C【解析】【分析】令，探討一元二次方程根的情況，再結合正弦函數的性質求解即得.【詳解】依題意，，令，則，由，得，顯然，即方程有兩個不等的實數根，，即，，此時在上恰有3個實根，而，因此，則.故選：C.8.已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為S，且，若，則k的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C第4頁/共16頁【解析】【分析】根據面積公式，余弦定理和題干條件得到，結合正弦定理得到，由為銳角三角形，求出，從而求出，求出取值范圍.【詳解】因為，所以，即，所以，整理得：，因為，所以，由正弦定理得：，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，即，由，解得：，因為，所以，解得：，故選：C36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，是的斜二測畫法的直觀圖，，則在原平面圖形第5頁/共16頁中，有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由斜二測畫法的規則復原為原圖形，求解相關量逐項判斷即可.【詳解】如圖1，在中，作交于點，因為，所以，，又，所以，，，利用斜二測畫法將直觀圖還原原平面圖形，如圖2所示.由斜二測畫法，可得，，，所以，，.故選：ABD.10.已知平面向量滿足，則下列結論正確的是（）A.B.與的夾角為C.D.的最大值為【答案】BCD【解析】第6頁/共16頁【分析】由模長的計算可得AC正確；由夾角的計算可得B和可得D正確；【詳解】選項A：由得，又，所以，所以A錯誤；選項B：設與的夾角為，則，因為，所以，所以B正確；選項C：，所以，所以C正確；選項D：設，則，所以，因為，所以，因為，所以，所以當且僅當與反向共線時，取得最大值，且最大值，所以D正確．故選：BCD已知復數，則（）A.若互為共軛復數，則為實數B.若，則或C.若，則D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，設，根據共軛復數的定義得到，計算出B選項，舉出反例得到BC選項，D算出，D正確.【詳解】設，A選項，由于互為共軛復數，故，第7頁/共16頁故，A正確；B選項，不妨設，滿足，但且，B錯誤；C選項，若，則，C正確；D選項，，故，，而，所以，D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共分）12.設復數滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】根據對數的除法運算求解復數，即可求得模長.【詳解】解：復數z滿足，則，所以.故答案為：.13.將函數（）的圖象向右平移個單位后，所得到的函數圖象關于軸對稱，則______.【答案】【解析】【分析】先求出圖象變換后的解析式，根據得到的函數圖象關于軸對稱列式求解即可.第8頁/共16頁【詳解】由題意得變換后圖象解析式為，因為的圖象關于軸對稱，所以，所以，即，因為，所以.故答案為：.14.我國古代數學家趙爽大約在公元222年為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖（如圖1“趙爽弦圖”23個全等的鈍角三角形和中間的小等邊的值為_________．【答案】【解析】【分析】由平面向量的線性運算，結合圖形的幾何性質，可得答案.【詳解】連接，在中，，即，所以，在中，，所以，第9頁/共16頁在中，，則，因為，，所以，則，，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）計算：（2z，z在復平面對應的點位于第幾象限？【答案】（1）2），z在復平面對應的點位于第一象限.【解析】1）根據復數的運算性質解題即可；（2，化簡可得.1）；（2）設，，則，由可得，化簡得，所以，所以，，所以，所以，在復平面對應的點坐標為，位于第一象限.16.設內角所對的邊分別為，已知，且．（1）求的面積；第10頁/共16頁（2）若為角的平分線，交于，求的長度．【答案】（1）（2）【解析】1，，結合余弦定理化簡得，再根據三角形面積計算公式計算即可；（2）根據及，化簡計算即可.【小問1詳解】由余弦定理可得：，即，因為，，所以，所以；【小問2詳解】因為為角的平分線，所以因為，所以，而，所以.17.已知平面向量，其中是夾角為的單位向量．（1）當，求與夾角的余弦值；（2）若與夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）（2）且【解析】第11頁/共16頁1）根據向量夾角公式即可求得答案；（2）若與的夾角為鈍角，則且不共線，即可解得的取值范圍．【小問1詳解】由已知，是夾角為的單位向量，所以，又，則，所以，又，所以．【小問2詳解】若與的夾角為鈍角，則且不共線，所以，且，所以，且，所以且．18.某棒球場要舉辦大型活動，該活動要一塊矩形場地，現對棒球場的扇形空地AOB進行改造．如圖所示，矩形CDEFAOB的半徑為100CD放在OA頂點E，F分別在弧AB和OB上，其中（如圖2（1）若按方案一來進行修建，求活動場地面積的最大值：第12頁/共16頁（2DE在弧ABCF分別在OA和OB上，有（如圖3【答案】（1）平方米（2）方案一更優，理由見解析.【解析】1）結合題意圖形，可得活動區域面積關于的表達式，然后利用三角函數恒等變換知識可得答案；（2）如圖，設，由題意及圖形可得活動區域面積關于的表達式，利用三角函數恒等變換知識算出面積，比較即可得答案.【小問1詳解】由題可得，，，則，則此時活動區域面積為：，又注意到.則，則，當且僅當時，活動區域面積最大為平方米；【小問2詳解】如圖，取ED中點為I，FC中點為J，連接OI，延長OI與弧BA交于點G，則由對稱性及垂徑定理，可得O，J，I，G四點共線，平分，第13頁/共16頁可得，設，則，，，則，則此時活動區域面積為：，又注意到.則，則，當且僅當時，活動區域面積最大為；注意到，則，，則選擇方案1更好.19.斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀的英國數學家提出的關于三角形中線段之間關系的結論．根據斯特瓦爾特定理可得出如下結論：設中，點在邊上，有．第14頁/共16頁（1）若，為中點，求；（2）當為角平分線時，利用斯特瓦爾特定理證明：；（3）在內，AD為的角平分線，點E在線段DC上，為角平分線，在上，則有：）【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）利用題設結論，即可求解；（